几种特殊的矩阵变换 同步练习
一,选择题
1,平面上任意一点在矩阵????
??-1001的作用下( )
A.横坐标不变,纵坐标不变
B.横坐标变为相反数,纵坐标不变
C.横坐标不变,纵坐标变为相反数
D.横坐标变为相反数,纵坐标变为相反数
2, 图像在矩阵????
??-0110的作用下( )
A.变成关于x 轴对称点
B.关于原点对称点
C.绕原点逆时针旋转90度
D.绕原点顺时针旋转90度
3, 变换????
??--=????
??
????
??
--q p
q p
1001的几何意义为( )
A.关于y 轴反射变换
B. 关于x 轴反射变换
C. 关于原点反射变换
D.以上都不对
二,填空题
4,矩阵????
??2001表示的变换是 .
5,表示顺时针旋转60°的矩阵是 .
6,矩阵????
??
2002对三角形ABC 的作用结果是 .
三,解答题
7,当k>0时,矩阵????
??
k 001表示什么变换?试用语言描绘你的猜想
8,试利用下图,研究矩阵???
? ?
?-=θθθθcos sin sin cos M 表示什么变换
9,对任意矩阵M,平面中四点A,B,C,D 在该矩阵作用下变成D C B A '''',,,,试证明,若AB//CD,则D C B A ''''//
参考答案
1,C 2,D 3,C
4,x 轴的垂直拉伸变换 5, ?????
? ??-21232321 6,与原三角形保持相似比为2的相似变换
7, )0(001>???
? ??=???? ?????? ??k y x y x k 表示平面上任意点(x,y)在矩阵???
? ??k 001的作用下,横坐标不变,纵坐标变为原来的k 倍,即
每个点都关于x 轴垂直压(或伸)为原来的k 倍
8,证明:平面上任一点),(y x P 在M 作用下像点为P ',当点不是原点P 时,由 ???
? ??+-=???? ?????? ??-='='θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos y x y x y x P MO P O 可知像点 )cos sin ,sin cos (θθθθy x y x P +-',利用两点间距离公式可以证得OP P O =',利用向量内积可求得θ='∠P PO ,由此说明M 表示的是绕原点逆时针旋转θ角的变换 9,提示:由AB//CD, 不妨设λ= 则D C M M B A ''===''λλ)(
可得D C B A ''''//
(北师大版)高一数学必修1全套教案
第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结
构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必
修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，211 22 S lr r α= = ． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是 (),x y ，它与原点的距离是() r r = >，则sin y r α=，cos x r α=， ()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，
北师大版高中数学 必修1 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单 应用 阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行 趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题 §4 几种基本语句 课题学习确定线段n等分点的 算法 第三章概率 §1 随机事件的概率 §2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 探究活动用模拟方法估计圆周 率∏的值 必修4 全书目录： 第一章三角函数 §1 周期现象与周期函数 §2 角的概念的推广 §3 弧度制 §4 正弦函数 §5 余弦函数 §6 正切函数 §7 函数的图像 §8 同角三角函数的基本关系 阅读材料数学与音乐 课题学习利用现代信息技术探 究的图像 第二章平面向量 §1 从位移、速度、力到向量 §2 从位移的合成到向量的加法 §3 从速度的倍数到数乘向量 §4 平面向量的坐标 §5 从力做的功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例 阅读材料向量与中学数学 第三章三角恒等变形 §1 两角和与差的三角函数 §2 二倍角的正弦、余弦和正切 §3 半角的三角函数 §4 三角函数的和差化积与积化 和差 §5 三角函数的简单应用 课题学习摩天轮中的数学问题 探究活动升旗中的数学问题
北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征
· 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列
高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1 2020.03 1,圆22 1x y +=在矩阵10102?????? ? ?对应的变换作用下的结果为 ． 2,当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设： （1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%； （2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍； （3）第n 年时，兔子数量n R 用表示，狐狸数量用n F 表示； （4）初始时刻（即第0年），兔子数量有1000=R 只，狐狸数量有300=F 只。 请用所学知识解决如下问题： （1）列出兔子与狐狸的生态模型； （2）求出n R 、n F 关于n 的关系式； （3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。 3,在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命 中才能引爆成功，每次射击命中率都是3 2 .，每次命中与否互相独立. (1) 求油罐被引爆的概率. (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望 4,在空间四边形ABCD 中， AC 和BD 为对角线，G 为ABC ?的重心，E 是BD
上一点，3BE ED =，以{ },,AB AC AD u u u r u u u r u u u r 为基底，则GE =u u u r ___ 5,设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的 伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22 149x y +=在1M -的作用下的新曲线的 方程． 6,已知变换A ：平面上的点P （2，－1）、Q （－1，2）分别变换成点P 1（3，－4）、 Q 1（0，5） （1）求变换矩阵A ； （2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由． 7,两个人射击，甲射击一次中靶概率是21，乙射击一次中靶概率是31 ， （Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？ （Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ （Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？ 8,如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值以及BA 1与面C 1EF 所成的角的大小．
北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解 第一章集合与函数概念 知识架构 第一讲集合
★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 三：集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 {|B x x ={|B x x =
★重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法 （1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ????=+==+=????????? 则M N=（ ） A. Φ； B. {})2,0(),0,3(； C. []3,3-； D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆 14 922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B [正解] C ； 显然{} 33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ? （3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质 （1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ；
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案1 教学目标 1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、 切变变换的矩阵表示及其几何意义 2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵 3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系 教学重难点 了解并掌握几种特殊的矩阵变换，可以简单的运用。 教学过程 1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义 （１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：?? ? ???y x →??????''y x =??????++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：??? ???y x →??????''y x =??? ? ??d c b a ?? ????y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ） 由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形. 在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换． （２）由矩阵M=?? ? ???1001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩 阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己. （３）由矩阵M=??????100k 或M=?? ? ???k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变 换，这时称矩阵M=???? ??100k 或M=?? ????k 001伸压变换矩阵．
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修） 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题
必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计
几类特殊线性变换及其二阶矩阵 【教学目标】 1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。 2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。 3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。 难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是： 在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+??'=+? ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。 ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 (,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。 像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ?? ???称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素 元素全为0的二阶矩阵0000?? ???称为零矩阵，简记为0。
矩阵1001?? ??? 称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。 解析：教师板书。 （3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-??'=+?，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-?? ??? 。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。 解析：教师板书。 （4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是： 一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。 学生板书，教师纠正解答。 （5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。 （1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。 （2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A ' 教师请同学上讲台解答，并纠正总结。
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点） · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算（重点） （2课时） ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性（重点） · 4、二次函数性质的再研究（重点） · 5、简单的幂函数 （5课时） ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数（重点） · 4、对数 · 5、对数函数（重点） · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点） （3课时） ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 （2课时） 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图（重点） · 3、直观图（1课时） · 4、空间图形的基本关系与公理（重点） · 5、平行关系（重点）
· 6、垂直关系（重点） · 7、简单几何体的面积和体积（重点） · 8、面积公式和体积公式的简单应用（重点、难点）（4课时） ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 （4课时） 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征（重点） · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 （3课时） ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计（重点） · 3、排序问题（重点） · 4、几种基本语句 （2课时） ·第三章概率 · 1、随机事件的概率（重点） · 2、古典概型（重点） · 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点） （4课时） 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数
必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状
第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用
北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 （一）、抽样方法 1、简单随机抽样 （1）、相关概念：总体、个体、样本、样本容量。（2）、基本思想：用样本估计总体。 （3）、简单随机抽查概念。一般的，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样。 （4）、抽样方法：①抽签法；②随机数表。 2、系统抽样 （1）、定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。 （2）、步骤：①编号；②分段；③不确定起始个体编号；④按规则抽取。 3、分层抽样 （1）、定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即 N n 。 （二）、用样本的频率分布估计总体的分布（统计图表） 1、列频率分布表，画频率分布直方图： （1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图；3、扇形图； 4、条形图；5、折线图； 6、散点图。 （三）、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 （1）、众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出现最多的那个数据）。 （2）、中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。 （3）、平均数：)(1 21n x x x n x +++= Λ （4）、三个概念的区别：①都是描述一组数据集中趋势的量，平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映问题，中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差：( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 （2）、样本标准差：方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ （3）、要有单位，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据单位同。 （四）、变量的相关性： 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系：确定性关系。②相关关系：自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。
北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案 第一课时 1.1.1 数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。 3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 （一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （二）、推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓). 生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了. 师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 A A = ?=? B A ? A A = A ?= B A ? ） ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==
分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ === 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应 关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集 合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数 法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝ 2 21x +，可采用 法；② y ＝)32(2 312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x － 2 1x -，可采用 法；⑥ y ＝ x x cos 2sin -可采用 法等. §3函数的单调性 一、单调性 1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 北师版 -----------------------------------必修1----------------------------------- 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算3.1交集与并集3.2全集与补集 第二章函数 §1生活中的变量关系 §2对函数的进一步认识2.1函数概念2.2函数的表示法2.3映射 §3函数的单调性 §4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图象4.2二次函数的性质 §5 简单的幂函数 第三章指数函数和对数函数 §1正整数指数函数 §2指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算的性质 §3指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数y=2^x和y=(1/2)^x的图象和性质 3.3指数函数的图象和性质 §4对数4.1对数及其运算4.2换底公式 §5对数函数5.1对数函数的概念5.2Y=log2x的图象和性质 5.3对数函数的图象和性质 §6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在1.2利用二分法求方程的近似解§2实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题 2.3函数建模案例 -----------------------------------必修2----------------------------------- 第一章立体几何初步 §1 简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体 §2 直观图 §3 三视图3.1简单组合体的三视图3.2由三视图还原成三视图 §4 空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理§5 平行关系5.1平行关系的判定5.2平行关系的性质 §6 垂直关系6.1垂直关系的判定6.2垂直关系的性质 §7 简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积 7.2棱柱、棱锥、棱台、和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1.2直线的方程 1.3两条直线的位置关系1.4两条直线的交点1.5平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程 2.1圆的标准方程2.2圆的一般方程 2.3直线与圆、圆与圆的位置关系 §3 空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标 3.3空间两点的距离公式 -----------------------------------必修3----------------------------------- 第一章统计 §1 从普查到抽样 §2抽样方法2.1简单随机抽样2.2分层抽样与系统抽样 §3统计图表 §4数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差 §5用样本估计总体5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征 §6统计活动：结婚年龄的变化 §7相关性 §8最小二乘法 第二章算法初步 §1算法的基本思想1.1算法案例分析1.2排序问题与算法的多样性 §2算法的基本结构及设计2.1顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3循环结构§3几种基本语句3.1条件语句3.2循环语句 第三章概率 §1随机事件的概率1.1频率与概率1.2生活中的频率 `北师大版高一数学必修1 第二章函数 §1 生活中的变量关系 桐柏一高中刘莉 ★教学目标 1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识， 了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系． 2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力． 3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点： 1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系. 2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系. ★授课类型：新授课 ★教具：多媒体、实物投影仪 ★教学方法:启发式、交互式教学 ★教学过程： 一、创设情景，引入课题 多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系) 二、新课讲解 1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么? ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系? ◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v 与时间t 是否存在函数关系? 2、知识探究： 阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题 （1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。 （2）对问题3，储油量v 对油面高度h 、油面宽度w 都存在依赖关系，两种依赖关系 都有函数关系吗？ （3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否 为函数关系。 （4） 归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。 探究结论 ：依赖关系与函数关系 (1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。 (2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变 量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。 (3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存 在函数关系。 3、议一议： （1） 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.如图.请问：骆驼的体温与时间之间存在依赖关系吗？若存在，这种依赖关系是函数关系吗？ 图1 3032343638404204812162024283236404448时间/时温度/摄氏度 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.高中数学北师版教材目录(必修+选修)
北师大版高一数学必修
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
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