第6章自旋与全同粒子
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点
一．实验事实
1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：
现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，设
沿Z方向
如
在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说
明是空间量子化的，只有两个取向
，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具
有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。
2．碱原子光谱的双线结构
如钠原子光谱中一条很亮的黄线
，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它
是由很靠近的两条谱线组成
3．反常塞曼(Zeeman)效应
1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设
1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值
2．每个电子具有自旋磁矩
，它和自旋角动量S的关系是
1
2
为玻尔磁子
这个比值称为电子自旋的回转磁比率
.
轨道运动的回转磁比率是
三．电子自旋的特点
乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。
特点：
1． 电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。
2． 电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为
，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。
3． 电子自旋值是
， 而不是
的整数倍。
4．
， 而
两者在差一倍。
自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
一．自旋角动量算符
在空间任意方向上的投影只能取值
（由实验所得假设）
本征值都是
,
叫自旋量子数
引入一新算符
,
由
相加
定义反对易
重要关系式
二．自旋函数与泡利矩阵
考虑到电子具有一新的自由度：自旋角动量，电子的波函数
是
（自旋向上
），位置在r处的几率密度.
3
4
是
（自旋向下
）, 位置在r处的几率密度.
自旋向上的几率, 自旋向下的几率
.
归一化条件
自旋算符应是
矩阵
,
,
是厄密算符
设
为实数, ,
由
取
泡利矩阵
这是
在
表象中的表示，在
表象中，本征函数
,
当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。
和
对
的依
赖关系是一样的。
叫自旋函数，自旋算符仅对波函数中的
有作用。
5
自旋与轨道运动无相互作用
自旋算符
为
矩阵，自旋算符任一函数
也是
矩阵
算符
在态
中对自旋平均为：
对坐标的自旋同时平均
§6.3 简单塞曼效应
氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，（自旋与轨道相互作用忽略）由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。
取
沿方向
体系定态薛定谔方程
或
6
无磁场时，
对氢
对碱金属
有外磁场时：
取
即
仍是两方程的解。
时
同样
时
原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与有关。当原子处
于态，
，原来的能级
分裂为两个，正如斯特恩－革拉赫实验中所观测到的。
由选择定则
简单塞曼效应：在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。
复杂塞曼效应：外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。§6.4 两个角动量的耦合
一．角动量的对易关系
粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。
设
为体系的的两个角动量算符
7
8
相互独立.
分量都对易
体系的总角动量
[证明]：
即
同样有
还有
注意:
二．无耦合表象和耦合表象
相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系，
9
以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。 另一方面, {
} 也相互对易,他们有共同本征矢
以
为基矢的表象称为耦合表象，
两表象之间的关系
:克来布希－高登(Clebsch-Gordon)系数
三． 总角动量的取值范围 1．
的最大值 : 最大值为
最大值为
最大值为
又
2．
的最小值 对
, 给定.
: 个取值 对
,
给定
:
个取值
,
固定有
个
是各种
的线性叠加
确定时，
的数目也是
，对应不同的
对一个
，有
个值：
。
的数目可以表示为
利用等差级数求和公式
又
代入方程
§6.5 光谱的精细结构
由于自旋与轨道角动量的耦合，使原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，这就产生了光谱线精细结构。
1．不考虑自旋时，无外场
本征函数
，本征值
度简并
2．考虑自旋的存在，但不考虑轨道角动量
与自旋角动量
耦合
相互对易，它们有共同的本征函数，
10
11
即考虑自旋后，电子的波函数由
四个量子数确定。
只与 有关，
有两个取值， 这时能级
是
度简并
引入总角动量算符:
相互对易，它们的共同本征函数
3． 考虑自旋和轨道运动之间的耦合 相互作用量：
.
无共同本征函数，即
的本征函数，不再是
的本征函数，这时
:
如何描述
由于存在耦合项
,
电子态不能用量子数
描写，或者设
现在不是好量子数，不是守恒量。
又:
即
有共同的本征函数
是守恒的好量子数，
的能量本征函数
怎么表示
将
看成微扰，用简并情况下的微扰理论求
求出
为
的本征值
在耦合表象中是对角化的
上式
12
即
，在耦合表象中是对角化的，对角元
即为能量一级修正
自旋轨道间的耦合使原来简并的能级分裂开
只与有关，
度简并
考虑一级修正后
，与
有关，
度简并
给定后，
即具有相同的量子数
的能级有两个，它们之间的差别很小。
§6.6 全同粒子的特性
一．全同粒子
质量，电子，自旋等固有性质完全的微观粒子为全同粒子。所以电子都是全同粒子，所以质子都是全同粒子。
在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中，都有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。
在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播中总会出现重叠，在重叠部分，无法区分哪是第一个粒子，哪是第二个粒子。
二．全同性原理：量子力学的一个基本假设
两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。即全同粒子的不可区分性。
三．全同粒子系统的特性
1．全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
设一由
个全同粒子组成的体系，
表示第
个粒子的坐标和自旋
。体系的哈密顿量为
则:
2．全同粒子的波函数有确定的交换对称性
交换算符
表示将第
个粒子和第
个粒子相互交换
13
由薛定谔方程：
将交换算符
作用于薛定谔方程
即：
即若
是薛定谔方程的解，则
也是薛定谔方程解。
由全同性原理，
与
应描写同一状态，因而它们之间只相差一常数因子
, 是守恒量，本征值为
对称函数
反对称函数
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。
[ 证] 设时刻体系波函数
是对称的，因为
对称
在时刻也对称；由
, 在时刻也对称,在下一时刻波函数为
，也是对称函数。以此类推，在以后任何时刻波函数都是对称的。同样如果在某一时刻波函数是反对称的，以后任何时刻波函数都是反对称的。
3．玻色子和费米子
实验证明，由电子，质子，中子这些自旋为
的粒子以及自旋为
的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子，由光子（自旋为
）以及其它自旋为零，或
整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)－爱因斯坦统计，称为玻色子。
14
§6.7 全同粒子体系的波函数一．两个全同粒子体系的波函数
无相互作用时
与
形式是相同的
设
分别表示
的本征值和本征函数
设
，
为
的本征函数
即
同样
也是能量本征值为
的本征函数，这叫交换简并。
是不是全同粒子的波函数？
如
对称函数
如
不对称
为此我们构成对称的或反对称的函数，它应是
的组合
对称函数：
反对称函数：
都是
的本征函数，本征值为
如
是归一化的波函数
即
15
同样
因此归一化的对称，反对称的波函数为
二． N个全同粒子的体系
粒子间无相互作用，
设本征值为
的
的本征函数为
, 则
设
无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符，其本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程：
对玻色子组成的全同粒子体系，体系波函数是对称的
P表示N 个粒子在波函数中的某一种排列
是处于
态的粒子数，
16
对费米子组成的全同粒子体系，体系的波函数是反对称的
三．泡利不相容原理
对费米子组成的全同粒子体系，如有两个单粒子态相同，比如第i个粒子和第j个粒子处于同一态。
又
应是反对称函数
必有
从行列式看，两个单粒子态相同，就是行列式中两行相同，行列式为零。这表示不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。
注意：泡利不相容原理不是什么新的原理。它实质上是全同性原理的体现，是全同费米子体系具有交换反对称性的必然推论，全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用费米子，而且适用于玻色子。
四．自旋的影响
考虑到粒子的自旋，体系波函数可写成坐标与自旋函数之积，
对费米子，
例：设有三个全同粒子，可以用指标
表示三个不同单粒子态，写出全同粒子对应的对称
态波函数和反对称态函数。
[解] ①
②
③
17
反对称
§6.8 两个电子的自旋函数
如无自旋时相互作用，
对称函数
不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数，
定义总的自旋角动量
下面求
的本征值
同理
18
同样
两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。
两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。
两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴分量平行。
两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。
第六章小结
一．自旋
1．自旋的引入
电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。
实验事实：
①原子的精细结构②塞曼效应③斯特恩－盖拉赫实验
假设：①
（任意方向）②
2．自旋特性
①内禀属性②量子特性，不能表示为
③满足角动量的一般对易关系，
3．自旋算符与泡利算符
自旋算符的对易关系
，
19
泡利算符对易关系
4．电子自旋态矢量与泡利矩阵
共同本征函数
,
在
表象中(泡利表象）
可表示为
矩阵：
在泡利表象，任一自旋态为
既有自旋运动又有电子空间运动，
自旋与轨道无相互作用5．两个电子体系的自旋函数
, , ,
二．两个角动量的耦合
两独立角动量:
总角动量:
总角动量的基本关系
:
20
第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S
它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电
子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为
1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述
ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2
第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系
总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，
第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ
第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- （6.1.1） θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ① 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4） s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值：
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
61第六章自旋与全同粒子 §6-1 电子自旋的实验证据 （一）斯特恩－盖拉赫实验 Z （1）实验描述 基态的氢原子束经非均N S 基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。 处于基态 的氢原子（2）结论 I 。氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。II 。氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。III 。处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构 钠原子光谱中的条亮黄线 λ≈5893?，用高分辨率的光谱仪 观测可以看到该谱线其实是由3p 观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。5893? D 1 D 2 很两条线 其他原子光谱中也可以发5896? 5890? 现类似现象，称之为光谱线的3s 精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。 （三）电子自旋假设 乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设： （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值 方向上的投影只能取两个数值： 2 z s S S m =±= m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为： S e M S ?= μ 因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值： 2S z B e M M μ =±=± Bohr Bohr 磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介 ? （一）角动量算符的普遍定义A 定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符????????????定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符： ,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ???===???? ?? 角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系 角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222????=++x y z A A A A 2???() ,0,,A A x y z α?==
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）
第七章电子自旋角动量 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。 本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger 方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，现在从Schrodinger 方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger 方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21 的跃迁存在两条彼此很靠 p s 近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年 155
156 年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为 B ±μ，数值为 Bohr 磁子。 在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对 于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2 ，这种内禀 角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2 z s =± 。他们认 为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。为 使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且 和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ） （7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电 子便具有了m,e,s,μ 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外
第六章自旋和角动量 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。 §6. 1电子自旋 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场中的势能为 U= -M =Mcos (6.1.1) 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是 F z=-=Mcos (6.1.2) 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则 S z=±/2 (6.1.3) (2) 每个电子均具有自旋磁矩M s，它与自旋角动量之间的关系是
第七章例题剖析 1求自旋角动量在任意方向n [方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)]的投影γβαc o s c o s c o s z y x n s s s s ++=的本征值和本征矢。 [解] 自旋算符的矩阵表示为 ??? ? ??-=???? ??-=???? ??=10012;002;01102 z y x s i i s s ?????????? ??-+???? ??-+???? ??=∴γβαcos 10 01 cos 00cos 01102i i s n ???? ??-+-=γβαβ αγ c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2i i 令s n 的本征矢为 ???? ??=ηξψ 它必然是一个两行两列的矩阵，s n 的本征方程为 λψψ2 =n s 则 ???? ??=???? ?????? ?? -+-ηξληξγβαβ αγ2cos cos cos cos cos cos 2 i i 就有 ???=+-+=-+-) 2(0)(cos )cos (cos ) 1(0)cos (cos )(cos ηλγξβαηβαξλγi i ηξ,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即 0)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβ αλγi i 展开得： 0)c o s (c o s )(c o s 2222=+---βαλγ 1012±==-∴λλ 因此 n S 的本征值为2 ± 下面求本征矢： （1）当2 =n S 时，即1=λ时，由①式得 ηβαξγ)cos (cos )1(cos i --=- ηγβ αξcos 1cos cos --=i ??? ? ? ??--=ηηγβαψcos 1cos cos i 利用归一化条件
第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)
(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合
第6章自旋与全同粒子 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。 §6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点 一．实验事实 1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验： 现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。 解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向 如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。 2．碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它 是由很靠近的两条谱线组成 3．反常塞曼(Zeeman)效应 1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。 二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设 1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是
为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是 三．电子自旋的特点 乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。 特点： 1．电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。 2．电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。 3．电子自旋值是，而不是的整数倍。 4．，而两者在差一倍。 自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系 §6.2 电子的自旋算符和自旋函数 一．自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设） 本征值都是 ,
第七章 自旋与全同粒子 第一部分: 基本概念和基本思想题目 1. 描述全同粒子的波函数应具什么性质? 2. 玻色子是否受泡利原理的限制? 为什么? 3. 描述全同粒子体系的波函数有什么特征? 4. 电子的自旋可用 ()z S a X b ??= ??? 表示,试说明|a|2 与|b|2的物理意义。 5. 当单电子处于任一自旋态时，测量S x 、S y 各可能测到哪些值？ 6. 费米子与玻色子体系对描述其状态的波函数有什么要求？ 7. 提出电子有自旋的实验根据是什么？ 8. 斯特恩－盖拉赫实验中为什么要选用基态氢原子？ 9. 考虑电子自旋后，电子波函数在形式上有什么特点？ 10. 说明积分2 |(,,,,) x y z t d ψτ??? 的物理意义。 11. 古德斯米特－乌伦贝克关于电子自旋的基本假设是什么？ 12. 电子自旋磁矩与自旋角动量之间的关系是什么？ 13. 电子自旋是如何表示的？ 14. 无耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 15. 耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 第二部分：基本技能训练题 1. 试求泡利算符?x σ 的本征值和本征函数。 2. y z ??? i 证明＝x σ σσ
3. 221y 2 ??X ()S S (S )(S )? 求在自旋态中，与的测不准关系：z x x y s ???= 4. 求下列状态中J z 的本征值 1112 1101 112 2 1211() ()(,) () ()(,)()(,)] z z z X S Y S Y X S Y ψθ?ψθ?θ?- == + 5. 01021020 求及的本征函数与本征值。 x y i S S i -?? ?? == ? ????? 6. 求自旋角动量在（cosα，cosβ，cosγ）的投影 ????cos cos cos n x y z S S S S αβγ=++的本征值和本征函数。 在这些本征态中，测量S z 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ 7. 下列波函数中，哪些是完全对称的？ 哪些是反对称的？ 1212211122 2 2111211122 2 2 2 12341() 2121() () f(r )()()() () r () f(r )()[()()()()] () z z r r z z z z r r g r X s X s e f r X s X s X s X s e αα-+----- 8. 设氢原子的状态是 21112110122z z L S R Y R Y ψ?? ? ?= ?- ??? 求＝？＝？ 9. (1)(2)(3)(4) s s s A X ,X ,X X 证明和组成正交归一系。 10. 在1z 2 X (s )态中测量S z 可得到哪些可能值？可能值的几率分别是多
填空 第一章 绪论 6、玻尔的量子化条件为 n L = 9 德布罗意关系为 k p E ==,ω 。 1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 2 2 1mv A h + =ν 。 2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系 为 k p E ==,ω 。 第二章 波函数和薛定谔方程 1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。 4、2 ),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。 5、dr r r 22 ),,(??θψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。 第三章 量子力学中的力学量 2如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 0 。 3、设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为__ψλψ=F ?_______。 5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。 10坐标和动量的测不准关系是_2 ≥ ??x p x ___________________________。 自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒 3、 设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为___在 p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。 3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。 10、=]?,[x p x i ； =]?,?[z y L L x L i ；
第四章 态和力学量的表象 量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符 __________。 力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的 第五章 微扰理论 第七章 自旋与全同粒子 7. 为泡利算符，则 =2?σ 3 ，=]?,?[y x σ σ z i σ ?2 8、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。 4、 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 2n ，考虑自旋但不考虑自 旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 5、 S ? 为自旋算符，则 =2 ?S 2 4 3 ，=]? ,?[2z S S 0 ， =]?,?[y x S S z S i ? 。 简答 第一章 绪论 什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。 答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。 这些逸出的电子被称为光电子 （3分） 用来解释光电效应的爱因斯坦公式：2 2 1mv A h +=ν （3分） 第二章 波函数和薛定谔方程 1、如果1ψ和2 ψ 是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：
第六章 磁介质 引言： （1）前述真空中磁场，现介绍有磁介质时的磁场； （2）如同电介质对电场有响应，磁介质对磁场也有响应——磁化。 几乎所有气体、液体和固体等实物，无论其内部结构如何，对磁场都会有响应，表明所有物质都有磁性。 大部分物质磁性都较弱，只有少数如金属铁、镍、钴及某些合金等才有强磁性。 这种以铁为代表的磁效应特别强的物质称铁磁质，其它非铁磁性物质为弱磁质，又可分为顺磁质、抗磁质。 本章讨论磁性来源、磁化描述方法，有介质时的场方程、场能等内容。 §1 分子电流观点 根据磁学发展史，处理有介质时的磁学问题有两种观点：分子电流观点、磁荷观点，二者殊途而同归，本课程仅介绍前者，后者自学（见教材小字部分）。 一、磁介质的磁化 分子电流观点 1、磁化现象 现象1：螺绕环（或长螺管）线圈内充满均匀磁介质后，内B 和自感L 均增大。 设真空螺绕环的nI B 00μ=、V n L 200μ=，则充满均匀磁介质时有0B B μ=、 0L L μ= ， μ为介质磁导率。 现象2：电磁感应现象发生时 I I —次级出现感应电流—插入铁芯的线圈—次级出现感应电流—0 ， 0I I >>。表明感应能力加强，铁芯中B 大大增加，亦即：铁芯可 使线圈中φ大大增加。 2、用分子电流观点解释磁化现象 (1) 分子电流观点 此观点即“稳恒磁场”一章中所述的分子电流假说：组成磁介质的磁分子（最小单元）视为环形电流。对应分子磁矩为
a i m ρ ρ分分= (2) 解释现象 以软铁棒为例：磁介质圆长棒外套螺线管。 磁分子→分子环流→分子磁矩： 增大）。 以上现象（同向，故加强。可解释与电流激发场效磁化电流，此 邻环流相消，表面有等磁介质被磁化，内部相方向有序排列， 作用下一定程度上沿各分子磁矩在有外场时：。 未磁化宏观对外不显磁性各分子磁矩取向杂乱，无外场时：m B B B B nI B B φμ000000,)(,0? ?? ?? '== 此处叫励磁电流。 —叫附加场。螺管电流——叫磁化场（即外场）—I B B '0?? 3、磁化的描述 (1) 磁化强度M ? 介质被磁化与否，磁化的状态（方向、程度）如何，引入磁化强度矢量M ? 这一物理量进行描述，定义为： 单位体积内磁分子的分子磁矩之矢量和，即 V m M ?= ∑分?? 其单位为：米安米 米安1132 =?。 若取平均，把每个分子看成完全一样的电流环，用平均分子磁矩代替每个分子的真实磁矩（或认为排列已理想），则常用： a i n m n M ? ??分分== 其中n ——单位体积内的磁分子数。 [讨论] ?? ? ??===的量值越大。排列有序度高时，则常矢；当对于均匀磁化，有；对于真空中，有 ； 有当磁介质未被磁化时，分M m M M M ????? 00 (2) 磁化强度M ? 与磁化电流I '的关系
２７２ 第七章 电子自旋与全同粒子 （Electron spin and identical particles） §7.1电子自旋 §7.2电子的自旋算符和自旋函数 §7.4两个角动量的耦合 §7.5光谱的精细结构 §7.6全同粒子的特性 §7.7全同粒子体系的波函数，泡利（Pauli）原理 §7.8 两个电子的自旋函数 §7.9氦原子(微扰法) 第七章 电子自旋与全同粒子 （Electron spin and identical particles） 引言： 很多问题是多粒子体系，例如：多电子原子、分子、原子核和晶 体等。多粒子体系复杂，dinger o Schr && 方程不能直接求解。一是要采用逐级近似的方法，二要尽可能多的了解多粒子体系的知识和信息，如：角动量和对称性等知识。 1.角动量 角动量有两种： (1)与空间运动有关—轨道角动量L r ； (2)与空间运动无关—自旋角动量S r 。 有些物理现象必须引入自旋角动量概念才能给予解释，例如： (1)碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线o A 5893≈λ，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成(o A 5896≈λ和
２７３ o A 5890≈λ)。 (2)反常塞曼(Zeeman)效应： 1912年，Passhen 和 Back 发现反常Zeeman 效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂现象（能级分裂成偶数条子能级，例如钠光谱线4D 1→条，6D 2→条）。 2.对称性 对称性中有一类为置换对称性，如全同粒子体系中，相互置换任意两个粒子，体系的哈密顿不变，这是研究全同粒子体系的基础，基本原理是全同性原理。共价键理论，光谱理论，超导超流理论，夸克与核力问题等都是建立在全同性原理的基础上。 总之，自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。 §7.1 电子自旋 重点:Stern-Gerlach 实验和Ulenbeck-Goudsmit 假设 难点:Ulenbeck-Goudsmit 假设 我们从实验事实引入电子自旋的概念。 一、Stern-Gerlach(斯特恩-革拉赫) experiments（1921） 实验现象是单价原子（如银原子和氢原子等）束流通过非均匀磁场后裂为两束，我们以氢原子为例介绍这种实验现象。 实验现象：电炉K 射出的处于S 态的氢原子束流通过狭缝BB 和不均匀磁场，最后射到照相片PP 上，实验结果是照片上出现两条分立线。
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ρ ρ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn ρ是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ρ ρ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)