微积分与哲学
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数学可以作为自然科学的理想工具，在于这种工具可以较方便定量的处理自然界的问题。其中一些自然界的问题，常量数学是处理不了的，非用微积分不可。可是为什么常量数学不行，微积分就可以呢？多数人是回答不了的，就连数学家也不能很好的回答！许多学习微积分的初学者，不能理解微积分的方法。这是有原因的，因为他们的哲学基础薄弱，即使学过却也不理解。微积分不在于领悟极限的δ定义，微积分的出现本来就比极限δ定义至少早了150年呢！学习者其实应该反思，微积分比常量数学高明多少；什么样的方法研究自然界是有效的；对人的意识和自然界应该有什么样的态度！
一、数学不是单纯的数字游戏！是有应用价值的，体现在各类数学模型上。常量数学固然在17世纪以前发挥了一定作用，不过对于变量数学就不行了。因为常量数学的研究方法，过于侧重人的意识，不能很好的深入自然领域，而且是一种宏观（整体）上的方法。与自然界的联系是不紧密的，二者的关系比较松散（粗糙）；或者可以说没有抓住客观事物的本质，所以要处理许多的自然科学提出的问题是不可能的。
二、常量数学与自然界的辩证关系
常量数学——初等几何中没有定义“点”、“线”、“面”。同时按照运动观点有：点动成线，线运动成面、
面动成体。用不可分量的集合论就是说：线是点的集合，面是线的集合等。而且不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。
在《数学哲学的自然原理》中提过：
定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。
定理II：空间总能容纳物体且不受影响，并允许容纳物进行空间交换。
这两个定理是对绝对空间来说的，不是指相对空间；其实在爱因斯坦的理论准确一些，后面也是要说的。
提这两个定理是要指出，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹——集合）是实实在在的物质，是有长度的！可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这是算术与自然界的矛盾。
这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。
所谓罗素悖论，起源于19世纪的第三次数学危机，是关于数学基础的讨论（数学的基础是什么？）！简单的例子就是理发师悖论：某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，试问？理发师给不给自己刮脸？
如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他就是给自己刮脸的人，照他的要求又不能给自己刮脸。到底该不该自己刮脸呢？
三、数学方法怎样处理自然界的客观问题
既然数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！例如：初等几何中的点、线、面抽象后否定了物质性，是脱离客观实体的客观性（世界是物质的）的，只具备几何特性；如果以它们这种非物质形态来研究真实的自然界肯定不行，因为已经脱离了自然界。可是自然界的客观实体确实是它们组成的，不可分量的集合论就指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点又承认了它们的（物质性）自然属性——这是整体上的认可。
整体上可以认可，部分当然也是可以认可的。但是部分（意识）是和自然界有矛盾的，对于部分常量数学，只承认几何性，没有认可自然性！因为它们不可度量，不在常量数学算术度量尺度体制之内。仅凭几何特性来研究自然界的客观实体——显然是脱离一定实际的。
所以需要它们能以真实的物质形态来研究自然界。因为它们的客观物质形态是逃逸出纯粹数学（其实是常量数学）的，所以要研究的问题最终必须逃逸出纯粹数学（常量数学）的体制，这样元素就实现了自然界的回归，于是整体必然也还原于自然界。逃逸就必然表现在逻辑矛盾之上，即与常量数学的思维上的
逻辑矛盾！因为只有矛盾才能说明最终形态确实逃逸出了人的意识（初等几何+算术度量），反之没有矛盾就不能说回归了自然界！
四、变量数学与自然界的辩证关系
变量数学的中心其实应该是函数。初等几何否定了点、线、面的物质性，只承认几何特性，是脱离客观实体的客观性的；集合理念则指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点承认了它们的自然属性——整体上的认可。而这种观点在逻辑上体现在函数身上，例如：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P={M|MC=r}隐函数表达式为：x^2+y^2=r^2。所以函数是对数学对象（物质性）的客观反映，在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。这也就是微积分所要反映的基本事实！
只有承认了自然界客观性的数学，才具有研究自然界的能力。常量数学否定了自然属性——脱离了一定实际，这就限制了其自身对自然界的解决能力；这也就是常量数学与变量数学本质的地方，常量与变量只是一种数学形态的外在表现。我觉得赫曼·威尔在《数学哲学与科学哲学》中问的好：为什么大自然中的事件可由观察和数学分析（微积分）的结合来预言。因为数学分析，一开始就承认了自然界的客观性！正如马克思雄辩的回答那样：“意识能够正确的反映客观事物”。
微积分离开了函数，就丢失了灵魂。笛卡尔的解析几何引入了变数，加深了函数的理念。有了函数才能真正的建立起微积分，牛顿——莱布尼兹公式深刻的反映了，自然界整体与局部的客观性的联系。
函数本身是一个自然界的微雕，通过数学分析研究函数就是在研究自然界微雕的局部性质。反过来研究自然界微雕的局部，在还原于函数又能整体上表达自然界（微分方程）。
五、微积分与自然界的辩证关系
微积分就是回归自然界的一种方法，它所有的最终形态（取极限），没有哪里是不存在矛盾的；什么贝克莱驳论、定积分0+0驳论、无穷级数芝诺的追击驳论……等。由于研究的基本都是自然界的客观实体（或规律）。所以微积分的精髓在于元素（体制外——微元）和驳论！就是要置常量数学于死地，从而回归自然的方法。也只有这样的方法才能研究自然界，可以说微积分是常量数学死亡后，浴火重生后的凤凰。
后来的极限论δ定义其实是在轻微的维护常量数学（人的意识），无穷级数也一样，有名的芝诺追击驳论（是违反客观自然规律的），但最终取极限就还原了自然真实。极限难！在于无法看透自然界与人的意识的辩证关系。一味的理解极限δ定义，次序颠倒，意而上学。从这里可以看出：微积分必定是要先于极限论建立，它的方法本质不在于建立δ定义，而在于回归自然界，极限则是其回归的常量数学逻辑表达形式（代言人）。所以极限论的出现是必然的，矛盾和驳论也是必然的！
有这样的辩证关系，于是产生了一些有趣的现象：0/0=20（导数），0+0+…..0=1/3（定积分），
1/2+1/4+1/8+…..=1。导数反映了自然界点的自然属性（有长度）；定积分反映了线段有面积，二重积分反映了线段有体积，二次积分后反映了平面有体积，无穷级数反映了追得上！然而这些真实的存在，却不可感知（不在初等几何之内），不可度量因为在体制（算术）之外。
六、无穷小与相对论
为什么同一条曲线，组成的元素都是点无差别的，为什么导数不同？0/0=1、0/0=2、0/0=100。首先函数代表曲线，曲线上的点都与x轴上的点一一对应（同样数目的点）；可是曲线的自然长度确与x轴对应的长度是不等的，所以曲线上的点在这种关系下一般不相同。在定积分中要注意这种相对关系，这也就是产生微元有无穷小和高阶无穷小的原因！
七、微积分可以初等化的原因
微积分可以初等化，在于不可分量的集合论就指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点承认了它们的自然属性——这是整体上的认可。整体上把握并且在常量数学体制之内，避免了处理体制外的数学，绕开了矛盾和驳论！另一方面微积分本就不依赖于极限，所以也是可以绕开的。具体形式我不用看也猜得出来，用函数关系！这也就是其独到之处，不置常量数学于死地，仍然回归自然的方法。逻辑上确实清楚了，少了不少负担，有利于中国的数学教育。常量数学的方法体制不死，微积分也就初等化了。但却有代价，学习者可能在局部分析上的能力有所下降。
八、中西文化的差异
西方哲学家继承了古希腊哲学理性思维的传统，注重理性思辩和热衷于构建形而上学的理论体系，这种思维方式和习惯与高等数学的思维习惯是相似的。并且西方哲学理论和哲学观点多是建立在严密的逻辑推理和论证的基础之上的，即使是上帝的存在问题他们也要向对待数学问题那样试图用严密的辩证法和逻辑来给予证明。西方哲学家的这种注重推理论证和寻求因果联系的理性主义的思维习惯一旦与面向感性世界的经验主义和实验科学相结合将极大地促进自然科学的发展。
在对于微积分的研究上，西方数学家把眼光放在最细微的地方，虽然他们没有强调这一点，然微积分确实征服了“点”、“线”、“面”。这是一种“征服文化，”所以牛顿、莱布尼兹、柯西在这种文化的熏陶下，长时间内是不会也不可能去考虑：强可导函数的。
中国传统哲学自孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起，因此有关人性论和修养论的内容最为丰富。哲学家提出任何一种学说都要说明它对做人的意义，都要满足为政治实践和道德实践服务的现实需要，这种纯功利主义的思维方式和习惯与西方哲学本身所固有的为学术而学术的思维方式和习惯是大相径庭的，与要求严密推理和论证的数学思维方式也是格格不入的。这种思维方式和习惯不利于或者说阻碍了近代自然科学在中国的兴起和发展。
强可导函数，整体上暗中回归了自然界，这种方法维护人的意识（常量数学）比极限论要强烈的多。逻辑思维上较简单没有了驳论和矛盾，有利于学生偷懒。西方的微积分方法，侧重于了数学与自然界最终的和谐与统一；中国的初等化微积分侧重于数学与人的和谐统一。西方为了研究自然界，牺牲初等数学（意识）了为代价，体现了对自然界的热爱和尊重。中国的初等化微积分，体现了以人为本的理念。
学习西方哲学，改造中国传统哲学的思维方式和习惯，养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯，对于促进我国科学技术的发展是大有裨益的！所以我觉得即便学了初等的微积分，还是有必要重新学极限论的微积分。这不是麻烦，而是思维的转型。中学一次，大学再学一次！就怕我们的学生，觉得强可导简单，对西方微积分有抵触情绪，不愿意接受。最好是中西结合，最终的道路都是殊途同归，不可厚此薄彼。
（来源网络）
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第2楼
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微积分与哲学
一、部分哲学的简单内容
一、哲学的“哲”的源学含义英语philosophy Philos （爱）Sophia
（智慧）汉语，中国古代的“哲”字，就是智慧的意思，经日本学者西
周的翻译，古希腊爱智慧的学问就叫哲学。
在亚里士多德的知识分类中，哲学又被称为形而上学。
亚里士多德把人类的知识分为两大类，第一类知识是研究抽象的超验
的对象，被称为第一哲学;第二类知识是研究具体的经验的对象，被称为第
二哲学，也叫物理学。亚里士多德去世之后，他的学生们在编辑老师的著
作时，把第一哲学放在了第二哲学之后出版，中国人在最初翻译亚里士多
德的哲学著作时，采用直译的方式，就把第一哲学翻译为物理学之后。后
来才根据中国古代《易经》系辞中的两句话：形而上者谓之道，形而下者
谓之器，把哲学译为形而上学。
二、哲学是理论化、系统化的世界观
1.从哲学的研究对象角度下的定义。
2.世界观是人们对整个世界的根本看法。
3.方法论是人们在一定的世界观指导下认识和改造世界的根本方法。
三、哲学是关于自然知识、社会知识和、思维知识的概括和总结
四、理解微积分需要了解的哲学原理
1、自然界与人的辩证关系：
自然界先于人和人的意识而存在；
在人类出现之后，自然界的存在与发展也不依赖于人的意识。所以说，自然界的存在与发展是客观的。
2、哲学上的物质马克思主义哲学把不依赖于人的意识、并能为人的意识所反映的客观实体叫做物质，指出整个世界是客观存在的物质世界，世界的本质是物质。
3、什么是人的意识
意识是客观存在在人脑中的反映。（意识无论正确与错误都是一种反映！）
4、物质与运动的辩证关系
物质是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。（在后面的微积分内容，会看到相对论效应。）——注意：函数与自然界辩证法要用这一条。
可以了，要理解微积分和相对论效应（你不用追着光跑！），这几条就足够了。有能力的可以看其它哲学的内容。二、常量数学的哲学分析
1、常量数学的概念
所谓常量数学指：初等数学，即从原始社会到17世纪中叶形成的数学。研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。
2、常量数学的基本组成
初等数学在时间上可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前6世纪以前；几何优先阶段，公元前5世纪到公元2世纪；代数优先阶段，3世纪到17世纪前期。至此，初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。
所以，常量数学的组成可以认为是：算术+初等代数+初等几何，再加上一点点极限的原始理论。比如，我国魏晋时期杰出的数学家刘微创立了“割圆术”曾说“割之弥细，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 和庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这些均是朴素的、很典型的极限概念。
奇怪了，在古希腊既然有了“极限理论”怎么就生不出微积分呢？原因在于没有函数的理念！首先，微积分不是极限的必然产物，而是函数的必然产物。所以中间掉了一部分，是建不起来微积分理论的，甚至可以说极限是函数的衍生物。
3、常量数学在哲学上的辩证分析
先提一提算术，其实是一种人为的约定，起源于原始的劳动计数和收集。这是一种人特有的意识，对自然活动的一种反映。假如，你旁边有一个人和一只狗，你说：1+1=3；旁边的人就会指出：不对！1+1=2，我相信你旁边的狗是不会有意见的。下面看一看初等几何（欧几里得几何），几何少不了要研究图形。于是欧几里得说：
1. 点是没有部分的那种东西。
2. 线是没有宽度的长度。
3. 直线是同其中各点看齐的线。
4. 面是只有长度和宽度的那种东西。
5. 面的边缘是线。
6. 平面是与其上直线看齐的那种东西。········
15.圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点年到该线的所有直线都彼此相等。
几乎都是从哲学意义上去定义的，我们不禁要问，“没有部分的那种东西”和“只有长度和宽度的那种东西”是什么东西呢？“没有部分”存在吗？
我们能够看见他们或知晓它们吗?当然，前提是如果这种“东西”存在的话。除此之外，我们能说“点”就在我们心中吗？“点”是虚构的吗？
在实际处理中，我们是能看到点的。比如，笔尖在纸张上用力轻轻一“按”就得到了点的图形。当然，你们的老师说会告诉你，这个图形没有长度、没有面积、没有体积；就差说这个东西不存在了！美其名约：“这是数学的抽象性！”这是对自然界客观事物的诡辩，不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为它们不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。姑且不谈爱因斯坦的时空观，就算是牛顿的绝对时空观也有：定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。
可见，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹——集合）是实实在在的物质，是有长度的！
可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这就是说，算术也与自然界的矛盾。这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。
代数这么样呢？无非就是解方程，x+1=2；则有x=2-1=1。还是纯粹的人的意识，自然界的客观性，基本没有提到！您想，用脱离自然界客观性的初等数学，来研究自然界实实在在的客观事物，能行吗！
所以，数学在历史的长河中，要等待一种新的理念，来承认自然界的客观性。这样数学才能爆发出，惊人的力量。启迪：数学方法怎样处理自然界的客观问题数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！
三、17世纪的呐喊
近代科学始祖——笛卡尔
现在我们再次翻开17世纪数学史上波澜壮阔的历史画卷，沿着历史的足迹回到16世纪文艺复兴时期，看一看此时的欧洲人遇到了什么难题？
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，生产实践积累了大量的新经验，科学的发展为技术的更新奠定了新的基础，许多新技术的发明
和运用又给科学提供了更丰富的素材，并提出了大量的新问题，其中许多问题摆在了数学家面前，然而，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切寻求解决变量的新数学方法。17世纪前半叶，一个崭新的数学分支——解析几何学的创立，标志了近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域。
“工欲善其事，必先利其器。”首先就需要知道解析几何这一数学工具。还是有请笛卡尔同志来该我们谈一谈吧。
①笛卡尔说：“当时流行的代数学，我觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种真正的数学”“那您找到方法了吗？”
②笛卡尔略带笑容的说：“我的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的”。“能具体一些吗？”
③笛卡尔继续说：“我在1637年发表了《几何学》，创立了直角坐标系。用平面上的“一点”到两条固定直线的距离来确定“点”的“位置”，用坐标来描述“空间”上的“点”；这样就可以把相互对立着的“数”与“形”统一起来了，于是几何曲线便可与代数方程相结合；从而几何问题就可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，并证明几何性质。“且从运动的角度来看，曲线可以看成点运动的轨迹。”
哲学辩证法指出：物质与运动的辩证关系：物是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。
既然，要把曲线可以看成点运动的轨迹，就不能不承认点的物质性了。如果点都不存在，那里还有什么运动！
按照哲学辩证法的结论：运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。运动论就可以转化为物质论！事实也是这样的：现代的解析几何对，曲线的定义，都在说什么样的点的集合！比较典型的就是，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P={M|MC=r}。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”。
其实，变数的最大功绩在于数学上承认了自然界的客观性。数学在历史的长河中，要等新的理念，就是承认自然界的客观性。只有这样的数学，才能应付自然界的客观问题。
四、函数的历史意义
变量数学的中心其实是函数。初等几何否定了点、线、面的物质性，只承认几何特性，是脱离客观实体的客观性的。17世纪笛卡尔建立了解析几何，为函数的建立开辟了道路。由于曲线可以看成点运动的轨迹，即：线是点的集合，以此类推面是线的集合等，承认了它们的自然属性——整体上的认可。而这种观点在逻辑上体现在函数身上，例如：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P={M|MC=r}隐函数表达式为：x^2+y^2=r^2。所以函数是对数学对象（物质性）的客观反映，在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。这也就是微积分所要反映的基本事实！
只有承认了自然界客观性的数学，才具有研究自然界的能力。常量数学否定了自然属性——脱离了一定实际，这就限制了其自身对自然界的解决能力；这也就是常量数学与变量数学本质的地方，常量与变量只是一种数学形态的外在表现。我觉得赫曼·威尔在《数学哲学与科学哲学》中问的好：为什么大自然中的事件可由观察和数学分析（微积分）的结合来预言。因为数学分析，一开始就承认了自然界的客观性！正如马克思雄辩的回答那样：“意识能够正确的反映客观事物”。微积分离开了函数，就丢失了灵魂。笛卡尔的解析几何引入了变数，加深了函数的理念，同时承认了自然界的客观性。有了函数才能真正的建立起微积分，牛顿——莱布尼兹公式深刻的反映了，自然界整体与局部的客观性的联系。
函数本身是一个自然界的微雕，通过数学分析研究函数就是在研究自然界微雕的局部性质。反过来研究自然界微雕的局部，在还原于函数又能整体上表达自然界（微分方程）。
五、函数局部性质的哲学分析
我们现在知道了，函数是在宏观上，承认自然界客观性的逻辑体现。У=f(x)，既然，在在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。
由于，函数是在宏观上的认可，但其微观部分是点；不在常量数学体制内，是否定其自然界的客观性的，只承认其几何性。微观部分如果要反映其物质性，就必定是在常量数学之外。在常量数学的常规逻辑上，就要产生矛盾和驳论了。另一方面，马克思指出：运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割，运动论就可以转化为物质论。函数本来就是反映运动的，这样物质性总是存在的，不会因为函数的物理意义改变。于是，ｙ＝ｘ＾２，ｓ＝ｔ＾２在局部的反映应该是一样的！只是物理意义有差异。
还有，函数所要表达的曲线点的集合论，应该是清楚的。如果比较模糊，那么局部反映的时候也必然是模糊的！例如：直线（恒定方向上点的集合）、圆、椭圆、抛物线等，或者能分解为定义清楚函数的运算：
y=x^3=x^2*x（幂函数）。
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马克思主义哲学的基本原理和方法论总结 一、唯物论（辩证唯物论） 1.世界的本原是物质（世界的物质性原理） （1）原理：世界的本质是物质，物质决定意识。 （2）方法论：这要求我们看问题办事情要一切从实际出发，实事求是。 反对从主观出发，反对“上帝创世说”。 2.自然界的物质性原理 （1）原理：自然界是物质的，它的产生、存在和发展是客观的。 （2）方法论： ①人们在利用自然、改造自然的同时，应当尊重、保护自然，学会与自然和谐相处。 ②承认自然界的客观性是我们正确处理人与自然关系的基本前提。 3.规律的普遍性和客观性 （1）原理： ①规律具有客观性和普遍性，它不以人的意志为转移，既不能被创造也不 能被消灭。一旦违背客观规律就会受到规律的惩罚。 ②规律是客观的、普遍的，但是人在客观规律面前并不是无能无力的，人 可以发挥主观能动性，认识和利用规律，改造客观世界为人类造福。（2）方法论： ①人必须遵循规律，而不能违背规律，按照客观规律办事； ②人还要发挥主观能动性，认识和利用规律，改造客观世界为人类造福； ③要把尊重客观规律性和发挥人的主观能动性结合起来。 4.物质和意识的辩证关系原理 （1）原理： ①世界是物质的，物质决定意识； ②意识具有能动性，对物质有反作用：正确的意识促进客观事物的发展， 错误的意识则阻碍客观事物的发展。 （2）方法论： ①我们必须坚持一切从实际出发，实事求是，使主观符合客观； ②充分发挥意识的能动作用，树立正确的意识，克服错误的意识。 5.人的主观能动性和客观规律性的辩证关系原理 （1）原理：
①规律是事物运动过程中固有的、本质的、必然的、稳定的联系。规律具 有客观性和普遍性，规律的存在与发生作用不以人的意志为转移，既不 能被创造也不能被消灭，是不可违抗的； ②人在客观规律面前不是无能为力的，人可以通过发挥主观能动性，认识 和利用客观规律，改造客观世界为人类造福。 ③尊重规律、按规律办事，离不开发挥人的主观能动性；发挥主观能动性， 也必须以尊重客观规律为基础。 （2）方法论： ①这就要求我们既要尊重规律，按客观规律办事，即一切从实际出发，实事求是； ②又要发挥主观能动性，认识和利用规律； ③把尊重客观规律和发挥主观能动性结合起来，坚持解放思想、实事求是， 做到主观和客观具体的历史的统一； ④我们既要反对片面夸大主观能动性的唯意志主义和唯心主义；又要反对 片面强调客观规律的机械唯物主义和片面强调客观条件，安于现状、因 循守旧、无所作为的宿命论思想。 二、马克思主义认识论 1.实践和认识的辩证关系原理 （1）原理： ①实践决定认识，实践是认识的基础。实践是认识的来源；实践是认识发 展的动力；实践是检验认识的真理性的唯一标准；实践是认识的目的和 归宿。 ②认识对实践具有反作用。正确的认识、真理和科学理论能指导人们有效 地开展实践活动，推动实践的发展；错误的认识会阻碍实践的发展。（2）方法论： ①坚持实践第一的观点，自觉参与实践活动； ②重视认识对实践的反作用，重视科学理论对实践的指导作用。 2.真理观 （1）真理是标志主观同客观相符合的哲学范畴，是人们对客观事物及其规律的正确反映。真理最基本的属性是客观性，真理还有条件性和具体性，真理和谬误往往相伴而行。这就要求我们热爱真理，坚持真理一元论，真理面前人人平等；同时，我们还要正确对待谬误。 （2）人类的认识具有反复性。因此，人类追求真理的过程并不是一帆风顺的。 人们对一个事物的正确认识往往要经过从实践到认识，再从认识到实践的多次反复才能完成。人类的认识需要不断深化。 （3）人类的认识具有无限性和上升性。从实践到认识、从认识到实践的循环是一种波浪式的前进或螺旋式的上升。因此，人类追求真理是一个永无止境的过程。
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
第二单元探究世界与追求真理（唯物论） 标题原理方法论 世界的物质同一性原理世界的本质是物质，世界上先有物质后有意识，物质决定意识， 意识是客观存在在人脑中的反映 想问题、办事情时，要一切从实际出发，实事求是。理论联系实际，解放思 想，与时俱进，在实践中检验和发展真理.（有时候会考察课本“一切从实际 出发的内容”） 物质运动的辩证关系原理物质和运动不可分割。物质是运动的物质，运动是物质的根本属性和存在方 式， 世界上不存在脱离运动的物质；运动是物质的运动，物质是运动的承担者。 ①善于在运动中把握事物，不能静止地看问题，一切以时间、地点、条件为转 移。 ②既要反对离开物质谈运动的唯心主义观点（仁者心动）；③又要反对离开运动 谈物质的形而上学观点（刻舟求剑）； 运动和静止的关系原理①运动是绝对的、无条件的、永恒的②静止是相对的、有条件的、暂时的， ③物质世界是绝对运动和相对静止的统一。 ①既要承认事物的绝对运动，又要看到事物在运动中存在着相对静止，坚持绝对 运动和相对静止的统一②既要反对只承认静止而否认运动的形而上学的不变论， 又要反对只承认绝对运动而否认相对静止的相对主义和诡辩轮； 规律的客观性和普遍性原理①所谓规律，就是事物运动过程中固有的、本质的、必然的、稳定的联系； ②规律是客观的，是不以人的意志为转移的，它既不能被创造，也不能被消 灭； ③规律是普遍的，任何事物在其运动变化和发展中，都遵循其固有的规律。 ①必须遵循规律，按客观规律办事，而不能违背规律。否则就会受到规律的惩 罚。②在客观规律面前，人并不是无能为力的，人可以在认识和把握规律的基础 上根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造客观世界，造福于人类。 尊重客观规律和发挥主 观 能动性的辩证关系原理尊重客观规律是正确发挥主观能动性的前提和基础，发挥主观能动性是认识和 利用规律的必要条件。 想问题、办事情，既要尊重客观规律，按规律办事，又要充分发挥主观能动 性，把尊重客观规律和发挥主观能动性有机地结合起来。 意识的能动作用原理人能够能动地认识世界：①意识活动具有目的性和计划性② 主动创造性和自 觉选择性 ①发挥主观能动性, 自觉树立正确的思想意识，克服错误的思想意识②反对否认 意识能动作用的形而上学观点和片面夸大意识能动作用的唯心主义观点 人能够能动地改造世界：① 意识对改造客观世界具有指导作用（注意两重 性）； ②意识对于人体生理活动具有调节和控制作用（高昂的精神、萎靡的精神） 物质和意识的辩证关系原理①物质决定意识 ②意识对物质具有能动作用：正确意识对事物发展起促进作用错误意识对事物 发展起着阻碍作用。 ①要坚持一切从实际出发，实事求是 ②要发挥主观能动性，能动地认识和改造世界，树立正确的思想意识，克服错误 思想意识 一切从实际出发：做是什么；为什么怎么做：①坚持客观规律②发挥主观能动性③把两者结合起来
马克思主义哲学（辩证唯物主义和历史唯物主义） 第一部分辩证唯物主义 一、辩证唯物论 1、物质与意识的辩证关系 2、规律的客观性和普遍性 3、尊重客观规律与发挥主观能动性的关系 二、认识论 1、实践与认识的辩证关系 2、真理的客观性 3、真理的条件性和具体性 4、认识的反复性、无限性、上升性 三、唯物辩证法 （一）联系观 1、联系的普遍性 2、联系的客观性 3、联系的多样性（联系的条件性、具体性） 4、整体和部分的辩证关系 5、系统与要素的辩证关系（系统优化） （二）发展观 1、发展的普遍性 2、发展的趋势（发展的途径） 3、发展的状态 (量变与质变的辩证关系、质量互变关系原理)
4、发展的原因（内外因辩证关系） （三）矛盾观 1、矛盾的客观性 2、矛盾的普遍性 3、矛盾的特殊性 4、矛盾普遍性与特殊性的辩证关系 5、主次矛盾关系 6、矛盾的主次方面关系 7、发展的原因（内外因辩证关系） （四）创新观 1、辩证的否定观 2、辩证法的革命批判精神 3、创新的作用 第二部分历史唯物主义 一、历史观 1、社会存在与社会意识的辩证关系 2、两大基本规律的矛盾运动 3、人民群众是历史的创造者 二、人生价值观 1、价值观的导向作用 2、人生价值观 第一部分辩证唯物主义一、辩证唯物论
1、规律的客观性和普遍性 （1）原理内容： ①规律的含义：规律是事物运动过程中固有的、本质的、必然的、稳定的联系。 ②规律是客观的，是不以人的意志为转移的，它既不能被创造，也不能被消灭。规律是普遍的。自然界、人类社会和人的思维，在其运动变化和发展的过程中，都遵循其固有的规律。 （2）方法论： ①规律的客观性和普遍性要求我们，必须遵循规律，而不能违背规律。按照客观规律办事，我们就能够体会到规律对于我们的意义。一旦违背规律，人们就会受到规律的惩罚。 ②在客观规律面前，人并不是无能为力的。人可以在认识和把握规律的基础上，根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造客观世界，造福于人类。人不能改变规律，但人能够改变规律发生作用的条件。 2、物质与意识的辩证关系 （1）原理内容： ①物质的作用：物质世界是先于人的意识而存在的，物质是本原的，意识是派生的，物质决定意识。 ②意识的能动作用： A、人能够能动的认识世界（反映）a、意识活动具有目的性和计划性b、意识活动具有主动创造性和自觉选择性c、意识活动的主动性和创造性，是人能够认识世界的重要条件，世界上只有尚未认识之物，而没有不可认识之物。 B、人能够能动的改造世界（反作用）a、意识对改造客观世界具有指导作用。正
常用哲学原理及其方法论 拔山中学高2014级政治组一、物质和意识的辩证关系原理及方法论 原理内容： （1）物质是本原的，世界上先有物质，后有意识。物质决定意识，意识是物质的反映。（2）意识对物质具有能动作用，它不仅能够能动地认识世界，而且能够能动地改造世界。正确的意识推动物质世界的发展,有促进作用;错误的意识阻碍事物的发展,有破坏作用. 方法论： 1.树立一切从实际出发,实事求是的思想; 2.发挥人的主观能动性,将主观能动性与客观事实和客观规律相结合; 3.树立正确的意识观,促进事物的发展. 二、物质和运动的辩证关系及方法论 物质是不依赖于人的意识,并能为人的意识所反映的客观实在.物质的唯一特性就是客观实在性. 运动是指宇宙间一切事物、现象的变化和过程。 原理： 1.物质是运动的物质,物质是运动的主体（承担者）； 2.运动是物质的运动,运动是物质的固有属性和存在方式. 方法论： 1.世界上不存在脱离运动的物质，也不存在脱离物质的运动。离开运动谈物质会形而上学，离开物质谈运动会导致唯心主义，都是错误的。 2.既要坚持唯物论,又要坚持辩证法;既反对唯心主义,又反对形而上学. 三、运动和静止的辩证关系原理及方法论 运动是指宇宙间一切事物、现象的变化和过程。静止是运动的一种特殊状态。一是说事物在它发展的一定阶段和一定时期，其根本性质没有发生变化；二是说物体相对于某一参照系来说没有发生某种运动，或者说物体在一定条件和范围内没有进行某种特殊的运动。 运动和静止的关系 区别：运动是绝对的、无条件的和永恒的。静止是相对的，有条件的和暂时的。 联系：物质世界是绝对运动和相对静止的统一。 (动中有静，静中有动) 只承认静止而否认运动是形而上学的不变论，只承认绝对运动而否认相对静止则导致相对主义和诡辩论。 方法论： 1.要在绝对运动和相对静止的统一中把握事物; 2.坚持辩证法,反对形而上学的不变论（只承认静止而否认运动）和相对主义与诡辩论（只承认绝对运动而否认相对静止）。 四、人和规律的辩证关系原理及方法论 规律就是事物运动过程中固有的本质的、必然的、稳定的联系. 人要发挥主观能动性,能动地认识世界,改造世界. [原理]
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 ：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.
哲学原理与方法论归纳整理 导读：马克思主义哲学是辩证唯物主义和历史唯物主义的哲学，其中，辩证唯物主义包括辩证唯物论、辩证唯物主义认识论、唯物辩证法三个组成部分。历史唯物主义包括历史观、价值观和人生观等组成部分。学习时应把握以下范畴：物质、运动、静止、规律、意识、认识、实践、真理、联系、发展、矛盾、社会存在与社会意识、人民群众、价值及价值观、价值判断与价值选择、价值创造与实现。 一、辩证唯物主义（辩证唯物论8、唯物辩证法19、认识论3）（共30条原理） 第一部分：辩证唯物论（物质和意识、规律和主观能动性）（共8条原理） 一、世界的物质统一性原理 1、【原理内容】：辩证唯物主义认为，自然界是物质的；人类社会是物质的。意识是物质的派生。因此，世界是物质的世界，世界的真正统一性在于它的物质性。 2、【方法论】：想问题、办事情，要坚持一切从实际出发，使主观认识和客观实际相符合。 3、【反对】：反对实际工作中，违背世界物质性原理的表现是主观主义。 ☆☆如何做到一切从实际出发，实事求是：（1）坚持一切从实际出发，实事求是，要求我们不断解放思想，与时俱进，以求真务实的精神探求事物的本质和规律，在实践中检验和发展真理。（2）坚持一切从实际出发，实事求是，要把发挥主观能动性和尊重客观规律结合起来，把高度的革命热情同严谨的科学态度结合起来。既要反对夸大意识能动作用的唯意志主义，又要反对片面强调客观条件，安于现状，因循守旧，无所作为的思想。 二、物质决定意识原理 1、【原理内容】辩证唯物主义认为：世界的本质是物质，先有物质后有意识，物质第一性，意识第二性，物质决定意识，意识是物质的反映。 2、【方法论】：要求我们想问题办事情坚持一切从实际出发，使主观符合客观。 3、【反对】：反对不从实际出发的主观主义。反对本本主义（教条主义）、经验主义。 三、意识能动作用原理（或意识反作用于物质原理） 1、【原理内容】：（1）人能够能动地认识世界。人的意识不仅能反映事物的外部现象，而且能够把握事物的本质和规律，世界上只有尚未认识之物，而没有不可以认识之物。意识具有计划性、目的性、主动创造性与自觉选择性。 （2）人能够能动地改造世界。①意识对物质具有反作用，正确反映客观事物及其发展规律的意识，能够指导人们有效地开展实践活动，促进客观事物的发展。歪曲反映客观事物及其发展规律的意识，则会把人的活动引向歧途，阻碍客观事物的发展。②意识对于人体生理活动具有调节和控制作用。高昂的精神，可以催人向上，使人奋进；萎靡的精神，则会使人悲观、消沉，丧失斗志。 2、【方法论】：要求我们一定要重视意识的作用，重视精神的力量，自觉地树立正确的思想意识，克服错误的思想意识。 3、【反对】：反对否对意识能动作用的形而上学观点和片面夸大意识能动作用的唯心主义观点。 四、物质和意识辩证关系原理【重点掌握】 （1）【原理内容】：辩证唯物主义认为，物质决定意识，意识对物质具有能动作用。正确意识对事物发展起着促进作用，错误意识对事物发展起着阻碍作用。 （2）【方法论】：想问题、办事情既要坚持一切从实际出发，实事求是；又要重视意识的作用，重视精神的力量，自觉地树立正确的思想意识，克服错误的思想意识。 （3）【反对】：反对夸大意识能动作用的唯意志主义和反对片面强调客观条件，安于现状、因循守旧、无所作为的思想。
高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++
毕业论文 题目极限思想的产生与发展 专业数学教育 院系数学系 学号 131002145 姓名 指导教师 二○一三年五月
定西师范高等专科学校 2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：
目录 内容摘要： ............................................................................................................... (4) 关键词： (4) 引言： (5) 一、极限思想的产生 (6) 二、极限思想发展的分期 (6) （一）极限思想的萌芽时期 (6) （二）极限思想的发展时期 (8) （三）极限思想的完善时期 (8) 三、极限思想与微积分 (9) （一）微积分的孕育 (10) （二）牛顿与微积分 (11) （三）莱布尼茨与微积分 (12) （四）微积分的进一步发展 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15)
内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。 关键词极限；无穷；微积分
引言 极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。 极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
马克思主义哲学原理及方法论 一．唯物论 世界的物质统一性原理及方法论 ［原理］：辩证唯物主义认为，世界的本质是物质，世界上先有物质后有意识，物质决定意识，意识是客观存在在人脑中的反映。 ［方法论］：这一原理要求我们在想问题、办事情的时候，要一切从实际出发，理论联系实际，解放思想，实事求是，与时俱进，在实践中检验和发展真理。 ［错误倾向］：反对不从实际出发的主观主义，反对本本主义（教条主义）、经验主义。 意识能动作用原理及方法论 ［原理］（1）人能够能动地认识世界。人的意识不仅能反映事物的外部现象，而且能够把握事物的本质和规律，世界上只有尚未认识之物，而没有不可以认识之物。 （2）人能够能动地改造世界。（1）意识对物质具有反作用，正确反映客观事物及其发展规律的意识，能够指导人们有效地开展实践活动，促进客观事物的发展。歪曲反映客观事物及其发展规律的意识，则会把人的活动引向歧途，阻碍客观事物的发展。（2）意识对于人体生理活动具有调节和控制作用。高昂的精神，可以催人向上，使人奋进；萎靡的精神，则会使人悲观、消沉，丧失斗志。 ［方法论］：要求我们一定要重视意识的作用，重视精神的力量，自觉地树立正确的思想意识，克服错误的思想意识。 ［错误倾向］：反对否认意识能动作用的形而上学观点和片面夸大意识能动作用的唯心主义观点。 物质和意识的辩证关系原理 ［原理内容］：物质决定意识，意识对物质具有能动作用。 正确意识对事物发展促进作用，错误意识对事物发展起着阻碍作用。 ［方法论］：一方面要坚持一切从实际出发，实事求是； 另一方面，要重视意识的作用，重视精神的力量，自觉地树立正确 的思想意识，克服错误的思想意识。 ［错误倾向］：反对夸大意识能动作用的唯意志主义和反对片面强调客观条件，安于现状、因循守旧、无所作为的思想 规律的客观性和普遍性原理及方法论 ［原理内容］：所谓规律，就是事物运动过程中固有的本质的、必然的、稳定的联系。规律是客观的，是不依人的意志为转移的，它既不能被创造，也不能被消灭。规律是普遍的，自然界、人类社会和人的思维，在其运动变化和发展的过程中，都遵循其固有的规律。没有规律的物质运动是不存在的。 ［方法论］：规律的客观性和普遍性要求我们，必须遵循规律，按客观规律办事，而不能违背规律。一旦违背客观规律，人们就会受到规律的惩罚。在客观规律面前，人并不是无能为力的，人可以在认识和把握规律的基础上根据规律发生作用的条件和形式利用规律，改造客观世界，造福于人类。 ［错误倾向］：反对否认规律的客观性和企图创造规律或消灭规律的唯心主义观点，反对不讲科学，不顾客观规律的冒险盲干的主观主义。 尊重客观规律和发挥主观能动性辩证关系原理
圆周长公式推导 1.积分法 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt （Q:此处x,y对t为什么都要导？ A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt =∫(0到2π) r dt = 2πr 2.极限法 在圆内做内接等n边形， 求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形， 其底边长为 2*r*sin(π/n) ，所以等n边形周长为 n*2*r*sin(π/n) 这个周长对n→∞求极限 lim[n*2*r*sin(π/n)] 运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x 所以lim[n*2*r*sin(π/n)] =lim[n*2*r*π/n]=2πr. 圆面积公式推导 应用圆周长C = 2π r
1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形 并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。 2.积分法 可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R. 所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.) 不应用圆周长C = 2π r 1. 积分法 (1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述. (2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、r为高的等边三角形，每个面积就是r* C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)= 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ). 于是圆的面积就是 S=∫(0到2π) 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*∫(0到2π) √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*C =1/2*r*2πr =πr^2. 2.极限法 类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形， 求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，
马克思主义哲学的基本原理和方法论 一、辩证唯物论（第一课、第二课） 1、物质和意识的辨证关系 原理：物质决定意识，意识对物质具有反作用。正确的意识对物质具有促进作用。 方法论：①一切从实际出发②重视意识的作用，树立正确的意识。 2、规律的客观性和人的主观能动性的辨证关系 原理：规律是客观的，它发生作用不以人的意志为转移，规律制约人的主观能动性的发挥。另一方面，人具有主观能动性，能够认识和利用规律。 方法论：发挥主观能动性要尊重客观规律，按规律办事。另一方面，要充分发挥人的主观能动性，认识和利用规律，改变规律发生作用的条件，变害为利。 二、唯物辩证法（第二、三、四课） （一）联系的观点 1、联系的普遍性 原理：世界上的一切事物都处于普遍联系之中，其中没有任何一个事物是孤立存在的，整个世界就是一个普遍联系的统一整体。 方法论：坚持用联系的观点看问题，认识和把握事物的真实联系，具体分析事物之间的联系。 2、因果联系 原理：事物之间的因果联系既是先行后续的关系，又是引起和被引起的关系；原因总是伴随一定的结果，结果总是由一定的原因引起的；任何事物都处于因果联系的连接之中，因果联系是普遍存在的，它不以人的意志为转移。 方法论：①承认因果联系的普遍性和客观性，是人们正确认识事物，进行科学研究的前提； ②正确把握事物的因果联系，才能提高人们实践活动的自觉性和预见性。 3、整体和部分的关系 原理：整体处于统帅的决定地位，部分从属于整体，整体的性能状态及其变化会影响到部分的性能状态及其变化；整体是由部分构成的，整体功能的形成离不开部分原有的功能，部分制约整体，甚至在一定条件下，关键部分的性能状态会对整体的性能状态起决定作用。方法论：①要树立全局观念，办事情从整体着眼，寻求最优目标②搞好局部，使整体功能得到最大发挥。 （二）发展的观点 4、发展的观点 原理：一切事物都处在永不停息的运动、变化和发展的过程中，整个世界就是一个无限变化和永恒发展着的物质世界；发展就是新事物代替旧事物的过程。 方法论：①坚持用发展的观点看问题②要把事物如实地看成一个变化发展的过程③要明确事物处于怎样的阶段和地位④要与时俱进，培养创新精神，促进新事物的成长 5、内因和外因的辨证关系 原理：事物的发展都是内因和外因共同起作用的结果；内因是事物变化发展的根据；外因是条件；外因通过内因起作用。 方法论：坚持用内因和外因辨证关系的观点看问题，要重视内因的作用，同时也不能忽视外因。
热等效原理：在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所消耗的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值 接触极限思想与微积分 初步接触 早在小学数学课上，大家就开始接触极限与微积分的思想了：圆的面积。教材上推导圆的面积使用的方法是把圆均分成2n 个扇形，将n 个扇形按平移变换一字排开，扇尖朝下，形成向下锯齿形；类似地，再将另外n 个扇形一字排开，扇尖朝上。然后将两排扇形齿齿相合，形成一个“近似长方形”。圆的面积与该“近似长方形”的面积相等，若n 无限增大，则该“近似长方形”无限接近于长方形，此时该长方形的宽是圆的半径r ，长是圆的半周长πr ，所以该长方形面积（圆的面积）为πr 2。那时候，我对这种思想无限细分的思想产生了浓厚的兴趣，为以后的探索埋下了思想的根源。 激起兴趣 在初中阶段，我从书本上了解到我国家庭 电路的电压是220V ，并且是交流电（即大小随 时间作周期性变化的电压或电流）。这时候，我 看出了我国家庭电路的“矛盾”：电压是恒定的 （220V ），电压是变化的（交流电）。这种“矛 盾”激起了我刨根究底的好奇心，于是我翻阅 了大量资料，从中获知：我国家庭电路的交流 电是正余弦交流电，其有效值（根据热等效原 理*）是220V ，其峰值是220√2 V ，但为何峰 值与有效值相差√2倍呢？我暂不得而知。 到了初中阶段的尾声，我有意无意地阅读 到了人教版的物理教材中的某一版块（如图）， 我突然有种莫名的熟悉感。噢！这不正与小学 计算圆面积的方法有着异曲同工之妙！这种极 限与微积分的思想迫使我深究，于是乎，我类 比出：速度恰好等于“加速度-时间”曲线下方 的面积；冲量恰好等于“力-时间”曲线下方的 面积；功恰好等于“力-距离”曲线下方的面积， 电功恰好等于“功率-时间”曲线下方的面 积…… 深入学习 我把交流电的表达式功率表达式求出来了，并作出它的“功率-时间”曲线，却愁于求曲线下方的面积。于是我决心自学“微积分”。 学习微积分的过程并不容易，微积分的世界里处处都是抽象的概念，有时还会有有悖常理的思想。 例如：函数f(x)=1/x (x ≥1)，这个函数图像是我们熟悉的反比例函数图像的一部分。将该支曲线下方的面积绕x 轴旋转，形成一个旋转体。通过推论及计算，我们发现其体积是有限的，而其表面积是无限的。具体一点来讲：若这个旋转体是一个容器，那么它能装有限油漆，但表面需要刷无限的油漆。这样的例子有非常多，如：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”、“阿基里斯”悖论、“二分法”悖论……
《生活与哲学》原理及方法论（简版） 第一单元《生活智慧与时代精神》 第一课： 1、哲学是什么 （1）从本义上看，哲学是指爱智慧和追求智慧 （2）从与世界观的关系看，哲学是关于世界观的学问，是理论化、系统化的世界观 （3）从与方法论的关系看，哲学也是关于方法论的学说，是世界观与方法论的统一 世界观和方法论是同一问题的两个方面。一般说来，世界观决定方法论，方法论体现着世界观，有什么样的世界观就有什么样的方法论。 （4）从与具体知识的关系看，哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结 2、重点把握：哲学与具体科学的关系 区别：具体科学揭示的是自然、社会或思维某一具体领域的规律和奥秘，哲学对个别规律和特性进行新的概括和升华，从中抽象出最一般的本质和最普遍的规律。 联系：哲学是对自然、社会、和思维知识的概括和总结。具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动着哲学的发展；哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 第二课 1、理解：哲学的基本问题及其两方面的内容 哲学的基本问题是思维和存在的关系问题，也就是意识和物质的关系问题。它包括两方面的内容：一是思维和存在何者为本原的问题，对这个问题的不同回答，是划分唯物主义和唯心主义的唯一标准。 二是思维和存在有没有在同一性的问题，即思维能否正确认识存在的问题。对这个问题的不同回答，是划分可知论和不可知论的标准。 2、唯物主义的基本观点 唯物主义认为：物质是本原的，意识是派生的，先有物质后又意识，物质决定意识。 （注意课本P12的探究） ①古代朴素唯物主义：（特点）认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向，本质上是正确的，但把物质归结为具体的物质形态，如水、火、气、土等，没有科学依据。如：气者，理之依也 ②近代形而上学唯物主义：（特点）把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界的本原，具有机械性、形而上学性和历史观上的唯心主义等局限性。 ③辩证唯物主义和历史唯物主义：（特点）正确揭示了物质世界的基本规律，反映了社会历史发展的客观要求，反映了最广大人民群众的根本利益。 3、了解：唯心主义的基本观点 唯心主义认为，意识是本原，物质依赖于意识，意识决定物质。 （注意课本P13的探究） ①主观唯心主义：把人的主观精神（如人的目的、意志、感觉、经验、心灵等）夸大为唯一的实在，认为客观事物以至整个世界，都依赖于人的主观精神。 如：存在就是被感知物是观念的集合（贝克莱） ②客观唯心主义：把客观精神（如上帝、理念、绝对精神、佛等）看作世界的主宰和本原，认为现实的物质世界只是这些客观精神的外化和表现。 如：理生万物（朱熹）
第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函
基本原理 世界的物质性原理及其方法论要求 1、原理归纳：马克思主义哲学把不依赖于人的意识并能为人的意识所反映的客观实在叫物质。 界还是人类社会都是客观存在的物质世界。世界的本质是物质。 2、方法论要求：这一原理要求我们从实际出发，反对从主观出发，反对 二、意识能够反映客观事物的原理及方法论要求 1、原理归纳：意识能够正确地反映客观事物，但会受主 客观方面因素的影响，意识对客观事物的反映会不 同。主观方面的因素主要有立场不同、世界观不同、人生观不同、思维方法不同、知识结构不同。 2、方法论要求：只要我们端正立场，以人民的根本利益为出发点来观察事物，以科学的世界观、人生观为 指导，不断充实我们的科学知识，运用正确的思维方法，我们就一定能够在正确认识世界的道路上不断前 进。 三、意识反作用的原理及方法论要求 1、原理归纳：物质决定意识，意识对物质有反作用。正确反映客观事物及其发展规律的意识，能够指导人 们有效地开展实践活动，促进客观事物的发展。歪曲反映客观事物及其发展规律的意识，则会把人的活动 引向歧途，阻碍客观事物的发展。 2、方法论要求：要求我们一定要重视意识的反作用，重视精神的力量，自觉树立正确的思想意识，克服错 误的思想意识，既反对否认意识能动作用的形而上学的观点，又要反对片面夸大意识能动作用的唯心主义 错误。 1、原理归纳：物质决定意识，意识是物质的反映，意识对物质具有能动作用。正确的意识对客观事物的发 展起积极促进作用，错误的意识对客观事物的发展起消极阻碍作用。 2、方法论要求：要求我们既要做到一切从实际出发，使主观符合客观。 第二课基本原理 一、事物是普遍联系的原理及方法论要求 1、原理归纳：唯物辩证法认为，联系是事物之间以及事物内部各要素之间的相互影响、相互制约的关系。 世界上的一切事物都处在普遍之中，其中没有任何一个事物孤立地存在，整个世界就是一个普遍联系的统 一整体。联系具有客观性和多样性。 2、方法论要求：坚持用联系的观点看问题，对事物的联系进行具体分析，反对形而上学孤立、片面地看问 题。 二、因果关系的原理及其方法论要求 1、原理归纳：唯物辩证法认为，原因是引起某种现象产生的现象，结果是被某种现象引起的现象。在每事 每物的具体因果联系中，原因和结果有严格区别，在一定条件下，可以相互转化。因果联系具有普遍性、 客观性、条件性。 2、方法论要求：承认因果联系的普遍性和客观性，是人们正确认识事物、进行科学研究的前提；正确把握 事物的因果联系，才能提高人们活动的自觉性和预见性；反对倒因为果，倒果为因。 三、整体和部分关系的原理及其方法论要求 1、原理归纳：唯物辩证法认为，一切事物都是由各个局部构成的有机联系的整体，局部离不开整体，整体 也离不开局部，全局高于局部。 2、方法论要求：整体和部分关系原理要求我们办事情从整体着眼，寻求最优目标；搞好局部，使整体功能 得到最大发挥；树立整体观念和全局观念。 四、事物是变化发展的原理及其方法论要求 1、原理归纳：唯物辩证法认为，世界上一切事物都处在永不停息的运动、变化和发展的过程中，整个世界 是一个无限变化和永恒发展着的物质世界。发展就是新事物的产生和旧事物的灭亡，即新事物代替旧事物 的过程。 2、方法论要求：用发展的观点观察和分析问题。要把事物如实地看成是一个变化发展的过程；要弄清事物 在发展过程中所处的阶段和地位；要与时俱进，培养创新精神，促进新事物的成长，反对形而上学静止地 看冋题。 无论是自然 上帝创世说”。 四、 物质和意识的辩证关系原理及其方法论要求