广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第二次段考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）记集合M={x|x＞2}，N={x|x2﹣3x≤0}，则M∩N=（）
A．{x|2＜x≤3} B．{x|x＞0或x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|0＜x＜2}
2．（3分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）
A．B．C．D．
3．（3分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B 在C南偏东60°，则A，B之间相距（）
A．a（km）B．a（km）C．a（km）D．2a（km）
4．（3分）已知平面向量=（1，2），=（2，﹣m）且⊥，则3+2=（）
A．（﹣4，﹣10）B．（﹣4，7）C．（﹣3，﹣6）D．（7，4）
5．（3分）设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P
的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
6．（3分）下列结论，不正确的是（）
A．若p是假命题，q是真命题，则命题p∨q为真命题
B．若p∧q是真命题，则命题p和q均为真命题
C．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆命题为假命题
D．命题“?x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“?x0，y0∈R，x02+y02＜0”
7．（3分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）
A．45 B．50 C．55 D．60
8．（3分）在等差数列{a n}中，a1＞0，a10?a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是（）
A．24 B．48 C．60 D．84
9．（3分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）
A．B．C．4D．10
10．（3分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.
11．（5分）在等比数列{a n}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式a n=．12．（5分）若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是．13．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20，则lgx+lgy的最大值为．
14．（5分）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆
的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则
|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知数列{a n}中，a1=2，点（1，0）在函数f（x）=2a n x2﹣a n+1x的图象上．（1）求数列{a n}的通项；
（2）设b n=log2a2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．
16．（12分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）设，求的最小值．
17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，E是BC的中点．（Ⅰ）求证：直线BB1∥平面D1DE；
（Ⅱ）求证：平面A1AE⊥平面D1DE；
（Ⅲ）求三棱锥A﹣A1DE的体积．
18．（14分）设F1，F2分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．
19．（14分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c．数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+
（n≥2）．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？
20．（14分）已知，动点P满足|PF 1|+|PF2|=4，记动点P
的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|?|F2N|的值；（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．
广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第二次段考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）记集合M={x|x＞2}，N={x|x2﹣3x≤0}，则M∩N=（）
A．{x|2＜x≤3} B．{x|x＞0或x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|0＜x＜2}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：先求出x2﹣3x≤0的解集N，再由交集的运算求出M∩N．
解答：解：由x2﹣3x≤0得，0≤x≤3，则N={x|0≤x≤3}，
又集合M={x|x＞2}，则M∩N={x|2＜x≤3}，
故选：A．
点评：本题考查交集及其运算，属于基础题．
2．（3分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）
A．B．C．D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题．
分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项
解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；
若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条实线，故该几何体的俯视图不可能是D
故选D
点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，作图能力．
3．（3分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B 在C南偏东60°，则A，B之间相距（）
A．a（km）B．a（km）C．a（km）D．2a（km）
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题．
分析：由两个方位角的度数得出∠ACB=90°，又知AC=BC=5，△ACB为等腰直角三角形，有勾股定理可得边AB的长度．
解答：解：由图知：∠ACB=90°，在Rt△ACB中，
AB2=AC2+BC2=a2+a2=2a2
∴AB= a
故答案为C．
点评：本题考查解三角形的实际应用，关键是如何把实际问题转化为数学问题，然后套用题目提供的对应关系解决问题，画出简图，一目了然．
4．（3分）已知平面向量=（1，2），=（2，﹣m）且⊥，则3+2=（）
A．（﹣4，﹣10）B．（﹣4，7）C．（﹣3，﹣6）D．（7，4）
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：利用斜率的所了解清楚m，然后通过坐标运算求解即可．
解答：解：平面向量=（1，2），=（2，﹣m）且⊥，
所以2﹣2m=0，解得m=1，
3+2=3（1，2）+2（2，﹣1）=（7，4）．
故选：D．
点评：本题口才训练的数量积的运算，向量的坐标运算，基本知识的考查．
5．（3分）设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P
的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
考点：轨迹方程．
专题：计算题．
分析：由基本不等式可得a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．解答：解：∵a＞0，∴a+≥2=6．
当a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为
焦点的椭圆．
综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，
故选D．
点评：本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定a+的范围是解题的关键．
6．（3分）下列结论，不正确的是（）
A．若p是假命题，q是真命题，则命题p∨q为真命题
B．若p∧q是真命题，则命题p和q均为真命题
C．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆命题为假命题
D．命题“?x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“?x0，y0∈R，x02+y02＜0”
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：根据复合命题的真值表判断A、B；由逆命题和正弦函数的性质判断C；由全称命题的否定判断D．
解答：解：对于A，因为若p是假命题，q是真命题，所以命题p∨q为真命题，则A不符合题意；
对于B，因为若p∧q是真命题，则命题p和q均为真命题，则B不符合题意；
对于C，已知命题的逆命题：若x=y，则sinx=siny，是真命题，显然C符合题意；
对于D，由全称命题的否定得：“?x0，y0∈R，x02+y02＜0”正确，则D不符合题意；
故选：C．
点评：本题考查复合命题的真假，复合命题的真假与构成的简单命题真假相关，有真值表一定要记住；特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，两种命题的一般形式，都是记忆点．
7．（3分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）
A．45 B．50 C．55 D．60
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
8．（3分）在等差数列{a n}中，a1＞0，a10?a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是（）
A．24 B．48 C．60 D．84
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{|a n|}的前18项和．
解答：解：∵a1＞0，a10?a11＜0，
∴d＜0，a10＞0，a11＜0，
∴T18=a1+…+a10﹣a11﹣…﹣a18=S10﹣（S18﹣S10）=60．
故选C．
点评：求数列{|a n|}的前n项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和．
9．（3分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）
A．B．C．4D．10
考点：圆锥曲线的共同特征．
专题：计算题．
分析：求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值．
解答：解：双曲线方程化为，（1分）
由此得a=2，b=，（3分）
c=，
焦点为（﹣，0），（，0）．（7分）
椭圆中，则a2=b2+c2=9+7=16．（11分）
则a的值为4．
故选C．
点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．
10．（3分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且
BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．
解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），
∵=2，
∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．
∴a=2c，
∴e==，
故选D．
点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.
11．（5分）在等比数列{a n}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式a n=4n ﹣1．
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得．
解答：解：由题意知a1+4a1+16a1=21，
解得a1=1，
所以通项a n=4n﹣1．
故答案为：4n﹣1．
点评：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题．
12．（5分）若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（﹣3，
3）．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由于方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线故k﹣3＜0且k+3＞0求出k的范
围．
解答：解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线
∴，
∴﹣3＜k＜3．
故答案为：（﹣3，3）．
点评：此题考查了双曲线焦点的归属问题．解决此类问题只需理解y2的系数为正，x2的系数为负则焦点就在Y轴上反之就在X轴上．
13．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20，则lgx+lgy的最大值为1．
考点：基本不等式；对数的运算性质．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式先求出xy的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件．
解答：解：∵知x＞0，y＞0，且2x+5y=20，
∴2x+5y=20≥2，
即xy≤10．
当且仅当2x=5y，即x=5，y=2时，取等号．
∴lgx+lgy=lgxy≤lg10=1，
即最大值为1．
故答案为：1．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，最值问题是函数常考的知识点，属于基础题．
14．（5分）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆
的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则
|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=35．
考点：椭圆的定义．
专题：计算题．
分析：根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又
|P4F|=a，由此可得答案．
解答：解：如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，
过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，
则根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a，
同理其余两对的和也是2a，
又|P4F|=a，
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|
=7a=35，
故答案为35．
点评：本题考查了椭圆的定义，解题过程中结合图象，数形结合，会使得问题简单化，数形结合是数学中的重要思想．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知数列{a n}中，a1=2，点（1，0）在函数f（x）=2a n x2﹣a n+1x的图象上．（1）求数列{a n}的通项；
（2）设b n=log2a2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由于点（1，0）在函数f（x）=2a n x2﹣a n+1x的图象上．可得a n+1=2a n．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b n=log2a2n﹣1==2n﹣1．利用等差数列的前n项和公式可得数列{b n}的前n
项和T n．
解答：解：（1）∵点（1，0）在函数f（x）=2a n x2﹣a n+1x的图象上．
∴2a n﹣a n+1=0，即a n+1=2a n．
又a1=2，
∴数列{a n}是等比数列，
∴a n=2n．
（2）b n=log2a2n﹣1==2n﹣1．
∴数列{b n}的前n项和T n=1+3+5+…+（2n﹣1）==n2．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（12分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）设，求的最小值．
考点：余弦定理的应用；三角函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用题设等式和余弦定理求得cosB的值，进而求得B．
（2）利用向量的数量积的运算，求得的表达式，进而利用二倍角公式整理，利用A的范围确定sinA的范围，利用二次函数的性质求得其最小值．
解答：解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，∴，
又∵0＜B＜π，∴．
（2）
=，
∵，
∴0＜sinA≤1．
∴当sinA=1时，取得最小值为﹣5．
点评：本题主要考查了余弦定理的运用，三角函数的最值．注重了基本的知识运用和基本的运算能力．
17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，E是BC的中点．（Ⅰ）求证：直线BB1∥平面D1DE；
（Ⅱ）求证：平面A1AE⊥平面D1DE；
（Ⅲ）求三棱锥A﹣A1DE的体积．
考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：计算题；证明题．
分析：（I）根据长方体的几何特征，我们易得到BB1∥DD1，结合线面平行的判定定理，即可得到直线BB1∥平面D1DE；
（Ⅱ）由已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，E是BC的中点，利用勾股定理，我们易证明出AE⊥DE，及DD1⊥AE，根据线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面D1DE，进而由面面垂直的判定定理得到平面A1AE⊥平面D1DE；
（Ⅲ）三棱锥A﹣A1DE可看作由AA1为高，以三角形ADE为底面的棱锥，分别求出棱锥的高和底面面积，代入棱锥的体积公式即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1∥DD1，
又∵BB1?平面D1DE，DD1?平面D1DE
∴直线BB1∥平面D1DE（4分）
（Ⅱ）证明：在长方形ABCD中，∵AB=AA1=1，AD=2，
∴，
∴AE2+DE2=4=AD2，故AE⊥DE，（6分）
∵在长方形ABCD中有DD1⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴DD1⊥AE，（7分）
又∵DD1∩DE=D，
∴直线AE⊥平面D1DE，（8分）
而AE?平面A1AE，
所以平面A1AE⊥平面D1DE．（10分）
（Ⅲ）==．（14分）．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面平行、垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理及长方体的几何特征是解答本题的关键．
18．（14分）设F1，F2分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）依题意可求得a=2，b2=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2
的距离之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴+=1，
∴b2=3，
∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），
∵Q（0，），
∴|PQ|2=4cos2θ+
=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+
=﹣sin2θ﹣sinθ+
=﹣+5≤5．
∴|PQ|的最大值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆的参数方程及两点间的距离，考查配方法与最值问题，属于难题．
19．（14分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c．数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+
（n≥2）．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？
考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：综合题．
分析：（1）先根据点（1，）在f（x）=a x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c求出数列{a n}的公比和首项，得到数列{a n}的通项公式；由数列{b
n}的前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=可得到数列{ }构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{ }的通项公式，再由b
n=S n﹣S n﹣1可确定{b n}的通项公式．
（2）先表示出T n再利用裂项法求得的表达式T n，根据T n＞求得n．
解答：解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c=c，
∴a1=f（1）=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣
数列{a n}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．
∴首项a1=f（1）=﹣c=
∴等比数列{a n}的通项公式为=．
（2）∵S n﹣S n﹣1==（n≥2）
又b n＞0，＞0，∴=1；
∴数列{ }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n﹣1）×1=n
∴S n=n2
当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1
又n=1时也适合上式，
∴{b n}的通项公式b n=2n﹣1．
（2）==
∴
==
由，得，，
故满足的最小正整数为112．
点评：本题考查了求数列通项中的两种题型：构造等差（等比）数列法，利用a n，s n的关系求解．以及裂项法数列求和．与函数、不等式相联系，增加了综合性．要求具有综合分析问题，解决问题的能力．
20．（14分）已知，动点P满足|PF 1|+|PF2|=4，记动点P
的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|?|F2N|的值；（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．
考点：椭圆的应用．
专题：计算题．
分析：（1）由题意可知P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，，由此能求出E的方程．
（2）当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|?|F2N|=1．当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，则由题意可知，，所以
|F1M|?|F2N|=1．
（3）由（2）知，，由此可求出AB的最小值为3，此时斜率为．
解答：解：（1）∵
又∵
∴P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，，
故椭圆方程为
（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|?|F2N|=1．
②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0 △=（8kb）2﹣4（1+4k2）（4b2﹣4）=0，
∴b2=4k2+1，，，
，
综上所述，|F1M|?|F2N|=1．
（3）由（2）知，，
当且仅当，即时取等号
故AB2的最小值为3，此时斜率为
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意均值不等式的合理运用．