For office use only
T1________________ T2________________ T3________________ T4________________
Team Control Number
36581
Problem Chosen
A
For office use only
F1________________
F2________________
F3________________
F4________________
2015 Mathematical Contest in Modeling (MCM) Summary Sheet
A New Approach On Eradicating Ebola
Abstract
Firstly, in order to predict and analyze the spread of the epidemic, the mainregions that are suffering from Ebolahemorrhagic feverin South Africa are taken into consideration, such as Liberia , Sierra Leone and Guinea.In the regions without drugs, the spread of the epidemic is only affected by the interaction between infected and the uninfected.In the regions with drugs, the people were divided into 5 groups , which includessusceptible,crowd of incubation period,not isolated populations,isolated population and rehabilitation of the crowd.The trends of different crowds in epidemic have been found with the use of discrete model, while the relationship between different groups of people, and natural growth of population was used together with the build of
u i
S I EI R model.
Secondly, when it comes to the drug treatment, considering the most basic of human physiological processes, and drug lnhibition of virus, we have build the model of drug metabolism and treatment model, so as to get the treatment cycles and the required drug in each patient. The quantity of the drugs in affected area demanded, the tendency of the quantity as well as the minimum medicines productivity that is required to control the
epidemic have been found with the help of
u i
S I EI R.
Finally,for different affected areas of epidemic,basing on the order of severty by existed data, we divided drug distribution by different priorities, which followed by confirming the required drug delivery and transport area, so that we could allocate drug resources for maximum extent.
Key words: Ebola hemorrhagic fever;model
u i
S I EI R; The model of basic drug metabolism;the model of drug treatment
Contents
I. Introduction (3)
II. The Description of the Problem (3)
2.1 Analysis (3)
2.2 Assumptions (6)
2.3 Symbols and Definitions (7)
III. Models (8)
3.1 The propagation of the epidemic for population in natural circumstances (8)
3.2 The development of the epidemic with using drugs. (9)
3.2.1 Crowd S (9)
3.2.2 Crowd R (10)
I (10)
3.2.3 Crowd
u
I (10)
3.2.4 Crowd
i
3.2.5 Crowd R (10)
3.3The basic model of the drug in the basic model of drug metabolism in vivo metabolism (13)
3.4 Law of virus growth in vivo (15)
3.5 Drug dosage (16)
3.6 Drug delivery (17)
IV. Conclusions (19)
V. The Approach (19)
VI. References (19)
VII. Appendix (19)
Appendix I: Anouncment (20)
Appendix II (21)
Appendix III: (21)
Appendix IV: (22)
Appendix V (24)
I. Introduction
In order to indicate the origin ofEbola problems, the following background is worth mentioning.
Ebolahemorrhagic fever[1]is a severeacutehemorrhagicdiseases causedbythe Ebola virus, mainlyinfectedthroughdirectcontact withinfected animals’ blood, body fluids, secretions andcontaminants, after theoutbreakin Central AfricaZaire(now the Democratic Republic of the Congo) andSudan,Ebola has swept over central Africa. The outbreak of Ebola haemorrhagic fever in West Africa in February 2014 is the most serious one ever happened, which has caught the attention from everywhere globally.Data presented by theUnited States Centers for Disease Control , Preventionand the World HealthOrganization (WHO), up toJanuary 25, 2015, thereported number of cases was8810 deathcases, what’s more,WHO has declaredEbolavirusas one ofthe most seriousharmto human.The world medical association has announced that their new medication could stop Ebola and cure patients whose disease is not advanced. But no detailed report has come out about the wide range oftherapeuticresults.The thesis here aimsto establisha discretemathematical modelanalyzingviralinfectionspreadchanges,master the medicaldelivery, and medical treatmentof the indicators, in order to provide practicaland feasiblesolutions forscientificalleviate oreradicate theEbolavirus.
II. The Description of the Problem
2.1Analysis
Since2014, the Ebola outbreak ofin many areas ofWest Africa, especially in Sierra Leone, Nigeria, Senegal, Liberia and otherless developedcountries,has causedserious lossesand influence to the localeconomy, people's life andsocial order. M ajor countries orregions[2] published byUSCDCcasedetailed datacenters andWHOstatistics, as is shown inthe following table.
Tab. 1 Major Ebola virus outbreaks by countrythat recent WHO / Gov update
Total Guinea Liberia Sierra Leone Nigeria Seneria United States Spain Mali United Kingdom Date
Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths Cases Deaths
25 Jan 201522,092 8,810 2,917 1,910 8,622 3,686 10,518 3,199 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6 1 0 18 Jan 201521,724 8,641 2,871 1,876 8,478 3,605 10,340 3,145 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6 1 0 11 Jan 2015 21,296 8,429 2,806 1,814 8,331 3,538 10,124 3,062 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6 1 0 04 Jan 201520,747 8,235 2,775 1,781 8,157 3,496 9,780 2,943 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6 1 0 28 Dec 201420,206 7,905 2,707 1,708 8,018 3,423 9,446 2,758 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6 1 0 21 Dec 201419,497 7,588 2,597 1,607 7,862 3,384 9,004 2,582 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6
14 Dec 201418,603 6,915 2,416 1,525 7,797 3,290 8,356 2,085 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6
07 Dec 201417,942 6,388 2,292 1,428 7,719 3,177 7,897 1,768 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6
30 Nov 201417,145 6,070 2,164 1,327 7,635 3,145 7,312 1,583 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6
23 Nov 201415,935 5,689 2,134 1,260 7,168 3,016 6,599 1,398 20 8 1 0 4 1 1 0 8 6
18 Nov 201415,351 5,459 2,047 1,214 7,082 2,963 6,190 1,267 20 8 1 0 4 1 1 0 6 6
16 Nov 201415,145 5,420 1,971 1,192 7,029 2,964 6,073 1,250 20 8 1 0 4 1 1 0 6 5
11 Nov 201414,413 5,177 1,919 1,166 6,878 2,812 5,586 1,187 20 8 1 0 4 1 1 0 4 3
09 Nov 201414,098 5,160 1,878 1,142 6,822 2,836 5,368 1,169 20 8 1 0 4 1 1 0 4 4
04 Nov 201413,268 4,960 1,760 1,054 6,619 2,766 4,862 1,130 20 8 1 0 4 1 1 0 1 1
02 Nov 201413,041 5,191 1,731 1,041 6,524 2,700 4,759 1,450 20 8 1 0 4 1 1 0 1 1
30 Oct 201412,647 5,087 1,675 1,022 6,485 2,636 4,487 1,429 20 8 1 0 4 1 1 0 1 1
24 Oct 201411,868 5,026 1,598 981 6,253 2,704 4,017 1,341 20 8 1 0 4 1 1 0 1 1
19 Oct 20149,964 4,877 1,540 904 4,665 2,705 3,706 1,259 20 8 1 0 3 1 1 0
17 Oct 20149,693 4,811 1,501 886 4,607 2,689 3,560 1,227 20 8 1 0 3 1 1 0
12 Oct 20148,997 4,485 1,472 843 4,249 2,458 3,252 1,183 20 8 1 0 2 1 1 0
07 Oct 20148,386 3,988 1,350 778 4,076 2,316 2,937 885 20 8 1 0 1 1 1 0
05 Oct 20148,033 3,865 1,298 768 3,924 2,210 2,789 879 20 8 1 0 1 0
01 Oct 20147,492 3,439 1,199 739 3,834 2,069 2,437 623 20 8 1 0 1 0
28 Sep 20147,192 3,286 1,157 710 3,696 1,998 2,317 570 20 8 1 0 1 0
25 Sep 20146,808 3,159 1,103 668 3,564 1,922 2,120 561 20 8 1 0
23 Sep 20146,574 3,043 1,074 648 3,458 1,830 2,021 557 20 8 1 0
21 Sep 20146,263 2,900 1,022 635 3,280 1,707 1,940 550 20 8 1 0
17 Sep 20145,762 2,746 965 623 3,022 1,578 1,753 537 21 8 1 0
14 Sep 20145,339 2,586 942 601 2,720 1,461 1,655 516 21 8 1 0
10 Sep 20144,846 2,375 899 568 2,415 1,307 1,509 493 22 8 1 0
07 Sep 20144,366 2,177 861 557 2,081 1,137 1,424 476 22 7 1 0
03 Sep 20144,001 2,089 823 522 1,863 1,078 1,292 452 22 7 1 0
31 Aug 20143,707 1,848 771 494 1,698 871 1,216 476 21 7 1 0
26 Aug 20143,069 1,552 648 430 1,378 694 1,026 422 17 7
20 Aug 20142,615 1,427 607 406 1,082 624 910 392 16 5
18 Aug 20142,473 1,350 579 396 972 576 907 374 15 4
16 Aug 20142,240 1,229 543 394 834 466 848 365 15 4 13 Aug 20142,127 1,145 519 380 786 413 810 348 12 4 11 Aug 20141,975 1,069 510 377 670 355 783 334 12 3 09 Aug 20141,848 1,013 506 373 599 323 730 315 13 2 06 Aug 20141,779 961 495 367 554 294 717 298 13 2 04 Aug 20141,711 932 495 363 516 282 691 286 9 1 01 Aug 20141,603 887 485 358 468 255 646 273 4 1 30 Jul 20141,440 826 472 346 391 227 574 252 3 1 27 Jul 20141,323 729 460 339 329 156 533 233 1 1 23 Jul 20141,201 672 427 319 249 129 525 224
20 Jul 20141,093 660 415 314 224 127 454 219
18 Jul 20141,048 632 410 310 196 116 442 206
15 Jul 2014964 603 406 304 172 105 386 194
10 Jul 2014888 539 409 309 142 88 337 142
08 Jul 2014844 518 408 307 131 84 305 127
02 Jul 2014759 467 413 303 107 65 239 99
24 Jun 2014599 338 390 270 51 34 158 34
18 Jun 2014528 337 398 264 33 24 97 49
10 Jun 2014474 252 372 236 13 9 89 7
05 Jun 2014438 231 344 215 13 9 81 7
02 Jun 2014354 208 291 193 13 9 50 6
27 May 2014309 200 281 186 12 9 16 5
23 May 2014270 181 258 174 12 9
14 May 2014245 164 233 157 12 9
05 May 2014243 162 231 155 12 9
30 Apr 2014233 153 221 146 12 9
23 Apr 2014220 143 208 136 12 9
21 Apr 2014215 136 203 129 12 9
17 Apr 2014209 129 197 122 12 9
10 Apr 2014169 108 157 101 12 9
07 Apr 2014163 102 151 95 12 7
02 Apr 2014135 88 127 83 8 5
01 Apr 2014130 82 122 80 8 2
31 Mar 2014114 70 112 70 2 0
27 Mar 2014103 66 103 66
26 Mar 201486 60 86 60
25 Mar 201486 59 86 59
22 Mar 201449 29 49 29
For thedataabove[3], weuseMatlabsoftware for dataanalysis,and thecasestatisticalline chart fromMarch 22, 2014toJanuary 25, 2015 is shown below:
Fig. 1 The details of illness cases of maincountries and regions
At the same timewe smoothfit thedaily sickand deathscasualties, then we got the chart below:
Fig. 2the daily line chart for casestatistics
=.
According tothe statisticschart, the sickclinicalmortality Ebolainfection k0.5222
2.2 Assumptions
●Without regard of the impactofEbolavirus transmission from immigration and
emigrationpopulation.
●Onlyuse intravenousdrug therapyfor patients withEbola
●Ignorethe crossinfection of Ebolavirus among thepopulation
●The incidence of carriers during the incubation period and obey uniformly distributed at
[]
1,H
●Nobody can natural beimmunedagainstEbolavirus
● Considering the seriousness of the outbreak,none will escape from susceptible S ● Assume that there are none sexual behavior in a non-secure period for recovered men. ● It is equal to each person on metabolism capacity for virus.
● When the blood efficacy of patient to metabolism drugis greater thanthe minimumamount
ofplay, the roleof theEbolavirusare consistent. 2.3 Symbols and Definitions
Table. 2 Symbols and Definitions
Symble
Mean N Population S
The susceptible
E
Latencies crowd ，who carry the Ebola virus ，and can not transmit to the S crowd
u I
Significantly illness but not discovered ，can transmit to the S crowd i I
Significantly illness and isolated after discovered ，can not transmit to the S crowd
R
The cured crowd ，who couldn’t be infected and won’t infect others
H
The days of incubation period ，10H =
δ The scaling factor that sick people infect the S crowd per day
g
The incidence of carriersper day,which obey uniformly distributed at []1,H ,
1
0.1g H
=
= z
The proportion of infections to be seperated
c
The proportion to be cured
k
The mortality of infections who acceptedmedication
α
The annual rate of natural population increase in Africa ，from UN [4] we know
α=0.026
b
The drug demand for quarantined infected persons
M
The total area of drug demand
t
Time
F
The sick people under the natural development of the epidemic j
The mortality of the incidence in infected with therapies like oral rehydration
G
The number of deaths for infected persons with slightly therapy
y
The amount of drug in vivo who accepting medicine treatment φ The amount of drug that an intravenous injection contain λ The minimun amount of drug efficacy in the patient’s blood
ζ The number of Ebola virus in the vivo of patient
ψ The production rate of the drug a
The probability of being cured
η The scaling factor between the growth rate and the current amount of virus μ
The scaling factor between the amount of drug in vivo and the growth rate of the
virus
III. Models
3.1The propagation of the epidemic for population in natural circumstances
In the absence of vaccines and drugs, there will be more sick people, and the chance of Ebola Virus attact to crowd S will be much bigger . If there are more crowd S, the chance of Ebola Virus infection also will be much bigger. Therefore, it is reasonable to believe that the increase of sick people is proportional to i S I ?. Taking the natural growth of population under consideration, and the high clinical mortality in soothing treatment of transfuse.We get the following equation:
()((1)(1))(1)(1)(1)()(1)
()(1)(1)
365F t N t F t F t j F t G t j F t N t N t δα?
?=?---?-+-?-?
=?-???=+?-?
（1） Giving the following are initial value and parameters: (1)1000000N =，
(0.0000014,0.0000034)δ∈, (1)1F =We got the changes of sick population without drugs:
Fig. 3 The development of sick population without drugs
From the picture we can know, although , the development of sick population was different with difference δ , there is no doubt of the general trend. 3.2The development of the epidemic with using drugs.
In the research of infectious diseases, we found a standard SIR epidemic model in 1927 that Kermark and Mokendrick establish. We will discuss 5group ofpeople with drug using, in order to get the trend of development in different people.
First of all, we will build different Models based on different groups.Secondly, we inferred the difference equations which we need. Finally, a qualitative analysis will be used in the whole result.
3.2.1 Crowd S
If crowd S contact more with crowd i I , it means more people in crowd S will be infected. So the increase of crowd S is proportional to i S I -?, Considering the natural growth of population, we got :
()(1)(1)(1)(1)
365
u S t I t S t S t α
δ=-?-?-++
?-(2)
3.2.2 Crowd R
For crowd E, if there are more crowd S, more people would likely be infected and carry Ebola Virus; If there more crowd u I , the crowd u I would have more chance to let crowd S carry Ebola virus. To some extent , crowd E is proportional to (1)(1)u I t S t -?-. Considering the natural growth of the population, and people in crowd E disease risk 0.1g =,we got:
()(1)(1)(1)(1)(1)
365
u E t I t S t g E t E t α
δ=?-?--?-++
?-(3)
3.2.3 Crowd u I
The increase of crowd u I comes from the pathogenesis in crowd E and the natural growth of population. Because there is a certain probability of being found or isolated and the mortality after onset , so we got:
()(1)(1)(1)(1)
365
u u u I t g E t z I t k I t α
=?--?-++
-?-(4)
3.2.4 Crowd i I
If there is more crowd u I ，crowd i I will be at an increase. Considering the probability of rehabilitation , the natural growth of population and the mortality in patients with clinical onset, we got:
()(1)(1)(1)(1)
365
i u i i I t z I t c I t k I t α
=?--?-++
-?-(5)
3.2.5Crowd R
Because the virus is that which has to carry antibodies, it so therefore has no effect on the rest of the population,then:
()(1)(1)i R t c I t R t =?-+-(6)
And the total number of people obey to:
()()()()()()u i N t S t E t I t I t R t =++++(7)
Combining equations(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)we get different people change the dynamic equations
()(1)(1)(1)(1)365()(1)(1)(1)(1)(1)
365()(1)(1)(1)(1)
365()(1)(1)(1)(1)
365
()(1)(1)()(u u
u
u u i
u i i i S t I t S t S t E t I t S t g E t E t I t g E t z I t k I t I t z I t c I t k I t R t c I t R t N t S t αδαδαα=-?-?-++?-=?-?--?-++?-=?--?-++-?-=?--?-++-?-=?-+-=)()()()()
u i E t I t I t R t ?
??
???
???
???
??++++?(8)
Constraint of equation (8) satisfies
,,,,0
10,,1
u i S E I I R g H z c δ≥???
=?
?
≤≤?? Application of equation(8),we used to predict the development of the epidemic in a population of about 1 million of the region,In the given initial value:
0.00140.8(1)30(1)10(1)3(1)0(1)10000000.00001u i c z E I I R S δ=??=?
?=?
=??
=?
?=?
=??=?
We got:
Fig. 4Demographic trends Figure epidemic crowd of about one million in five regions Changes in the figure above R groups did not show significant,so we got a closer view of the change in the interval:
Fig. 5Preliminary enlarged view of five people epidemic trends area population of about 1,000,000
Fig. 6An enlarged view of the five groups of epidemic trends population
The change in total population follows:
Fig. 7The total population of about one million change map areas
3.3The basic model of the drug in the basic model of drug metabolism in vivo metabolism
Under the action of Equation 8 we got the Variation of the above five categories of
20
40
60
80
100
-2000
02000
40006000
800010000In range [1 100 -3000 10000]
Time
C a s u a l t i e s
people. next we will consider the law of drug metabolism in the human body.Within a certain range of human metabolic capacity under constant conditions,The consumption rate of drug in the blood with the decrease of the current will reduce the drug in the blood content,then the
change of relationship between the two can be expressed as dy
dt will be proportional to y -,so:
0'y y y θφ=-??
=? (9)
Wherein θis a constant, the solution of the equation (9) results:
t
y e
θφ-=(10)
Because the minimum amount of drug required to play the role is λ, when the dose is less than forthcoming,the second injection time is requiredto satisfy the conditions:
t e θλφ-=(11)
So
21
ln
t φ
θ
λ=
(12)
After the second injection,The amount of drug in the body of the patient is λφ+,And in this case, the equation of drug metabolism is:
()
2()t t y e
θφλ--=+(13)
When the third time of drug injection is required,it satisfies the conditions:
()
2()t t e
θφλλ--+=(14)
Then:
321
+
ln
t t φλ
θ
λ
+=(15)
So we can get the nth injection that satisfies :
1
12ln ln 1211n
n t n t n φφθλθλ?-??=++≥? ????
?==?(16)
If 0.05θ=，10ml φ=，=4ml λ，
Then the change in the amount of drug in the patient is as shown below:
Fig. 8variation amount of drug in the patient
3.4Law of virus growth in vivo
In the absence of drug,ebola virus infection growth in vivo,is proportional to the account of virus in vivo at present,then:
01
d dt
ζζ
ηζ=???=??(17)
Then:
=e
t
ηζ(18)
After the patient is infected with Ebola virus, during the time to accept drug treatment, the growth of the virus is proportional to some extent with the existing amount of the virus, but negatively correlated with the amount of drugs y
,so:
()e y d y dt
ηττζζτλ
ζ
ηζμ?==?≥?=-??(19)
Then
()()1t t
y e e
y ητημζλ
η
+=-+≥(20)
Because the lowest amount of the drug needed to exert a therapeutic effect in a patient's body is λ,when the drug is greater than this value,it will produce inhibition of viral growth. Assuming that the minimum amount of drug efficacy of is consistent with the role of the virus, so:
()()1t t
e e
ητημζλη+=-+(21)
Thus,the time needed to eliminate the Ebola virus in the patient's body with drugs is:
1
ln all t e
ητ
μλ
ημλη=-(22)
Combining the equations(16)(22).Theinjections required to destroy the Ebola virus in the
patients body is:
(
)()
()()
ln ln ln ln 2ln ln e
n ητ
μλμληηλφθ
ηφλλ--+-=++-(23)
3.5Drug dosage
So drugsrequired for the isolated individuals who are ill is n φ,that:
()()()()ln ln ln ln 2ln ln e b ητμλμληηλφφθ
ηφλλ??
--+- ?=+ ?+-??(24)
Regard the incidence population of isolated as i I , thenthe total amount of medicine required is i I b , corresponding to:
()()()()ln ln ln ln ()2()ln ln i e M t I t ητμλμληηλφφθ
ηφλλ??
--+- ?=+ ?+-??(25)
This is the minimum amount of vaccine and medicing needed to control the epidemic from the above expression. Therefore,The lowest production rate of vaccine and medicine is:
()
dM t dt ψ=
(26)
3.6 Drug delivery
“The boundaries and names shown and the designations used on this map do not imply the expression of any opinion whatsoever on the part of the World Health Organization concerning the legal status of any country, territory, city or area or of its authorities, or concerning the delimitation of its frontiers or boundaries. Dotted and dashed lines on maps represent approximate border lines for which there may not yet be full agreement.”Reported on
Fig.9 Geographical distribution of new and total confirmed cases
According to the color depth from above figure, the distribution areas of patient population, epidemic outbreaks mainly appear inLiberia, Sierra Leone, and Guinea, so these 3
countries, along with the surrounding areas should get the biggest proportion of drugs, which
can make the biggest use of the drugs.
Abstracting the sick people in the region to graph theory, we get the following schematic.
Fig.10the geomatic figture of distribution for new and total confirmed cases Among them,the size of the node indicating the severity of the epidemic for the corresponding region,then the best route of drug delivery appeared.
Whenthe Makeni city of Sierra Leone is regarded as country-level drug distribution stations, the surrounding areas including Freetown , Monrovia , Conakry can also be taken care of. Then these 3 cities can be the secondary drug distribution stations. The rest can be done in the same manner.
IV. Conclusions
S I EI R we constructed makes a great prediction on the The simple discrete model
u i
development trend for different groups of people in epidemic.Meanwhile, we got the essential medicines production rate and patient's treatment cycle for drugs variation of the total demand and regional demand accoding to the model of human drug metabolism in vivo and the interaction of drug and virus. With the consideration of the severity of the epidemic among different regions extent, we divided the region into different priorities, With the consideration ofto make the rational allocation of resources medicines according to priority.
V.The Approach
In many cases,the population moving between regions would make a large extent onthe spread ofthe epidemic, As a result, the people moving in and out was ignored. In turn the results obtained by SIR model may have some discrepancies accordingly.
In addition, the infection from other species would significantly influence the development of the epidemic.
VI. References
[1]https://www.doczj.com/doc/f315718371.html,/wiki/Ebola_virus_disease
[2]https://www.doczj.com/doc/f315718371.html,/wiki/Ebola_virus_epidemic_in_West_Africa
[3]http://www.who.int/csr/disease/ebola/situation-reports/archive/en/
[4]https://www.doczj.com/doc/f315718371.html,/zh/waterforlifedecade/africa.shtml
[5]https://www.doczj.com/doc/f315718371.html,/wiki/Epidemic_model
[6]May RM,Anderson R M.Population biology of infectious disease:PartⅡ[J].Nature,1979,280:455～
461.
[7]Anderson RM,May R M.Population biology of infectious disease:Part I[J].Nature,1979,280:361～376.
[8]United Nations Department of Economic and Social Affairs:
https://www.doczj.com/doc/f315718371.html,/unpd/wpp/Excel-Data/population.htm
VII.Appendix
Appendix I: Anouncment
Dear the world medical association:
The current Ebola epidemic in West Africa is unlike any we have seen since the disease was first identified in line, after the outbreak in Central Africa Zaire (now the Democratic Republic of the Congo) and Sudan, it has been endemic in Central Africa to form since 1976. Although the risk of Ebola transmission is low, becoming infected still requires direct, physical contact with the bodily fluids (vomit, faeces, urine, blood, semen, etc.) of people who have been infected with or died from Ebola virus disease seems criticle.
Based on the data reported from United States Centers for Disease Control , Prevention and the World Health Organization (WHO), until January 25, 2015, It is reported that the number of cases continue spreading to 8810 death cases . We constructed the simple discrete
S I EI R,making a great prediction on the development trend for different group of model
u i
people in epidemic, depending on the model of human drug metabolism in vivo and the interaction of drug and virus, it comes to the essential medicines production rate and patient's treatment cycle for drugs variation of the total demand and regional demand.
Considering the spread of the disease, the quantity of the medicine needed, possible feasible delivery systems On the one hand,for the absence of drug action, we calculated that there will be a slight increase for virus in the coming months, showing a tendency to spread further, predicting the peak of the epidemic would appear in a month or two based on model
S I EI R; On the other hand, for locations of delivery, speed of manufacturing of the vaccine u i
or drug ,the targeted delivery to the affected areas depend on Kinetic model for disease, we would see significantly changes that the number of people infected with Ebola virus crowd slows down in the average treatment, and the average diffusion rate reach about 50% lower than the original. Those proved the practical effect of our model on predicting the Ebola epidemic seems feasible.
In addition, to protect yourself, your family, and your community from EVD transmission, immediately report to the nearest health facility if you develop symptoms indicative of EVD, including high fever, body aches, joint pain, vomiting, diarrhoea, or haemorrhaging. Knowing that isolation and professional clinical treatment increase a person’s
数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个
第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
第1讲MATLAB及 在数学建模中的应用 ? MatLab简介及基本运算?常用计算方法 ?应用实例
一、 MatLab简介及基本运算 1.1 MatLab简介 1.2 MatLab界面 1.3 MatLab基本数学运算 1.4 MatLab绘图
1.1 MatLab简介?MATLAB名字由MATrix和 LABoratory 两词组成。20世纪七十年代后期, 美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler教授为减轻学生编程负担，为学生设计了一组调用LINPACK和EISPACK库程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN编写的萌芽状态的MATLAB。
?经几年的校际流传，在Little的推动下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市场。从这时起，MATLAB的内核采用C语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能。
?1997年春，MATLAB5.0版问世，紧接着是5.1、5.2、5.3、6.0、6.1、6.5、7.0版。现今的MATLAB拥有更丰富的数据类型和结构、更友善的面向对象、更加快速精良的图形可视、更广博的数学和数据分析资源、更多的应用开发工具。 ?20世纪九十年代的时候，MATLAB已经成为国际控制界公认的标准计算软件。
?MATLAB具有用法简易、可灵活运用、程式结构强又兼具延展性。以下为其几个特色： ①可靠的数值运算和符号计算。在MATLAB环境中，有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函 数可使用。 ②强大的绘图功能。 MATLAB可以绘制各种图形，包括二维和三维图形。 ③简单易学的语言体系。 ④为数众多的应用工具箱。
数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式
数学建模软件介绍 一般来说学习数学建模，常用的软件有四种，分别是：matlab、lingo、Mathematica 和SAS下面简单介绍一下这四种。 1.MATLAB的概况 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处 理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等 语言完相同的事情简捷得多. 当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具 包和学科工具包.功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强 的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类. 开放性使MATLAB广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改 或加入自己编写程序构造新的专用工具包. 2.Mathematica的概况 Wolfram Research 是高科技计算机运算( Technical computing )的先趋，由复杂理论的发明者Stephen Wolfram 成立于 1987年，在1988年推出高科技计算机运算软件Mathematica，是一个足以媲美诺贝尔奖的天才产品。Mathematica 是一套整合数字以 及符号运算的数学工具软件，提供了全球超过百万的研究人员，工程师，物理学家，分析师以及其它技术专业人员容易使用的顶级 科学运算环境。目前已在学术界、电机、机械、化学、土木、信息工程、财务金融、医学、物理、统计、教育出版、OEM 等领域广 泛使用。
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
数学实验与数学建模 实验报告 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 完成时间：年月日
承 诺 书 本人承诺所呈交的数学实验与数学建模作业都是本人通过学习自行进行编程独立完成，所有结果都通过上机验证，无转载或抄袭他人，也未经他人转载或抄袭。若承诺不实，本人愿意承担一切责任。 承诺人： 年 月 日 数学实验学习体会 （每个人必须要写字数1200字以上，占总成绩的20%） 练习1 一元函数的图形 1． 画出x y arcsin =的图象. 2． 画出x y sec =在],0[π之间的图象. 3． 在同一坐标系中画出x y =，2x y =，3 x y = ，3x y =，x y =的图象. 4． 画出3 2 3 2)1()1()(x x x f + +-=的图象，并根据图象特点指出函数)(x f 的奇偶性. 5． 画出)2ln(1++=x y 及其反函数的图象. 6． 画出3 21+=x y 及其反函数的图象.
练习2 函数极限 1．计算下列函数的极限. (1) x x x 4 cos 1 2 sin 1 lim 4 - + π → . 程序： sym x; f=(1+sin(2*x))/(1-cos(4*x)); limit(f,x,pi/4) 运行结果： lx21 ans = 1 (2). 程序： sym x; f=(1+cos(x))^(3*sec(x)); limit(f,x,pi/2) 运行结果： lx22 ans = exp(3) (3) 2 2 ) 2 ( sin ln lim x x x - π π → . 程序： sym x; f=log(sin(x))/(pi-2*x)^2; limit(f,x,pi/2) 运行结果： lx23 ans = -1/8 (4) 2 1 2 lim x x e x →. 程序： x x x sec 3 2 ) cos 1( lim+ π →
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 （ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。 （iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响；否则是相关的。 （iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。
1 Mathematica简介 Mathematica是美国Wolfram公司开发的一套符号计算系统。本章简要介绍windows平台下Mathematica5.0的基本操作。 Mathematica功能强大，内容丰富的函数覆盖了初等数学，微积分和线性代数等众多的数学领域，包含了数学多方向的新方法和新技术。同时, Mathematica具有异常强大的作图函数，是非常好的可视化的工具。Mathematica具有自由的集成环境和优良的系统开放性，吸引了众多的用户，在科研院所和高等学校非常流行。 Mathematica使用C语言编写，它吸收了不同类型的软件特点：?具有简单的Basic的交互方式操作； ?具有类似于Matlab，MathCAD的强大的数值计算功能； ?具有Maple那样强大的符号计算功能； ?具有类似C和Pascal那样的结构化程序设计。 2 LINGO和LINDO简介 LINGO和LINDO是专门用于求解数学规划问题的软件包。由于执行速度快，而且能够方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。使用LINDO和LINGO，能够迅速的求解规划问题的最优决策，省去了大量难以想象的人工计算。 3 MATLAB简介 MATLAB是由美国Mathworks公司开发，是一个交互式的以矩阵计算为基础的科学和工程计算软件。其编程效率高，计算功能强，使用非常方便，并且易于扩充，绘图功能强大，并且提供了各种工具
箱，为工程实践提供了强大的支持。 4 MATYPE简介 MathType是一个强大的数学公式编辑器，与常见的文字处理软件和演示程序配合使用，能够在各种文档中加入复杂的数学公式和符号。可以与常见文字处理工具紧密结合，支持OLE (对象的链接与嵌入)，可以在任何支持OLE 的文字处理系统中调用(从主菜单中选择"插入->对象" 在新对象中选择"MathType Equation" )，帮助用户快速建立专业化的数学技术文档。实现所见即所得的工作模式，它可以将编辑好的公式保存成多种图片格式或透明图片模式，可以很方便的添加或移除符号、表达式等模板(只需要简单地用鼠标拖进拖出即可)，也可以很方便地修改模板。总之，功能多多，熟练使用了就知道它的强大了。可用在编辑数学试卷、书籍、报刊、论文、幻灯演示等方面，是您编辑数学资料的得力工具。 5 CTEX简介 Tex是一个功能强大特别适合排版科技文献和书籍的格式化排版程序。由美国斯坦福大学D.E.Kunth教授研制。Ctex是Latex的中文化软件包，而https://www.doczj.com/doc/f315718371.html,所提供的mtex（由马宏斌博士提供）则可以看做是一个更小的latex包，包含了全部Ctex的功能，并且含有众多的绿色小软件。 6 S-PLUS简介 S-PLUS是市场上最有权威的数据分析软件之一，她提供了弹性的、互动的环境来分析、可视及展示数据。使用S-PLUS可以简化你
数学建模中常见的十 大模型
精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
Matlab在数学建模中的应用 数学建模是通过对实际问题的抽象和简化，引入一些数学符号、变量和参数，用数学语言和方法建立变量参数间的内在关系，得出一个可以近似刻画实际问题的数学模型，进而对其进行求解、模拟、分析检验的过程。它大致分为模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验及应用等步骤。这一过程往往需要对大量的数据进行分析、处理、加工，建立和求解复杂的数学模型，这些都是手工计算难以完成的，往往在计算机上实现。在目前用于数学建模的软件中，matlab 强大的数值计算、绘图以及多样化的工具箱功能，能够快捷、高效地解决数学建模所涉及的众多领域的问题，倍受数学建模者的青睐。 1 Matlab在数学建模中的应用 下面将联系数学建模的几个环节，结合部分实例，介绍matlab 在数学建模中的应用。 1.1 模型准备阶段 模型准备阶段往往需要对问题中的给出的大量数据或图表等进行分析，此时matlab的数据处理功能以及绘图功能都能得到很好的应用。 1.1.1 确定变量间关系 例1 已知某地连续20年的实际投资额、国民生产总值、物价指数的统计数据（见表），由这些数据建立一个投资额模型，根据对未来国民生产总值及物价指数的估计，预测未来的投资额。
表1 实际投资额、国民生产总值、物价指数的统计表 记该地区第t年的投资为z(t)，国民生产总值为x(t)，物价指数为y(t)。 赋值： z=[90.9 97.4 113.5 125.7 122.8 133.3 149.3 144.2 166.4 195 229.8 228.7 206.1 257.9 324.1 386.6 423 401.9 474.9 424.5]' x=[596.7 637.7 691.1 756 799 873.4 944 992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718 1918.3 2163.9 2417.8 2631.6 2954.7 3073]' y=[0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 0.8254 0.8679 0.9145 0.9601 1 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 1.5042 1.6342 1.7842 1.9514 2.0688]' 先观察x与z之间，y与z之间的散点图 plot(x,z,'*') plot(y,z,'*') 由散点图可以看出，投资额和国民生产总值与物价指数都近似呈
数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
第四周 3. 中的三个根。 ，在求8] [0,041.76938.7911.1-)(2 3=-+=x x x x f function y=mj() for x0=0:0.01:8 x1=x0^3-11.1*x0^2+38.79*x0-41.769; if (abs(x1)<1.0e-8) x0 end end 4.分别用简单迭代法、埃特金法、牛顿法求解方程，并比较收敛性与收敛速度（ε分别取10-3、10-5、10-8）。 简单迭代法： function y=jddd(x0) x1=(20+10*x0-2*x0^2-x0^3)/20; k=1; while (abs(x1-x0)>=1.0e-3) x0=x1; x1=(20+10*x0-2*x0^2-x0^3)/20;k=k+1; end x1 k 埃特金法： function y=etj(x0) x1=(20-2*x0^2-x0^3)/10; x2=(20-2*x1^2-x1^3)/10; x3=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+x0); k=1; while (abs(x3-x0)>=1.0e-3) x0=x3; x1=(20-2*x0^2-x0^3)/10; x2=(20-2*x1^2-x1^3)/10; x3=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+x0);k=k+1; end 2 ,020102)(023==-++=x x x x x f
x3 k 牛顿法： function y=newton(x0) x1=x0-fc(x0)/df(x0); k=1; while (abs(x1-x0)>=1.0e-3) x0=x1; x1=x0-fc(x0)/df(x0);k=k+1; end x1 k function y=fc(x) y=x^3+2*x^2+10*x-20; function y=df(x) y=3*x^2+4*x+10; 第六周 1.解例6-4（p77)的方程组，分别采用消去法（矩阵分解）、Jacobi迭代法、Seidel迭代法、松弛法求解，并比较收敛速度。 消去法： x=a\d 或 [L,U]=lu(a); x=inv(U)inv(L)d Jacobi迭代法： function s=jacobi(a,d,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); C=inv(D); B=C*(L+U); G=C*d; s=B*x0+G; n=1; while norm(s-x0)>=1.0e-8 x0=s; s=B*x0+G;