随堂自测
1.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是________，另一个为________．
答案：棱锥棱台
2.在三棱台中，侧棱和侧面数分别为________，________．
答案：3 3
3.下列说法：①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的说法的个数为________．
解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．
答案：2
4.下面图形不能围成一个长方体的是________(填序号)．
答案：④
高中数学-棱柱、棱锥和棱台的结构特征练习1过正棱台两底面中心的截面一定是() A.直角梯形 B.等腰梯形 C.一般梯形或等腰梯形 D.矩形 答案：C 2如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为() A.6 B.7 C.8 D.9 解析：还原几何体,如图.由图观察知,该几何体有7个顶点. 答案：B 3一个正四面体的各条棱长都是a,则这个正四面体的高是() A.a B.a C.a D. 解析：因为正四面体底面外接圆半径为a,所以正四面体的高为h= a. 答案：B 4有四种说法: ①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体; ③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 以上说法中,正确的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体; ④正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体,故选A. 答案：A 5如果正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm,那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为() A.2 cm2 B.16 cm2 C.25 cm2 D.4 cm2 解析：如图,取A'A,B'B的中点分别为E,F, 所以EF=×(3+5)=4(cm). 则S中截面=42=16(cm2). 答案：B ★6如图,几何体①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,几何体⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从几何体①~⑤中选出三个放到几何体⑥上,使得几何体⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列几何体中,能够完成任务的为() A.几何体①②⑤ B.几何体①③⑤ C.几何体②④⑤ D.几何体③④⑤ 解析：本题主要考查正方体的结构特征等知识,同时考查分析问题和解决问题的能力. 观察得先将⑤放入⑥中的空缺处,然后上面可放入①②,其余可以验证不合题意.故选A. 答案：A
教案 教学过 （课前检测、预习新知、课 学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：
§1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（1） 【学习目标】 1.利用实物模型、多媒体展示大量空间图形，认识多面体； 2.掌握棱柱的定义，能区分概念相近的几何体的概念. 【新知探究】 （一）多面体 1.定义：由若干个所围成的几何体. 2.基本元素：顶点、棱、对角线、面. 说明：多面体的对角线是指体对角线，而非面对角线. 3.分类：⑴凹凸性：凸多面体与凹多面体；⑵按围成多面体的面数：分为四面体、五面体、……. 4.截面：一个几何体和一个平面相交所得的（含其内部），叫做这个几何体的截面. 例1.用一个平面去截一个正方体，所得截面的边数为 . （二）棱柱 1.定义：有两个面平行，并且其余每相邻两个面的交线 . 思考1：有两个面平行，其余各面均为平行四边形的多面体一定是棱柱吗？ 2.基本元素：顶点、侧棱、高线、底面、侧面. 3.表示：两底面的对应顶点的字母或同一对角线端点的两个字母来表示. 4.分类： ⑴按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱、……； ⑵按侧棱与底面的位置关系：和 . 5．正棱柱是的直棱柱. 研究对象底面侧棱侧面截面 棱柱底面是凸多边形；两 底面互相平行且全等 侧棱互相平 行且全等 侧面是平行 四边形 平行于底面的截面与底面是全等 的多边形；对角面是平行四边形 7.特殊的四棱柱（※） ⑴平行六面体：的棱柱叫做平行六面体； ⑵直平行六面体：的平行六面体叫做直平行六面体； ⑶长方体：的直平行六面体叫做长方体； ⑷正四棱柱：的长方体叫做正四棱柱； ⑸正方体：的正四棱柱叫做正方体. 思考2：先运用维恩图描述上述几何体所构成集合的间的包含关系， 之后再利用集合符号写出这一关系. 例2．验证以下关于平行六面体的结论： ⑴平行六面体的任何一组相对的面都可作为它的底面； ⑵平行六面体的对角线交于一点且被该点平分； ⑶当对角线长都相等时，平行六面体是长方体； ⑷平行六面体所有面都是平行四边形；A B C D 1 A 1 B1 C 1 D a b c
《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》习题 1．下列说法中，正确的是（） A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 4．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为( ) A.32a2 B． a2 C. 12a2 D. 13a2 5．在下面4个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是 ________．(把你认为正确的序号都填上) 6．如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三 棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥． 7．如图所示，侧棱长为23的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC ＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值． 8．一棱锥的底面积为S2，用一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面
面积为S1，现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两 部分之比为γ，求截面面积． 答案： 1．A 2.B 3.D 4.C 5．①② 6．解 过A1、B 、C 三点作一个平面，再过A1、B 、C1作一个平面，就把三棱台ABC —A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC ，B —A1B1C1，A1—BCC1. 7．解 将三棱锥沿侧棱V A 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA1的中点D ，则VD ⊥AA1，∠A VD ＝60°，可求AD ＝3，则AA1＝6.故△AEF 周长的最小值为6. 8．解 设截面面积为S 0，以S 1、S 0、S 2为底面的锥体的高分别为h 1、h 0、h 2. 由棱锥截面的性质得h 1∶h 0∶h 2＝S 1∶S 0∶S 2， ∴γ＝h 0－h 1h 2－h 0＝S 0－S 1S 2－S 0 . 由此可得S 0＝ S 1＋γS 21＋γ. ∴S 0＝? ????S 1＋γS 21＋γ2.
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 名称 定义、特点、分类及记法 图形 棱柱 1.一般地,由一个平面多边形① 形成的空间几何体叫做棱柱.平移② 叫做棱柱的底面,多边形的边③ 叫做棱柱的侧面,相邻④ 叫做棱柱的侧棱. 2.棱柱的特点:两个底面是⑤ ,且对应边 ⑥ ,侧面都是⑦ . 3.底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为⑧ …… 4.右图六棱柱记作⑨ . 棱锥 1. 当棱柱的一个底面⑩ 时, 得到的 几何体叫做棱锥.相邻侧面的 叫做棱锥的 侧棱,由棱柱的一个底面 的点叫做棱锥 的顶点. 2.棱锥的特点: . 3. 的棱锥分别称为三棱锥、四棱 锥、五棱锥. 4.右图四棱锥记作 . 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几 何体,一个仍然是棱锥,另一个称之为棱台.即棱台是 棱锥被 之间的部分.
多面体 1.棱柱、棱锥和棱台都是由 围成的几何体. 2. 叫做多面体. 3.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是 . 一、填空题 1.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台. 2.下列命题中正确的序号是. ①棱柱的底面一定是平行四边形; ②棱柱的底面一定是三角形; ③棱锥被截面分成的两部分不可能都是棱锥; ④棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱. 3.一个棱柱至少有个面. 4.将梯形沿某一方向平移形成的几何体是. 5.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为4∶9,则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为. 6.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线,则六棱柱有条体对角线. 7.如图,三棱台ABC A'B'C',沿A'BC截去三棱锥A'ABC,则剩余部分是. ①四棱锥;②四棱台;③三棱柱;④三棱锥.
课题：棱柱、棱锥、棱台 三维目标 一、知识与技能 1、了解多面体、棱柱、棱锥、棱台的定义、性质及它们之间的关系。 2、掌握棱柱、棱台的画法 二、过程与方法 1、结合模型、动态的或静态的直观图，了解、认识和研究各种几何体 2、结合集合的观点来认识各种几何体的性质 三、情感、态度与价值观 培养空间（三维空间）与平面（二维空间）问题相互转化（升降维）的思想方法 教学重点 多面体、棱柱、棱锥和棱台的定义、性质及他们之间的关系，逐步培养空间（三维空间）与平面（二维空间）问题相互转化（升降维）的思想方法 教学难点 棱柱、棱台的画法，及棱柱、棱锥、棱台特点的理解 教学过程 (一)棱柱的概念 1: 平移：指将一个图形上所有点按某一确定的方向移动相同的距离 2.定义 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移 形成的空间几何体叫做棱柱（prism [`prizm]）。思考：下图的棱柱分别是由何种多边形平移得到？
3.棱柱的元素 a.平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面（base）。 b.多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面（lateral face）。 c.两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 d.侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。 4.棱柱的分类:按底面的边数分为： 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、…… 5.棱柱的表示法 用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 6.棱柱的性质 a. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； b. 两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行； c. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 (二)棱锥的概念 思考：看下面两个图形有何变化？ 棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫棱锥（pyramid）。 与棱柱相仿，棱锥中常用名称的含义 侧面：有公共顶点的各三角形面 底面（底）：余下的那个多边形 侧棱：两个相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共点 思考：有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥吗？
棱柱、棱锥和棱台 层级一学业水平达标 1．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 3 2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将 正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________. 解析：将展开图还原成原来的正方体，由图知标 “△”的面的方位是北． 答案：北 3．棱台具备的性质是________(填序号)． ①两底面相似；②侧面都是梯形； ③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点. 解析：用棱台的定义去判断． 答案：①②④ 4．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________． 解析：结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①. 答案：① 5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________． ①有一对面互相平行；②侧面都是四边形；③每相邻两个侧面的
公共边都互相平行；④所有侧棱都交于一点． 解析：由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行． 答案：①②③ 6．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)． 解析：若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾． 答案：六 7．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5 cm,4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大的长方体的表面积为________ cm2. 解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起，得到的长方体的表面积最大，此时，所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm，表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164. 答案：164 8.如图，三棱台ABC-A′B′C′，沿A′BC截去 三棱锥A′-ABC，则剩余部分是________． 解析：在图中截去三棱锥A′-ABC后，剩余的 是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥． 答案：四棱锥A′-BCC′B′ 9．如图，观察并分别判断①中的三棱镜，②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对．
棱柱棱锥棱台练习题 一、选择题 1．如图所示的几何体是( ) A．五棱锥B．五棱台 C．五棱柱D．五面体 2．下列命题中，正确的是( ) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 3．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )
A．三棱锥有四个面是三角形 B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点 [答案] B 5．三棱锥又称四面体，则在四面体A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 [答案] D 6．用一个平面去截四棱锥，不可能得到( ) A．棱锥B．棱柱C．棱台D．四面体 [答案] B 7．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C
[解析]如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1. 8．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( ) A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 [答案] C 9．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
教案 主编：林鹤审核人：备课人：林鹤备课时间：使用时间： 课题 1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征课型新授课课时共___课时第___课时 学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体. 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征. 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别． 学情分析 重点难点 重点：棱柱、棱锥的几何结构特征 难点：利用棱柱、棱柱的几何特征进行解题易混易错点 学生认知基础 教学过程（课前检测、预习新知、课堂导学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面 的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱 的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱 长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体 的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
人教A版高中数学必修二 1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征同步练习B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共6题；共12分) 1. （2分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC ，BC ， A1C1，B1C1的中点.则当底面ABC水平放置时，液面高为（） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 2. （2分） (2016高二上·枣阳开学考) 设M={正四棱柱}，N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，则四个集合的关系为（） A . M?P?N?Q B . M?P?Q?N C . P?M?N?Q D . P?M?Q?N 3. （2分）下列说法不正确的是（） A . 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B . 圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形 C . 直角三角形绕它的一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个圆锥
D . 用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形 4. （2分） (2018高二上·东至期末) 下列图形不一定是平面图形的是（） A . 三角形 B . 四边形 C . 圆 D . 梯形 5. （2分） (2016高一下·吉林期中) 下列命题中正确的是（） A . 正方形的直观图是正方形 B . 平行四边形的直观图是平行四边形 C . 有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱 D . 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 6. （2分）棱长为4的正方体的内切球的表面积为（） A . 4π B . 12π C . 16π D . 20π 二、填空题 (共5题；共6分) 7. （1分）如图所示，正方形ABCD中，E ， F分别为CD ， BC的中点，沿AE ， AF ， EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．
环县第五中学新生态课堂导学案 科目：数学 年级：高一级 备课人： 授课人： 课型：新授课 第 课时 授课日期： 第 周 星期 教研组长签字： 课题：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标 1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3. 理解多面体的有关概念； 4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 学习过程 一、课前准备（预习教材P 2~ P 4，，找出疑惑之处） 二、学习探究 探究1：多面体的相关概念 问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗? 新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？ 新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体， 这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体: 探究3：棱柱的结构特征 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗? 新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism ）.棱柱中，两个互相平行的 面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 棱 A B ' C ' D 'A 'C B O '/ O A /A 轴
棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算 【知识梳理】 1．一般地，我们把叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，______________叫做多面体的顶点。2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做___________。 3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做___________。两个互相平行的面叫做___________，简称底；其余各面叫做棱柱的___________；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的___________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的___________。4．棱柱按照底面边数分类：底面是__________________的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。 5．棱柱的结构特征：①______________ ；②_______________；③________________。6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是____________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，多边形面叫做棱锥的______；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的________，各侧面的公共顶点叫做棱锥的_________；相邻侧面的公共边叫做棱锥的________。 7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做________、_________、___________。 8.棱锥的结构特征：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形。 9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____________叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_______；其余各面叫做棱台的____；底面与侧面的公共点叫做棱台的_______；相邻侧面的公共边叫做棱台的_______；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 【典型例题】 例1下列几何体是棱柱的有（） 变式练习：下列几何体中是棱柱的有
案教
励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）探究点一多面体及多面体的有关概念 1 / 6
2．棱柱(1)棱柱的主要特征性质：①有两个互相平行的面；②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．其余各面叫做棱柱的(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高．棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱(3) 柱、五棱柱……侧棱与底面垂直的棱柱叫做侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，(4) 直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．侧棱与底面垂直的平行底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，(5)六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．) 下列命题中正确的是(1例．棱柱的面中，至少有两个面互相平行A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体C 的任意两个相对的面不一定可当作它的底面．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D 2 / 6 的一个平，过BC4 ′B′C′的底面边长是cm ABC7．正三棱柱—A BCD的面积．，若AD的长是2 cm，试求截面D面交侧棱AA′于，如图，取BC的中点E解 棱锥的结构特征探究点三 我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定思考1 义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ 棱锥的主要结构特征：(1) ①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；(2) 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱(3)，－SABCD－锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为SABC，用一个
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一、多面体、旋转体的概念 思考1说说身边你认为属于几何体的东西。如何给它们分类？ 1、什么特征的东西称为空间几何体？ 2、具有什么特征的东西称为多面体？具有什么特征的东西称为旋转体？ 思考2由4个正三角形可以围成一个什么样的几何体？由一个等腰三角形绕着它的底边旋转一周，其它两边旋转形成的几何体是什么样的几何体？ 二、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱柱？怎样给棱柱分类？ 思考3下列说法正确的是 A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱柱的各个面中至少有两个面互相平行 D．棱柱侧面是平行四边形，但底面一定不是平行四边形 思考4有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 思考5正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为5，如图，求C P＋PQ＋QC1的最小值。 2、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱锥？怎样给棱锥分类？ A1 C1 C P
思考6已知正四棱锥V—ABCD的底面ABCD的面积为16，一条侧棱长为 ，求它 的高及侧面三角形底边上的高（称之为棱锥的斜高）。 思考7判断下列说法是否正确： (1)棱锥的各侧面都是三角形 (2)棱锥的各侧棱长相等 (3)四面体的任何一个面都可作为底面 (4)有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体为棱锥 思考8侧棱长为 V—ABC中，∠A VB＝∠BVC＝∠CV A＝40°，过A作 截面AEF，求截面ΔAEF周长的最小值。3 思考9正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为1，求该棱台的高、斜高（侧面底边上的高）。 三、作业：课时分层作业P95 测评一 A C A B C1 B A
棱柱、棱锥、棱台练习 一．选择题 1．下列几何体中是棱柱的有() A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等 3．下面多面体是五面体的是() A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．五棱锥 4．下面的图形可以构成正方体的是() A．B．C．D． 5．如图，在三棱台A B C ABC '截去三棱锥A ABC '-，则剩余的部分是( '''-中，沿A BC ) A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体 6．下列关于棱台的说法，正确的个数为() ①所有的侧棱交于一点②只有两个面互相平行③上下两个底面全等
④所有的侧面不存在两个面互相平行 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) A ．必定都不是直角三角形 B ．至多有一个直角三角形 C ．至多有两个直角三角形 D ．可能都是直角三角形 8．棱台不具有的性质是( ) A ．两底面相似 B ．侧面都是梯形 C ．侧棱延长后交于一点 D ．侧棱长都相等 9．下列命题中正确的是( ) A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 的几何体叫棱柱 C ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 二．填空题 10．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是___________． ①正三边形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 ⑤钝角三角形 ⑥等腰梯形 ⑦非矩形的平行四边形 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取一点F ， 使1EF FC +最小，则最小值为___________． 三、解答题 12．如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1＝2，CC 1∥AA 1，这个 几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．
第3章立体几何初步 §3.1 空间几何体 棱柱、棱锥和棱台同步练习 一、选择题： 1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（） A. 六棱锥 B. 六棱台 C. 六棱柱 D. 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 2．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是（） A. B. C. D. 3．下列说法中，正确的是（） A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 C. 正方体的各条棱都相等 D.棱柱的各条棱都相等 4．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是（） A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 5．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是( ) A. 棱柱 B. 棱锥 C. 棱台 D. 可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或棱锥 6．构成多面体的面最少是( ) A.三个 B. 四个 C. 五个 D. 六个 7. 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是( ) A. 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台 B. 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 C. 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台 D. 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 8. 甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法( ) A. 甲正确乙不正确 B. 甲不正确乙正确 C. 甲正确乙正确 D. 甲不正确乙不正确 二、填空题： 9．长方体有________个顶点, ________条棱, _________个面. 10．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________, 另一个是 ______________. 11. 若一个几何体是七面体，则该几何体可能是_________________________. 12. 如右图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2,
棱柱棱锥棱台练习题 1．有四个集合：A＝{棱柱}，B＝{四棱柱}，C＝{长方体}，D＝{正方体}，它们之间的包含关系是( ) A．C?D?A?B B．D?C?B?A C．C?A?D?B D．B?D?C?A 2.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.用一个平面去截四棱锥，不可能得到( ) A．棱锥B．棱柱C．棱台D．四面体 4.一个正三棱锥的底面边长为3，高为6，则它的侧棱长为( ) A．2 B．2 3 C．3 D．4 5．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥 ： 6．设有四个命题 甲：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱； 乙：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； 丙：用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台； 丁：侧面都是长方形的棱柱叫长方体． 其中，真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( ) A．底面为平行四边形的四棱柱 B．五棱锥 C．无平行平面的六面体 D．斜三棱柱 8.下列命题正确的是( ) （ A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 9.下图中不可能围成正方体的是( ) 10.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，正四面体ABCD的棱长为a，M、N分别为棱BC、AD的中点，则MN的长度为( ) A．a a 11.下列命题中，正确的是( ) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 | 12.下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )
教案
(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积．解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
解设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点． 13．已知正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积． . 4．棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高． (2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． (3)正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 例：已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
教案 【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：
第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 [学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型. 知识点一空间几何体 1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. 2. 图示 知识点二 图形及表示 如图可记作：棱柱 ABCDEF-A′B′ C′D′E′F′ 如图可记作，棱锥 S-ABCD 如图可记作：棱台 ABCD-A′B′C′ D′
思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ (2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 题型一棱柱的结构特征 例1下列说法中，正确的是() A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 反思与感悟棱柱的结构特征： (1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边互相平行. 求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征. 跟踪训练1下列关于棱柱的说法错误 ．．的是() A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面 题型二棱锥、棱台的结构特征 例2下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是________. 反思与感悟判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法： 棱锥棱台 定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面 看侧棱相交于一点延长后相交于一点 跟踪训练2下列说法中，正确的是() ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ④棱锥的各侧棱长相等. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 题型三多面体的表面展开图 例3画出如图所示的几何体的表面展开图.