中考数学专题复习——分类讨论问题
朱江敏
使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
1：分式方程无解的分类讨论问题
例题1：（2011武汉）=+=-+-a 3
49332无解，求x x ax x 解：去分母，得：
1
.6,801a 31
-a 21-31-a 21-21
1-a )
3(4)3(3=-==∴=-=-=-=?-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或
例题2：（2011郴州） ==--+a 21
12无解，求x a x
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02
=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-
（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：4
1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=?即m m m ，且02≠m
综（1）（2）得，4
1-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4：（2011益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。
解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02≠m ，0≠m ，1.m ,01≤≥?解得 同理，.45
m ,02-≥≥?解得1m 4
5≤≤-∴且0≠m ，又因为m 为整数.11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为222±-=x 不是整数，所以m=—1舍去。
（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.
练习：已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2=++-x x m 有实数根，则ｍ的取值范围是： 1m 450
01≠≤????≥?≠-且m m
3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5：（2011青海）方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定
例题6：（2011武汉）三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）
2 p A C 析：，
没有给图形的计算题得多留意多解；图形的可能性
例题7：（2011湘西）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为：3或11.
例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将其从C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或120cm
分析：1、折点A 、B 都有可能；
给了图形的指代不明导致多解
4：动点问题的分类分类讨论问题
4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；
分段函数引起思考不同时段不同的关系
例题9：（2011永州）正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/
秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A
点停止，求点P 运动t
秒时，
P ，D 两点间的距离。
解：点P 从A 点出发，分别走到B ，C ，D ，A 所
用时间是 秒， 秒， 秒，
秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。
∴（1）当0≤t<5
时，点P 在线段AB 上，|PD|=|P 1D|=
(cm)
（2）当5≤t<10时，点P 在线段BC 上，|PD|=|P 2D|=
（3）当10≤t<15时，点P 在线段CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t
（4）当15≤t ≤20时，点P 在线段DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30
M A D
N 综上得：|PD|=
总结：本题从运动的观点，考查了动点P 与定点D 之间的距离，应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。 例题10：（2010福建）已知一次函数333
3+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分
分析：本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。先可以求出B 点坐标()033，，A 点坐标（9，0）。设P 点坐标为)0(，x ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别为)0369()0369()03()09(，、，、，、，-+-。（不适合条件的解已舍去）
总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例11：(2010湖北)如图，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、
M 、N 为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况： （1） 当DM 与BE 是对应边时，
DM MN AB AE
=，
即1DM DM ==．（2）当DM 与AB 是对应边时，
DM MN
AB AE =
，即2DM DM
== 故DM
． 例题12：（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使三角形ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由。
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．
解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k ）；3，交点式。 易得： 32)3,0()3)(1(2++-=∴-+=x x y B x x a y 在抛物线上再结合点
（2） 依题意得10=AB ，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)
1) 以AQ 为底，则有AB=QB,及22)3(110-+=y 解得，y=0或y=6,又
因为点（1,6）在直线AB 上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)
2) 以BQ 为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,6-)
3) 以AB 为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,6-)
分类讨论专题 在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类 思考的方法就是一种重要的数学思想方法,同时也就是一种解题策略. 分类就是按照数学对象的相同点与差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握 分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力就是十分 重要的.正确的分类必须就是周全的,既不重复、也不遗漏. 分类的原则: （1）分类中的每一部分就是相互独立的; （2）一次分类按一个标准; （3）分类讨论应逐级有序进行. （4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型、 综合中考的复习规律,分类讨论的知识点可分为三大类: 1. 代数类:代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等、 2. 几何类:几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等、 3. 综合类:代数与几何类分类情况的综合运用、 代数类 考点1 与数与式有关的分类讨论 1. 化简:|x-1|+|x-2| 2. 已知α、β就是关于x 的方程x 2+x+a=0的两个实根。 (1)求a 的取值范围; (2)试用a 表示|α|+|β|。 3. 代数式a a b b ab ab |||||| ++的所有可能的值有( ) A 、 2个 B 、 3个 C 、 4个 D 、 无数个 考点2 与方程有关的分类讨论 4. 解方程:①(a -2)x =b -1 ②试解关于x 的方程111=--x ) x ( 5. 关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有实数根,则k 的取值范围就是()
A ．4k ≤ B 、104 k k ≤≠或 C 、k<14 D 、 k ≥14 6. 已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= (1)若方程有实数根,求k 的取值范围 (2)若等腰三角形ABC 的边长a=3,另两边b 与c 恰好就是这个方程的两个根,求ΔABC 的周 长、 考点3 函数部分 7. 一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时,对应的y 值为19≤≤x ,则kb 的值就是( )。 A 、 14 B 、 -6 C 、 -4或21 D 、 -6或14 8. 设一次函数21y ax a =-+-的图象不经过第一象限,求a 的取值范围。 9. 比较一次函数12y x =与二次函数2212y x = 的函数值y 1与y 2的大小。 10. 图9就是二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,-4)、 (1)求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标; (2)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变, 得到一个新的图象,请您结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公 共点时,b 的取值范围、 【变式】就b 的取值范围,讨论、直线)1(<+=b b x y 与此图象有公共点的个数 图9
分类讨论专题复习 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 本讲主要三个内容： 1、 代数中的分类讨论 2、 几何中的分类讨论 3、 数学综合问题中的分类讨论 代数中的分类讨论 类型一 概念型分类讨论题 有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如a 的定义分a ＜0、 a ＝0和a ＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概 念型分类讨论题． 【例1】若,且,,则 ． 类型二 性质型分类讨论题 有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题． 【例2】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 m n n m -=-4m =3n =2 ()m n +=
【例3】已知函数 1 y x =的图象如下，当1 x≥-时，y 的取值范围是（） A．1 y<- B．1 y≤- C．1 y≤-或0 y> D．1 y<-或0 y≥ 类型三参数型分类讨论题 解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题． 【例4】若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） 【例5】对任意实数，点一定不在 ．．（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【例6】关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为( ) (A)a=0．(B)a=2．(C)a=1．(D)a=0或a=2． 类型四解集型分类讨论题 求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题． 【例7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答： 例题：解一元二次不等式. 解：∵，∴. 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ab
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 “分类讨论”专题练习 1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ． 2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________． 3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______． 4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A. 2 a b + B. 2 a b - C. 2a b +或2 a b - D. a+b 或a-b 5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或6 6. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则 A ．5或－1 B ．－5或1 C ．5或1 D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）. （1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值. （2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值. 8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。 例如一个边长2?4的矩形： 可以分成三种情况： （1） （2） 一个长宽为3?6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。 9.已知(1 )A m -， 与(2B m +，是反比例函数k y x =图象上的两个点． （1）求k 的值； （ 2）若点(1 0)C -，，则在反比例函数k y x =图象上是否存在点D ， 使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 分成两个正方形，面积分别为4，4 分成8个正方形，面积每个都是1 分成5个正方形，1个面积为4，4 个面积是1 第8课时分类讨论题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？ 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分 类。 五、教学用具 打印互动背景资料、三角板、多媒体。 六、作业布置 附后 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉） =+=-+-a 3 49332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 1 .6,801a 31 -a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=?-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或 例题2：（2011郴州） ==--+a 21 12无解，求x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。 （1） 当02 =m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1- （2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：4 1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=?即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，4 1-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。 §2 分类讨论思想 方法解读 1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度． 2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论． 3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有： ①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数y ＝k x (x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在． 4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象确定讨论的全体 选择分类的标准 逐类进行讨论获得初步结果 归纳整合写出结论 分类突破 一、根据概念分类 例1若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． a＞1 解析设函数y＝a x(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1. 归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． ” = 无解，求 a = 由已知 - = -3或 - = 3或a - 1 = 0 - = 2无解，求a = 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定 的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次 方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题 1：（2011 武汉） 3 ax 4 + x - 3 x 2 - 9 x + 3 解：去分母，得： 3( x + 3) + ax = 4( x - 3) ?（a -1）x = -21 21 21 a -1 a -1 ∴ a = 8, a = -6.或者a = 1 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a = 8或a = -6 例题 2：（2011 郴州） 2 a x + 1 x - 1 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题 3：（2010 上海）已知方程 m 2 x 2 + (2m + 1) x + 1 = 0 有实数根，求 m 的取值范围。 （1） 当 m 2 = 0 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程 x+1=0，有实数根 x= - 1 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 分类讨论题 类型之二圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt△ABC中,∠C＝900，AC＝3，BC＝4。若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是___ __． 5。（上海市）在△ABC中，AB=AC=5, 3 cos 5 B ．如果圆O的半径为10，且经过 点B、C，那么线段AO的长等于． 6.（?威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1 厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t(t≥0）． (1)试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式; (2）问点A出发后多少秒两圆相切？ 类型之三方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC(如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合）,M是线段DE的中点． （1）设BE=x,△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域； (2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长; （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长． 8.（福州市)如图,以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的 直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已 知OA＝3,OC＝2,点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1)直接写出点E、F的坐标； 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。 【例1】解方程：|x-1|=2 分析：绝对值为2 的数有2个 解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1 说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。 1. 化简(如当a<0 专题复习 分类讨论思想 一、填空题： 例1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ?，则实数a 的取值围是________． 例2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 分类讨论 分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。综合中考的复习规律，分类讨论的知识点有三大类： 1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等. 2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用. 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 题型1.考查数学概念及定义的分类 规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论 对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。 例题1．方程560x x x ?-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿. 例题2．解关于x 的方程：ax - 1= x 例题3．试解关于x 的方程111=--x ) x ( 例题4． =+=-+-a 349332无解，求x x ax x 例题5．已知四个数：10、10、x 、8，它们的中位数和平均数相等，则x=___________ 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类. 规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用 条件及范围. 例题1．已知2225,7x y x y +=+=，则x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿. 例题2．如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4A D cm =，∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒 1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD. （1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积； 2013届中考数学第二轮复习专题 分类讨论 Ⅰ、专题精讲： 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4， 得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴?? ?=+--=, 02, 1b k b 即???? ?-=-=. 1,21 b k 则一次函数解析式是 .121 --=x y 点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x = ． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：x y 4-=． 点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。 【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. 初中数学中的分类讨论解题法 数学思想是人们在长期的实践经验和社会生活中得出的有关现实世界的数量关系、空间结构等科学意识的反应，是人类思维活动的结晶。数学思想在漫长的历史演变中逐渐发展，帮助人类掌握学习知识的技巧，提供最优质的解决方案，常见的数学思想包括数形结合、分类讨论、换元思想、函数与方程、等效思想等等。本文就以分类讨论思想为例，探讨其在初中数学中的具体运用。 一、分类讨论思想的意义 分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零，积零为整”的解题策略。当我们在解决数学问题时，当所面对的问题不能进行整体统一的研究时，根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究，这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。 而分类讨论思想在中学数学中，历年是考试的侧重点，主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧，分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣，还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。在教学中，教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用，为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。因此，分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力，在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。 二、分类讨论思想具体解题步骤探讨 在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下，教师要引导学生运用正确的解题思路，大体可以从以下几个方面去引导，一是要认真仔细阅读题目，明白题目要考查的知识点；二是要明确分类讨论的对象，列举所有可能的结果，不可以遗漏，不可以重复；三是要讨论出所有列举问题的结论；四是要认真总结归纳，对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象，研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异，因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想，又或者说在研究过程中出现了不同的状况，就需要采用不同的分类研究的思想。 三、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例分析 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 数学精品复习资料 中考专题复习精讲 分类讨论题 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80° 【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°. 答案：D . 同步测试： 1.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处， (1)求证：B′E=BF； (2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 例2.（?湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 【解析】圆与斜边AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB 相切，此时r ＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B 在圆的外部或在圆上，此时3＜r ≤4。 【答案】 3＜r ≤4或r ＝2.4 同步测试： 3.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 4.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？ 类型之三 方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD ∥BC （如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点． （1）设BE=x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 浅谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用摘要：在初中数学解题中，分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还也是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”思想和归类整理思想这两个部分。在初中数学教学中，如果教师在进行初中数学的教学时，对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步的培养学生的思维能力。本文主要是对分类讨论在初中数学解题的应用进行探讨。 关键词：分类讨论思想初中数学教学应用 俗话说的好，“数学是思维的体操”，要想进行数学学习，就一定是离不开思维运用，在对数学进行每一步探索，都是需要思维来完成。因此，在初中的数学教学中，教师要对学生慢慢的进行数学思想方法的渗透，使学生的思维能力得到进一步的提升，使其能够形成一个良好的数学思维习惯，这样不仅符合了新课改的新要求，而且其还是实施数学素质教育的一个很好的切入点。 一、分类讨论思想在初中数学解题中的重要作用 简单的来说，分类讨论起本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。其在教学中的具体表现为对题目“化整为零”，一个一个的进行逐步击破，这样的就实现了积零为整的教学方式。在目前，分类讨论思想已经成为一种非常重要的数学思想，其在我国数学教学中得到了广泛的应用。它不仅只是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时其更是一种有效的解题策略。由于分类讨论在对不同的问题进 行综合考虑时，其在逻辑上具有优势，特别是在培养学生的学习能力以及提升学生的思维严谨性有很好的促进作用。在对数学题进行解答时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答出来，这样的情况下，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化，方便对其进行解答。 二、分类讨论思想在初中数学解题的应用 1.在不等式中的运用 不等式在初中数学中是一种比较基础和普遍的内容。因为不等式要涉及到绝对值，所以就要进行转换符号，同时一个不等式可能会存在不止一个绝对值问题，遇到这样的情况，学生往往会变得无所适从，这也就影响着学生的学习成绩的提升，运用分类谈论思想，就能够对不等式进行很好的解答。因此，教师要注重在课堂上教授学生如何运用分类讨论来解答难题，例如：解方程 | x － 5| +| x + 4 | = 9 ，这个题目就要求对 x 的值进行求解．为了更好的对学生进行引导，培养学生运用分类谈论的良好习惯，在学生的心里树立这样一种观点：在解答关于绝对值的数学题时，应该要把绝对值符号里的数分为正数、零和负数三种情况来进行分类讨论。教师也应该抓住好时机，可以向学生提出相关的问题，对学生进行引导，加深学生对问题的印象，进而使学生的学习效率得到提升。对于这个方程来说可以分为当x>4、-5x《4和x<-5这三种情况，若当x>4时，原方程就可以表示为x － 4 + 5 + x = 9，通过计算可以求出x=4，所以它与假设是互相矛盾的，故不成立；若当x ＜－5时，原方程可以被看为－ x + 4q D.当a>1时，p>q；当0
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