编译原理实验报告
1.试验目的
输入：DFA。
输出：最小化的DFA。
2.实验原理
所谓自动机的化简问题即是对任何一个确定有限自动机DFA M，构造另一个确定有限自动机DFA M’，有L（M）＝L（M’），并且M’的状态个数不多于M 的状态个数，而且可以肯定地说，能够找到一个状态个数为最小的M’。
下面首先来介绍一些相关的基本概念。
设S
i 是自动机M的一个状态，从S
i
出发能导出的所有符号串集合记为L（S
i
）。
设有两个状态S
i 和S
j
，若有L（S
i
）＝L（S
j
），则称S
i
和S
j
是等价状态。
下图所示的自动机中L（B）＝L（C）＝{1}，所有状态B和状态C是等价状态。
又例如终态导出的符号串集合中必然包含空串ε，而非终止状态导出的符号串集合中不可能包含空串ε，所以终态和非终止状态是不等价的。
对于等价的概念，我们还可以从另一个角度来给出定义。
给定一个DFA M，如果从某个状态P开始，以字符串w作为输入，DFA M将结束于终态，而从另一状态Q开始，以字符串w作为输入，DFA M将结束于非终止状态，则称字符串w把状态P和状态Q区分开来。
把不可区分开来的两个状态称为等价状态。
设S
i 是自动机M的一个状态，如果从开始状态不可能达到该状态S
i
，则称
S
i
为无用状态。
设S
i
是自动机M的一个状态，如果对任何输入符号a都转到其本身，而不
可能达到终止状态，则称S
i
为死状态。
化简DFA关键在于把它的状态集分成一些两两互不相交的子集，使得任何两个不相交的子集间的状态都是可区分的，而同一个子集中的任何两个状态都是等价的，这样可以以一个状态作为代表而删去其他等价的状态，然后将无关状态删去，也就获得了状态数最小的DFA。
下面具体介绍DFA的化简算法：
（1）首先将DFA M的状态划分出终止状态集K
1和非终止状态集K
2
。
K＝K
1∪K
2
由上述定义知，K
1和K
2
是不等价的。
（2）对各状态集每次按下面的方法进一步划分，直到不再产生新的划分。
设第i次划分已将状态集划分为k组，即：
K＝K
1(i)∪K
2
(i)∪…∪K
k
(i)
对于状态集K
j
(i)（j=1,2,…,k）中的各个状态逐个检查，设有两个状态
K j ’、 K
j
’’∈K
j
(i)，且对于输入符号a，有：
F（K
j
'，a）＝K
m
F（K
j
''，a）＝K
n
如果K
m
和K
n
属于同一个状态集合，则将K
j
’和K
j
’’放到同一集合中，
否则将K
j ’和K
j
’’分为两个集合。
（3）重复第（2）步，直到每一个集合不能再划分为止，此时每个状态集合中的状态均是等价的。
（4）合并等价状态，即在等价状态集中取任意一个状态作为代表，删去其他一切等价状态。
（5）若有无关状态，则将其删去。
根据以上方法就将确定有限自动机进行了简化，而且简化后的自动机是原自动机的状态最少的自动机。
3..实验内容
NFA确定化的实质是以原有状态集上的子集作为DFA上的一个状态，将原状态间的转换为该子集间的转换，从而把不确定有限自动机确定化。经过确定化后，状态数可能增加，而且可能出现一些等价状态，这时就需要简化。
4.实验代码与结果
#include
#include
using namespace std;
#define max 100
struct edge{
string first;//边的初始结点
string change;//边的条件
string last;//边的终点
};
int N;//NFA的边数
string part[max];//分割子集
//状态集合I的a弧转换
string move(string jihe,char ch,edge *b)
{
int i,j;
string s="";
for(i=0;i { for(j=0;j { if(b[j].first[0]==jihe[i]&&b[j].change[0]==ch) s=s+b[j].last; } } if(s=="")return "&"; else return s; } //判断子串是否存在在某一集合 bool isexist(string s,string d) { if(d!=""&&0<=d.find(s)&&d.find(s)<=d.length()-1)return 1; else return 0; } //分割子集法进行DFA的最小化 int divide(edge *b,string change) { int x,m,flag=2,flag0,i,j; string ss,part0[max]; flag0=flag; for(x=0;x { for(m=0;m { for(i=0;i { ss=move(part[m].substr(i,1),change[x],b); for(j=0;j { if(isexist(ss,part[j]))part0[j]=part0[j]+part[m].substr(i,1); if(ss=="&") { part0[flag]=part0[flag]+part[m].substr(i,1); break; } } } for(j=0;j<=flag;j++) { if(part0[j]!=""&&part0[j]!=part[m]) { part[flag++]=part0[j]; part0[j]=""; part[m]=""; } else part0[j]=""; } } flag0=flag; } return flag; } void main() { int i,j,flag,x; string Change;//输入符号 string ss; edge *b=new edge[max]; cout<<"请输入DFA各边信息：起点条件（空用&表示）终点，以输入#结束。"< for(i=0;i { cin>>b[i].first; if(b[i].first=="#")break; else cin>>b[i].change>>b[i].last; } N=i; cout<<"请输入该DFA的终态集合："< cin>>part[1]; cout<<"请输入该DFA的非终态集合："< cin>>part[0]; cout<<"请输入此DFA状态中的输入符号即边上的条件:"< cin>>Change; flag=divide(b,Change); cout<<"此DFA最小化划分的子集如下："< for(i=0;i { if(part[i]!="")cout< } cout<<"用状态A,B,C···等代替子集："; for(i=0;i { if(part[i]!="")cout<<"{"< } cout< char letters[max]; char letter='A'; for(i=0;i { if(part[i]!="") { letters[i]=letter; ++letter; } } for(i=0;i for(j=0;j { ss=move(part[i],Change[j],b); if(part[i]!=""&&ss!="&")cout< for(x=0;x if(isexist(ss.substr(0,1),part[x]))cout< } system("pause"); } “割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类． 一、来自三棱柱的截体 例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱 A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成 的两部分几何体的体积相等． 分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体， 因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？ 如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就 说明我们应该选择割． 证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等． 当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证． 二、来自正方体的截体 例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂 直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ， 2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就 把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -． 于是所求几何体的体积为： DEH BEF V S AD S DE =?+?△△11212212422????=???+???= ? ?????． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然 所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V = ?=． 三、来自圆柱的截体 例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的 最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则 该几何体的体积等于_______． 解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上 割补法求面积 阴影面积的计算是本章的一个中考热点，计算不规则图形的面积，首先应观察图形的特点，通过分割、接补将其化为可计算的规则图形进行计算． 一、补：把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形． 例题1 如图1，将半径为2cm 的⊙O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对称，EF 、GH 关于点O 对称，连接PM ，则图中阴影部分的面积是_____cm 2（结果用π表示）． 解析：如图1，根据对称性可知：S 1=S 2，S 3=S 4，S 5=S 6，S 7=S 8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的 21，应为：ππ222 12=?（cm 2）． 练习：如图2，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为_______． 答案：2π． 二、割：把不规则的图形的面积分割成几块可求的图形的面积和或差． 例题2 如图3，在Rt △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm ，把△ABC 以点B 为中心旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_______cm 2（不取近似值）． 解析：把所求阴影部分的面积分割转化，则 S 阴影＝（S 扇形BAA′＋S △A′C′B ）－（S △ACB ＋S 扇形BCC′） ＝S 扇形BAA′－S 扇形BCC′ 360 312036061202 2?-?=ππ=π9． 练习：如图4，正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，1为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点，∠MEN ＝60°．则图中阴影部分的面积是_________． 答案：4361-- π． 三、先割后补：先把所求图形分割，然后重新组合成一个规则图形． 例题3 如图5，ABCD 是边长为8的一个正方形，EF 、HG 、EH 、FG 分别与AB 、AD 、BC 、DC 相切，则阴影部分的面积=______． 解析：连接EG 、FH ，由已知可得S 1=S 2，S 3=S 4，所以可把S 1补至S 2，S 3补至S 4． 这样阴影部分的面积就转化为正方形面积的21，因此阴影部分的面积为3282 12=?． 练习：如图6，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 上的三等分点，如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3π B ．6π C ．2π D ．3 2π 答案：A ． 一种基于时间分割法和数字积分法 混合实现的空间直线插补方法3 刘宜,丛爽,钱炜,方凯 (中国科学技术大学自动化系,安徽合肥 230027) 摘要:在空间曲面铣削加工中,进给速度的平滑性直接影响加工表面的质量。文中提出了一种应用时间分割法(T DM)和数字积分法(DDA)混合实现的空间直线插补方法(HS L I M),用以改进通常采用时间分割法直线插补产生零头距离而出现的难以保持平滑进给速度的问题。该算法是采用时间分割法中的时间分割原理,对数字积分法中的累加溢出过程按照进给速度的要求,采用可控的插补周期进行时间分割,从而用较少的计算量消除了零头距离,实现平滑的进给速度。仿真实验与实际加工实验都表明,该方法可以实现平滑的进给速度,明显改善加工表面质量。 关键词:数字积分法;时间分割原理;平滑进给速度;空间曲面铣削加工 中图分类号:TP242 文献标识码:A 文章编号:1001-2354(2008)12-0027-05 对于数控系统(C NC)来说,进给速度的平滑性是除跟踪精 度以外的另一个关键问题,这是因为它在提高加工曲面质量方面具有重要的作用。在加工由大量短小直线段(G01代码)组成的空间曲面时,经常会出现进给速度的波动。这会使切削刀具的负载发生波动,增加加工时间并导致表面加工质量降低。De Souza等[1]指出其中的主要原因是计算机辅助制造(C AM)软件算法带来的直线段长度的不均匀性。传统的C NC控制器采用基于二级插补与固定插补周期的时间分割法[2]来插补直线段。在给定的直线段长度不等于期望进给速度的整数倍时,就会出现零头距离问题,从而插补该直线所需要的周期数目就需要取整,取整会带来进给速度波动并降低加工质量。对于包含许多长度不均匀的直线段的NC代码程序来说,会导致频繁的进给速度波动。 为取得更好的解决办法,许多学者做了大量的研究,这些研究可以主要分为两类。一种是实时参数插补技术,Yang[3]和Xu[4]均提出在C NC控制器中用实时参数插补代替直线插补用于3轴加工,实验表明实时参数插补可以保持很小的进给速度波动。另外,还有许多学者[5～9]研究进一步提高实时参数插补的性能。但是实时参数插补技术需要复杂的算法,并且缺乏统一的NC代码表示。另外一种类型就是加减速技术。Hu[10]和Luo[11]提出通过建立进给速度模型并适当地控制加减速可以消除零头距离,保持平滑的进给速度,但是这种方法会降低加工效率并导致更频繁的加减速。 文中提出一种基于时间分割法和数字积分法混合实现的空间直线插补方法,它是采用时间分割法中的时间分割的原理,对数字积分法中的累加溢出过程按照进给速度的要求采用可控的插补周期进行时间分割。它有效地综合了数字积分法与时间分割法,可以通过较小的计算代价消除零头距离,实现平滑的进给速度。1 数字积分法与时间分割法的 直线插补原理 数字积分法[2]是采用近似积分的原理实现各轴沿给定直线段的协调运动。对于每个轴,它包含一个加数寄存器与和寄存器。假定寄存器的数据宽度均为m。首先清空所有寄存器,计算该直线段对应的各轴的进给脉冲总数(一个脉冲等于一个基本长度单元(BLU))。然后将各轴进给脉冲总数的绝对值分别放入加数寄存器中,按照一定的时钟频率,重复下述累加操作:把加数寄存器与和寄存器中的数值进行相加并将结果存储在和寄存器中。若和寄存器产生溢出,则对应生成一个进给脉冲。经过次累加,由各轴和寄存器产生的溢出总数分别等于各轴进给脉冲总数的绝对值,同时,根据各轴进给脉冲总数的符号设定各轴进给方向,从而实现了沿给定直线段的进给运动。 为提高在加工过程中脉冲变化的均匀性,可采用左移规格化的方式———在累加开始前,同时将各轴加数寄存器进行左移,直到绝对值最大的加数寄存器中的最高有效位(MS B)左移至寄存器的最高位,另外相应地减少累加次数。这样,可以减少在两段相邻直线段衔接处进给脉冲的变化。 数字积分法的主要缺点是由于累加过程中固定的时钟频率,各轴进给脉冲的频率在相邻直线段衔接处会产生突变,导致进给速度的突变。即使采用了左移规格化,在相邻直线段的衔接处,进给速度的变化范围仍为50%～141.4%,这样大的进给速度波动会严重降低加工表面质量。 时间分割法是基于粗、精二级插补的原理,先进行粗插补,根据加工指令中的进给速度要求,以插补周期为时间单位,将给定直线段细分为许多更小的直线段,每段直线段的长度满足期望的进给速度要求,再进行精插补,在规定的插补周期内采用数字积分法实现细分的直线插补。通过设定相邻直线段的进给速度,时间分割法可以消除在相邻直线段衔接处的进给速 第25卷第12期2008年12月 机 械 设 计 JOURNAL OF MACH I N E DESI G N Vol.25 No.12 Dec. 2008 3收稿日期:2007-10-29;修订日期:2008-04-07 基金项目:国家自然科学基金资助项目(60774098) 作者简介:刘宜(1980-),男,湖南望城人,博士,研究方向:运动控制与协调控制,发表论文5篇。 割补法巧算面积知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积. （单位：厘米） 8 2 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）?这个图形的面积等于多少平 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF （如图），线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米. B 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 练习3. 2 1如图所示，正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部分的面积为______________________ cm ? A D 例题4.如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是294平方分米. 请问：图 2中的阴影部分的面积是多少平 方分米？ 练习4 7.如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 例6. 选做题 例5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形平 方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ A的面积是36 知识点练习 一、选择题 1. 三平面，，两两互相垂直且交于点，空间一点到，，的距离分别为，，，则，两点间的距离为 A. B. C. D. 2. 已知三个平面两两互相垂直且交于一点，若空间一点到三个平面的距离分别为、、，则的长为 A. B. C. D. 3. 某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是 A. B. C. D. 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D. 6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 A. B. C. D. 7. 已知在半径为的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 8. 自半径为的球面上一点，作球的互相垂直的三条弦，，，则（用表示）． 9. 若构成教室墙角的三个墙面记为，，，交线记为，，，教室内一点到三墙面，，的距离分别为、、，则与墙角的距离为． 10. 如图是一个长方体截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，，， ．则这个多面体的体积为． 11. 若三角形内切圆半径为，三边长分别为、、，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为，其四个面的面积分别为、、、，则四面体的体积． 12. 已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，，，，四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为． 13. 在正四面体中，其棱长为，若正四面体有一个内切球，则这个球的表面积为． 14. 如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是． 因为插补运算是实时性很强的运算，若算法太复杂，计算机的每次插补运算的时间必然加长，从而限制进给速度指标和精度指标的提高。 3.插补方法的分类 ?脉冲增量插补(行程标量插补) 特点： ?每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个 脉冲当量）。以一个一个脉冲的方式输出给步进电 机。其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。 ?插补速度与进给速度密切相关。因而进给速度指标 难以提高，当脉冲当量为10μm时，采用该插补算 法所能获得最高进给速度是3-4 m/min。 ?脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和 移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬 件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快 的。但是也有用软件来完成这类算法的。 ?这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字 积分法；目标点跟踪法；单步追综法等 ?它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。 ?由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在 零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类 算法了。 ?数字增量插补(时间标量插补) ?特点： 插补程序以一定的时间间隔定时(插补周期)运行，在 每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插 补周期内的位移增量（数字量）。其基本思想是：用 直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近 曲线（包括直线）。 插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用 这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可 达10m/min以上）。 数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它 对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计 算机均能满足要求。 这类插补方法有：数字积分法(DDA)、二阶近似插补 法、双DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法 等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。 这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱 动系统的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进 电机为伺服驱动系统的开环数控系统，而且，目前 所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。 例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？ 例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的 面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长 5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 例题 5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 （见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？ 练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。 练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。 练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。 练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？ 练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？ 等差法 解题关键：找出组合图形的公共部分 解题技巧：利用差不变原理进行等量代换： 例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？ 练习1如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？ 图1-1 图1-2 A' 中学数学解题思想方法--割补法（2） 1 内容概述 在求不规则的几何体的体积时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用“分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补形法”，同时采用“分割法”才易解决.本讲将重点讲解割补法的灵活应用以及专题总结. 2 例题示范 例1 如图1-1，A A '⊥底面ABC ，////AA BB CC ''',且345AB BC AC ===，，， 624AA BB CC '''===，，，求几何体C B A ABC '''-的体积 解：补上一个相同的几何体如图1-2所示，则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即 =2V V 新原.因为A A '⊥底面ABC ，////AA BB CC '''，所以新几何体ABC DEF -为直三棱柱，且 因为624AA BB CC '''===，，，所以 新几何体底面ABC 的高8AD =. 345AB BC AC ===，，， 222AB BC AC ∴+=， 90ABC ?∴∠= 1 =S 482 ABC V AD AB BC AD ?∴?= ??=新 所以原几何体的体积为24. 图1-3 图1-4 图 2-1 解：（法二）在AA '上取一点D 使2AD BB '==，在CC '上取一点E 使2CE BB '==, 连结DB '，B E ',DE 平面如图1-3所示， ////AA BB CC ''',A A '⊥底面ABC ABC DB E '∴-为直三棱柱 345AB BC AC ===，，， 222AB BC AC ∴+=， 90ABC ? ∴∠= 1 =S 122 ABC DB E ABC V AD AB BC AD '-?∴?= ??=， 过点B '作B F DE F '⊥于,如图1-4所示， A A '⊥底面ABC , A A D B E ''∴⊥底面 A A B F ''∴⊥ A A DE D '?= B F DE C A '''∴⊥平面 所以四棱锥B DEC A '''-的体积为 111=S ()12332 B DE C A DEC A V BF A D C E DE BF '''''-''?=?+??= 所以几何体C B A ABC '''-的体积为24B DEC A ABC DB E V V ''' '--+= 评析：本题所给几何体不是一个规则的几何体， 可以看成一个直三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择“补形法”补成直三棱柱，如图1-2所示，计算出直三棱柱的体积，再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解；也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三棱柱和四棱锥，如图1-3所示来解决 . 本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二 所采取的解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条件，本题采用解法一较为简捷. 例2 如图2-1，A A '⊥平面ABC ，//////AA BB CC DD '''',四边形ABCD 为正方形,且 213AB AA CC BB ''''=====，，DD ，求几何体D C B A ABCD ''''-的体积 割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积. （单位：厘米） 3 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）?这个图形的面积等于多少平 5 2| 3 31 4 方米？-------------------- 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段 AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF （如图），线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米. 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等 份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？ 例题4.如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是 294平方分米.请问：图2中的阴影部分的面积是多少平 方分米？ 练习4 7.如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各 取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 例6. 练习3. 1如图所示，正方形 ABCD 的边长acm ,则图中阴影部分的面积为 2 ____________ cm ? 选做题 例5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ? 割补法、差不变原理 分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。 例题1.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=5，DB=6,则ADE 与BDF的面积之和是多少？ 例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？ 例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的 面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 例题5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？ 练习1.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ADE 与BDF的面积之和是多少？ 练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。 练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2 。求甲、乙的面积之和。 练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。 练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？ 练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？ 等差法 解题关键：找出组合图形的公共部分 解题技巧：利用差不变原理进行等量代换： 例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？ 1 7割补法 就是对研究对象进行适当的分割、补充来处理问题的一种方法。下面举例说明。 [例题1]如果将质量为m 的铅球放于地心处，再在地球内部距地心R/2（R 为地球半径）处挖去质量为M 的球体，如图所示，则铅 球受到地球引力的大小为多少？ 解析：如果将挖去质量为M 的球体补上， 这一个完整的球体，一个完整的质量均匀 的球体放入其中心处的铅球的引力为0， 由此可见挖去的质量为M 球体对铅球的力与剩下部分对铅球的力相平衡，即224) 2(R GMm R Mm G F F = ==挖去剩下 方向为沿挖去小球与地球球心连线向左。 [例题2]现有半球形导体材料，接成如图所示的两种形式，则两种接法的电阻之比为多 少？ 解析：如果将 a 、 b 图中的两半球平分，如图所示，设1/4球形材料的电阻为R ，a 是两个1/4球形材料的并联，所以2R R a =而b 是两个1/4球形材料的串联，所以R R b 2=，所以4:1:=b a R R [例题3]一带电粒子以速度V 沿半径为a 的圆形磁场的半径方向射入磁场，穿越磁场的时间为1t ；该粒子又以相同的速度V 从边长为a 的正方形磁场一边的中点垂直于该边射入磁场，穿越磁场的时间为2t ，则1t 2t 的大小关系为（ ） A 、1t =2t B 、1t ?2t C 、1t ?2t D 、都有可能 解析：如果将b 图 中正方形磁场挖 去一个半径为a 的 圆形磁场，再将a 图中的半径为a 的 圆形磁场补上，如 图c 所示，假设电 荷带负电，如果从 切点射出，则时间 相同1t =2t ，如果不从切点射出，则时间相同1t ?2t ，正确的选项为A 、C 割补法巧算面积 Revised by BETTY on December 25,2020 割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米？ 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=厘米，BE=厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 例6. 已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？ 作业： 割补法巧算面积 割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少平方 米？ 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 例6. 已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？ 作业： 1.如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连. 图中阴影部分的面积总和是多少？ 2. ．（2013秋?诸暨市校级期中）如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积 3. 求阴影部分面积． 4．求阴影部分面积． 分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。 例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？ 例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5 厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 例题 5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 （见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？ 练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。 练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。 练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。 练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？ 练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？ 等差法 解题关键：找出组合图形的公共部分 解题技巧：利用差不变原理进行等量代换： 例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？ 例题2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8，求CF的长度？ 我们知道长方形、正方形的面积计算公式为： 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积求解问题时,它们就无法直接用于求解了。那么,如何来解决这一难题呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方形,这种方法我们称之为割补法。掌握这方法的关键在于根据待求图形的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。 [例1】有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度,单位：厘米),求它的面积等于多少平方厘米? 解答 ☆解法一 将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形都被分割成三个长方形。以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。 S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5 =72-4-15 =53(平方厘米) 答：所求的面积为53平方厘米。 [例2】有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。如果长增长3米,面积就增加27平方米。求这个长方形的面积。 思路剖析 根据题意,可以画出如下直观图(图3)： 观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。 =(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3 =18+20+15 =53(平方厘米) ☆解法二 上面的方法是将图形分割成若干个长方形,然后求图形的面积,也就是使用了分割法。实际上,我们还可以将图形添补成一个大的长方形(见图2),然后利用大长方形面积与两个小长方形面积之差,求出图形的面积,亦即采用添补法。以第一种添补法为例(图2a),利用长方形的公积公式,可计算出图形的面积。 彩虹的传说 一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。 圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。它们每天在一起玩儿得很开心。有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？” 月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！” 圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。突然，三角大声地召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。有一天，终于来到了智慧门前。这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。不同的是，这道门很矮小，也很窄。几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。 圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。 三角总是最有主意，行动最快的一个。它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。方块的为人正像它的体形，正直稳重。它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。五角形的体形比较大，只见它用小于自己身体比重的双脚，蹒跚地走到门前。它的两只手和头部都卡在了门外。圆、六边形和心形都为它捏了把汗。 这时，只见五角星谦卑地把头低下，双手合十，顺利地进入门内。该轮到六边形了，六边形是几个小伙伴 课前预习 圆与扇形———割补法 割补法求面积 （1）复习题： 长方形面积＝_________________正方形面积=________________ （2）热身题：求下面图形面积。 列式：___________________列式：____________________（3）例题：求出下列不规则图形面积。 ①方法一：分割法 遇到不规则图形时，我们可以利用“分割法”把一个图形分割成几个我们认识的规则图形。 不规则图形=长方形＋正方形 面积：4×5＋3×3 =20＋9 =29（平方厘米） ②方法二：拼补法 遇到不规则图形时，我们可以利用“拼补法”把一个图形通过补齐空缺得到一个规则图形。 不规则图形=大长方形－小长方形 大长方形的长：4＋3=7（厘米） 大长方形的宽：5厘米 小长方形的长：3厘米 小长方形的宽：5－3=2（厘米） 面积：7×5－3×2 =35－6 =29（平方厘米） 总结： 求不规则图形面积可用“割补法” ①分割：把图形分割成几个规则图形，再分别求面积 ②拼补：把图形补齐为一个规则图形，再减去多余面积 练一练： ①图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。（单位：厘米） ②图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。（单位：米） ③求出下面不规则图形的面积。 【答案】 ① 3×5=15（平方厘米） 3×5=15（平方厘米） （8－3）×（5＋2＋3）=50（平方厘米）15＋15＋50=80（平方厘米） ② 5×（2＋3＋2）=35（平方米） 3×（3＋2）=15（平方米） 4×2=8（平方米） 35＋15＋8=58（平方米） ③ 5×8=40（平方厘米） 2×2=4（平方厘米） 40－4=36（平方厘米） 7割补法 就是对研究对象进行适当的分割、补充来处理问题的一种方法。下面举例说明。 [例题1]如果将质量为m 的铅球放于地心处，再在地球内部距地心R/2（R 为地球半径）处挖去质量为M 的球体，如图所示，则铅 球受到地球引力的大小为多少？ 解析：如果将挖去质量为M 的球体补上， 这一个完整的球体，一个完整的质量均匀 的球体放入其中心处的铅球的引力为0， 由此可见挖去的质量为M 球体对铅球的力与剩下部分对铅球的力相平衡，即224) 2(R GMm R Mm G F F ===挖去剩下 方向为沿挖去小球与地球球心连线向左。 [例题2]现有半球形导体材料，接成如图所示的两种形式，则两种接法的电阻之比为多 少？ 解析：如果将 a 、 b 图中的两半球平分，如图所示，设1/4球形材料的电阻为R ，a 是两个1/4球形材料的并联，所以2R R a =而b 是两个1/4球形材料的串联，所以R R b 2=，所以4:1:=b a R R [例题3]一带电粒子以速度V 沿半径为a 的圆形磁场的半径方向射入磁场，穿越磁场的时间为1t ；该粒子又以相同的速度V 从边长为a 的正方形磁场一边的中点垂直于该边射入磁场，穿越磁场的时间为2t ，则1t 2t 的大小关系为（ ） A 、1t =2t B 、1t ?2t C 、1t ?2t D 、都有可能 解析：如果将b 图 中正方形磁场挖 去一个半径为a 的 圆形磁场，再将a 图中的半径为a 的 圆形磁场补上，如 图c 所示，假设电 荷带负电，如果从 切点射出，则时间 相同1t =2t ，如果不从切点射出，则时间相同1t ?2t ，正确的选项为A 、C “割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类． 一、来自三棱柱的截体 例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱 AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成 的两部分几何体的体积相等． 分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体， 因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？ 如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割． 证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等． 当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证． 二、来自正方体的截体 例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂 直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ， 2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就 把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -． 于是所求几何体的体积为： DEH BEF V S AD S DE =?+?△△11212212422????=???+???= ? ????? ． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然 所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242 V =?=． 三、来自圆柱的截体 例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的 最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则“割补法”求解不规则几何体体积
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