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section 2 coputation of double integrals

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1 =+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.

人教版初中英语七年级下册Unit2SectionB教材全解

人教版初中英语七年级下册Unit2SectionB教材全解 Unit 2 What time do you go to school? Unit 2 Section B教材全解 past six in the morning早上六点半 【重点注释】①half作为名词或代词,意为“一半,半数”,是可数名词,其复数形式是halves。例如:Please cut the apple in half.请把这个苹果切成两半。Half of ten is five.十的一半是五。Cut the apple into halves.把苹果切成两半。 【拓展记忆】表示“某物的一半”用“half a (an)+单数名词”结构。例如:half an hour半小时 half a kilo半公斤 half an orange半个橘子 ②past作介词,意为“(在时间、地点、范围上)超过”。例如:half past two 两点半 ten(minutes) past six六点十分 It’s twenty past seven.现在是七点二十分。The hospital is about a mile past the school.医院在过了学校的一公里处。 【拓展记忆】past作介词时,还可表示“超过(某年龄)”。例如:an old man past seventy七十多岁的老人 quarter past three in the afternoon在下午三点十五(三点一刻) a quarter to seven in the evening在晚上六点四十五(七点差一刻) .【重点注释】①quarter作名词,意为“一刻钟;四分之一”,a/one quarter “一刻钟;四分之一”;three quarters =three fourths四分之三。例如:Please wait for a quarter.请等一刻钟。There are four of us,so wo cut the orange into quarters and each eats a piece.我们共有四个人,因此我们吧橘子切成四等份,每人吃一份。 ②to作介词,意为“(在时间上)差”,“(几点)差(几分)”,结构是:分钟数(超过30分钟,即分钟数>30分钟)+to+整点(整点+1),意思是“几点差几分(几点零多少分钟)”。例如:six to five 四点五十四分(五点差六分) 【比较记忆】past 与to表示时间:①用past(过,超过)表示时间时,有三种表达法:1)half past+整点,表示“几点半”。例如:half past nine/eleven/three九点/十一点/三点半 2)分钟数(不超过30分钟,即分钟数<30分钟;如果=30分钟,要用half past+整点;如果分钟数>30分钟,不能用past而要用to“差”来表示)+past+整点,意思是“几点(过)几分”。例如:ten past ten 十点十分 two past two两点零二分 twenty-five past eight八点二十五分fifteen(a quarter) past four四点十五3)a quarter past +整点,表示“几点(过)一刻”。例如:a quarter past three三点一刻(三点十五分)a quarter past nine九点过一刻(九点十五分) ②用to(差,不到)表示时间时,有两种表达法:1)分钟数(超过30分钟,即分钟数>30分钟;如果=30分钟,要用half past+整点;如果<30分钟,要用分钟数+past+整点,即“几点(过)几分”)+to+整点(点时间+1),表示“几点差几分”。例如:two to two两点差二分(一点五十八分)thirteen to ten十点差十三分(九点四十七分)five to twelve十二点差五分(十一点五十五分)2)a quarter(正好15分钟) to +整点(整点+1),表示“几点差一刻”。例如:a quarter to three

高中数学平面解析几何知识点

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2 (tan π α≠ =a k ,R k ∈ 斜率公式:经过两点),(111y x P ,),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ,试求 2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为: 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ;当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交,交点坐标为方程组?? ?+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A

直线间的夹角: ①若θ为1l 到2l 的角,12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时,o 90=θ;直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:) 2 (π θθα≤ =或 )2 (π θθπα>-=; 距离问题 1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-= 2.点到直线距离公式 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2 2 00B A C By Ax d +++= 3.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax , 2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 4.直线系方程:若两条直线1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 有交点,则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A +++0)(222=++C y B x A λ或 )(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数) 对称问题 1.中点坐标公式:已知点),(),,(2 211y x B y x A ,则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为??? ???? +=+=222121y y y x x x 点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --,直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问

平面解析几何(圆的方程)

平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程标准(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心(a,b) 半径为r 一般x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标:(- D 2,- E 2) 半径r= 1 2D 2+E2-4F 【知识拓展】 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组; (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)20.(√) (4)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.(×) (5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x20+y20+Dx0+Ey0+F>0.(√) 1.(教材改编)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是() A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角α的范围000180α≤< (2)经过两点的直线的斜率公式 是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ?=。特别地, 当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥?=-g 注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点,k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率,b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式A,B,C为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1)两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或,则有A、B、C三点共 线。 注:斜率变化分成两段,0 90是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。

人教版九年级英语Unit2SectionB

Unit 2 I think that mooncakes are delicious 一根据句意及首字母或汉语提示完成单词(10分) 1. C is celebrated on December 25th in many Western countries. 2. He l in bed until his mother asked him to get up for breakfast this morning. 3. Linda received lots of p from her parents and friends on her birthday, such as toys, cards and so on. 4. Now many people enjoy reading (小说)written by Mo Yan. 5. Many people like spring because they enjoy the (温暖)of spring. 二、单项选择(10分) 1. Mr. Green is leaving for New York business next Monday. A. at B. on C. with D. in 2. (2014·上海浦东区模拟)Mr. White always expects his son an active part in the classes. A. taking B. take C. takes D. to take 3. (2014·无锡滨湖区质检) Mary Jack is listening to the report carefully, because they are both interested in it very much. A. Neither; nor B. Either; or C. Both; and D. Not only; but also 4. (2014·保定质检)I play tennis a lot, but I don’t play it very often now. A. use to B. was used to C. am used to D. used to 5. I will tell you a secret, but you must promise it around. A. not spread B. not to spread C. don’t spread D. to not spread 三、完形填空(15分) Easter is a happy time in western countries like the UK and the USA. After Christmas, it is the most fun holiday. It1as an important religious(宗教的)festival, but for the non-religious it is 2 a special time. It is an official holiday, 3 most people visit their families or friends during Easter. The most important Easter tradition is 4 each other Easter eggs, because eggs are the symbol

平面解析几何基本概念

平面解析几何 基本概念 1. 两点间距离公式:两点坐标),(11b a A ,),(22b a B ,AB 距离 221221)()(||b b a a AB -+-= 2. 有向线段的定比分点 直线l , 有向线段→AB ,点P 在直线l 上,使→ →λ=PB AP ,称λ为P 分有向线段→AB 所成的比。 设),(11y x A ,),(22y x B ,),(y x P ,则 λ +λ+=121x x x ,λ+λ+=121y y y 特别地 1=λ(P 为AB 的中点),221x x x +=,2 21y y y +=。 3. 直线方程 一般式:0=++C By Ax ,(A ,B 不同时为0)斜率; 斜截式:b kx y +=,斜率,截距; 点斜式:)(00x x k y y -=-; 两点式:121121x x x x y y y y --=--; 截距式:1=+b y a x 。 4. 点到直线的距离d 点),(00y x P ,直线l :0=++C By Ax ||2200B A C By Ax d +++= 5. 两条直线的位置

(1) 两条直线平行 斜率相等; (2) 两条直线垂直 121-=k k ; (3) 两条直线相交 01221≠-B A B A (4) 两条相交直线的夹角 ]2 ,0[π∈θ |1|tan 2 112k k k k +-=θ。 (5) 两平行线间距离d 直线1l :01=++C By Ax ,直线2l :02=++C By Ax || 2221B A C C d +-= 6. 圆方程 22020)()(r y y x x =-+- 标准方程 022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )一般方程 7. 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d, 半径为r (1) 相交 ;(2)相切; (3)相离。 8. 两个圆的位置关系 公切线的条数 9. 椭圆方程 定义:设21,F F 是两定点,||221F F a >,点的集合 }2|||||{21a MF MF M =+称为椭圆, 椭圆方程122 22=+b y a x ,222b a c -=,0>>b a 焦点坐标 )0,(),0,(21c F c F -

人教版八年级下册英语Unit2SectionB教案 1

Section B 2 (3a-Self check) 一、教学目标: 1. 语言知识目标: 1) 复习动词不定式的不同用法。掌握生词strong, sir, madam。 2) 能够用英语表述常见的志愿活动,并就自己喜欢的志愿活动发表看法。 3) 能用本单元所学的语言简单表达对自己所喜欢的志愿活动的一些看法。 2. 情感态度价值观目标: 了解社会上有很多人需要我们的帮助,奉献爱心并不是要有多么伟大的壮举,而是首先自己要真正拥有一颗“爱心”,如此便可从身边的点点滴滴做起。明确自己所喜欢的志愿活动,并知道自己能为他人做些什么事情。 二、教学重难点 1. 教学重点: 1) 能运用所学的语言知识来简单地表达自己想做什么样的志愿活动。 2) 总结本单元学到的重点词组及句型。 3) 复习总结动词不定式的用法,并能完成相关练习题。 2. 教学难点: 运用所学的语言知识来写一封简短的信,表达自己想做什么样的志愿活动,以及做些活动的原因及自己的一些想法。 三、教学过程 Step 1 Revision Fill in the blanks with the proper words. Ben Smith is a ___________ man. He has many __________ in his life. He can’t _____ his _____ or legs well. Some normal things like answering the telephone, ________ and closing the doors, or ________ things are difficult for him. But “Lucky”, the dog-helper, makes ________ to his life. Lucky is a fantastic dog. It’s very ______ and __________ many English words. It can understand him when he gives him order. Check the answers with the Ss. Step 2 3a. Look at these kinds of volunteer work. Can you add more? What would you like

高中数学平面解析几何知识点梳理

平面解析几何 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式: 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111: l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111 =++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 122112212 1//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),2 2122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离: A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(0 0y x M ,则??? ???? +=+=22 2 10210y y y x x x . 6.点到直线的距离公式:

高中平面解析几何全一册

高中平面解析几何全一册 第二章圆锥曲线 第二单元圆 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元共有两小节,主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。 在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质,在这里我们根据圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的轨迹,建立了圆的标准方程:(x-a)2+ (y-b)2= r2,它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程,又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质,由圆的标准方程研究了圆的切线方程,并由圆的标准方程解决了一些实际问题。 由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程,我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系,得到了圆的一般方程,最后又研究了用待定系数法求圆的方程。 【指点迷津】 这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程,要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程,并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程,要求学生掌握它的特点,会用配方法把一般方程化为标准方程。 由于圆是平面几何中重点学习的图形,学习了圆的很多性质,特别是和圆有关的直线和线段(直线的一部分)的性质,如圆的切线,割线,弦等的性质在这一单元都会用到,教师可概括学习内容适当地复习有关性质,并启发学生在解题中运用性质,可以顺利解决有关问题。 圆的切线也是这个单元的重要内容,它主要研究了过圆上一点的圆的切线,过圆外一点的圆的切线,已知斜率的圆的切线,要求学生掌握求各种条件下切线的方法,在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西,适当记忆,加快解题速度,特别是解选择题和填空题,如:过圆x2 + y2 = r2上一点(x1,y1)的切线方程是x1x + y1y = r2

平面解析几何知识点总结

基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③.掌握圆的标准方程和一般方程. ④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题. 1直线方程的五种形式 点斜式:)(00x x k y y -=-, (斜率存在) 斜截式:b kx y += (斜率存在) 两点式:1 21121x x x x y y y y --=--,(不垂直坐标轴) 截距式: 1=+b y a x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式:0=++C By Ax 2.直线与直线的位置关系: (1)有斜率的两直线l 1:y=k 1x+b 1;l 2:y=k 2x+b 2; 有:①l 1∥l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2;②l 1⊥l 2?k 1·k 2=-1; ③l 1与l 2相交? k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合?k 1=k 2 且b 1=b 2。 (2)一般式的直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0 有:①l 1∥l 2?A 1B 2-A 2B 1=0;且B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交? A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合? A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。 3.点与直线的位置关系: 点P (x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离:2200B A C By Ax d +++=。 平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0之间的距离为222 1B A C C d +-= 两点间距离公式:12||PP = .4直线系方程 ①过直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程为:A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(λ∈R )(除l 2外)。 ②过定点00(,)M x y 的直线系方程为)(00x x k y y -=-(其中不包括直线0x x =) ③和直线0=++C By Ax 平行的直线方程为'0Ax By C ++=(')C C ≠ ④和直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为'0Bx Ay C -+= 5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 6.圆的方程(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0),其中r 为圆的半径,(a ,b)为圆心。 (2)一般式:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),其中圆心为(,)22D E --(3) 参数方程:cos sin x r y r αα=??=?,???+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x .消去θ可得普通方程

平面解析几何(解析版)

专题05 平面解析几何 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为 A .2 212 x y += B .22 132x y += C .22 143 x y += D .22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??. 在12AF F △中,由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ,解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=,故选B . 法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?, 又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ,得

平面解析几何(圆的方程)

平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 【知识拓展】 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a ,b ,r 或D 、E 、F 的方程组; (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程. 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,点M (x 0,y 0) (1)点在圆上:(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2; (2)点在圆外:(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2; (3)点在圆内:(x 0-a )2+(y 0-b )20.( √ ) (4)方程x 2+2ax +y 2=0一定表示圆.( × ) (5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 2 0+Dx 0+Ey 0+F >0.( √ ) 1.(教材改编)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0

平面解析几何(经典)习题

平面解析几何(经典)练习题 一、选择题 1.方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 ( ) A .2条重合的直线 B .2条互相平行的直线 C .2条相交的直线 D .2条互相垂直的直线 2.直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称,l 1的方程为y = ax + b ,那么l 2的方程为 ( ) A .a b a x y -= B .a b a x y += C .b a x y 1 += D .b a x y += 3.过点A (1,-1)与B (-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程为 ( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .4(x +1)2+(y +1)2=4 D .(x -1)2+(y -1)2= 4.若A(1,2),B(-2,3),C(4,y )在同一条直线上,则y 的值是 ( ) A .2 1 B .23 C .1 D .-1 5.圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .随a 值变化而变化 6.已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A .22(5)(7)25x y -++= B .22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++= C .22(5)(7)9x y -++= D .22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++= 7.直线kx -y +1=3k ,当k 变动时,所有直线都通过定点 ( ) A .(0,0) B .(0,1) C .(3,1) D .(2,1) 8.下列说法的正确的是 ( ) A .经过定点() P x y 000,的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B .经过定点()b A ,0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C .不经过原点的直线都可以用方程 x a y b +=1表示 D .经过任意两个不同的点() ()222111y x P y x P ,、,的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示 9.已知两定点A (-3,5),B (2,15),动点P 在直线3x -4y +4=0上,当PA +PB 取 最小值时,这个最小值为 ( ) A .513 B .362 C .155 D .5+102

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2 (tan πα≠=a k ,R k ∈ 斜率公式:经过两点),(1 1 1 y x P ,),(2 2 2 y x P ) (21 x x ≠的直线的斜率公 式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升 斜率应用 例1.已知函数) 1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足) 11(222 ≤≤-+-=x x x y ,试求2 3++x y 的最大值和最小值

两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为:2 22111 ::b x k y l b x k y l +=+=或0 :0:22221111 =++=++C y B x A l C y B x A l ;当 2 1k k ≠或1 22 1 B A B A ≠时它们相交,交点坐标为方程组? ??+=+=2 2 11 b x k y b x k y 或???=++=++0 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角: ①若θ为1 l 到2 l 的角,121 2 1tan k k k k +-=θ或2 1211 2 2 1 tan B B A A B A B A +-=θ; ②若θ为1 l 和2 l 的夹角,则1 21 2 1tan k k k k +-=θ或2 1211221tan B B A A B A B A +-= θ; ③当0 12 1=+k k 或0 212 1 =+B B A A 时,o ;直线1 l 到2 l 的角θ与1 l 和2 l

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