2011年4月济南市高三模拟考试数学（理工类）试题
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式V=1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B). 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的
概率:()(1)
(0,1,2,,)k k n k
n n P k C p p k n -=-= . 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的. 1. i 为虚数单位，复平面内表示复数2i
z i
-=
+的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
２. 已知集合{}
|21|1M x x =-<,{}
|31x
N x =>，则M N =
A.?
B. {}|0x x <
C.{}|1x x <
D.{}
|01x x <<
3. 若02log a a 且，则函数()log (1)a f x x =+的图
像大致是
A. B. C. D.
4. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且2
4754a a a =?，2a =1，则1a =
A.
21 B. 2
2 C. 2 D.2
5.已知变量x 、y 满足约束条件11y x x
y y ≤??+≤?≥-??，则32z x y =+的最大值为
A ．3-
B 2
5
C.5-
D.4
6. 过点（0,1）且与曲线1
1
x y x +=-在点(32)，
处的切线垂直的直线的方程为 A ．012=+-y x
B ．012=-+y x
C C ．022=-+y x
D ． 022=+-y x
7.右图给出的是计算
111124620
++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 A ．10>i B ．10i D ．11 8．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，只需把函数x x y 2cos 2sin -=的图像 A ．向左平移 4π个长度单位 B ．向右平移4π 个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2 π 个长度单位 9. 关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥.其中真命题有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1 (3)() f x f x +=-，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,则(107.5)f = A.10 B. 110 C.10- D.110 - 11．设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b -=>>与圆2222 x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、F 2分别是双曲 线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率 A B C D 12．已知函数?? ???=≠+=0 ,00 ,1 )(x x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 A ．2-c B ．2->b 且0 C ．2- D ．2-≥b 且0=c 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案. 13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n = ． 14．二项式6)2(x x - 的展开式中的常数项为 ． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和 BC 上，且3,3DC DE BC BF == ，若AC mAE nAF =+ ， 其中,m n R ∈，则m n += _________. 16.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()() ( )sin 0,f x x x π=∈ 及直 线()() 0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为16 3，则a 的值是 ． 三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知向量 3(sin ,),(cos ,1)4 a x b x ==- . （1）当//a b 时，求2 cos sin 2x x -的值； （2）设函数()2()f x a b b =+? ，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若 36sin ,2,3= ==B b a ,求()??? ? ?++62cos 4πA x f (0,3x π?? ∈????)的取值范围. 18.（本小题满分12分） 已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面 互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19.（本小题满分12分） 在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N * ，都有1 21+=+n n n a a a ． （1）证明数列}1 {n a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； （2）设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得2011 1000 >n T 的最小正整数n . 20.（本小题满分12分） 济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师， （1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率； （2）求A 中学分到两名教师的概率； （3）设随机变量X 为这五名教师分到A 中学的人数，求X 的分布列和期望． 21.（本小题满分12分） 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的短轴长为32，右焦点F 与抛物线x y 42 =的焦点重合， O 为 坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点(4,0)D -，且满足DA DB λ= ，若?? ? ???∈2 1,83λ，求直线AB 的 B C D 第18题图 斜率的取值范围. 22.（本小题满分14分） 已知函数()11ln )(2+-+=x p x p x f . （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：n n 1 31211)1ln(++++<+ )(*N n ∈. 2011年4月济南市高三模拟考试 高三数学（理工类）参考答案 一、选择题： 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8 .A 9.B 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 81 14. 160- 15. 32 16. 23 π 三、解答题： 17．解：（1）33 //,cos sin 0,tan 44 a b x x x ∴+=∴=- …………2分 22 222 cos 2sin cos 12tan 8 cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++ …………6分 （2）()2())4f x a b b x π=+?=+ +3 2 由正弦定理得 sin ,sin sin 24 a b A A A B π===可得所以 …………………9分 () ??? ? ?++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π?? ∈???? 112,4412x πππ??∴+∈????, 所以 ()21262cos 4123-≤??? ? ? ++≤-πA x f --------------------12分 18、（1）证明：方法一： 取EC 的中点F ，连接FM ，FN ， 则BC FM //，BC FM 21= ，BC AN //，BC AN 2 1 = ………………………2分 所以BC FM //且BC FM =，所以四边形AMFN 为平行四边形， 所以NF AM //， …………………………………4分 因为?AM 平面NEC ，?NF 平面NEC ， 所以直线//AM 平面NEC ； …………………………………6分 （2）解：由题设知面⊥ABCD 面ADE ，AD CD ⊥，ADE CD 面⊥∴ 又CDE CD 面? ，∴面A D E C D E 面⊥，作DE NH ⊥于H ，则C D E NH 面⊥，作 O EC HO 于⊥，连接NO ，由三垂线定理可知CE NO ⊥， ∴HON ∠就是二面角D CE N --的平面角， …………………………………9分 在正A D E ?中，可得2 3 = NH ，在EDC Rt ?中，可得1053=OH ，故在N H O Rt ?中， 3 15 tan == ∠OH NH HON ， …………………………………11分 所以二面角D CE N --的大小为3 15 arctan …………………………………12分 方法二：如图以N 为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,所以),0,1,0()1,1,0(),0,1,0(D B A -- ),21 ,21,23(),1,1,0(),0,0,3(),0,0,0(-M C E N …1（1）取EC 的中点F ，所以)2 1 ,21,23(F ，设平面NEC 的一个法向量为)1,,(y x =，因为)1,1,0(=NC ，)0,0,3(= 所以01=+=?y ，03==?x ；所以)1,1,0(-=， ……………3分 因为)2 1 ,21,23( =AM ，0=?，所以⊥ ………………………5分 因为?AM 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ………………………7分 （2）设平面DEC 的一个法向量为),,1(z y =，因为)1,0,0(=，)0,1,3(-= 所以0==?z ，03=-=?y ；所以)0,3,1(=……………9分 4 6 2 23,cos - =?-= >= < ………………………………11分 因为二面角D CE N --的大小为锐角, 所以二面角D CE N --的大小为 4 6 arccos ………………………………12分 19．解：(1) 11 1 =a ， B 因为121+=+n n n a a a ，所以21 11=-+n n a a ， ∴数列}1 {n a 是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分 ∴ 121 -=n a n ， 从而12-=n a n . …………………………………………………6分 (2)因为?? ? ??+--=+-= +12112121)12)(12(11n n n n a a n n ………………… 8分 所以13221++++=n n n a a a a a a T ????????? ??+--+??? ??-+??? ??-=121121513131121n n 1 2+=n n ……………………………………………10分 由2011100012>+=n n T n ，得11 1000 >n ，最小正整数n 为91. …………………12分 20.解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A ， 基本事件总数N= 22333 5335312 C C A C A +. 所以P （A ）= 2313 3333 223335335312 C A C A C C A C A ++= 6 25 . ----------4分 （2）设A 中学分到两名教师为事件B ，所以P （B ）= 222 532 223335335312 C C A C C A C A += 2 5 . ------8分 （3）由题知X 取值1，2，3. P （X =1）= 12232542422233353353(71152C C C C A C C A C A +=+， P （X =2）=25,P （X =3）=225222333533532 1152 C A C C A C A =+. 3 = EX -------------------------12分 21. 解:（1）由已知得2,1,3===a c b ，所以椭圆的方程为13 42 2=+y x ………4分 （2）∵DA DB λ= ,∴,,D A B 三点共线,而(4,0)D -,且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为 (4)y k x =+，与椭圆的方程22 143 x y +=联立得 222(34)24360k y ky k +-+= 由0)41(1442>-=?k ，得41 2 < k . …………………6分 设),(),,(2211y x B y x A ， 2 121222 2436,3434k k y y y y k k +=?=++ ① 又由DA DB λ= 得: 1122(4,)(4,)x y x y λ+=+ ∴ 21y y λ= ②. 将②式代入①式得:22 2 22 224(1)343634k y k k y k λλ? +=??+??=?+? 消去2y 得:2216(1)1 234k λλλλ +==+++ …………………9分 当?? ????∈21,83λ时, 21)(++=λλλh 是减函数, 24121 )(29≤≤∴λh , ∴ 241214316292≤+≤k ,解得36 5484212≤≤k , 又因为4 12< k ，所以365484212 ≤≤k ,即222165-≤≤-k 或652221≤≤k ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ??????--2221,65?? ? ???65,2221 …………12分 22解：（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()()x p x p x p x p x f +-=-+=2' 1212…2分 当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增； 当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调递减；……………4分 当-1＜p ＜0时，令'()f x =0，解得() 12-- =p p x . 则当()???? ??--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()??? ? ??∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()???? ??-- 12,0p p 单调递增，在()??? ? ??∞+--,12p p 单调递减. …………6分 （2）因为0>x ，所以 当 1 =p 时，kx x f ≤)(恒成立x x k kx x ln 1ln 1+≥ ?≤+? 令x x x h ln 1)(+= ，则max )(x h k ≥, ……………8分 因为2 ln )('x x x h -=，由0)('=x h 得1=x ， 且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)(' 所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ， 故1≥k ……………………10分 （3）由（2）知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln - 令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1 ln )1ln(<-+ …………12分 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 1 1ln <+， 相加得n n n 1 2111ln 23ln 12ln ++<+++ 而)1ln(12312ln 1ln 23ln 12ln +=?? ? ??+???=+++n n n n n 所以n n 1 31211)1ln(++++ <+ ，)(*N n ∈.……………………14分
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