直线和平面所成的角与二面角
年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____
总分一二三
一、选择题(共45题，题分合计225分)
1.过正方形ABCD的顶点A作线段A A′⊥平面ABCD，若A A′=AB，则平面A′A B与平面A′CD所成的角度是
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是
A.相等
B.互补
C.相等或互补 C.不能确定
?α,直线n?β,且m、n均不与l垂直,则
3.在直二面角α- l-β中,直线m
A. m与n不可能垂直,但可能平行
B. m与n可能垂直,但不可能平行
C. m与n可能垂直,也可能平行
D. m与n不可能垂直,也不可能平行
4.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:
(1)若a a //,a b //,则b a //.(2)若a a //,β//a ,则β//a .
(3)若γ⊥a ,γβ⊥,则β//a .
其中正确的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
5.如图△ABD ≌△CBD ，且△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是
①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形③AB 与面BCD 成60°角④AB 与CD 成60°角
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
6.在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1C 1上取一点E ,使AE 与AB 、AD 所成的角都为60°,则AE 的长等于 A.35 B.46
C.2
D.3
7.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为：
Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C.0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2
8.在直二面角α－AB －β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为
A.45°
B.60°
C.120°
D.60°或120°
9.若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则
A.各格侧棱长相等
B.各侧棱与底面成等角
C.各侧面与底面线等角
D.每组相对棱互相垂直
10.二面角α-l -β的平面角为120°,A ,B ∈l ,AC ?α,BD ?β,AC ⊥l ,BD ⊥l ,若AB =AC =BD =1，则CD 等于 A.2 B.3 C.2 D.5
11.60°的二面角α- l-β,直线a ?α,直线b ?β,且a 、b 无公共点.设a 、b 所成的角是θ,则cos θ的取值范围是 A.????????1,23 B.?????
?21,0 C.[]1,0 D.[)1,0 12.二面角α- l-β的大小为θ，直线a ?α，直线b ?β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是
A. φ＜θ
B. φ＞θ
C. φ=θ
D.以上三种关系均有可能
13.直线l 与平面α或60°角，A l =α ，直线a A a ??且α，设l 与a 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是 A.?????
?1,21 B.??????1,21 C.??????21,0 D.??????21,0 14.如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
15.二面角α-ＭＮ-β＝60o，直线AB 与α、β分别交于A 、B ，AB ⊥MN ，若AB 与α、β所成角分别是θ1、θ2，则
A.θ1＋θ2=120o
B.θ1＋θ2>120o
C.θ1＋θ2<120o
D.以上都不对
16.正方形纸片ABCD ,沿对角线AC 对折,使D 点在面ABC 外,这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于
A.30°
B.45°
C.60°
D.90
17.a 、b 表示直线，α、β、γ表示平面，有下列四个命题：(1)若α∩β=a ,b ?α，a ⊥b ,则α⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ=a ,β∩γ=b ,则a ⊥b ;(3)若a 不垂直于平面α，则a 不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若a
⊥α，b⊥β,a∥ｂ，则α∥β，其中不正确命题的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
18.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m⊥α,以其中三个结论作为条件，另一个论断作为结论，则所得命题正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
19.正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90
20.对于直线m、n和平面α、β、γ
，下列命题中，正确命题的个数为
①若m∥α，n⊥m,则n⊥α②若m⊥α，n⊥m,则n∥α③若α⊥β,γ
⊥β，则α∥
γ
④若m⊥α，m?β，
则α⊥β
A.1
B.2
C.3
D.4
21.平面α与平面β相交，m是α内的一条定直线，则下列结论正确的是
A.在β内必存在与m平行的直线
B.在β内必存在与m垂直的直线
C.在β内必不存在与m平行的直线
D.在β内不存在与m垂直的直线
22.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
23.下列命题中错误的是
A.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面γ
，平面β⊥
γ
，α∩β＝l，那么l⊥
γ
24.如图，四边形BCEF、AFED都是矩形，且平面AFED⊥平面BCEF，则下列式子中正确的是
A.cosα＝cosβ·cosθ
B.sinα＝sinβ·cosθ
C.cos β＝cos α·cos θ
D.sin β＝sin α·cos θ
25.一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别为θ和?，则θ＋?
A.≤90°
B.≠90°
C.≥90°
D.无法确定
26.过正方形ABCD 的顶点A 作线段⊥'A A 平面ABC D.若AB B A ='，则平面AB A '与平而CD A '所成角的度数是
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
27.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：
⑴若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；⑵若a ∥α，a ∥β，则α∥β；
⑶若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
28.在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有
A.SG ⊥△EFG 所在平面
B.SD ⊥△EFG 所在平面
C.GF ⊥△SEF 所在平面
D.GD ⊥△SEF 所在平面
S G 1 G 2
G 3
E F
D
29.设直线m 、n 和平面α、β,则下列命题中，正确的是
A.m ∥n,m ?α,n ?β?α∥β
B.m ⊥α,m ⊥n ,n ?β?α∥β
C.m∥n,n⊥β,m?α?α⊥β
D.m∥n,m⊥α,n⊥β?α⊥β
30.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题
①若a∥α,b∥α,则a∥b；②若a∥α,a∥β,则α∥β；③若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β
其中正确命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
31.下列命题正确的是
A.若直线a∥平面α，直线b⊥a，b?平面β，则α⊥β
B.若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥β
C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
32.已知二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b和c的角为60°的是
A.b∥α，c⊥β
B.b∥α，c⊥β
C.b⊥α，c⊥β
D.b⊥α，c∥β
33.设平面α⊥平面β，直线a?α，直线b?β，且a⊥b，则
A.a⊥β
B.b⊥α
C.a⊥β与b⊥α中至少有一个成立
D.a⊥β与b⊥α同时成立
34.如图:过正方形ABCD的顶点A，引P A⊥平面AC，若P A＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
35.设二面角α-AB-β面上一点D，DP在α内与AB成45°，与平面β成30°角，则二面角α-AB-β的度数是
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
36.自大于90°的二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.无关
37.一个直角三角形的两个直角边长为a、b，沿斜边高折成直二面角，则两个直角边所夹角的余弦值为
A.
2
2b
a
ab
+ B.2
2
2
b
a
ab
+ C.2
2b
a
ab
+ D.2
2b
a
ab
+
38.过平面外的两个点A、B有无穷多个平面都与α垂直，则一定有
A.直线AB∥α
B.直线AB与α成60°角
C.A、B两点在α的一条垂线上
D.A、B两点到α的距离相等
39.A为直二面角α－l－β的棱上的一点，两条长度都等于a的线段AB、AC分别在α、β内并且都与l成45°角，则BC的长为
A.a
B.a或3a
C.a或2a
D.a或5a
40.如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有
A. α⊥γ且l⊥m
B. α⊥γ且m∥β
C. m∥β且l⊥m
D. α
∥β且α⊥γ
41.有不同的直线a?b和不同的平面α?β?γ,给出下列三个命题:
(1)若a∥α,b∥α,则a∥ B.
(2)若a∥α,α∥β,则α∥β.
(3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
42.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直
D.以上都有可能
43.已知直线a、b和平面α、β、γ，可以使α∥β的条件是
A.a?α，b?β，a∥b
B.a?α，b?α，a∥β，b∥β
C.α⊥γ，β⊥γ
D.a⊥α，a⊥β
44.下列三个命题，其中正确命题的个数为
①平面α∥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ
②平面α∥平面β，β∥平面γ，则α∥γ
③平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ
A.1
B.2
C.3
D.0
45.如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BC D.则在三棱锥A-BCD,下列命题正确的是
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
二、填空题(共5题，题分合计20分)
1.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD和BF所成角的余弦值为
____________________________.
2.已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;
②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
③若m?α, l?β,且l⊥m, 则α⊥β;
④若l?β,且l⊥α,则α⊥β;
⑤若m?α, l?β,且α∥β,则m∥l.
其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
3.设有四个条件：
①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；
②直线a∥b,a⊥平面α，b⊥β；
③a、b是异面直线，
β
α?
?b
a,，且ａ∥β，ｂ∥α；
④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线，其中能推出α∥β的条件有.(填写所有正确条件的代号)
4.一条直线与平面α相交于点A，在平面α内不过A点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.
5.在空间，下列命题正确的是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果一条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ
三、解答题(共10题，题分合计110分)
1.已知:二面角α- l -β等于120°，AB=10，A∈α，B∈β. A、B到l的距离分别等于2和4.
(1)求直线AB和平面β所成角的大小;
(2)求异面直线AB和l所成角的大小.
2.已知M、N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求（1）MN和CD′'所成的角（2）MN和AD所成的角.
3.已知:正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF
互相垂直点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM= BN= a,
)2 0(<
(1)求MN的长 (2)当a为何值时, MN的长最小 (3)当MN长最小时,求面MNA与MNB所成二面角α的大小 4.边长为1的正方形ABCD, PA⊥平面ABCD (1)求证:平面PAD⊥平面PCD; (2)若PA=PB,求AC与平面PCD所成的角. 5.已知△ABC，PA⊥平面ABC，PA= AB= BC= AC. AH⊥平面PBC，H为垂足， 求证：H不是△PBC的垂心. 6.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60°角,且侧面ABB1A1⊥底面ABC. (1)求证: B1C⊥C1A; (2)求二面角C1-AB-C的大小. 7.将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°, AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD; (2)求二面角A-BD-C的正切值; (3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. 8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的余弦值是多少? 9.如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为. 10.两个正方形ABCD, CDEF拼接成直二面角,点M在BD上,N点在CE上,且BM=CN，CD=l. (1)求证: MN∥平面BCF, (2)设BM=t，MN= f (t),求函数f (t)的解析式, (3)求函数f (t)的定义域及最小值. 直线和平面所成的角与二面角答案 一、选择题(共45题，合计225分) 1.5621答案：B 2.5478答案：D 3.5511答案：A 4.5614答案：A 5.5618答案：B 6.5624答案：C 7.5627答案：C 8.5647答案：D 9.5661答案：D 10.5710答案：C 11.5718答案：C 12.5737答案：D 13.5740答案：C 14.5759答案：B 15.5766答案：D 16.5783答案：D 17.5794答案：C 18.5795答案：B 19.5815答案：C 20.6098答案：A 21.6099答案：B 22.6108答案：C 23.6109答案：A 24.6110答案：B 25.6111答案：A 26.6315答案：B 27.6330答案：A 28.6382答案：A 29.6408答案：C 30.6410答案：A 31.6481答案：B 32.5553答案：C 33.5769答案：C 34.6074答案：B 35.6093答案：C 36.6094答案：B 37.6095答案：C 38.6096答案：C 39.6097答案：B 40.6292答案：A 41.6301答案：A 42.6474答案：D 43.6477答案：D 44.6478答案：B 45.5651答案：D 二、填空题(共5题，合计20分) 1.5480答案：. 42 2.5636答案： ①④ 3.5782答案：②③ 4.6246答案：90° 5.6355答案： ①④ 三、解答题(共10题，合计110分) 1.5484答案：(1)103arcsin =∠ABC (2) 57arcsin =∠ABD 2.5487答案：(1)=60,'OD (2)?>=<45, 3.5730答案：(1) 21222+???? ??-=a MN (2)最小值为22 (3)所求二面角) 31arccos(-=α 4.5748答案：(2)AC 与平面PCD 成 30角. 5.5751答案：见注释 6.5502答案：(1)见注释 (2) ∠CDE =45° 7.5805答案：(1)tg ∠AFE =EF AE =2(2)异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为1030 . 8.6303答案：c osθ＝3 3 9.6304答案：∠AEF＝45°． 10.5752答案：(2） 1 2 )(2+ - =t t t f (3） )(t f有最小值2 2 ) 2 2 (= f 《二面角》教案 云南玉溪工业财贸学校 魏华新 一、目的要求 1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。 2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。 3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。 二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。 三、教学过程： （一）、二面角 1、提示问题产生的背景： 问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？ 问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？ 通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领 会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。 2、展现概念形成过程。 问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？ 创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。 问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？ 引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。 由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力），通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。 B 1 D 1 A D C 1 B C A 11.如图,在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中 ，B 1C 和 C 1 D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ，则 异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 (A) 46 (B).36 (C).62 (D).63 2.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 3.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 46． 4. .如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角;30 (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.30 D B P C A C B A D C 1 D 1A 1B 1 C B 1．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB 为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P． （1）求证：面ABP⊥面ABC； （2）求二面角C-BP-A的余弦值． 1、证明（1）由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心， 即D∈AB．∵PD⊥AB，PD?面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD． △BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角． 又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC， 由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形． 设1 BC=，则 3 CE=， 1 2 DE=， 1 3 2 cos 3 3 DE CED CE ∠===．2．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC ＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．求证： （1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．（3）若a AC a AB a AD3 , ,= = =，求二面角A DC B- -的正弦值 用向量法求二面角的平面 角教案 Prepared on 24 November 2020 第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴， 二面角及其平面角 [引言] 二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法. [概念] 由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面. 图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成 [二面角的度量] 以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直 二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角 [二面角的平面角作法] 做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考 1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角. 2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角 3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角 图2 二面角的平面角的三种作法 [例题1] 已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小 此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步： 1、找到或作出题目中二面角的平面角 2、证明1中的角为所求二面角 3、计算出角的大小 一“作”二“证”三“计算” 下面给出参考解法 解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1） 由三垂线定理得AD⊥l ∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2） ∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离 ∴AO=2√3，AD=4 在Rt△ADO中 ∴sin∠ADO=√3/2 ∵二面角的范围是[0,π] 故∠ADO=60° 即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3） 需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出. [思考] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离. [拓展延伸] 以下内容供有余力的同学参考 面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面 二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E ∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2 【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角 E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 找二面角的平面角的方法汇总 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法． 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例 1 在 60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求： （1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值． 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决 了这个问题，这道题也就解决了一半． 根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略． 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小． 分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面 α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角 的平面角． 总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一 个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用 三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． （2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 BD AF ⊥” 、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角 例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果 n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角． 分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ． 因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）． 注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明 图1 图2 6.怎样找二面角的平面角 一、当图中明显给出二面角的棱时 1、利用定义 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，求平面BD A 1与平面BD C 1所成的二面角的余弦值。 2、利用三垂线定理和逆定理 当图中给出或能作出二面角的一个面内一点垂直于另一个面的直线时，则可通过垂足（或这点）作棱的垂线，连结所得垂足与前平面内的点（或前垂足），根据三垂线定理或其逆定理就可得出二面角的平面角。 在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ， P A =AB =2， ∠ABC =30°，求二面角 P -BC -A 的大小。 3、借助垂直平面 通过作两个平面的公垂面得到交线，这时棱与公垂面垂直，从而两交线所成的角就是二面角的平面角 设在棱形ABCD 中，,3 A π ∠=P A ⊥平面ABCD ，且12 AP AB = =，求二面角B -PC -D 的大小。 二、当图中未给出二面角的棱时 一、若给出了两个平面的公共点 ①若能找到分别含在两个平面内的互相平行的直线，则可通过两个平面的公共点作上述两直线的平行线，此直线即为二面角的棱。从而转化为给出棱时的二面角的问题。 过正方形ABCD的顶点A，作线段P A 平面ABCD，若P A=AB。求平面ABP和平面CDP所成的二面角。 ②若在二面角的两个面内找不到含在两个面内的两平行直线，可设法找这两个平面的另一个公共点。可分别在两个平面内找能相交于另一点的直线，这两条直线的交点与前一个公共点的连线即为二面角的棱。从而转化为给出二面角的棱时的二面角的问题。 已知正三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 的侧棱BB 1 ，CC 1 上分别有点D,E使EC=BC=2DB 求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小。 ③补形法，其目的是使补形后两个平面有公共交线 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝a，求平面PBA 与平面PDC所成二面角的大小。 二面角的的五种基本图形及其平面角的作法 舒云水 求二面角的关键是要准确作出二面角的平面角，下面介绍二面角的五种基本图形及其平面角作法﹒ 在具体立体几何题中二面角常以图1的形式给出，二面角A- -的两个面以三角形（下文称为面三角形）的形式出现，分BC D 析好这两个面三角形的图形性质特点，是作好二面角的平面角的关键．还有一条线也是非常重要的，这条线是两个面三角形不在二面角棱上的另一个顶点（如图1中的A、D）的连线（下文称为顶点连线）﹒为了叙述方便，将两个面三角形的公共边称为棱底边，图1中 的线段BC为二面角D -的棱底边﹒ BC A- 图 图 1 图 2 图 3 图4 图5 图6 图7 图8 1. 基本图形一：两个面三角形都是以棱底边为底边的等腰三角形﹒ 如图2，在二面角D BD=﹒根据等腰三 AB=，CD BC A- -中，AC 角形的性质：底边上的中线与高重合，取底边BC的中点E，连结 AE、ED，则AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED为二面角D A- -的平面 BC 角﹒ 2.基本图形二：两个面三角形关于棱底边对称全等﹒ 如图3，在二面角D A- -中，⊿ABC?⊿DBC，A与D是对应 BC 点﹒因为两个三角形对称全等，过A作AE⊥BC于E，连结DE，则 DE⊥BC，∠AED为二面角D A- -的平面角﹒ BC 3. 基本图形三：顶点连线垂直于二面角的一面﹒ 如图4，在二面角D -中，AD ⊥平面BCD，过D作DE⊥BC A- BC 于E，连结AE，根据三垂线定理知AE⊥BC，∠AED为二面角-的平面角﹒这种情况在高考题中出现最多﹒ A- BC D 4. 基本图形四：二面角的一个面三角形顶点（不在二面角棱上的顶点）也在的第三个平面内，第三个平面与二面角的另一面垂直﹒ 如图5，二面角D -的面三角形ABC的顶点A在第三个平 BC A- 面ABD内，平面ABD⊥平面BCD，根据平面ABD⊥平面BCD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BCD﹒下一步作法同基本图形三： 过垂足E作EG⊥BC于G，连结AG，则∠AGE为二面角D A- -的 BC 平面角﹒ 5. 基本图形五：无棱二面角﹒ 如图6，两个面三角形只有一个公共点在棱上，这种图形要作二面角的平面角，关键是要作出二面角的棱﹒下面分两种情况谈作棱问题﹒ 高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面； 若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝． （1）求证：平面； （2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值； （3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论； （2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将 ，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示． （1）试判断与平面的位置关系，并给出证明； （2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面 上的投影为直线与的交点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 9. （ （1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面； 求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝． （1）证明：面； （2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1 《直线和平面所成的角 》 练习 题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。( 2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（ 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（ 10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C E F 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成的角 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，, PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(3 2 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（ 3A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A 直线与平面所成的角 教学目的： 1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 2、掌握公式cos θ=cos θ1?cos θ2，会用这个公式解决一些问题 教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 教学难点：公式cos θ=cos θ1?cos θ2的灵活运用 教学过程： 一、引入新课 发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。 二、讲授新课 1、公式cos θ=cos θ1?cos θ2 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于α， B 为垂足，则直线AB 是斜线OA 在α内的射影，设AC 是α 内的任一条直线，且BC ⊥AC 于C ，又设AO 与AB 成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1?cos 证：不妨设AO 为单位长，则 2 121211cos cos cos ,cos cos ||||, cos cos cos ||||,cos cos ||||θθθθθθθθθθ=∴======AO AC AB AC AO AB 2、最小角定理 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。 在公式cos θ=cos θ1?cos θ2中，由于0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1，从而θ1＜θ（y ＝cosx 在[0,π]上是减函数） 3、直线和平面所成的角 ⑴定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。 说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。 ⑵斜线和平面所成角的范围是(0,π/2)；直线和平面所成角的范围是［0,π/2］；两条异面直线所成角的范围是(0,π/2］，三者不同，要注意区分。 ⑶求斜线和平面所成的角一般步骤是： ①作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。 ②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。 第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD. 由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小. 第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]） 2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2 《直线和平面所成的角》 练 习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，（） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D 1A 1B 1 C 1 D O A B C E F 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3）A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F 1 1A 用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020 第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则>《平面与平面的位置关系》中的《二面角》
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