§11．9离散型随机变量的均值与方差
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值与
方差的概念．
2．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．
本节内容在高考中常以大题的某一小问出现，与概率、统计结合是常见考试形式，小题偶尔也会出现，但总体上难度不大，熟记公式，认真分析，准确计算即可．
1．离散型随机变量的均值
(1)若离散型随机变量X的概率分布列为
X x1x2…x i…x n
P p1p2…p i…p n
则称E(X)＝______________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的____________．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(Y)＝____________________．
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝____________；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝____________．
2．离散型随机变量的方差
(1)若离散型随机变量X的概率分布列为
X x1x2…x i…x n
P p1p2…p i…p n
则称D(X)＝为随机变量X的方差，其算术平方根________为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝____________．
(3)①若X服从两点分布，则D(X)＝____________；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝____________．
方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度：D(X)越小，X
取值越集中，D
(X)越大，X
取值越分散．
【自查自纠】
1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n平均水平
(2)aE(X)＋b(3)①p②np
2．(1)∑
i＝1
n
(x i－E(X))2p i D（X）
(2)a2D(X)(3)①p(1－p)②np(1－p)
(2013·温州五校联考)已知随机变量X的分布列如下表，则E(X)＝()
X 0
1 3
P 0．20．2y
A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2
解：由0．2＋0．2＋y＝1得y＝0．
6，从而计算得X的期望为2．故选D．
有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则D(ξ)＝()
A．
3
16B．
4
9C．
9
16D．
3
4解：由题知，次品率p＝
4
16＝
1
4，则
D(ξ)＝3×
1
4×?
?
?
?
1－
1
4＝
9
16．故选C．
(2012·济南模拟)已知X的分布列为
X －10 1
P
1
2
1
3
1
6
且
Y＝aX＋3，E(Y)＝
7
3，则a的值为() A．1 B．2 C．3 D．4
解：E(X)＝－1×
1
2＋0×
1
3＋1×
1
6＝－
1
3，E(Y)＝E(aX ＋3)＝aE(X)＋3＝－
1
3a＋3＝
7
3，∴a＝2．故选B．(2013·广州综合测试)甲、乙两工人在一天生产中加工出的废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为
ξ012 3
P 0．40．30．20．1
η01 2
P 0．30．50．2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是____________．
解：计算得E(ξ)＝1，E(η)＝0．9，即甲加工出的废品数的均值较多，故填乙．
(2013·
宁波质检)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该
毕业生得到甲公司面试的概率为2
3
，得到乙、丙两公司
面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X
＝0)＝1
12
，则D (X )＝____________．
解：由题意知，13×()1－p 2＝112，得p ＝1
2，所以 P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12＋13×12×12＝1
3，
P (X ＝2)＝23×12×12＋23×12×12＋13×12×12＝5
12，
P (X ＝3)＝23×12×12＝1
6，
因此E (X )＝53，所以D (X )＝112×
????0－532＋13×???
?1－532
＋512×????2－532＋16×????3－532＝1318，故填13
18
．
类型一 摸球模型、抽签模型
一口袋中装有大小相同的2个白球和4
个黑球，每次从袋中任意摸出一个球．
(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差．
解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次
摸出一球是白球的概率为P ＝26＝1
3
．
记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A ，其概率
为P (A )＝4
9
．
(2)设摸得白球的个数为X ，则X 的取值为0，1，2，
P (X ＝0)＝46×35＝2
5
，
P (X ＝1)＝46×25＋26×45＝8
15，
P (X ＝2)＝26×15＝1
15
．
∴X 的分布列为
X 0 1 2
P 25 815 115 E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝2
3
，
D (X )＝????0
－232
×25＋????1－232×815＋????2－232×115
＝
16
45
． 【评析】求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率．就本题而言，弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键．均值与方差直接套用公式计算即可．
一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则如下：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，共抽查三次，若三次都没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，若抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
(1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为X ，求X 的分布列和均值． 解：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ，
P (A )＝8×7×610×9×8＝7
15
．
即这箱产品被用户接收的概率为7
15
．
(2)X 的可能取值为1，2，3．
P (X ＝1)＝210＝1
5，
P (X ＝2)＝810×29＝8
45
，
P (X ＝3)＝810×79×
????68＋28＝28
45
， ∴X 的概率分布列为
X
1
2 3 P 15
8
45 2845
∴E (X )＝15×1＋845×2＋2845×3＝109
45
．
类型二 停止型问题
某地区试行高考考试改革：在高三学年
中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某
学生每次通过测试的概率都是1
3
，每次测试通过与否相
互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
(1)求该学生获得足够学分升上大学的概率； (2)如果获得足够学分升上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求变量X 的分布列及均值E (X )．
解：(1)记“该生考上大学”为事件A ，其对立事件
为A ，则P (A )＝C 14????13????233
????23＋????234＝64243＋1681＝112243
．
∴P (A )＝1－P (A )＝1－112243＝131
243
．
(2)该生参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5．
P (X ＝2)＝????132
＝1
9，
P (X ＝3)＝C 12×13×23×13＝427
， P (X ＝4)＝C 13????13????232
????13＋????234＝427＋1681＝2881
，
P (X ＝5)＝C 14????13????233
????13＋23＝3281
． 故X 的分布列为 X 2 3
4
5
P
19
4
27 2881 3281
∴E (X )＝2×19＋3×427＋4×2881＋5×3281＝326
81
．
【评析】达到要求即合格，终止后续测试．解决这类终止型问题，一定要弄清楚终止的条件，根据终止条件确定各种可能结果，再计算相应概率．
甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为
止，已知甲每次投中的概率为0．4，乙每次投中的概率为0．6，各次投篮互不影响．设甲投篮的次数为X ，若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求X 的概率分布和均值．
解：因为乙先投，且次数之和不超过4次，所以甲的投篮次数X 的取值为0，1，2．
由于乙先投，若乙第一次就投中，则甲就不再投， ∴P (X ＝0)＝0．6．
当X ＝1时，它包含两种情况．
第一种：甲第1次投中，这种情况的概率为 P 1＝0．4×0．4＝0．16．
第二种：甲第1次未投中，乙第2次投中，这种情况的概率为P 2＝0．4×0．6×0．6＝0．144，
∴P (X ＝1)＝P 1＋P 2＝0．304． 当X ＝2时，投篮终止， ∴P (X ＝2)＝0．4×0．6×0．4＝0．096． ∴X 的概率分布为
X 0 1
2 P
0．6
0．304
0．096
∴E (X )＝0×0．6＋1×0．304＋2×0．096＝0．496．
类型三 二项分布的均值与方差
(2013·
福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为2
5
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：(1)由已知得：小明中奖的概率为2
3
，小红中
奖的概率为2
5
，两人中奖与否互不影响，记“这2人的
累计得分X ≤3”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“X ＝5”，
∵P (X ＝5)＝23×25＝4
15
，
∴P (A )＝1－P (X ＝5)＝11
15
．
∴这两人的累计得分X ≤3的概率为11
15
．
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．
由已知：X 1～B ????2，23，X 2～B ????2，25， ∴E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝4
5
，
∴E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝12
5
，
∵E (2X
1)>E (3X 2)，
∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
【评析】n 次独立重复试验是重要的模型，要牢记公式：当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝npq ，其中q ＝1－p ．同时要掌握期望与方差的重要性质：E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝ a 2D (X )．
已知甲盒中装有1，2，3，4，5号大小
相同的小球各一个，乙盒中装有3，4，5，6，7号大小相同的小球各一个，现从甲、乙盒中各摸一小球(看完号码后放回)，记其号码分别为x ，y ，如果x ＋y 是3的倍数，则称摸球人为“好运人”．
(1)求某人能成为“好运人”的概率；
(2)如果有4人参与摸球，记能成为“好运人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列(只需写出概率的式子)及均值．
解：(1)设某人能成为“好运人”的事件为A ，则基本事件数为5×5＝25．而x ＋y 是3的倍数的情况有1＋5，2＋4，2＋7，3＋3，3＋6，4＋5，5＋4，5＋7，
共8种情况．∴P (A )＝8
25．
(2)X ～B ???
?4，8
25，∴X 的分布列为 P (X ＝k )＝C k 4????825k ????17254－k
，k ＝0，1，2，3，4．
E (X )＝4×825＝32
25
．
类型四 综合运用
(2013·
成都二诊)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如下所示：
试根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求全班的学生人数及分数在[70，80)之间的频数；
(2)为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80)，[80，90)和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80)分数段的人数X 的分布列和数学期望．
解：(1)由茎叶图可知，分数在[50，60)上的频数为4，频率为0．008×10＝0．08，故全班的学生人数
为40.08
＝50． 分数在[70，80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20．
(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．又[70，80)，[80，90)和[90，100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70，80)之间的有5人，分数在[80，90)之间的有2人，分数在[90，100]之间的有1人．
从中任取3人，共有C 38＝56种不同的结果．
被抽中的成绩位于[70，80)分数段的学生人数X 的可能取值为0，1，2，3．对应的概率分别是：
P (X ＝0)＝C 3356＝156，P (X ＝1)＝C 15C 2
3
56＝1556，
P (X ＝2)＝C 25C 1
356＝3056＝1528，P (X ＝3)＝C 3556＝10
56＝528
．
∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P
156
1556
1528
528
∴X 的数学期望为
E (X )＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝10556＝15
8．
【评析】①第(1)问用茎叶图与频率分布直方图的概念性质直接求解；第(2)问再结合分层抽样的概念即将问题转化为普通的分布列问题．②本例考查了茎叶图、频率分布直方图、抽样方法、古典概型、离散型
随机变量的期望等，是概率统计知识的“大阅兵”，精彩非常．考查离散型随机变量的分布列与期望的题目大多与实际生活结合紧密，且能综合考查学生的多项能力，因此像本例这样信息量大、综合性强、创新味足的题目，在今后的高考中极有可能越来越多，越来越新．
(2013·
黄冈部分学校调考)某地农民种植蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，蔬菜产量、价
格受天气、市场影响．预计明年雨水正常的概率为2
3
，
雨水不正常的概率为1
3
．若雨水正常，蔬菜每亩年产量
为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为1
4
，单价为3
元/公斤的概率为3
4
；若雨水不正常，蔬菜每亩年产量
为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为2
3
，单价为3
元/公斤的概率为1
3
．
(1)计算明年农民种植蔬菜不亏本的概率； (2)在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的产销模式，某公司为了不增加农民生产成本，决定给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，预计每亩产量为2500公斤，农民生产的蔬菜全部由公司收购，为保证农民每亩预期收入增加不少于1000元，收购价格至少为多少？
解：(1)只有当价格为6元/公斤时，农民种植蔬菜
才不亏本，所以农民种植蔬菜不亏本的概率是P ＝23×
1
4
＋13×23＝718
． (2)按原来模式种植，设农民种植蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ的可能取值为：5000，2000，－1000，-2500．
P (ξ＝5000)＝23×14＝1
6，
P (ξ＝2000)＝13×23＝2
9，
P (ξ＝－1000)＝23×34＝1
2，
P (ξ＝－2500)＝13×13＝1
9．
E (ξ)＝5000×16＋2000×29－1000×12－2500×1
9
＝500．
设收购价格为a 元/公斤，农民每亩预期收入增加不少于1000元，则2500a ≥7000＋1500，即a ≥3．4，所以收购价格至少为3．4元/公斤．
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ
∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中 的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质： 若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-
课下作业（一） 集 合 一、选择题 1．(2010年陕西卷)(理)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(?R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2} 解析：选D.A ∩(?R B )＝[－1,2]∩[1，＋∞)＝[1,2]，选D. 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B A ，则实数m 的取值集合M 是( ) A ．{－12，0，13 } B ．{0,1} C ．{－12，13 } D ．{0} 解析：选A.由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3， ∴A ＝{2，－3}． 又∵B A ，∴当m ＝0时，B ＝?，满足条件； 当m ≠0时，B ＝{－1m }，∴－1m ＝2或－1m ＝－3， 即m ＝－12或m ＝13 . 3．(2010年广东卷)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和?如下： 那么d ?(a ⊕c )＝( ) A ．a B ．b C ．c D ．d 解析：选A.由图表可知a ⊕c ＝c ，d ?(a ⊕c )＝d ?c ＝a ，故选A. 4．(2011届东北师大附中模拟)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2 ＞4}，N ＝{x |x ≥3或x ＜1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A ．{x |－2≤x ＜1} B ．{x |－2≤x ≤2} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |x ＜2} 解析：选A.图中阴影部分表示N ∩(?U M )， ∵M ＝{x |x 2 ＞4}＝{x |x ＞2或x ＜－2} ∴?U M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴N ∩(?U M )＝{x |－2≤x ＜1}． 5．(2012年金榜预测)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －4)≤0}，集合B ＝{x |m －1≤x ≤3m －2}，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．{m |m ≤－2} B ．{m |12≤m ≤2} C ．{m |m ≤2} D ．{m |m ≥2} 解析：选C.A ＝{x |－3≤x ≤4}，由A ∩B ＝B ，得B ?A ， ①若B ≠?， 结合数轴得????? m －1≥－3m －1≤3m －2 3m －2≤4?????? m ≥－2m ≥12m ≤2?12≤m ≤2. ②若B ＝?，A ∩B ＝B 一定成立，此时，m －1＞3m －2，即m ＜12. 由①和②得实数m 的取值范围为{m |m ≤2}． 二、填空题 6．(2010年江苏卷)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2 ＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解析：因为A ∩B ＝{3}，所以当a 2＋4＝3时，a 2＝－1无意义．当a ＋2＝3，即a ＝1时，B ＝{3,5}，此时A ∩B ＝{3}．故a ＝1. 答案：1 7．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x 、y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．但本题要注意列举法的规范书写． 答案：{(0,1)，(－1,2)} 8．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A ，且k ＋1?A ，那么称k 是A
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、 解决问题的能力
四、目标分析 1知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。 五、教学重点与难点 教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。 六、教学过程设计：
题组层级快练(八十八) 1．不等式x 2－|x|－2<0(x ∈R )的解集是( ) A ．{x|－2 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答 案无效 普通高等学校招生全国统一考试 19、（本小题满分12 分） 数学答题卡 姓名_______________________________ 准考证号 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右 边的缺考标记． 条形码粘贴 处 填涂样正确填涂 错误填涂 注 意 事 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚， 并认真检 查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5 毫 米黑色签字 笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答 题区域书 例项 √×○ 写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。● 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 18、（本小题满分12 分） 一、选择题（每小题 5 分，共60 分） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 11 A B C D 7 A B C D 4 A B C D 12 A B C D 8 A B C D 二、填空题（每小题 5 分，共20 分） 13、____________________ 14、____________________ 15、____________________ 16、____________________ 三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12 分） 20、（本小题满分12 分）21、（本小题满分12 分）选做题（本小题满分10 分） 请考生从给出的22、23、24 三题中任选一题作答，并用2B 铅笔 在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致， 如果多做，则按所做的第一题计分。 我所选择的题号是[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 §2.3.1 离散型随机变量的均值 教学目标 （1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； （2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景： 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不 合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 2．问题： 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．学生活动 1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率 比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三．建构数学 1．定义 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值． 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ． 2．性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数） 四．数学运用 1．例题： 例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望． 分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的 个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ． 从而 2584807585503800700425 ()012345 1.66672375123751237512375123751237513 E X =? +?+?+?+?+?=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667． 说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0 ()r n r n M N M n r N r C C M E X n C N --===∑ ． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品 率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望 ()E X ． 解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ， 1010()(1),0,1,2, (10) k k k P X k p C p p k -===-= 年普通高等学校招生考试模拟试题 数学试题答题卡 座号 ________________________ 准考证号 考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右 边的缺考标记． 填 涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 正确填涂 错误填涂 √ × ○ ● 一、选择题（每小题5分，共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A C D B 7 A C D B 8 A C D B 9 A C D B 10 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13、______ ___ __ ___ 14、_______ _______ 15、______ __ ______ 16、 二、填空题（每小题5分，共20分） 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） A C D B 11 A C D B 12 考 生 条 形 码 粘 贴 处 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18、（本小题满分12分） 19、（本小题满分12分） 17、（本小题满分10分） 班级 姓名 考场号 座位号 …………………………………………密…………………………………封………………………………………… 2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于 0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义 织金二中2014届高三模拟考试 数学（理）试题答题卡 姓 名 ________________________ 准考证号 考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右 边的缺考标记． 填 涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并 认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑 色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 正确填涂 错误填涂 √ × ○ ● 一、选择题（每小题5分，共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A C D B 7 A C D B 8 A C D B 9 A C D B 10 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13、___________________ 14、_________________ 15、___________________ 16、_________________ 二、填空题（每小题5分，共20分） 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A C D B 11 A C D B 12 考 生 条 形 码 粘 贴 处 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18、（本小题满分12分） 19、（本小题满分12分） 17、（本小题满分12分） 学校 姓名 考场号 座位号 …………………………………………密…………………………………封………………………………………… A B C A 1 B 1 C 1 D E 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 频率/组距 需求量/t 离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案） 一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =． 考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验. 【题型】选择题 【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ） 高考数学重点全归纳 立体几何 线、面位置关系的证明，常出现在解答题第一小问，特别注意逻辑推理的严密性和书写的规范性。 求解与体积相关的问题，注重体积之间的转化，常用等体积法、割补法：空间角的考查，主要要求学生会用法向量和相关夹角公式进行计算。 数列 高考中有關数列的试题经常是综合题，常把数列知识与指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来考查。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。 数列求和是数列知识的综合体现。常见的求和方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、数学归纳法等。 三角函数 易错点梳理：（1）没有挖掘题目中的隐含条件而造成增、漏解现象。（2）对正余弦函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。（3）在利用三角函数的图象变换中，将周期变换和相位变换搞混淆。 综合运用：（1）解三角形的问题通常会与向量结合，并利用正余弦定理进行边角转换。（2）熟练掌握三角函数的图象及性质，突出数形结合思想。 概率统计 利用统计思想研究问题，一般过程是通过采取样本、建立统计模型、分析统计数据、作出合理判断，形成尽可能准确的结论。 概率思想是通过对随机现象的观察研究发现必然，去研究隐藏在随机现象背后的统计规律，进而理解随机现象。 高考的考查重点是利用统计与概率思想解决实际应用问题。考点一：概率、决策建议：考点二：二项分布;考点三：超几何分布;考点四：正态分布：考点五：统计图表;考点六：线性回归方程;考点七：独立性检验。 解析几何 解析几何的灵魂是用代数方法研究几何问题，综合性强，运算量大，题目灵活多变。 综合运用：遇到直线与圆锥曲线的位置关系的时候，常常会联立得到方程组，进而利用韦达定理求解。（1）定值、定点问题，先用变量表示所需证明的不变量，然后通过已知条件，消去变量，得到定值、定点。（2）最值与范围，选好合适变量（比如：斜率、点），建立目标函数和不等式求最值、范围。代数法常见有二次配方、基本不等式、导数等。 数学试题答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域 的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区 域的答案无效 19、（本小题满分12 分） 姓名________________________ 准考证号 考生条形码粘贴处 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右 边的缺考标记． 填涂样例正确填涂 错误填涂 √×○ 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清 楚，并 认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用 0.5 毫米黑 色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 ●4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 18、（本小题满分12 分） 一、选择题（每小题 5 分，共60 分） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 11 A B C D 7 A B C D 4 A B C D 12 A B C D 8 A B C D 二、填空题（每小题 5 分，共20 分） 13、______ ___ __ ___ 14、_______ _______ 15、______ __ ______ 16、 三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1离散型随机变量的均值 阅读教材P60～P61例1，完成下列问题． 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： 则称E(＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量 2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 1．下列说法正确的有________．(填序号) ①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平； ③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝ x 1＋x 2＋…＋x n n . 【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 【答案】 ③ 2．已知离散型随机变量X 的分布列为： 则X 的数学期望E (【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3 2. 【答案】 3 2 3．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35 教材整理2 两点分布与二项分布的均值 阅读教材P 62～P 63，完成下列问题． 1．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．随机变量的均值与样本平均值的关系 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值． 1．若随机变量X 服从二项分布B ? ? ???4，13，则E (X )的值为________. 【导学号：29472067】高中数学知识点总结(精华版)
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