大一上学期高数期末考试
」、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
1.
设 f ( x) = cos x( x + |sin x ),则在x = 0处有(
)
(A ) f (°)=2 (B ) f (0)" (C ) f (°)=0 ( D ) f (x)不可导.
设a (x) = 1 x , p (x)=3 —3*x ，则当 X T 1 时(
2.
1 x
(A )〉(x)与-(x
)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
:
(X)与"X)是等价无穷小；
(C )'(X)是比-(x)
高阶的无穷小； 高阶的无穷小.
x
F (
x )二0 (
2t_x ) f
(t )dt ，其中
f(x)
在区间上(―“)二阶可导且
(B)
(D )
-
(x)
是比〉(X)
3.若
f (x)
，则( ).
(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值； (C) 函数F (x)在x 二0
处没有极值，但点(0,
F (0))
为曲线八F
(x)的
拐点；
(D )函数F
(x)在x=0处没有极值，点?
F(0))
也不是曲线y = F(
x) 的
拐点。
1
4
设 f (x)是连续函数，且
f (x) = x + 2 J 0 f (t)dt ,贝y f (x)=(
(A ) 2
( B )
二、填空题(本大题有 2
lim (1 3 x)sin x = x -0 2
—2
2
( C ) x-1 ( D )x 2.
4小题，每小题4分，共16分)
5. 已知
cosx
是f(x)的一个原函数， x 则 fg ^dx 二
x
lim — (cos2— cos2 - cos2匸丄)二n n n n n
1
2 2
x arcsin x 1 i d x = _ 1 J1 - x 2
8.
2
四、解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线 厂y(x) (x - °)，过点(°：)，且曲线上任 一点
M(x °,y °)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线
x=
x
°
所围
成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线目二ln x
的切线，该切线与曲线目二
ln x
及x
轴围成平面图形D.
(1)求D 的面积A ; (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转 体的
体积V .
六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)
16. 设函数
f(x)
在上连续且单调递减，证明对任意的
q ，
[0
，1
]
,
q
1
f (x ) d x - q f (x ) dx
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 确
定，求y(x)以及
9. 10. 11. 12.
13.
设函数厂y(x)由方程e x y
sinXy 扌
y (0)
1 - x 7
求 厂dx.
x(1 + x ) 一 〔xe 」, x 兰 0
x - x 2, 0 x _ 1
1
g(x) = j f (xt)dt 设函数
f(x)
连续，
，且
数.求g(x
)并讨论g(x
)在x=o 处的连续性.
1
y(1)： 求微分
方程xy 2y= xlnx 满足9的解.
设 f (x
)「2
1
3 f(x)dx .
呵号
3 A
, A 为常
J f(x)d x = 0 17.设函数f(x)在1上连续，且0
JI
f ( x) cosx dx = 0
0 .证明：在
0-内至少存在两个不同的点
x
F (x) = f f (x)dx
泊2，使f(J)=f(J)=0?(提示：设()0 ())
解答
一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
1、D
2、A
3、C
4、C
二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
6 丄(叱)2七巴 1
5. e.
6. 2 x .
7. 2.
8. 3
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)
9.解：方程两边求导
e x y(1 y ) cos(xy)(xy y) = 0 y e x y ycosQcy)
e x y xcos(xy)
x = 0, y = 0 y (0) = -1
10.解：u = x77x6dx=du
原式J SduJ (丄-丄)du
7 u(1 + u) 7 u u +1
=1
〒(ln |u| -2ln |u 1|) c
=1 2
ln | x71 In |1 x71 C 7 7
11.解：
f (x)dx xe^dx 2x - x2dx
-3 3 0
二；xd(-e「0 1 -(x-1)2dx
- _0 0 c
--xe - e ；亠1 cos2rdr(令x-1 二sin"
_2
兀3
2e -1
12.
解：
由f(0) =0，知g(0)=0。
1
xt
」f (u)du
g(x)二 f(xt)dt 二-
五、解答题（本大题10分）
15.解：（1）根据题意，先设切点为（x 0
，lnx 0
），切线方程：
1
y - ln X 。 （x - X 。）
X 。
(x = 0)
x
xf(x) - f(u)du g(x) A
x x
f(u)du
g (0) = lim 2 lim
gO)
f(x) A 7 x 7 2x 2
x
xf(x)-Jf(u)du
lim g (x) = lim ---- ° ---- = ^ —
,g （x ）在x = O 处连续。
史异y=lnx
13.解：dx x
2 2 dx dx
x
( e x
Inxdx C) 1
y =e
= -xln^-x Cx ， 3
1
y(1) ,C 9 9 1
1
=0 y xln x x
四、解答题（本大题10分）
x
14.解：由已知且八
2o
ydx
'y
， 将此方程关
于x 求导得 —2八 特征方程：r 2-r-2=0解出特征根:
片=_1, r 2 = 2.
x
2 x
其通解为y
=C -e
C 2
e
代入初始条件
y （0
^
y （0）=1
，得
故所求曲线方程为： 厂3「’
C 1 2x
詣，C 2
高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且 设 （A ）2 2x （B ）2 2 2 x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求
（本小题5分） t 2 设 x e 2^ st 确定了函数y y （x ）,求 dy . y e si nt dx （本小题5分） 求 x.、1 xdx . （本小题5分） （本小题5分） sin x , 2 dx. sin x (本小题5分) 设 x(t) e kt (3cos t 4sin t),求 dx . （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6 所确定，求史. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 (本小题5分) 求极限 H m (X 1)2 (2x 1)2 (3x 1)2 吃」 x (10x 1)(11x 1) (本小题5分) 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5 分） 求极限 lim x 2 （本小题5 分） (1 （本小题5 分） 3 X 3 12x 16 2x 3 9x 2 12x dx. 求极限 limarctan x x （本小题5分） arcsin 丄 求一^dx. 1 x (本小题5分) 求—x ,1 t 2 dt . dx 0 (本小题5分) 求 cot 6 x csc 4 xd x. （本小题5分） 1 2 x cos dx. 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 求函数 y 4 2x x 2的单调区间 Y
求 cos 空 dx. 1 sin xcosx 二、 解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 1、 （本小题7分） 某农场需建一个面积为 另三边需砌新石条围沿 2、 （本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、 解答下列各题 （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根. 512平方米的矩形的晒谷场， 一边可用原来的石条围 沿, ， 问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积. 8 一学期期末高数考试（ 答案） 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） 解:原式 lim 23x 12 - x 2 6x 18x 12 6x lim x 2 12x 18 2 2、(本小题3分) x 2 2 d x x ) d(1 x 2) "~L 2\ 2 (1 x ) 1 c. (1 丄 2 2 1 x 3、（本小题3分） 因为 arctanx 故 limarctan x x 4、 (本小题3分) x . dx 1 x 1x1, dx 1 x , dx dx 1 x x In 1 x 5、 (本小题3分) 1 而 limarcsin o 2 x x arcsin - o x C .
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
大一上学期高数期末考试 、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 设 f ( X )cos x (x sin x )，则在 x 0 处有( (A) f (0) 2 (B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x ? 则当 x 1 时( 2. 1 X (A) g 与 M 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小； (C) (X )是比(x)高阶的无穷小； (D) 无穷小? (A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在xo 处没有极值，但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点； (D) 函数F”)在xO 处没有极值，点(：F (o ))也干是曲 线YF(x)的拐点。4设f (x)是连续函数，且 "X ) 22 X X 、僅產题(本夫龊右4小题' 2 8. 斥曰 二 ' 解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共40分)exy sin(xy)1 9. 设函数y y (x)由方程确定，求y (x)以及y (0). 求I X 10. x(心 3?若F f(x) (X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且 )? (D) MX)不可导. ) (B) (X)与(X) (X )是比(x)高阶的 2of(t)dt,则 f(x)( (D)? 4分，共16分) 5. lim (1 3x)办 x0\ / 6. 已知沪空是f(X)的一个原函数 X I r COS X 则 7. lim n —(cos 2 — n n cos3 ) n 2 x arcsin x i dx x 2 1 V1 A 2
咼数期末考试 一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 2 .lim (1 + 3x)sin x = 1. x -0 _______________________________________ . 已知cosx 是f(x)的一个原函数， 则 2. x x 兀 2兀 2 2兀 2 n — 1 lim — (cos 2 — + cos 2 ——+||| + cos 2 兀)= 3. “世 n n n n ______________ . 1 2 2 x arcsin x 1 , dx 二 2 — 1 书1 一 X 4. _ 运 ______________________ . 二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 设口(x) = —x , P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时( ) 5. 1 x . (A) 〉(x)与-(x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B )〉(x)与］(x) 是等价无穷小； (C (X)是比-(x)高阶的无穷小； (D ) -(x) 是比〉(X)高阶的 无穷小. 6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有 ( A C ) ■ (D ) f(x) 不可导. x 7.若 F (x ) 二0( 2 —x ) f ( t ) dt ，其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且 f (x) ，则( ). (A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值； (C) 函数 F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点； (D) 函数F (x)在x=0处没有极值，点(0 ，F(0) )也不是曲线y 二F(x)的拐点。 1 设f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=( (A ) 2 解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 10. 设函数厂y (x) 由方程e x y - sin(x y)二1 确定，求y (x) 以及y (°). 1 - x 7 8. 2 —+2 (B ) 2 (C ) x 1 (D ) x 2. 9. 三
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
大一第一学期期末高等数学上试题及答案 Last revision on 21 December 2020
1、(本小题5分) 2、(本小题5分) 3、(本小题5分) 4、(本小题5分) 5、(本小题5分) 6、(本小题5分) （第七题删掉了） 8、(本小题5分) 9、(本小题5分) 10、(本小题5分) 11、(本小题5分) 12、(本小题5分) 13、(本小题5分) 14、(本小题5分) 15、(本小题5分) 16、(本小题5分) 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) 2、(本小题7分) 三、解答下列各题 ( 本大题6分 ) (答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 2、(本小题3分) 3、(本小题3分) 4、(本小题3分) 5、(本小题3分) 6、(本小题4分) 8、(本小题4分) 9、(本小题4分) 10、(本小题5分) 解： ) , (+∞ -∞ 函数定义域 11、(本小题5分) 12、(本小题6分) 解：dx x t dt ='() 13、(本小题6分)
14、(本小题6分) 解：定义域，且连续(),-∞+∞ 15、(本小题8分) 16、(本小题10分) 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分) 2、(本小题8分) 三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 ) 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1、.______)31(lim 2 0=+→x x x 。 2、当 时，?????>+≤=00 e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续． 3、设x x y ln +=,则______=dy dx 4、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 5、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ） A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1 ln +→x x B. )1(ln →x x C. ) 0(cosx →x D. )2(422→--x x x
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f （ ）(0)2f '= （ ）(0)1f '=（ ）(0)0f '= （ ）()f x 不可导 ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα （ ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ ）()()x x αβ与是等价无穷小； （ ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （ ）()x β是比()x α高阶的无穷小 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ） （ ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （ ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （ ）22x （ ）2 2 2x +（ ）1x - （ ）2x + 二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分） = +→x x x sin 2 ) 31(lim ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则
lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x 三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分） 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .d )1(17 7 x x x x ?+-求 ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数 求'()g x 并讨论 '()g x 在=0x 处的连续性 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解 四、 解答题（本大题 分） 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点 M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍 与该点纵坐标之和，求此曲线方程 五、解答题（本大题 分） 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形 求 的面积 ； 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案） 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =
②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =.
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的 无穷小. 5. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大一上学期高数期末 考试 欧阳光明（2021.03.07） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22 x （B ） 2 22x +（C ）1x -（D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 5. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则. 6. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ. 7. = -+? 2 1 2 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论m n a x b x --+ ++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δ内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
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第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ． 求? π+20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 Λ 16、(本小题5分)
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设）
解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
2018级大一上学期高数期末考试 2019级模拟题正在制作更多专业期末考试整理 关注微信公众号；我的大学不能迷茫） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的 无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
广东技术师范学院期末考试试卷A 卷 参考答案及评分标准 高等数学(上) 一、填空题(每小题3分，共30分) 1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．(3分) 2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )2(lim 0 4 ．(3分) 3．已知22lim e x x kx x =??? ??+∞→，则=k 1 ．(3分) 4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．(3分) 5．函数653 )(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．(3分) 6．如果???????>+=<=0,)1ln(0 ,0, sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．(3分) 7．函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：(3分) )10()!1(2!2221)(112 <<++++++=++θθn x n n n x n e x n x x x f ． 8．函数 )0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满 足拉格朗日中值公式的ξ=2b a +．(3分) 9．定积分()dx x x x 10 11sin ?-+的值为61．(3分) 10．设?+=C x F dx x f )()(，则?--dx e f e x x )(=C e F x +--)(．(3分) 二．计算题(要求有计算过程，每小题5分，共40分) 11．求极限11 3lim 21 -+--→x x x x ．(5分) 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------(3分)