第四十三讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

第四十三讲空间几何体的结构及其三视图和直观图班级________姓名________考号________日期________得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()

解析：选项A得到的是空心球；D得到的是球；选项C得到的是车轮内胎；B得到的是空心的环状几何体，故选C.

答案：C

2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是()

A．角的水平放置的直观图不一定是角

B．相等的角在直观图中仍然相等

C．相等的线段在直观图中仍然相等

D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等

解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.

答案：D

3．下图所示的四个几何体，其中判断正确的是()

A．(1)不是棱柱B．(2)是棱柱

C．(3)是圆台D．(4)是棱锥

解析：显然(1)符合棱柱的定义；(2)不符合；(3)中两底面不互相平行，故选D.

答案：D

4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()

A．①②B．①③

C．①④D．②④

解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，故选D.

答案：D

5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为()

A．2 B. 2

C．2 2 D．4

解析：设直观图中梯形的上底为x，下底为y，高为h.则原梯形的上底为x，下底为y，高为22h，故原梯形的面积为4，选D.

6．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()

A．2 2 B．2 3

C．4 D．2 5

解析：构造长方体，将棱BH构造为长方体的体对角线，由题意知BH的正视图的投影为CH，BH的侧视图的投影为BG，BH的俯视图投影为BD.

设AB＝x，AD＝y，AE＝h，

则由CH＝6?DC2＋DH2＝6?x2＋h2＝6，

又BH＝7?BC＝1，即y＝1.

BH侧视图的投影为BG＝y2＋h2，

BH俯视图的投影为BD＝x2＋y2，

∴y2＋h2＋x2＋y2≤2(y2＋h2)＋(x2＋y2)

2

＝4，

当x＝h时，取等号．

答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(只填写

解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，继续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.

答案：①②③

8．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．

解析：因为正方体的骰子共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，又与标有S的面相邻的面有四个，由图可知，这四个平面分别标有H、E、O、P四个字母，故能说明S的反面是D，翻转图②使P调整到正前面，S调整到正左面，则O为正下面，所以H的反面是O.

答案：O

9．有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，问它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？________.

解析：如图(1)三棱锥S—A′B′C′有四个暴露面，如图(2)四棱锥V—ABCD有五个暴露面，且它们的侧面都是完全相同的正三角形．

如图(3)当三棱锥S —A ′B ′C ′的底面A ′B ′C ′与四棱锥V —ABCD 的侧面A VD 完全重合后，四点S ，A ，B ，V 共面，同样四点S ，D ，C ，V 也共面，此时，新几何体共有5个面．

答案：5

10．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为13

2

，则第三条侧棱长的取值范围是________．

解析：如图1，四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝1，DA ＝DC ＝13

2

，只有棱长BD 是可以变动的．

设M 为AC 的中点，则MD ＝

????1322－????122＝3，MB ＝32

.但是要构成三棱锥，如图2所示，必须BD 1

32，BD 2＝3MB ＝33

2

， 即

32

2

. 答案：

???

?32，332

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步

骤．)

上底面、下底面、截面的相似比为S 1:S 2:

S.

设PO 2＝h ，O 1O 2＝x ， 则

S 1S ＝PO 2

PO

＝h h ＋x·

m

m ＋n

＝

h(m ＋n)

h(m ＋n)＋mx

，

S 2S

＝

PO 1

PO

＝h ＋x h ＋x·

m m ＋n ＝(h ＋x)(m ＋n)

h(m ＋n)＋mx

. ∴

n S 1

S

＋

m S 2

S

＝

nh(m ＋n)h(m ＋n)＋mx ＋m(h ＋x)(m ＋n)h(m ＋n)＋mx ＝(hn ＋hm ＋mx)(m ＋n)

h(m ＋n)＋mx

＝m ＋n ，

即S ＝

m S 2＋n S 1

m ＋n

.

当m ＝n 时，则S ＝

m S 1＋m S 2m ＋m ＝S 1＋S 2

2

.

评析：由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体，台体中一些几何量的计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体，利用锥体的一些性质解决台体问题，如利用平行于锥体底面的平面截锥体，则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的高的比的平方，截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截得的小锥体的高和原来锥体高的比的立方等．

13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．求这三个球的半径之比．

解：设正方体的棱长为a ，球的半径分别为R 1，R 2，R 3.球内切于正方体时，球的直径和正方体的棱长相等，如图1所示，AB ＝2R 1＝a ，所以R 1＝a

2；

球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD ＝2R 2＝2a ，所以R 2＝

2a 2

； 当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF ＝2R 3＝3a ，

所以R 3＝

3a

2

. 故三个球的半径之比为1:2: 3.

第四十四讲 空间几何体的表面积与体积

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )

A.1:2

B.1:3

C.1:4

D.1:5

解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a,b,c,则棱锥的体积V 1=

13

×

12

abc=

16

abc.长方体的体积V=abc,剩下的几何体的体积为V 2=abc-

156

6

abc =

abc,

所以V 1:V 2=1:5,故选D.

答案:D

2.如图,在多面体ABCDEF 中,已知四边形ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE ?△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为

( )

..3343.

.

3

2

A B C D 解析:如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥. 在梯形ABFE 中,易知

BN=

2

,

∴S △BCN =

12

BC·HN=

12

2

4

=

故该几何体体积为4

×1+2×113

4

2

3

=

?

?

选A.

答案:A

3.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是

( )

.4.2.3.6

A B C D +++

解析:该几何体为直三棱柱,其表面积为2×12

×1×1+2×12

选C.

答案:C

4.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED ?EC 向上折起,使A ?B 重合于点P,则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为

( )

..2728

24

A B C D 解析:由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体.

作PF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中点. 取EC中点G,连接DG?PG,

过球心O作OH⊥平面PEC.

则垂足H为△PEC的中心.

233

PF PH

===

∴OP=

4

3

PG PH

PF

?

==

∴外接球体积为

4

3

π×OP3=

4

3

×π

48

=.

答案:C

5.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为

( )

A.1+

b

a

且a+b>h

B.1+

b

a

且a+b

C.1+

a

b

且a+b>h

D.1+

a b

且a+b

解析:设酒瓶下底面面积为S,则酒的体积为Sa,酒瓶的体积为Sa+Sb,故体积之比为1+

,b a

显然有a

答案:B

6.(原创题)设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h 随时间t 变化的图象是( )

解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下大小相同,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,选项B 符合题意.故选B.

答案:B

二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是________cm 3.

解析:该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体. 其体积为23+12

×π×2=(8+π) cm 3.

答案:8+π

8.(精选考题·烟台检测)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V,E 是棱CC 1上一点,三棱锥E —ABC 的体积是V 1,则三棱锥E —A 1B 1C 1的体积是________.

解析:如图,过E 作AC ?BC 的平行线EF ?EG,分别与AA 1?BB 1交于F ?G,连接FG.

∵三棱锥E —ABC 的体积是V 1,∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V 1, ∴三棱柱EFG —C 1A 1B 1的体积是V-3V 1, ∵V E —A1B1C1=13V EFG —C1A1B1,

∴V E —A1B1C1=1

3 (V-3V 1)=3

V -V 1.

答案:

3

V -V 1

9.(精选考题·广州模拟)如图为一几何体的展开图,其中ABCD 是边长为6的正方

形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q及点P,D,C,R共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使P,Q,R,S四点重合,则需要________个这样的几何体,可以拼成一个棱长为6的正方体.

解析:由题意知,将该展开图沿虚线折叠起来以后,得到一个四棱锥P—ABCD(如图),其

中PD⊥平面ABCD,因此该四棱锥的体积V=1

3

×6×6×6=72,而棱长为6的正方体的体积

V=6×6×6=216,故需要216

3

72

个这样的几何体,才能拼成一个棱长为6的正方体.

答案:3

评析:几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容,通过折叠与展开问题,可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时,关键是弄清楚折叠与展开前后,位置关系和数量关系变化的情况,画出准确的图形解决问题.

10.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V=________.

解析:该几何体形状如图所示,是一个正方体与正四棱锥的组合体,正方体的体积是1,

正四棱锥的体积是

6

故该凸多面体的体积为16

+

.

答案:16

+

三?解答题:(本大题共3小题,11?12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.) 11.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.

分析:由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可. 解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示.

可知AA′=BB′=CC′=4 cm,正三角形ABC 和正三角形A′B′C′的高为

∴正三角形ABC 的边长为60

sin

∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×12

×42)(cm 2

),体积为V=S 底?

|AA′|=

12

×42 (cm 3).

故这个三棱柱的表面积为2,体积为 cm 3

.

评析:(1)注意:侧(左)视图中的数据为底面正三角形的高,不要误认为是正三角形的边长.(2)通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体,并给出相关数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何有机结合,这也体现了新课标的思想,应是高考的新动向,希望引起大家注意.

12.如图,在三角形ABC 中,若AC=3,BC=4,AB=5,以AB 所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.

解:如图所示,所得旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为AB=5.底面半径等于CO=

125

A C

B

C A B

,所以所得旋转体的表面积S=π·OC·(AC+BC)=π·

125

·(3+4)=

845

π;

其体积V=13·π·OC 2·AO+13

·π·OC 2·BO=

13

·π·OC 2·AB=

485

π.

评析:求一些组合体的表面积和体积时,首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成,再通过轴截面分析和解决问题.

13.在右图所示的几何体中,平面PAC⊥平面

若该几何体的侧视图(左视图)4

(1)求证:PA⊥BC;

(2)画出该几何体的正视图,并求其面积S; (3)求出多面体A —BMPC 的体积V.

解:(1)证明:AC=1,BC=2,AB=, ∴AC 2+BC 2=AB 2.

∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∴BC⊥平面PAC.又∵PA ?平面PAC,∴PA⊥BC. (2)设几何体的正视图如图所示:

∵PA=PC,取AC 的中点D,连接PD,则PD⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC, ∴PD⊥平面ABC. ∴几何体侧视图的面积=

12

AC·PD

=12

4

.

2

.易知△PAC 是边长为1的正三角形.

∴正视图的面积是上?下底边长分别为1和2,PD 的长为高的直角梯形的面积.

∴S=

122

2

4=

?+

(3)取PC 的中点N,连接AN,由△PAC 是边长为1的正三角形,可知AN⊥PC,由(1)知BC⊥平面PAC,

∴AN⊥BC,∴AN⊥平面PCBM. ∴AN 是四棱锥A —PCBM 的高,且

2

由BC⊥平面PAC,可知BC⊥PC.

由PM∥BC,可知四边形PCBM 是上?下底边长分别为1和2,PC 的长1为高的直角梯形. 其面积S′=32

,∴V=

13

4

新课标高一数学同步测试（2）—1.1空间几何体

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）

A ．圆锥

B ．正四棱锥

C ．正三棱锥

D ．正三棱台

2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）

A B C D 3．下列说法正确的是

（ ）

A ．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线

B ．梯形的直观图可能是平行四边形

C ．矩形的直观图可能是梯形

D ．正方形的直观图可能是平行四边形

4．如右图所示，该直观图表示的平面图形为（ ）

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．正三角形 5．下列几种说法正确的个数是（ ）

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等

②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 （ ）

A ．

4

6 B ．

4

3 C ．2

3 D ．2

6

7．哪个实例不是中心投影

（ ） A ．工程图纸 B ．小孔成像 C ．相片

D ．人的视觉 8．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是

（ ）

A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同

B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

D ．斜二测坐标系取的角可能是135°

9．下列几种关于投影的说法不正确的是

（ ）

A ．平行投影的投影线是互相平行的

B ．中心投影的投影线是互相垂直的影

C ．线段上的点在中心投影下仍然在线段上

D ．平行的直线在中心投影中不平行 10．说出下列三视图表示的几何体是

（ ）

A ．正六棱柱

B ．正六棱锥

C ．正六棱台

D ．正六边形

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．平行投影与中心投影之间的区别是_____________；

12．直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD

为 _ ____，面积为______cm 2．

13．等腰梯形ABCD ,上底边CD =1, 腰AD =CB =2 , 下底AB=3，按平行于上、下底边取

x 轴，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 14．如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平 行光线照射，其投影是一个最长的弦长为

5米的椭圆，则这个广告气球直径是 米．

高一数学下—1.3空间几何体的表面积与体积（答案）

一、选择题：

1．过正三棱柱底面一边的截面是

（ ）

A ．三角形

B ．三角形或梯形

C ．不是梯形的四边形

D ．梯形

2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是

（ ） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于

（ ） A ．

2

1 B ．1 C ．2

D ．3

4．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）

A ．26a

B ．12a 2

C ．18a 2

D ．24a 2

5．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，

AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积

（ ）

A ．

3

61a

B ．

3

6

3a

C ．

3

12

3a

D ．

3

121a

6．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（ ）

A ．21

B ．1

C ．2

D ．3

7．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ） A ．2：3：5 B ．2：3：4 C ．3：5：8 D ．4：6：9

8．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的削球，如果不计损耗，可

铸成这样的小球的个数为

（ ） A ．5 B ．15

C ．25

D ．125

9．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为

（ ）

A ．

2

π

B ．

6

π

C ．4

π

D ．3

π

10．中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为（ ）

A ．11：8

B ．3：8

C ．8：3

D ．13：

8

二、填空题：

11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q Q 12，，直平行六面体的侧面积

为_____________．

12．正六棱锥的高为4cm ，最长的对角线为34cm ，则它的侧面积为_________． 13．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍． 14．已知正三棱锥的侧面积为183 cm 2

,高为3cm. 求它的体积 ． 三、解答题：

15．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱． 已知：等边圆柱的底面半径为r ，求：全面积； ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.

已知：等边圆锥底面半径为r ，求：全面积．

16．四边形A B C D A B C D ，，，，(,)(,)(,)(,)00102103，绕y 轴旋转一周，求所得 旋转体的体积．

17．如图，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h h h 113

，=,若将圆锥倒置后，

圆锥内水面高为h h 22

，求.

18．如图，三棱柱 A B C A B C P A A -''''中，为上一点，求 V V P B B C C A B C A B C -''-''':．

19．如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底

面边长为b ，大底面边长为a

，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个