附录2 线性规划案例 Appendix 2 Projects of Linear Programming 案例1 食油生产问题(1) 食油厂精炼两种类型的原料油——硬质油和软质油，并将精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地:产地1和产地2，而软质原料油来自另外三个产地：产地3，产地4和产地5。据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为： 产品油售价为200元/吨。 硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质油生产线的每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/月。五种原料油都备有贮罐，每个贮罐的容量均为1000吨，每吨原料油每月的存贮费用为5元。而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。 产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占比例成线性关系。根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0。各种原料油的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）：
假设在一月初，每种原料油都有500吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。 问题1：根据表1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。 问题2：考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质原料油价格比表1中的数字上涨Ｘ％，则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨2Ｘ％，相应地，三月份，硬质原料油将上涨2Ｘ％，软质原料油将上涨4Ｘ％，依此类推至六月份。试分析Ｘ从1到20的各情况下，利润将如何变化？ 案例2 食油生产问题（2） 在案例1中，附加以下条件，求解新的问题： 1.每一个月所用的原料油不多于三种。 2.如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨。 3.如果在一个月中用了硬质油1或硬质油2，则在这个月中就必须用软质油5。案例3 机械产品生产计划问题 机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。
第五章线性规划在管理中的应用 5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 量，使得公司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1+ x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5 （1）最优生产方案： 新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。 （2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。 （3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。 （4）目标函数系数范围 表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。 （5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。 6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x3≥18 x1≥0、x2≥0、x3≥0 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：28.5元。 灵敏度报告： 目标函数最优值为 : 28.5 变量最优解相差值 x1 44 0 x2 10 0
2.某市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究 1)问题的提出 某市柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一，主要产品有2105柴油机、 X2105柴油机、X4105柴油机、X4110柴油机、X6105柴油机、X6110柴油机，产品市场占 有率大，覆盖面广，广泛用于农业机械、工程机械、林业机械、船舶、发电机组等。在同行 业中占有一定的优势。但另一方面，也确实存在管理方法陈旧、管理手段落后的实际问题， 尤其是随着经济体制改革的深入，以前在计划经济体制下生存的国营企业越来越不适应市场 经济的要求。为改变这种不利局面，厂领导决定实行科学管理，其中努力提高企业编制产品 生产计划的科学性是一个重要的目标。 2)生产现状及资料分析 柴油机的主要生产过程为原材料经过锻造、铸造或下料，再进行热处理、机加工工序，进入 总装，最后试车、装箱、入成品库。该厂将毛坯生产工艺，即锻造、铸造或下料过程渐渐向 外扩散，形成专业化生产，以达到规模效益，故该厂柴油机生产过程主要可以分三大类：热 处理、机加工、总装。与产品生产有关的数据资料如下： 每种产品的单位产值如下表： 序号产品型号及产品名称单位产值(元) 1 2105柴油机5400 2 X2105柴油机6500 3 X4105柴油机12000 4 X4110柴油机14000 5 X6105柴油机18500 6 X6110柴油机20000 每件产品所需的热处理、机加工、总装工时及全厂能提供的三种总工时如下表：序号产品型号及产品名称热处理(工时) 机加工(工时) 总装(工时) 1 2105柴油机10.58 14.58 17.08 2 X2105柴油机11.0 3 7.05 150 3 X4105柴油机20.11 23.96 29.37 4 X4110柴油机32.26 27.7 33.38 5 X6105柴油机37.68 29.3 6 55.1 6 X6110柴油机40.84 40.43 53.5 全年提供总工时120000 95000 180000 产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源，供应科根据历年的统计资 料及当年的原材料市场情况，给出了各种原材料的最大供应量如下表： 原材料名称生铁(吨) 焦碳(吨) 废钢(吨) 钢材(吨) 最大供应量1562 951 530 350 单位产品原材料消耗情况如下表： 序号产品型号及名称生铁(吨) 焦碳(吨) 废钢(吨) 钢材(吨) 1 2105柴油机0.18 0.11 0.06 0.04 2 X2105柴油机0.19 0.12 0.06 0.04 3 X4105柴油机0.35 0.22 0.12 0.08 4 X4110柴油机0.36 0.23 0.13 0.09 5 X6105柴油机0.54 0.33 0.18 0.12
线性规划应用案例
市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的
习题四 4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题 （1） min z ＝p 1（+1d ＋+2d ）＋p 2-3d st. －x 1＋ x 2＋ d －1－ d ＋ 1＝1 －0.5x 1＋ x 2＋ d － 2－d ＋ 2＝2 3x 1＋3x 2＋ d －3－ d ＋3＝50 x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（i =1，2，3） （2） min z ＝p 1（2+1d ＋3+2d ）＋p 2-3d ＋p 3+4d st. x 1＋ x 2＋d －1－d ＋ 1 ＝10 x 1 ＋d －2－d ＋2 ＝4 5x 1＋3x 2＋d －3－d ＋3 ＝56 x 1＋ x 2＋d －4－d ＋4 ＝12 x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（i =1， (4) 4.2 考虑下述目标规划问题 min z ＝p 1（d ＋1＋d ＋2）＋2p 2d －4＋p 2d －3＋p 3d －1 st. x 1 ＋d －1－d ＋1＝20 x 2＋d －2－d ＋2＝35 －5x 1＋3x 2＋d － 3－d ＋ 3＝220 x 1－x 2＋d －4－d ＋4＝60 x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（i =1， (4) （1）求满意解； （2）当第二个约束右端项由35改为75时，求解的变化； （3）若增加一个新的目标约束：－4x 1＋x 2＋d －5－d ＋5＝8，该目标要求尽量达 到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化； （4）若增加一个新的变量x 3，其系数列向量为（0，1，1，－1）T ，则满意解如何变化？ 4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入250美元，新闻节目每小时需支出40美元，音乐节目每播一小时费用为17.50美元。法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排？优先级如下： P 1：满足法律规定要求； P 2：每天的纯收入最大。 试建立该问题的目标规划模型。
多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束
线性规划的应用 线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：1合理利用线材问题：如何下料使用材最少 2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小 其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。 例如： 某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？
表1 产品组合问题的数据表 此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。 在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答： （1）要做出什么决策？ （2）做出的决策会有哪些条件限制？ （3）这些决策的全部评价标准是什么？ （1）变量的确定 要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量，x2为每周生产产品乙的产量。一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。 （2）约束条件 求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。 （3）目标函数 对这些决策的评价标准是这两种产品的总利润，即目标函数是要求每周的生产利润（可记为z，以百元为计量单位）为最大 这样，可以把产品组合问题抽象地归结为一个数学模型： max z = 3x1+5x2 s.t. x1 ≤4 2x2 ≤12 3x1+ 2x2 ≤18 x1≥0，x2 ≥0
高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析 一、高考要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。 2.一元二次不等式 （1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。 （2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。 （2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 4.基本不等式： （1）了解基本不等式的证明过程。 （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析
【规律总结】 全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律： （1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。 （2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。 （2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。
多目标规划问题
3.5 黑龙江省可持续农业产业结构优化模型的求解 鉴于上面的遗传算法的基本实现技术和理论分析，对标准遗传算法进行适当改进，将其用于求解黑龙江省可持续农业产业结构优化模型中。黑龙江省农业产业结构优化模型具有大系统、多目标、非线性等特点，传统的求解方法受到了模型复杂程度的限制，由引言可知，遗传算法对解决此类问题具有明显的优势。下面介绍具体采用的遗传多目标算法操作设计以及模型求解过程。 3.5.1遗传多目标算法操作设计 3.5.1.1 实数编码方法 在求解复杂优化问题时，二进制向量表示结构有时不太方便，并且浮点数编码的遗传算法对变异操作的种群稳定性比二进制编码好（徐前锋，2000）。以浮点数编码的遗传算法也叫实数遗传算法（Real number Genetic Algorithms ，简称RGA ）。每一个染色体由一个浮点数向量表示，其长度与解向量相同。假如用向量),(21n x x x X 表示最优化问题的解，则相应的染色体就是 ),(21n x x x V ，其中n 是变量个数。 3.5.1.2 种群初始化方法 遗传算法中初始群体的个体是随机产生的，由于本文优化模型所涉及的变量容易给出一个相对较大的问题空间的变量分布范围，并且若给出一定的搜索空间也会加快遗传算法的收敛速度；因此本文采取3.3.2中的第一种策略，对每一个变量设置可能区间，然后在可能区间内随机产生初始种群。为保证不会遗漏最优解，选择区间跨度范围很大。 3.5.1.3 适应度函数设计
用遗传算法求解多目标优化问题中出现的一个特殊情况就是如何根据多个目标来确定个体的适应值。本文采用Gen 和Cheng 提出的适应性权重方法 （Adaptive Weight Approach ），该方法利用当前种群中一些有用的信息来重新调整权重，从而获得朝向正理想点的搜索压力（玄光男等，2004）。将目标函数按3.3.3所述转化成带有q 个目标（本文模型3 q ）的最大化问题： )}(,),(),({max 2211x f z x f z x f z q q （3-14） 对于每代中待检查的解来说，在判据空间中定义两个极限点：最大极限点 z 和最小极限点 z 如下： },,,{} ,,,{m in m in 2m in 1m ax m ax 2m ax 1q q z z z z z z z z （3-15） 其中m in m ax k k z z 和是当前种群中第k 个目标的最大值和最小值。由两个极限点定义的超平行四边形是包含当前所有解的最小超平行四边形。两个极限点每代更新，最大极限点最终将接近正理想点。目标k 的适应性权重用下式计算： ),,2,1(1 min max q k z z k k k 因此，权重和目标（Weighted-sum Objective ）函数由下面的公式确定 q k k k k q k k k z z x f x f x z 1m in m ax 1)()()( （3-16） 3.5.1.4 遗传操作 （1）选择操作。以比例选择法和最优个体保存法配合使用进行选择操作，即选择过程仍以旋转赌轮来为新的种群选择染色体，适应度越高的染色体被选中的概率越大；另一方面，为了保证遗传算法的全局收敛性，在选择作用后保留当前群体中适应度最高的个体，不参与交叉和变异，同时也确保当前最优个体不被随机进行的遗传操作破坏。
实验报告 课程名称：运筹学导论 实验名称：线性规划问题实例分析专业名称：信息管理与信息系统 指导教师：刘珊 团队成员：邓欣(20112111 蒋青青(20114298 吴婷婷(20112124 邱子群(20112102 熊游(20112110 余文媛(20112125 日期：2013-10-25 成绩：___________
1．案例描述 南部联盟农场是由以色列三个农场组成的联合组织。该组织做出了一个关于农场农作物的种植计划，如下： 每一个农场的农业产出受限于两个量，即可使用的灌溉土地量和用于灌溉的水量。数据见下表： 适合本地区种植的农作物包括糖用甜菜、棉花和高粱。这三种作物的差异在于它们每亩的期望净收益和水的消耗量不同。另外农业部门已经制定了南部联盟农场作物总亩数的最大配额，见下表： 作物的任何组合可以在任何农场种植，技术部门的任务是找出一个种植方案使南部联盟农场的净收益最大化。 2.建立模型 决策变量为Xi(i=1,2,……,9,表示每个农场每种作物的种植量。 MAX Z=1000(X1+X2+X3+750(X4+X5+X6+250(X7+X8+X9 约束条件： （1）每一个农场使用的土地 X1+X4+X7≤400
X2+X5+X8≤600 X3+X6+X9≤300 (2每一个农场的水量分布 3X1+2X4+X7≤600 3X2+2X5+X8≤800 3X3+2X6+X9≤375 (3每一种作物的总种植量 X1+X2+X3≤600 X4+X5+X6≤500 X7+X8+X9≤325 非负约束Xi≥0 , i=1,2, (9) 3.计算机求解过程 步骤1.生成表格 步骤2.输入数据
案例：连续投资的优化问题 一、题目： 某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。项目A，但规定最大投资额不超B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%项目40万元。过，但规定最大投资额不超，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%项目C 30万元。过6%。项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息问它应如何确定给这些项目的每年投100万元，该企业5年内可用于投资的资金总额为资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？ 二、建立上述问题的数学模型的投资额，它们都是待定的年初给项目A,B,C,D, X （i=1.2.3.4.5）为第i设X,X , X iDiB1AiC每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥未知量。由于项目D 有的资金额。建立该问题的线性规划模型如下： +1.06X+1.40X+1.25XMax Z=1.15X5D 2C4A3B X+X=1000000 (1) 1D1A X+X+X=1.06X (2) 1D2C2A2D X+X+X=1.15X+1.06X (3) 3A 3B 3D 1A 2D s.t. X+X=1.15X+1.06X(4) 3D 4A 4D 2A X=1.15X+1.06X (5)5D 3A4D X<=400000 (6) 3B X<=300000 (7) 2C X , X , X, X>=0 i=1,2,3,4,5 iD1AiCiB 经过整理后如下： Max Z=1.15X+1.40X+1.25X+1.06X5D 2C4A3B X+X=1000000 1D1A-1.06X+ X+X+X =0 2D2A2C1D-1.15X-1.06X+ X+X+X=0 3D3A1A3B2D s.t. -1.15X-1.06X +X+X=0 4D3D4A2A-1.15X-1.06X+ X=0 5D4D3A X<=400000 3B X<=300000 2C i=1,2,3,4,5 , X , X, X>=0 X iDiBiC1A 求解过程以及相应的结果三、Excel中进行布局并输入相应的公式）在Excel1 （
市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的呢？
习题四 4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题 （1）min z ＝p1（＋）＋p2 st. －x1＋ x2＋ d－1－ d＋1＝1 －0.5x1＋ x2＋ d－2－d＋2＝2 3x1＋3x2＋ d－3－ d＋3＝50 x1，x2≥0；d－i，d＋i≥0（i =1，2，3） （2） min z ＝p1（2＋3）＋p2＋p3 st. x1＋ x2＋d－1－d＋1 ＝10 x1 ＋d－2－d＋2 ＝4 5x1＋3x2＋d－3－d＋3 ＝56 x1＋ x2＋d－4－d＋4 ＝12 x1，x2≥0；d－i，d＋i ≥0（i =1， (4) 4.2 考虑下述目标规划问题 min z ＝p1（d＋1＋d＋2）＋2p2d－4＋p2d－3＋p3d－1 st. x1 ＋d－1－d＋1＝20 x2＋d－2－d＋2＝35 －5x1＋3x2＋d－3－d＋3＝220 x1－x2＋d－4－d＋4＝60 x1，x2≥0；d－i，d＋i ≥0（i =1， (4) （1）求满意解； （2）当第二个约束右端项由35改为75时，求解的变化；
（3）若增加一个新的目标约束：－4x1＋x2＋d－5－d＋5＝8，该目标要求尽量达到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化； （4）若增加一个新的变量x3，其系数列向量为（0，1，1，－1）T，则满意解如何变化？ 4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入250美元，新闻节目每小时需支出40美元，音乐节目每播一小时费用为17.50美元。法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排？优先级如下： P1：满足法律规定要求； P2：每天的纯收入最大。 试建立该问题的目标规划模型。 4.4 某企业生产两种产品，产品Ⅰ售出后每件可获利10元，产品Ⅱ售出后每件可获利8元。生产每件产品Ⅰ需3小时的装配时间，每件产品Ⅱ需2小时装配时间。可用的装配时间共计为每周120小时，但允许加班。在加班时间内生产两种产品时，每件的获利分别降低1元。加班时间限定每周不超过40小时，企业希望总获利最大。试凭自己的经验确定优先结构，并建立该问题的目标规划模型。 4.5 某厂生产A、B两种型号的微型计算机产品。每种型号的微型计算机均需要经过两道工序I、II。已知每台微型计算机所需要的加工时间、销售利润及工厂每周最大加工能力的数据如下： A B每周最大加工能力 I 4 6 150 II 3 2 70 利润（元/台）300 450 工厂经营目标的期望值及优先级如下： P1：每周总利润不得低于10000元；
第1节多目标规划问题 一、线性规划的局限性 第一,线性规划是在一组线性约束条件下,寻求某一项目标(如产量、利润或成本等)的最优值。而实际问题中往往要考虑多个目标的决策问题。 第二,线性规划最优解存在的前提条件是可行域为非空集,否则,线性规划无解。然而实际问题中,有时可能出现资源条件满足不了管理目标要求的情况,此时,仅做出无解的结论是没有意义的。现实中,也有可能各个目标相互矛盾,根本找不出一个全部目标都满足的解,但是在决策时,也必须找出一个满意的解。 第三,线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的,是一律要满足的“硬约束”,而在实际问题中,多个目标和多个约束条件并不一定是同等重要的,而是有轻重缓急和主次之分;有近期目标,也有远期目标;有定量的,也有定性的;有互相补充的,也有互相对立的,对这样复杂的决策问题,线性规划方法就无能为力了。 第四,线性规划的最优解可以说是绝对意义的最优,但很多实际情况只需(或只能)找出满意解。 上述原因限制了线性规划的应用范围。目标规划就是在解决以上问题的研究中应运而生,它能更确切地描述和解决经济管理中的许多实际问题。 二、多目标规划的提出 [例4—1]对于例1—1的生产计划问题,问如何安排甲、乙产品的产量,使企业利润为最大? 解设生产甲产品的产量为x1,乙产品的产量为x2,该问题的线性规划模型可以表示为: maxZ=3x1+5x2 s.t. 假设该厂根据市场需求或合同规定,希望尽量扩大产品甲的生产量,减少产品乙的生产,这时又增加了两个目标,则可建立如下的模型: maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 s.t.
容易看出,这是一个具有三个目标的线性规划模型,这些目标之间一般是相互矛盾的。从上述例子不难得出,多目标线性规划模型的原始一般形式如下: max(min)Z1=c11x1+c12x2+…+c1n x n max(min)Z2=c21x1+c22x2+…+c2n x n …… max(min)Z l=c l1x1+c l2x2+…+c ln x n 式中,有n个决策变量,m个约束条件,l个目标函数。当l=1时,即为我们熟悉的单目标线性规划模型。 三、多目标规划的解法 显然,对上述多目标线性规划模型,一般的线性规划方法不能求解。为此,许多学者提出了求解多目标规划问题的方法,其中不少方法已取得了富有成效的应用。而且,新的算法仍在不断地提出和改进。在这众多的算法中,绝大多数是基于以下加权系数法、优先等级法和有效解法的基本思想。 (一)加权系数法 这类方法的基本思想是试图在各目标之间寻找一种统一的度量标准,通过为每一目标赋一个加权系数,把多目标模型转化成单一目标的模型。从计算的角度看,这种方法确实吸引人。如果原模型是线性的,就可以用传统的单纯形法求解。但这类方法存在的一个明显的困难就是难以确定合理的加权系数。加权系数法一般应用于具有同一度量标准的多目标模型中。 (二)优先等级法 这类方法也是试图将多目标问题转化为单目标模型,但它避开了给各目标确定一个很难找到的加权系数,而是将各目标按其重要程度分成不同的优先等级,然后根据确定的目标优先等级的次序来求解。如果上一等级的目标得不到满足,则下一等级目标不予考虑。 (三)有效解法 这类方法的基本思想与前两类方法有很大的区别。在多目标规划问题中,最优解是使所有目标同时达到最优值的可行解。但是,在更多的情况下,由于众多的目标之间常常相互矛盾,因此,多目标规划问题的绝对最优解往往是不存在的,一部分目标的改善往往以牺牲另一部分目标的利益为代价。因而,多目标规划问题转而求能够照顾到各个目标,并使决策者感到满意的解。有效解或非劣解法就是找出可行域中全部的有效解或非劣解。如果能找到全部的有效
第五章案例分析 线性规划案例 案例1 机械产品生产计划 机械加工厂有以下设备： 以及生产单位产品需要的各种设备的加工工时（小时）如下表。表中的短划线表示这种产品不需要相应的设备加工。
每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月5元，在一月初，所有产品都有50件库存；而要求在六月底，每种产品仍旧保持50件库存。 工厂每天开两班，每班8小时。 为了不使模型过分复杂，对以下问题作了一些必要的简化： 1、假定每班8小时都能正常生产，即不考虑上班后的准备工时和下班前的清 理工时。 2、假定每月都是22个工作日（即每个月2×8×22＝352工作小时）。不考虑 每月工作日的不同。 3、假定对任何一种产品，生产加工过程中，各种设备的加工没有先后次序的 要求。并且，每个月末所有产品都完成所有的加工工序，没有任何一种产 品只完成一部分加工工序，剩下的工序需要到下个月加工。即任何一个月 的月末没有任何在制品。 4、同一种设备中（例如车床），所有的设备（10台车床）性能完全相同。如 安排检修这种设备，只需要考虑这种设备数量的减少，不必考虑具体检修 的是哪几台。 5、产品的利润和生产批量无关。 建立利润最大化的生产计划优化模型，编制这5种产品6个月的生产－库存－销售计划。并利用模型分析评价制约该工厂利润进一步增加的各种瓶颈因素。例如，可以讨论以下问题： 1、在最优生产计划中，提高哪几个月中哪些产品的市场销售量上限可以增加利润？其中对利润影响最大的销售量是哪些。在保持最优生产计划不变的前提下，
这些市场销售量上限提高的幅度是多大？如果采用促销手段来提高市场销售量，促销费用应如何控制？ 2、哪几个月中哪些产品的最大库存量对增加利润构成限制？库存费用的变化是否会导致最优生产－库存－销售计划变化？ 2、哪几个月哪些设备的能力是紧缺的，哪些设备的能力是冗余的？列出增加设备能力的优先顺序。如果增加一台某种紧缺设备，该工厂的生产状况会发生怎样的变化？ 3、现有的设备检修计划是否合理？列出其中不合理的因素。 4、建立最优设备检修计划模型，使在这半年中完成表6列出的各种设备的应检修台数，让每种设备被安排在最合适的月份检修，对利润影响最小。比较设备检修计划优化前后，效益变化的情况。 根据分析结果，写出综合性的分析报告。分析报告要用文字和表格，对该工厂七种产品六个月的生产－库存－销售量、产品仓库的容量、设备利用和检修、产品销售价格、产品市场容量等相关因素作出详细描述，并对其中值得注意的问题进行讨论。
多目标规划问题： x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,... options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options. 例子：三个目标函数： 求最大值的： f(1)=0.082*x(1)+0.072*x(2)+0.065*x(3)+0.054*x(4)+0.038*x(5)+0.057*x(6)+0. 045*x(7) 求最小值的： f(2)=0.072*x(1)+0.063*x(2)+0.057*x(3)+0.05*x(4)+0.032*x(5)+0.0442*x(6)+0. 0675*x(7) f(3)=128*x(1)+78.1*x(2)+64.1*x(3)+43*x(4)+58.1*x(5)+36.9*x(6)+50.5*x(7)
约束条件： 0.082*x(1)+0.072*x(2)+0.065*x(3)+0.054*x(4)+0.038*x(5)+0.057*x(6)+0.045*x (7)>=7.2 0.072*x(1)+0.063*x(2)+0.057*x(3)+0.05*x(4)+0.032*x(5)+0.0442*x(6)+0.0675 *x(7)<=264.4 128*x(1)+78.1*x(2)+64.1*x(3)+43*x(4)+58.1*x(5)+36.9*x(6)+50.5*x(7)<=6971 9 lb=[0,0,0,0,0,0,0] ub=[426,390,430,374,445,534,476] f(1),f(2),f(3)的权值分别是：0.193，0.083，0.724 程序代码： %====================== function z=fgoalattain % 多目标最优化 clear all; clc % 给定目标，权重按目标比例确定，给出初值 options = optimset('TolCon',1e-008) goal = [-7 264 69000]; weight = [0.193 0.083 0.724]; x0 = [1 1 1 1 1 1 1]; % 给出约束条件的系数 A=[-0.082 -0.072 -0.065 -0.054 -0.038 -0.057 -0.045;0.072 0.063 0.057 0.05 0.032 0.0442 0.0675;128 78.1 64.1 43 58.1 36.9 50.5] B=[-7.2; 264.4;69719] Aeq = []; Beq = []; lb=[0,0,0,0,0,0,0] ub=[426,390,430,374,445,534,476] % 求解 [x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(@ObjFun,x0,goal,weight,A,B,Aeq,Beq,lb,ub) % ------------------------------------------------------------------ function f = ObjFun(x) f1=0.082*x(1)+0.072*x(2)+0.065*x(3)+0.054*x(4)+0.038*x(5)+0.057*x(6)+0.04 5*x(7);