隐圆问题
1.已知四边形ABCD 中,AB ∥CD,BC=6cm, AB=AC=AD=5cm,求BD=＿＿＿
思路分析：以A 为圆心,AB 为半径作圆,作直径BM,连DM,可证DM=BC=6,BM=10,BD=8
2.如图,在△ABC 内有一点D,且DA=DB=DC, 若∠DAB=20°,∠ACB= ＿＿＿ 思路分析：以D 为圆心,DA 为半径作圆,
∠ADB=1400
,∠ACB=700
.
3．(2013武汉）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF
交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ． 思路分析：先证AG ⊥BE ，则H 是⊙O 上一点，O 、D 、H 共线，DH 最小。
DH=15-
4.(2013武汉）．如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点， 若∠CED ＝x °，∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则?
DE 的长度是（ ） A ．
()90
90R
x -π B ．
()90
90R
y -π C ．
()180
180R
x -π D ．
()180
180R
y -π
思路分析：C 、D 、E
在⊙P 上
022y DCE DPE =∠=∠ 0)2180(y DBE -=∠
第16题图
H
G
F E D
C
B
A
E
P
A B
C
D
第10题图
F
E B
D
A
O
O /
C 故选B
5.如图,半径为4的⊙O 中,CD 为直径,弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点,点E 为⊙O 上一动点,CF ⊥AE 与点F.当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时,点F 所经过的路径长为( ). A π3π B.
2
3
π C.332π D.3
3π
答案:C 提示:点F 在⊙O /上运动,∠ACF=300,∠O /=600
,
6.在平面直角坐标系中,直线y=-x+ 6分别与x 轴、y 轴交与点A 、B 两点，点C 在y 轴左边，且∠ACB=90°，则点C 的横坐标ｘｃ的取值范围是________.
答案:3-32≦Xc <0
提示:隐圆问题,以AB 为直径作圆P. PC ⊥y 轴Xc 最小.
7.如图,铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇,∠QON=30°,公路PQ
上A 处距O 点240米,如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,呢么货车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时,A 处受噪音影响的时间为( )
A.12秒
B.16秒
C.20秒
D.24秒 答案:B
提示:以A 为圆心200为半径画圆,交MN 于CD,火车在CD 上行驶的时间即为所求.
8.在坐标系中,点A 的坐标为(3,0),点B 为y 轴正半轴上的一点,点C 时第一象限内一点,且AC=2,设tan ∠BOC=m,则m 的取值范围是_________. 答案:m ≥
2
5 提示:隐圆问题;OC 与⊙A 相切时,m 最小为
2
5
9.如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,将△ABC 沿DE 折叠,使底角顶点C 落在三角形三边的垂直平分线的交点O 处,若BE=BO,则∠ABC 的度数为( )
A.540
B.600
C.630
D.720
答案:C
隐圆最值问题 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是 __________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面
“隐圆”最值问题
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3，两顶点A 、B 分别在平面 直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法 教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______ 25 6 ____． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题
“圆”形毕露（二） 考纲要求： 江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题． 考点解读： 在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=?(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆. 小题热身 (1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 . (2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 . (3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 . (4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得 20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 . (5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 . 题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．05 6<-m m B m A ,若圆上存在点P , 使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ． 题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=?PB PA 确定隐形圆 例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上, 若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ． 题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆
隐形圆问题 一、确定动点轨迹是圆 【例题 1】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点 P 为圆C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A ，且 OA=OB ，∠APB=90°，l 不过点 C ，则 AB 的最小值为 【举一反三】 1、如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠ A=60°， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动 点，将△ AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A'MN,连接 A'C ，则 A'C 长度的最小值是 3、如图，已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点 （与点 A 、B 不重合 ）.直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B'.当PB=6时，在直 线 l 变化过程中，则 △ ACB '面积的最大值是 . 4、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC=8，P 、Q 分別是直线 BC 、AB 上的两个动点， AE ＝2， △AEQ 沿 EQ 翻折形成△ FEQ ，连接 PF 、PD ，则 PF+PD 的最小值是 2、如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90°，AC ＝6， 为边 BC 上的动点，将 △ CEF 沿直线 EF 翻折， 小值是 BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF ＝ 2，点 E 点 C 落在点 P 处，则点 P 到 边 AB 距离的最 第 2
二、定边对直角 知识回顾 :直径所对的圆周角是直角 构造思路 :一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义 : 【例题 1】已知正方形 ABCD 边长为 2，E 、F 分别是 BC 、CD 上的动点，且满足 BE ＝ CF ， 连接 AE 、 BF ，交点为 P 点，则 PC 的最小值为 【举一反三】 1、如图， E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE ＝DF ，连接 CF 交 BD 于 点 G ，连接 BE 交 AG 于点 H ，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 2、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点， 且满足 ∠PAB ＝∠ PBC ，则线段 CP 长的最小值是 若 AB 是一条定线段，且 ∠APB-90 °， 则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆
“与圆有关的最值问题”教学案例 余浩平 教学背景： 本节课是与圆有关的一节复习课，由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。 教学目标： 从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。 重点与难点： 学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。 教学过程： 一、 引入新课 练习： 已知圆0122822=+--+y x y x 内一点)0,3(A ，求经过点A 的最长弦和最短弦所在的直线方程。 二、 新课 例: 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4)，求圆上的动点与点P 连线斜率 的最值？ 题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为)4,0(P ，则圆上的动点与点P 连线斜率的 最值是否存在？若存在求出最值，若不存在，请说明理由。 讨论问题1： 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4) 试试看： 根据以上条件，你还能设计出哪些与圆有关的最值问题？ 讨论问题2： 已知圆的方程422=+y x 及一条直线05=--y x 试试看： 根据以上条件，你能设计出哪些与圆有关的最值问题？ 三、 练习 1、 从直线y=3上找一点,向圆1)2()2(22=+++y x 作切线，切线长度的最 小的值是多少？
2、 实数满足01422=+-+y y x ，求（1）x y 的取值范围。 （2）x y 2-的取值范围 四、 小结 最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结合的方法; 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值. 五、 思考题 过点M （3，0）作直线l 与圆1622=+y x ，交于A,B 两点， 求: 直线l 的倾斜角θ，使△AOB 面积最大，并求此最大值（O 为坐标原点）。
微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计 教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》 课型：复习课 设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。 一、教学内容分析 本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。爱因斯坦曾说:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法．通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题．同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养．因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力． 二、学习者特征分析 学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望．但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。 三、教学目标设计 本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。 四、教学重难点设计 基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：正余弦定理的应用，求最值的几种常见方法。
定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。 【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。 （线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。） 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置，计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
1.(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC 于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．2 41- 4 2.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（） 16 A．2 13-B．2 13+C．5 D． 9 3.(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．3 4- 2
隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点C 在y轴的左边，且/ ACB = 90 °贝U点C的横坐标xc的取值范围是_____________ . 分析：在构造圆的前提下考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-3辽乞X c ：：：O 【练】（2013-2014六中周练16）如图，已知Rt△ ABC中，/ ACB = 90 ° AC = 3, BC = 4，点D是AB的中点，E、F分别是直线AC、BC 上的动点，/ EDF = 90 °贝U EF长度的最小值是____________ . 分析：过D点作DE垂直AB交AC于点M可证△ FBDECD即可 F 求出最小值 【例2］如图，在Rt△ ABC中，/ ACB = 90 ° D是AC的中点， M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M是BD的中点），若AC = 4 , BC = 3,那么在旋转 过程中，线段CM长度的取值范围是__________________ . 分析：将线段AD绕A点任意旋转隐藏着以A为圆心AD为半径的圆构造出来。 接下来考虑重点M的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 【练］已知△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ ACB = / ADE =90 ° AC = 2 丁2 , AD = 1 , F 是BE 的中点，若将△ ADE 绕点A 4 -J3 4 +筋 旋转一周，则线段AF长度的取值范围是- 2 空AC乞 4 2 . 2 2 分析：同例题 【例3］如图，已知边长为2的等边△ ABC,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC,则OC 长的最大值是（ ） A . 2 B. 1 C. 1 + .3 D . 3分析：取AB中点M连接OM、CM。因为OM=1 , CM= 3，所以 OC=1 + 3 【练1］如图，在矩形ABCD中，AB = 2 , BC = ?. 3，两顶点A、B分别在平面 B < J ? 3 7 此题使用中位线。答案是尹X，7 A E C
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题 （瓜豆原理与隐形圆问题专题练习） 1.如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （ 2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______． 2. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________． 3. 如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值． 4. △ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于 O A B C D E F
点O ，则线段AO 的最大值为_____________． 5. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________． 6. 如图，已知点A 是第一象限内横坐标为的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________． 7. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B A B C D E O A
隐圆最值问题 教学目标：灵活运用圆的一些重要定理、圆中的基本图形解决隐圆中的最值问题． 教学重点难点：隐圆问题，三角形底边、顶角不变和外接圆相关问题（正弦定理模型） 【例1】在△ABC 中，∠ABC=60°，AC=6，求△ABC 面积的最大值． 分析：求面积最大值，AC 底边确定，只需找高的最大值，即B 到AC 的距离的最大值。 B 点在三角形ABC 的外接圆上运动。当三角形ABC 为等边三角形时高最大 11 622 ABC S AC BD =?=??= 【例2】如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E 、F 分别在CB 、AB 上，且AE ⊥CF 于G ，连BG ．则GB 的最小值是_______． A 分析：求GB 的最小值，B 点是定点，关键找出G 点的运动轨迹。G 点怎么来的呢？ AE ⊥CF 于G 点，即90AGC ∠=?。可得G 在以AC 为直径的圆上运动。取AC 的中点 O 连接OB 与圆O 的交点即为最小值时的 G 点。 22GB OB OG ∴=-= 【例3】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连 接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值 是 ． 第16题图 H G F E D C B A 分析： 推出 90AHB ∠=? 是关键。再回到上一题思路 总结：定弦定角的隐圆问题
【反馈练习】 1.如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB = 10，那么点O 到AB 的距离的最大值为__________． 2．如图正方形ABCD ，AB=10，E 、F 分别为CD 、AD 上动点，且始终有CE=DF ，连接CF 、BE 交于O 点，连接AO ，求△AOB 面积的最小值 F O E D C B A
隐圆、路径、最值问题 1. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E 为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为___ 2. 如图，在弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝3 2，若点P在优弧BAC上由B点向C点移动，设△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路程为m，则m的最大值为_________ 3. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E. F分别是边CD、AD上的动点，连接BE、CF交于点P，若始终保持CE=DF. ①线段BE和CF的关系是BE=CF，且BE⊥CF，说明理由；当点E从点C运动到点D时，求点P 运动的路径长； (2)在边长为6的等边三角形ABC中,点E. F分别是边AC、BC上的动点,连接AF、BE,交于点P,若始终保持AE=CF,当点E从点A运动到点C时,直接写出点P运动的路径长是_______.
4. 如图，RT⊿ABC中，AC＝BC＝2，P为边AC上的一动点，CQ⊥BP，垂足为Q点，则线段AQ长度的最小值是． 5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2 4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于E，则线段CE长度的最小值为______ 6. 如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求求OC的最大值与最小值． O y x A C B
7、如图，ABC ?中，4=BC ，?=∠45BAC ，以24为半径，过C B 、两点作O ⊙，连接OA ，则线段OA 的最大值为 8. 如图：△ABC 中，AB=2，BC=4，△ACD 是等边△，则△BCD 的面积的最大值是
B M C D A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是3722c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 4242AC -+≤≤ 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 分析：取AB 中点M 连接OM 、CM 。因为OM=1，3，所以 3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3，两顶点A 、B 分别在平面 直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值为_______3___．
教学内容隐圆问题 教学目标掌握隐圆的题型 重点隐圆 难点隐圆 教学过程 隐圆专题 1、几个点到某个定点距离相等可用圆 （定点为圆心，相等距离为半径） 例1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______ 练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
2、动点到定点距离保持不变的可用圆 （先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径） 例1：木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随 之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是 （ ） 练习： 1、如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=2，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 2、如图，在ABC ?中，32AB AC ==，，当B ∠最大时，BC 的长是( ) A ．1 B ．5 C ．13 D ．5 3、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，AC =2，以点C 为圆心，1为半径作圆，点P 为⊙C 上一动点，连结AP ，并绕点A 顺时针旋转90°得到AP ′，连结CP ′，则CP ′的取值范围是____________.
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________. 3、过定点做折叠的可用圆 （定点为圆心，对应点到定点的距离为半径） 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是． 练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB’F，连接B’D，则B’D的最小值是____________ 2、如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB 边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.
与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设 tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆 弧AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b +的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长 为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ． 3 B ．6 C D ． 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化. 三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最大值；
隐形圆模型的最值问题 【母题示例】 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________． 【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息． 【母题剖析】 先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可． 【母题解读】 隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决. 模型一直角模型 【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．
【基本图形】 基本 图形 BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明 以AB为直径的圆上 【核心突破】 1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( ) A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．3 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________． 模型二定角模型 【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计