5.2圆对称性第2课时
主备人：袁秀林 审核人：马晓铭
学什么------【-学习目标】
1．经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程掌握垂径定理。
2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.
怎么学------【教学过程】
一、自学 【课前演练】
1. 圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 你是用
什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．
2. 圆是_________________图形,其对称轴为________ _________
3.尝试操作
（1）在圆形纸片上任意画一条直径.
（2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：
如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E ．
则有AE=_ ____，=___ __，
= _ __
请试一试证明你所发现的结论！
4 .总结：
垂径定理：_________________________________________________________。
定理的条件 结论：
定理的几何语言表达：
5 .判断下列图形，能满足垂径定理的有几个
6 .如图，在圆O 中，直径AB ⊥CD 于P ，则下列结论中错误的是（ ）
A.弧AC=弧AD
B. CP=DP
C.弧BC=弧BD
D.OP=PB
二、导学
例1：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径。
（2）若⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，求圆心O 到AB 的距离。
（3）若⊙O 的半径为5，圆心O 到AB 的距离是3，求弦AB 的长。
总结：应用垂径在定理解题中常做的辅助线
例2：一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
(1)桥拱半径,(2)若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？
例3:以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，
AC与BD相等吗？为什么？
例4：已知⊙O中弦AB=CD，且AB⊥CD于点E， OG ⊥AB于G，OF⊥CD于F ，BE=7，AE=3 （1）求证四边形OFEG是正方形，（20求OG及⊙O的半径长。
三、探究
1．如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
⑴求的半径；⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
2．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，求AD的长。
3. 已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,
求CD 的长。
4． 如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB 作∠OCD 的平分线交⊙O
于点P ，连结PA 、PB ．求证：PA=PB ．
学怎样--------【课堂检测】
1下列说法中正确的是 （ ）
A ．圆的任意一条直径都是它的对称轴
B ．经过圆心的直线是圆的对称轴
C ．与圆相交的直线是圆的对称轴
D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴
2． 如图，CE 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，EC ⊥AB ，垂足为D ，由圆的对称性可得
下列结论中正确的有 （ ）
（1）AD=BD （2）弧AC=弧BC （3）弧AE=弧BE
A ．1个
B ．2个 C
3． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，则下列结论不一定成立的是 ( )
A.CM ＝DM
B.AC ＝AD
C.AD ＝2BD
D.∠BCD ＝∠BDC
4． 如图所示，C 、D 是半圆上的三等分点，则下列说法正确的有 （填序号）
（1）弧AD=弧CD=弧CB （2）∠AOD=∠DOC=∠BOC
（3）AD=CD=OD （4）△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合
5． 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一个点P （0，-3），那么经
过点P 的所有弦中最短的弦的长为 。
6． 如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？
B
A 第2题图 A
B
C
D M O 第3题图 第5题图 B 第4题图
O D B
C
A 【课后作业】
1. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.
2. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___
3. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.
4． 如图，⊙O 中，AB 是直径，弦CD ∥AB ，弧AC 的度数为50度，则∠COD=_____.
5． AB 是⊙O 的一条固定的直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆一点C 作弦
CD ⊥AB ，∠OCD 平分线交⊙O 于点P ，则点C 在上半圆移动时，（不包括A 、B ）点P （ ）
A ．到CD 的距离保持不变
B ．位置不变
C ．等分弧DB
D ．随C 点的移动而移动 6． “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”这
是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD
于 点 E ， CE =1寸，AB ＝10寸，则直径CD 长为 ( )
A . 12.5寸
B .13寸
C .25寸
D . 26寸
7． 如图是一位同学从照片上剪下来的日出画面，图上太阳与海平线交于A 、B 两点，他测
得图上的圆的半径为5cm ，AB ＝8cm ，若从目前太阳所处的位置到太阳完全跳出海面的
时间为16min ，则图上太阳升起的速度为 ( ) A . 0.4 cm /min B . 0.5 cm /min C .0.6 cm /min D . 0.7 cm /min
8． 在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，
求油的最大深度.
9． 如图，已知OA 、OB 为⊙O 的半径，OA ⊥OB ，弦AD 经过OB 的中点C ，⊙O 的半径为4cm ，
求AD 的长。
10． 设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，求AB 与CD 之间
的距离为（有两种情况）.
A B C D P O 第7题图
第8
题图 D 第9题图
第10题图