证明初等变换不改变矩阵的秩
证:设A 为m n ?矩阵经过初等行变换变为m n ?矩阵B,且
1
()R A r =，2
()R B r =
1.初等对换变换：i j r r A B ????→（交换矩阵的第i 行与第j 行）
因为A 中的任意11
r +阶子式均为零，所以B 的任意
11
r +阶子式也为零。因
此有矩阵B 中任何
11
r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11
r +阶子式的积。
2.初等倍法变换：i
kr A B ??
→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11
r +阶子式均为零，所以B 的任意
11
r +阶子式也为零。因
此有矩阵B 中任何11
r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11
r +阶子式的乘
积。
3.初等消法变换：i j
r kr
A B +???
→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意
11
r +阶子式
1
B
()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则
111
r B D +=，
11
r D +为A 的任意
11
r +阶子式；
()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则
11111
r r B D k C ++=+
这里的
1111
,r r D C ++均为A 的
11
r +阶子式。因为A 的任意
11
r +阶子式均为零，所以
10
B =
综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的
11
r +阶子式全为零，所以
21
r r ≤
由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有
12
r r ≤
所以
12,()()
r r R A R B
==
同理可证初等列变换。
矩阵与线性方程组 问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？ 答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。 问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？ 答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解： 当n A r =)(时，只有零解； 当n A r <)(时，有非零解。 非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。 其中),(~ b A A = 为增广矩阵。 问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。 证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
教案头 教学详案 一、回顾导入（10分钟） ——复习线性方程组的消元解法引入新课。 二、主要教学过程（70分钟，其中学生练习20分钟） 一：矩阵的初等行变换 对矩阵实施下列三种变换，称为初等行变换： （1） 互换矩阵两行的位置（交换第i,j 两行，记作j i r r ?）； （2） 以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素（k 乘第i 行记作i kr ）； （3） 把矩阵某一行的元素的k 倍加到另一行的对应得元素上（第i 行的k 倍加到第j 行上记作i j kr r +） 练习1：设矩阵?????? ? ??-----=324751122413A ，将矩阵进行下列初等行变换： （1） 交换矩阵A 的第1行与第3行的位置； （2） 用数3乘矩阵A 的第2行； （3） 将矩阵A 的第3行的（-4）倍加到第4行上。 注意：对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接。 练习2：用矩阵的初等行变换将矩阵A ???? ? ??--=121011322化为简化阶梯形矩阵。 将矩阵化为简化阶梯型矩阵的程序为：
（1） 首先使第一行第一个非零元为1，然后将其下方的元素全部化为零；在将第二行第一个非零元的下 方元素全部化为零；以此类推，直到将矩阵化为阶梯型矩阵。 （2） 从非零行的最后一行起，将该行第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零：再将倒数第 二个非零行的第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零；直到矩阵化为阶梯型矩阵。 注:1）实际解题的时候，两步骤不用分开。 2）矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的。 练习3：用矩阵的初等行变换将矩阵A ?????? ? ??-------=11370030311111014321化为简化阶梯形矩阵 二：矩阵的秩 矩阵秩是矩阵本身的属性，是矩阵部分的一个重要概念。需认真把握。 1） 矩阵秩的概念： 将一矩阵化为阶梯型矩阵后，阶梯型矩阵中非零行的行数，成为矩阵的秩，记作)(A r 例 求方程组的系数矩阵 的秩 练习4：求矩阵A ?????? ? ??-------=111204244024023171033的秩。 注：矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。 三、归纳总结（10分钟） 对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接； 矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的； 矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。 四、课后作业 ???? ? ??--→????? ??---????? ??--=---→00055012155055012113431 212123121324r r r r r r A 所以 2)(=A R ????? ??--=134312121A
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16
2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4
所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使
矩阵初等行变换矩阵秩
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。 二、阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；
2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。 例如 重要定理一 任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。 例题 注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如： 三、矩阵的秩 矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4
????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题 求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解
??????? ? ?----=35 222232111201107033A ()?????? ? ? ?----??→?35 2222321107033120 11,②① ??????? ? ?--????→?-+-+-+11200112003100012011) 2() 1()3(①④①③①② ????? ?? ? ?--???→?-+00000112003100012 011) 1(③④
证明初等变换不改变矩阵的秩 证:设A 为m n ?矩阵经过初等行变换变为m n ?矩阵B,且 1()R A r =，2()R B r = 1.初等对换变换：i j r r A B ????→（交换矩阵的第i 行与第j 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的积。 2.初等倍法变换：i kr A B ??→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积。 3.初等消法变换：i j r kr A B +???→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B ()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则 111 r B D +=， 11r D +为A 的任意11r +阶子式； ()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则 11111r r B D k C ++=+ 这里的1111,r r D C ++均为A 的11r +阶子式。因为A 的任意11r +阶子式均为零，所以 10B = 综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的11r +阶子式全为零，所以 21r r ≤ 由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有 12r r ≤
所以 12,()() r r R A R B == 同理可证初等列变换。
§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、 矩阵的秩 定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义 矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A 的秩，记为 秩（A ）或)(A r 。 例 求下述矩阵的秩 ???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A 解
???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A ???? ????? ???---------????→?-+-+-+8232104396 3011222121301 21 2131 4)1()2()1(R R R R R R ????????????---------???→ ??8232104396 3021301211222112R R ???? ????????----------????→ ?-+8232104396 304374501122 2112)2(R R ???? ? ???????----------???→ ??4374504396 308232101122 2142R R
????????? ???-------????→?+-+44138600203000 08232101122212 32 43)5(R R R R ????? ???????-------???→ ??20300004413860 08232101122 2143R R 所以 秩(A ) = 4。▌ 性质 (1) 秩(A ) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩(n m A ?) ≤ min{m , n } (3) 初等行变换不改变矩阵的秩。 定义 设A 是n 阶方阵。若 秩(A ) = n ，则称A 是满秩方阵；若 秩(A ) < n ，则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 1 对调两行，记作 （r i r j ） 。 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作 （r i k ） 。 3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作 （r i kr j ） 。 初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“ r ”换成 “ c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换， 初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。 矩阵等价 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B ，就称矩阵 A 与 B 等价。 等价 关系的性质 （ 1）反身性 A~A （2）对称性 若 A ~ B ,则 B~ A; （3）传递性 若 A ~B,B~ C,则 A ~ C 。（课本 P59） 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元， 也是非零行 的第一个非零元。 行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元 素都为 0. 为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设 A 与 B 为 m × n 矩阵，那么 标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如 E r O 的矩阵，称 mn
r （1）A: B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; c （2）A~ B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A: B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A是一个m×n 矩阵，则 （1）对A施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵； r 即A~B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; （2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即A~B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A~B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; （4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1,P2,L ,P l,使A P1P2L P l 。 （5）A可逆的充分必要条件是 A ~ E。（课本 P？） 初等变换的应用 （ 1）求逆矩阵： 初等行变换1 （A|E） E|A 1或A初等列变换 E 1 。 E A1 （2）求A-1B ： r A(A,B) ~ (E,P),即(A| B) 行E|A1B ，则P=A-1B。或 A初等列变换E. B BA1 第二节矩阵的秩 矩阵的秩任何矩阵A m n，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。 二、阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；
2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。 例如 重要定理一 任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。 例题 注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如： 三、矩阵的秩 矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4
????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题 求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解
??????? ? ?----=35 222232111201107033A ()?????? ? ? ?----??→?35 2222321107033120 11,②① ??????? ? ?--????→?-+-+-+11200112003100012011) 2() 1()3(①④①③①② ????? ?? ? ?--???→?-+00000112003100012 011) 1(③④
()????? ?? ? ?--??→?00000310001120012 011,③② 所以，秩(A)=3 ??? ????? ? ?----=32105327 220021132113A T ??????? ? ??????→?-?++32101101220000002113)2(①④① ②