对数函数及其性质重点难点创新 一、教学目标 课程标准对本节课的要求为：理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数的图象通过特殊点，依据学生的学习基础及自身特点结合课标要求，我确定了本节课的教学目标：知识目标：1、理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质； 2、会求和对数函数有关的函数的定义域； 3、会利用对数函数单调性比较两个对数的大小。 能力目标：1、通过对底数的讨论，使学生对分类讨论的思想有进一步的认识，体会由特殊到一般的数学思想； 2、通过例题、习题的解决，使学生领悟化归思想在解决问题中的作用。 情感目标：学生在参与中感受数学，探索数学，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。 二、教学重难点： 教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数图象和性质； 教学难点：底数a对函数值变化的影响及对数函数性质的应用。 三`教学方法： 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点 四、课堂结构设计： 本节课是概念、图象及性质的新授课，为了使学生更好的达成学习目标我设计了以学生活动为主体，以培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的课堂结构。这是我的课堂结构设计：
五、教学媒体设计： 根据本节课的教学任务和学生学习的需要，我设计了利用多媒体课件展示引例、例题、习题和练习……，增大教学的容量，也使学生易于接受，提高学生的学习兴趣和积极性；利用几何画板演示作图，展示图象的动态变化过程，有效地突出重点、突破难点、提高教学效率，增强直观性和准确性。这是我的教学媒体设计： 钟 15 分 钟 钟 钟 6 分 钟
六、教学过程设计 在对教材及学生全面深入了解的基础上，我设计了以下五个教学环节：
函数图象重难点分析 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5y kj.co m 用“五点法”画函数的简图，及函数，，的图像与正弦曲线的联系，参变数A，对图像的影响是本课的重点．弄清函数与图像的关系，特别是和对图形的影响是本课学生的一个难点． 克服难点的办法，是要让学生弄清： （1）在函数中，对函数性质所起的作用； （2）函数的图像是通过怎样的方法由正弦曲线变化而得到，三个参数在图像变换中起什么作用． 本节运用了对图像的三种变换： 振幅变换，是由A的变化引起的； 周期变换，是由的变化引起的； 相位变换（也叫沿x轴方向的平移变换）：是由的变化引起的． 将函数图像与各点的横坐标不变，纵坐扩大到原来的2倍，得到的图像，将图像上各点的纵标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到的图像．在这里，学生往往弄不明白为什么沿y轴“扩大到2倍”是乘以2，沿x轴“扩大到2倍”
却是除以2？函数图像在横纵两个坐标轴上的拉伸为什么不一致．也弄不明白在横纵两轴的平移究竟是什么样子．其实这些问题在学生们学习了坐标轴的变换及曲线与方程的关系后很容易理解．我们可以通过“点变换”去认识“线变换”． （1）的图像与的图像上横坐标相同的相应两点与之间的关系要满足，可见，将图像点横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或压缩（A<1）到原来的A倍，变成了的图像．（2）的图像与的图像纵坐标相同的相应两点和，之间的关系要满足，即 ，因此，将图像上各点的纵坐标不变，横坐标压缩或伸长到原来的倍，就变成了的图像． 可以用类似的方法解释为什么时，把的图像向左平移个单位得到的图像，而时，要把的图像向右平移个单位得到的图像． 在图像变换的教学中，要教给学生利用观察、对比、分析找出变换的规律，弄清变换的原因，理解变换的过程，而不能死记变换的结论．特别要掌握“变换”中的辩证观点：由点变换认识线变换． “五点法”作图，是作函数的静态图，在学习初期对了解函数图像的形状有益，继续学习时，必须从国家的变换角度研究图像间的关系，也就是要教给学生在运动变化中，寻
《对数函数》教学设计 一、教材分析 本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料： 如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。
②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1
高一函数重难点突破 一、 求复合函数的定义域的四种题型 1. 已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域 例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域 2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域 例2已知f(3-2x)的定义域为x € [-1,2], 求函数f(x)的定义域 3. 已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域 例3若函数f(2 x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2X )的定义域 4. 已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0 求函数h x = fx ，m 「fx -m ]〔m - 0的定义域 b - m ： b m ，又 a - m ： b m 要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需 a ? m 空b - m ，即0 ：：： m 乞b 「a 2 此时函数h x 的定义域为{x|a+m]l ：二：…iT (} 求函数解析式的六种题型 1?待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例1设f(x)是一次函数，且f[f (x)] =4x ?3，求f(x) a —m^x^ b —m .a+m^x^b+m m 0, a - m ：： a m
2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式。 f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 1 1 例 2 ( 1)已知f(x + _)=x2+p (x>0)，求f (x)的解析式 x x (2)已知f(x 1) =x 2 x，求 f (x 1) 3?构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。 例3 设 f (x)满足 f (x) -2f (1Hx,求f(x) x
对数 教学目的：（1）理解对数的概念； （2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、引入课题 1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要 性； 设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 2． 尝试解决本小节开始提出的问题． 二、新课教学 1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ） ，记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○ 1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 思考：○ 1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○ 2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数： ○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化 x N a =log ? N a x = 对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例1．（教材P 73例1） 巩固练习：（教材P 74练习1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．
《函数的单调性》内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学. 这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系. 重点：理解函数单调性的概念明确概念的内涵，用定义证明函数的单调性。 难点：求函数的单调区间，及其证明过程. 这一节课是概念课，重点在于理解函数单调性的概念并用概念解决问题。因而对于概念的深度剖析就非常重要，概念的本质属性以及引入这一概念的作用都将帮助学生理解概念。因而再给出概念前要做好铺垫工作，即根据函数图象观察走势再进行数学的严格刻画。由于该概念是根据函数图象性质而来，因此数形结合的思想方法就显得格外重要。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。学生在学习过程中应动手操作，积极参与到教学活动中，注意概念的本质属性理解概念的内涵，积极思考善于观察。
专题：一次函数重难点题型专题讲练 ※题型讲练 【例1】已知一次函数y=(2m+1)x+m–3，分别解答下列各题： (1)求m的取值范围； (2)若该函数是正比例函数，求m的值； (3)若该函数图象在y轴的截距为－2，求m的值； (4)若该函数图象平行直线y=3x–3，求m的值； (5)若该函数图像y随着x的增大而减小，求m的取值范围； (6)若该函数图像经过一、二、三象限，求m的范围； (7)若该函数图像不过第二象象限，求m的范围； (8)若该函数图像必过二、四象限，求m的范围； (9)若函数图像必过三、四象限，求m的范围； (10)若该函数图像过点(–1，–2)，求函数解析式； (11)若该函数图像是由函数y=–5x+n–3的图像延y轴向上平移2个单位得来，求m和n的值； (12)若该函数图像与函数y=(n–5)x+2n–2关于x轴对称，求m和n的值； (13)若该函数图像与函数y=–x+3的图像同时交于函数y=3x+19上一点，求函数解析式； (14)该函数图像是否过定点？若过，请求出这个定点；若不过，请说明理由． 【例2】已知y+1与x+2成正比例，且当x=4时，y=－4． (1)求y关于x的函数关系式； (2)若点(a，2)和(2，b)均在(1)中函数图像上，求a、b的值． (3)当－2≤x≤6时，求y的取值范围．
【例3】已知某一直线过点(1，－4)和点(4，－2)， (1)求该直线所在的一次函数关系式； (2)求该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积； (3)若函数图像上有两点(a，m+3）、(b，－2m+6）且a>b， 求m的取值范围． 【例4】一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求该一次函数的解析式． 【例5】如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的交于点P，则根据图象可得： (1)方程ax＋b－kx=0的解是； (2)方程组y＝ax＋b， y＝kx的解 是__________； (3)不等式ax＋b 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x 2018人教版初中数学教材 重难点分析 (名师总结教材重点，绝对精品，建议大家下载打印学习) 一、构建完整的知识框架——夯实基础 1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半 解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。 2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。 二、初中数学中考知识重难点分析 1、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2、整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 专题 对数与对数函数（重难点突破） 重难点一 对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质 (1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2) 一、重难点题型突破 重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645 为 ． 【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b a a ++= ==++， 因为10 lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+， 即36log 4522 a b a b += -+. （2）求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1 x －3 ；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )． 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足? ???? x －2>0， x －3≠0，解得x >2且x ≠3， 所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足???? ? 16－4x >0，x ＋1>0， x ＋1≠1，解得－1 指数 指数函数 【重点难点解析】 1．本单元的知识结构 2．指数概念由特殊乘法运算定义，是乘法运算的发展，是人类探索化简运算的过程中，创造并发展的数学知识；它由正整数指数开始，到负整数指数、零指数，再到分式指数(根式)，最后到实数指数． 3．指数运算的特点是强概念性及性质使用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表示既是重点也是难点． 4．指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被忽视而成为难点． 【考点】 1．指数运算一般结合其他知识在应用中进行考查． 2．根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及． 【典型热点考题】 例1 完成下列计算： (1)33)3(-； (2)44)2(-； (3)1)25(--； (4)5p ； (5)32 )8 33(- -； (6)2 3 )900 1(-． 思路分析 运算时，一般将根式化为分指数，运用指数运算性质进行化简计算，但要注意的是分指数的运算实质是方根的化简，必须依照方根运算的要求进行，即注意根指数(分指数的分母)的奇偶性来决定结果，一般偶次方根化简时尤须注意． 解： (1)3 133 3 ] )3[() 3(-=- 3 3] 3[-= 3 133 ? -= ＝－3． (2)4 1444 ] )2[() 2(-=- 414] 2[= ＝2． (3)2 51)25(1-= -- ) 25)(25(25+-+= 25+=． (4)2 1 55)p (p = 2114 ) p p (?= 2 12 p p ?= p p 2=． (5)32 32)8 27()833(- --=- 3 2 1])278[(---= 32 )278(-= 2313}])3 2 ({[-= 2)32(-= 9 4=． (6)23 12 3 )900()900 1(---= 对数函数（第一课时） 一、教材分析1、教材的地位与作用函数是高中数学的核心，对数函数是重要的基本初等函数之一，它是学生已学过指数函数及对数与常用对数基础上引入的，这为过渡到本节的学习起到辅垫作用；“对数函数”这节教材是在没有学习反函数的基础上研究指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系。学习本节使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是指数函数知识的拓展和延伸，它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具。2、教学目标的确定及依据通过对教材的研究和结合学生的实际情况等方面的要求，本节的知识目标：理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，在掌握性质的基础上学会初步应用。能力目标是：通过对数函数的学习，培养学生数形结合，分类讨论的数学思想；注重培养学生分析、类比、归纳的能力。情态及价值观目标：用联系的观点分析问题，认识事物之间的转化，在民主和谐的教学气氛中，培养合作意识，感受学习乐趣，动脑思考的良好个性品质。3、教学重点、难点重点：对数函数的概念，图象和性质难点：①指数函数与对数函数的内在关系②通过已知的指数函数图象和性质再类比对数函数的图象和性质。二、教法分析数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。1、教法——发现法发现法的教学方法，体现了认知心理学的应用。在教学过程中，首先创设一个问题的情境，引导学生积极思考，容易激发其兴趣，唤起 其有意注意，兴趣可调动学习积极性。由学生熟悉的指数函数知识逐步过渡到对数函数知识的认识，其次，借助老师和学习伙伴的帮助，发挥其主动性来对知识的“发现”和接受(即在学习过程中帮助学生很好地掌握对数函数的概念，图象和性质，并对指数函数与对数函数的内在关系达到较深刻的理解)2、学法启发式与独立自主学习，合作交流学习相结合提出富有启发性的问题激发他们的独立自主探索，与合作交流。以学生作为教学主体，教师作为教学主导，在讨论中以教师的点拔如“类比法”使学生能够找到解决问题的方法，从而解决所提问题，通过加强合作交流，反馈练习法，激发他们手脑并用，引发和加强学生的有意注意。3、教学手段①利用学校局域网，采用计算机辅助教学，让形象、直观、清晰的对数函数与指数函数图象加深学生的理解。②利用投影仪提出问题三、教学过程教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。创设情境提出问题类比联想动手操作观察分析合作交流巩固应用知识整合（一）教学流程图引入新课XX年10月18日，美国某城市的日报醒目标题刊登了“市政委员会今天宣布，本市垃圾的体积达到50000立方米”，副标题“垃圾的体积每三年增加一倍”（1）设想城市垃圾的体积继续每三年增加一倍，24年后本市的垃圾的体积是多少？（2）若按现在这个速度，该市要经过多少年垃圾的体积达到百万立方米、千万立方米，……（由环保问题引出）这个问题的解决方法，就是今天所要学习的内容——对数函数设计意图：通过“引例”使学生对本节内容产生兴趣。有了“引例”辅垫，学生将 人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析 第三章 课文目录 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 重点： 1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识. 2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点： 1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题. 一、方程的根和函数的零点 1．函数的零点 给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论： 一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数 ()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。 我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。 注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。 例1 函数322 --=x x y 的零点是（ ） A ．31=-=x x 或 B ．()()030,1，或- C ．31-==x x 或 D ．()()030,1， 或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。利用学生熟悉的二次函数的图象和性 质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。 为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。 例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。 2．函数零点存在的判定 引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到： 当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。 由此概括得到函数零点存在的判定方法。 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0 { 一次函数重难点题型专题讲练 ※题型讲练 【例 1】已知一次函数 y =(2m +1)x +m –3，分别解答下列各题： (1) 求 m 的取值范围； (2) 若该函数是正比例函数，求 m 的值； (3) 若该函数图象在 y 轴的截距为－2，求 m 的值； (4) 若该函数图象平行直线 y =3x –3，求 m 的值； (5) 若该函数图像 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； (6) 若该函数图像经过一、二、三象限，求 m 的范围； (7) 若该函数图像不过第二象象限，求 m 的范围； (8) 若该函数图像必过二、四象限，求 m 的范围； (9) 若函数图像必过三、四象限，求 m 的范围； (10) 若该函数图像过点(–1，–2)，求函数解析式； (11) 若该函数图像是由函数 y =–5x +n –3 的图像延 y 轴向上平移 2 个单位得来，求 m 和 n 的值； 【例 3】已知某一直线过点(1，－4)和点(4，－2)， (1) 求该直线所在的一次函数关系式； (2) 求该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积； (3) 若函数图像上有两点(a ，m +3）、(b ，－2m +6）且 a >b ，求 m 的取值范围． 【例 4】一次函数 y =kx ＋b 的自变量的取值范围是－3≤x ≤6， 相应函数值的取值范围是－5≤y ≤－2，求该一次函数的解析式． 【例 5】如图，函数 y ＝ax ＋b 和 y ＝kx 的交于点 P ，则根据图象可得： (1) 方程 ax ＋b －kx =0 的解是 ； (2) 方程组的解是 ； (3) 不等式 ax ＋b 对数函数及其性质的重难点突破 一、对数函数及其性质教学设计的说明 新课标指出：学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质：探究对数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过分类讨论，通过研究两个具体的对数函数引导学生通过观察图象发现对数函数的图象规律，从而归纳对数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出对数函数的一般性质，从而对对数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用：本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章的内容，研究对数函数的定义，图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将对数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数的基础。因此，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。 此外，《对数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析：根据本节课的内容特点以及学生对抽象的对数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况，确定在理解对数函数定义的基础上掌握对数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本节课的难点是对数函数图像和性质的发现过程。为此，特制定以下的教学目标： 1)知识目标(直接性目标)：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像、性质及其简单应用、能根据单调性解决基本的比较大小的问题. 2)能力目标(发展性目标)：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，增强学生识图用图的能力。 3)情感目标(可持续性目标)：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，用联系的观点看问题体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研究函数的一般思维方法。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析： 学生知识储备：通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构。 人教版高中数学必修一————各章节知识点与重难点第一 章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示【知识要点】 1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ??表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ??表示元素如：如果a是集合 A 的元素，就说a属于集合 A 记作a∈A，如果a不属于集合 A 记作 a A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N* 或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝ ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是｛x∈R| x-3>2｝或｛x| x-3>2｝ （3）图示法（Venn 图） 1.1.2 集合间的基本关系【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合B的子集，记作 A B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合 A 等于集合B，即：A=B A B且B A 3、真子集 如果 A B,且 A B那就说集合A是集合B的真子集，记作 A B（或 B A） 4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空 集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算【知识要点】 1、交集的定义 一般地，由所有属于 A 且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A∩B（读作“A 交B”），即A∩B=｛x| x∈A，且x∈B｝． 2、并集的定义 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A ∪B（读作“A 并B”），即A∪ B={x | x∈A，或x∈B}． 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为 1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ，，的图象的认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ???12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101 ，则，则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐上升，y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 （4）当a >1时，y a x =是增函数， 当01< 2.3 对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换 底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数 函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数 模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知 f（ logax ） =，其中a＞0，且a≠1． （1）求 f（ x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A ． B ．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A ． B ．C．0 D ． 3．函数的值域是（） A ．B． [0,1] C． [0, D ． {0} 4．设函数的取值范围为（） A ．（－ 1，1）B．（－ 1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A ．奇函数且在（ 0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（ 0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（ - ∞， 0）上单调递减 D ．偶函数且在（ -∞， 0）上单调递增 6．计算=． 7．若 2.5x=1000,0.25y=1000, 求． 8．函数 f(x) 的定义域为 [0,1], 则函数的定义域为． 9．已知 y=loga(2 －ax)在［ 0， 1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是． 10 ．函数图象恒过定点，若存在反函数，则 的图象必过定点． 11．若集合 {x ， xy， lgxy} ＝{0 ， |x|， y} ，则 log8 （ x2＋ y2）的值为多少． 12． (1) 求函数在区间上的最值． (2) 已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求 m 的值； (2)判断 f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数 f(x)=x2 － 1(x ≥1) 的图象是 C1，函数 y=g(x) 的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称． (1) 求函数 y=g(x) 的解析式及定义域M ； (2) 对于函数y=h(x) ，如果存在一个正的常数a，使得定义域 A 内的任意两个不等的值x1 ，x2 都有 |h(x1) － h(x2)| ≤ a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x) 为 A 的利普希茨Ⅰ类函数．试证明： y=g(x) 是 M 上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案：对数指数函数公式全集
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