第05节 二次函数与幂函数
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1. 已知函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为，则函数y ＝f(－
x)的图象可以为
【答案】B
【解析】由f(x)<0的解集为
知a<0，y ＝f(x)的图象与x 轴交点为(－3，0)，
(1，0)，所以y ＝f(－x)图象开口向下，与x 轴交点为(3，0)，(－1，0)．故选B .
2.【2017湖南衡阳模拟】已知p ：幂函数()
21m
y m m x =--在()0,+∞上单调递增；
，则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
，故p 是q 的充分不必要条件，选A. 3.【2017重庆巴蜀中学三诊】设01a <<， 0b c >>，则下列结论不正确的是（ ）
A. b c a a <
B. a a
b c > C. log log a a b c < D.
【答案】D
【解析】
4.，若互不相等，且
，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】 【解析】
5. 已知，,函数.若,则( )
A.
， B.
，
C.
，
D.
，
【答案】B
【解析】由题设()()13f f =可知2x =是对称轴，即()()34f f >，故二次函数的开口向下，即0a <，应选答案B 。
6.设函数f(x)＝?????x 2
＋bx ＋c （x≤0），
2 （x>0），
若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)
＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3
【答案】 D
【解析】由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4. f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.
A c b a ,,)()()(c f b f a f ==c b a ++)2014
,2()2015,2()2014,3()2015,3(
∴f(x)＝?
????x 2
＋4x ＋2 （x≤0），
2 （x>0）.又f(x)＝x ，
则当x≤0时，x 2
＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．
7．已知函数()22f x x x ＝＋，若()()()22f a f a f ≤－＋，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－2,2] C ．[－4,2] D ．[－4,4]
【答案】
A
A ．56
B ．112
C ．0
D ．38
【答案】B
【解析】由二次函数图象的性质得，当3≤x ≤20时，()()0f x f x ＋＝，∴
()()()1220g g g ?＋＋＋＝()()()()()()121122112g g f f f f ＋＝＋＋＋＝.
9. 【2017河北衡水中学模拟】已知二次函数()2
f x x bx c =++的两个零点分别在区间
()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）
A. ()12,20
B. ()12,18
C. ()18,20
D. ()8,18 【答案】A
【解析】由题意得()()()20420
{10{1000
f b c f b c f c ->-+>-> ，可行域如图三角形内部（不包括三角形
边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ），而()393f b c =++ ，所以直线
()393f b c =++过C 取最大值20 ，过B 点取最小值12， ()3f 的取值范围是()12,20，
选
A.
10. 关于x 的二次方程(m ＋3)x 2
－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( ) A ．30m <<－ B ．03m << C ．m <－3或m >0 D ．m <0或m >3
【答案】A 【解析】由题意知
212
12164(3)(2m 1)0,4x x 0,321x x 0,3m m m m m m ?
??=-+->?
?
+=
-?=
得30m <<－，故选A. 11. 【2017云南师范大学附中模拟】对于某个给定的函数()f x ，称方程()f x x =的根为函数()f x 的不动点，若二次函数()2
(0)f x ax bx c a =++>有两个不动点12,x x ，且
，当1t x <时， ()f t 与1x 的大小关系为（ ） A. ()1f t x > B. ()1f t x ≥ C. ()1f t x < D. ()1f t x ≤ 【答案】
A
12. 已知函数()2
()f x ax bx c b a =++>，对任意的x R ∈， ()0f x ≥恒成立，
的最小值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0 【答案】A
【解析】 因为二次函数()2
()f x ax bx c b a =++>恒非负，故b a >，
再由0?≤得到
()
()
1234a b a a b a -==
-，故当3a b a =-，且3， 即4b c a ==时，最小值是3，故选 A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
分.把答案填在题中的横线上.） 13.【2017安徽池州联考】已知幂函数的图象过点
，则
__________．
【答案】
14. 设二次函数()2
2f x ax bx =+-，如果()()12f x f x = ()12x x ≠
，则
()12f x x +=_________________
【答案】－2
15. 【重庆市2017届二诊】设函数()22log ,1
2{142
,1333
x x f x x x x ??
-≤- ???=-++>-，若()f x 在区间[],4m 的值域为[]
1,2-，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[]
8,1--
【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数()f x 的图象，当1x ≤-时，函数
()2log 2x f x ??=- ???单调递减，且最小值为()11f -=-，则令2log 22x ??
-= ???
，解得8x =-，
当1x >-时，函数()2142
333f x x x =-
++在()12-，上单调递增，在[)2+∞，上单调递减，则最大值为2，且()2423f =<， ()1
13
f -=，综上得所求实数m 的取值为[]81--，
.
16.【2017
有三个零点，则实数b 的取值范围为__________
．
三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数满足，对任意，都有,
且．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，使方程成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
；(2) ．
2
()(0)f x ax bx c a =++≠(0)1f =x R ∈1()x f x -≤()(1)f x f x =-()f x [2,2]x ?∈-()2()f x x f m +=m 2
()1f x x x =-+[2,3]-
∴
， 故，∴
（Ⅱ）由得，由题意知方程在有解.
，
所以满足题意的实数取值范围. 18．【2017浙江杭州模拟】已知函数h (x )＝(m 2
－5m ＋1)x m ＋1
为幂函数，且为奇函数．
(1)求m 的值；
(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h x ，x ∈??????0，12的值域．
【答案】(1)0;(2) ????
??12，1. 20(1)0a a >???=-≤?1,1a b ==-2
()1f x x x =-+()2()f x x f m +=22x x m m +=-22x x m m +=-[2,2]
x ∈-m [2,3]-
19．【2017浙江温州中学3月模拟】已知二次函数，对任意实
数，不等式恒成立，
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【解析】（1）依据题设条件，借助不等式恒成立建立函数分析探求；（2）借助题设条件运用分类整合思想分析探求：
(Ⅱ) 对任意都有等价于在上的最大值与最小值之
差，由（1）知，
即，对称轴：据此分类讨论如下：
(ⅰ)当即时，，
.
(ⅱ) 当,即时，恒成立.
（ⅲ）当，即时，.
综上可知，.
20．设函数．
（1）若在区间上不单调且在时取到最大值，求实数的取值范围；
（2）存在实数和，使得当时，恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1) ;(2) 的最小值为，当，时取到．
【解析】（1）由题，，解得．
（2）设函数在上的最大值和最小值分别为和，
则问题等价于且（解题中体现这一点就给分）．
①当时，；
②当时，；
③当即时，有
此时；
综上，实数的最小值为，当，时取到．
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1 初三数学二次函数测试附详细答案 一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（） ．C D 2 22 2 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其 2 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（） 8．（3分）（2008?长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（） ．C D． 二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题： （1）它的开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标为_________； （2）图象与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________． 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a_________0，b_________0，c_________ 0． 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到． 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为_________． 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为_________． 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________． 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=_________． 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m_________． 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=_________时，其最大值为0． 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0，b2﹣4ac_________0． 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）二次函数的解析式为_________； （2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）当自变量_________时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x_________时，两函数的函数值的积小于0． 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第_________象限． 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=_________． 二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次 函数性质及其综合考查 It was last revised on January 2, 2021 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及 其 综 合 考 查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，12 〕成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 5 2 2.已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1 二次函数单元测试卷 、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数） 的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且 函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点 复习二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 高考数学总复习 二次函数 1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 2 3、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。 4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题： （1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑： 开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。 (2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论： 令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0) 注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法. 5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点 处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m). （☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n). 龙文教育学科教师辅导讲义 解：（1）根据题意，得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解，解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. A D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是( 11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（ ）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________ 二次函数 一、 选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则（） A. 0> M，0> N，0> P B. 0< M，0> N，0> P C. 0> M，0< N，0> P D. 0< M，0> N，0< P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1-，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4=x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 初中数学二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-? ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） 2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 需 选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2，抛物线 ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( ) A ．ac+1=b B ．ab+1=c C ．bc+1=a D ．b a +1=c 5.如图6，是二次函数的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）． A.4 B.16 3 C.2π D.8 6．如图7，记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- + 1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有 21312n S n -=，22342n S n -= ，…；记121 n W S S S -=+++… ，当n 越来越大时，你猜想W 最 接近的常数是（ ） A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段 MP=A ， 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP=x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D 第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D． 7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．初三数学二次函数测试题及答案
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