荆楚理工学院教案
第八章 应力状态和强度理论
本章与前几章在研究对象上的不同之处。
回顾：内力图：N F 、n M 、Q F 、M --一根（杆、轴、梁）
强度计算???
??一面（危险截面）一段—、—、max max
max max M F M F Q n N
本章：应力状态— 一点。
第一节 应力状态的概念
一、为什么要研究一点的应力状态？ 简单回顾： 拉压：
强度条件：[]?????=≤=n
n A F
b s
N σσσσ
扭转：
强度条件：[]?????=≤=n n W M
b s n
n ττττmax
弯曲：
强度条
件
：
[][]?
????
?????
??????=≤?=?????=≤=*n n b I S F n n W M b
s
z z x ma Q x ma b
s z x ma ττττσσσσmax
但，到目前为止尚不能对如第4点的应力情况进行校核，因此：
1、为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据。
2、为实验应力分析奠定基础
通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。 应力状态、应变状态在实验应力分析等方面的广泛应用：
实验方案的制订：验证理论计算结果：复杂受力结构、构件的应力测试等等。 二、什么叫一点的应力状态？
通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。 三、怎样研究一点的应力状态？
在构件内取得单元体代替所研究的点：通过截面法研究单元体各个斜截面上的应力情况来研究一点的应力状态。
1、单元体的概念：
⑴正六面微体：边长为无穷小量，dx 、dy 、dz ，故： ⑵任意一对平行平面上的应力均相等； ⑶各个面上的应力都均匀分布；
⑷任意、相互平行方向的应变均相同。 2、怎样取单元体 ⑴取单元体的原则：
①尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零）
②先定横截面上的σ、τ，然后按τ互等定律确定其他面上的剪应力。
一对横截面 dx ⑵取法 一对纵截面（平行上、下面） dy 一对纵截面（平行前、后面） dz 3、根据构件的受力情况，绘应力单元体 例：受拉伸或压缩构件上的应力单元体 受扭构件上的应力单元体
弯曲构件上的应力单元体，等等
第二节 应力状态求解
2.1解析法
一、斜截面上的应力
图 (a) (b)
已知：受力构件中的应力单元体 求：任一斜截面上的应力ασ、ατ 设：
解：截面法：截出任一斜截面如下：
1、
α面上的应力
∑=0n
F 0sin cos cos sin =-+-+ασατασατσαy y x x
∵静力平衡条件，不是应力平衡
∑=0n
F
:
sin )sin (cos sin)(cos )cos (sin )cos (=-+?-+αασαταασαατσαdA dA dA dA dA y y x x
整理上式得，
ατασσασσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
──────────────⑴
同理，∑=0t F ，得
αταασσα2cos 2sin 2
x y
x ++=
──────────────────⑵
上述二式：
从数学上看上述两个方程式为参数方程，参变量为α；
从力学上看，这两个方程称为一点的任意斜截面上的应力公式。
2、β面（α+90°）上的应力： 若令β=90°+α，则
)90(2sin )90(2cos 2
2
0090
ατασσασασα
β+-+-+
+=
=+x y
x y
x
ατασσασ2sin 2cos 2
2x y
x y
x +--
+=
──────────────⑶
)90(2cos )90(2sin 2
00
090
αταασττα
β+-+-=
=+x y
x
αταασ2cos 2sin 2
x y
x --=
─────────────────⑷
3、α、β面上应力之间的关系： 将式⑴+式⑶，可以看到：
=+=+y x σσσσβα常量——即任意两个互相垂直面上的正应力之和是常数。 从式⑵、⑷可以看到：
βαττ-=——即剪应力互等定律
将ασ、βσ、ατ、βτ表示在单元体上
二、max
min σ= 在何处？ 该处τ=？
令0=ασα
d d ，022cos 2sin 22=?-?--
ατασσx y x 则：0)2cos 2sin 2
(
2=+--ατασ
σx x y
即0=ατ的面上有极值
0=ατ 这个面在何处？
由0=ατ这个式子可得正应力极值所在面的方位：
为区别于任意截面的α，令0=ατ式中的0αα=，0α也从 x 轴算起。 方位：y
x x
tg σστα--=
220────────────────────⑸
任意（为方便）令：120=αtg ，
则可以发现：①有两个根：（即正应力极植有两个面）：
00452=α------005.22=α
002252='α------005.112='
α
②具有极植的这两个面相差90°。
即：在两个互相垂直的斜面上，其正应力或为极大值或为极小值。
大小：将求得的0α代入⑴式，得
2
2max min
)2
(
2
x y
x y
x τσσσσσ
+-±+=
───────────────⑹
显然，在max
min σ的面上0=τ
三、max
min σ= ? 在何处？ 该处σ=？
令
,0=α
α
τd d
02sin 22cos 22=-?-ατασσx y x 即： 0)2sin 2cos 2
(
2=--ατασσx y
x
方位： x
y
x tg τσσθ220-=
────────────────────⑺ 将0θ代入(2)式,得:
大小: 2
2max
min )2
(
x
y
x τσστ+-±= ─────────────────⑻ m ax
m in τ 面上的正应力:
θτθσσσσθασ
2sin 2cos 2
2
00
x y
x y
x --+
+=
=
四、主平面、主应力、主应力的排列
主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。 主应力的排列：1σ、2σ、3σ 用代数值确定，排列为1σ>2σ>3σ
五、应力状态的分类
一个单元体上最多只能出现三对主应力，最少可以均为0。 按主应力存在多少，应力状态分为：
1、三向应力状态（三个主应力都不等于零）
2、二向应力状态（两个主应力不等于零）
图10-6
3、单向应力状态（只有一个主应力都不等于零）
2.2图解法
一、应力圆的由来
任意斜截面上的应力计算公式
ατασσασσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=──────────────⑴
ατααστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
──────────────────⑵
从数学上来看，这两个方程是个参数方程，参变量为2α，即
)2(ατσααf =?
若消去α2sin 和α2cos ，则一定能找到)(αατσf =的曲线方程
0·Mohr 作了这个工作：
首先将⑴式改写，即将⑴式子等号右边的第一项移到等号左边，然后对等式两边平方；再对⑵式的两边平方；最后将两式相加，并利用12cos 2sin 22=+αα这一关系消去sin2α和cos2α而得：
2
22
2)2
(
)2
(x y
x y
x τσστσσσαα+-=++-
──────────────⑼
——这就是所求的曲线方程（应力圆的方程） 由解析几何的原理可知，方程
（x-a ）2+y 2=R 2 ──────────────────────(a) 这是一个圆心在（a 、0），半径为R 的圆的曲线方程。即
对照(a)、⑼两式：x____________ασ
y____________ατ
a____________
2
y
x σσ+
R____________22)2
(
x
y
x τσσ+-
从力学观点看：
⑴若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面α上的应力。
⑵平面应力状态下任意斜截面α上的应力相互制约在圆周上变化。
从以上的数学方程、力学观点分析，通常将此圆称为应力圆。由于0·Mohr 首先运用数学原理将应力单元体任意斜截面上的应力用图来表示，因此又称0·Mohr 圆。
2、应力圆的一般做法
⑴取坐标系σοτ； ⑵按比例量取：
x OB σ=1；x x D B σ=1
由此得D x 点
y OB σ=2；y y D B τ=2
得D y 点
⑶连y x D D ?交σ轴于C ；
⑷以C 为圆心，x CD 或y CD 为半径作圆。—即为所求的应力圆。
从作圆的过程可以看到：
应力圆上的点：D x ────即代表单元体上X 面上的应力；
D y ────即代表单元体上Y 面上的应力；
显然，单元体上任意斜截面上的应力就制约在应力圆的圆周上，所以可利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力。
3、利用应力圆求单元体上任一斜截面上的应力
四句话：点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。
例：求任意斜面上α上的应力，见图9-13：E 点的坐标就是所求的ασ、ατ值，即
ασ=OF ,ατ=EF ,最后，根据应力圆上E 点的坐标，标出该斜截面上应力方向（见单元体αατσ?的方向）。
4、利用应力圆求单元体的主应力及方向 最大正应力：
22111max )2
(
2
x
y
x y
x CA OC OA τσσσσσσ+-++=
+===
最小正应力：
22222min )2
(
2
x
y
x y
x CA OC OA τσσσσσσ+--+=
-=== 主方向：
y
x x
y
x x x CB D B tg σστσστα--
=--
=-
=22
21
10
（式中负号∵假设为+，现从Dx →A1为，∴为-）
5、利用应力圆求单元体的最大剪应力及方向 最大剪应力：
===x CD CG 1max τ22)2
(
x
y
x τσσ+- 最小剪应力：
==2min CG τ2
2)2
(
x
y
x τσσ+- 方向：应力圆上A 1与G 1相差900，即在主应力单元体上主平面与m ax τ所在面相差450 。 需要注意的是：
m ax τ 面上还有0σ，其值： 2
10y
x G σσσσ+=
=
第三节 三向应力状态
一、三向应力状态的概念
单向、双向应力状态是三向应力状态的特例。
工程中三向应力状态的实例：
例1：地层一定深度处所取的单元体，竖向受岩土体的自重压力；侧向受四周岩土的侧向
压力。
例2：火车道轨上取一单元体 例3：压力容器内壁取一单元体
2、三向应力圆
⑴求与某个主应力平行的任意斜截面上的应力ασ、ατ：
①求平行于3σ的任意斜截面上的应力ασ、ατ；显然ασ、ατ只与1σ、2σ有关
②求平行于1σ的任意斜截面上的应力ασ、ατ；显然ασ、ατ只与2σ、3σ有关。
③求平行于2σ的任意斜截面上的应力α
σ、
α
τ；显然
α
σ、
α
τ只与1σ、
3
σ有关。
⑵求任意截面上的应力n σ、n τ；显然n σ、n τ与1σ、2σ、3σ都有关。
3、一点处的最大应力： ⑴最大正应力与最小正应力
由1σ和3σ所作成的最大应力圆可见：
1max σσ=
────────────────────⑽
3min σσ=
⑵主剪应力与最大剪应力：
由三向应力圆可知，在三向应力状态状态的单元体中，有三对主剪应力：
22
12,1σστ-±=
2
3
23,2σστ-±=
2
3
13,1σστ-±
=
最大剪应力
)(2
131σστ-=ax m ──────────────────⑾
例1 已知,261MPam =σ ,02=σ MPa 963-=σ，求?=x ma τ
解: MPa 612
)
96(262
3
1max =--=
-=
σστ 例2 已知某点的正应力状态的应力值为26 Mpa 、10 Mpa ，求m ax τ？ 解： 1、确定主应力1σ、2σ、3σ
MPa 261=σ，MPa 102=σ，03=σ 2、MPa 132
262
3
1max =-=
-=
σστ 例3 已知平面应力状态的应力值
,180MPa x -=σ ，MPa y 90-=σ 0==y x ττ，求？=max τ
解： 1、确定主应力1σ、2σ、3σ 01==z σσ
MPa y 902-==σσ
MPa x 1803-==σσ 2、MPa 902
)
180(02
3
1max =--=
-=
σστ
第四节 广义虎克定律
根据拉压虎克定律εσ?=E 和横向变形系数εεμ'-=，即E
σμμεε-=-='，可将虎克定律推广：
1、三向主应力单元体的广义虎克定律
'''1111εεεε+"+'=，即
[])(1
3211σσμσε+-=
E [])(1
1322σσμσε+-=E 广义虎克定律────⑿
[])(1
2133σσμσε+-=E
||
棱边1 伸长'
==11εσE
棱边2 缩短'=-=21
εσμ
E
棱边3 缩短 '=-=31
εσμ
E
+
棱边1 缩短"=-=12εσμE
棱边2 伸长"==21
εσμ
E
棱边3 缩短 "=-=32
εσμ
E
＋
棱边1 缩短'''
13εσμ=-=E
棱边2 缩短'''23
εσμ=-=E
棱边3 伸长 '''32
εσ==
E
2、三向应力状态时的广义虎克定律
在⑿式中，若三个主应力中有一个主应力为零，例如：03=σ， 则⑿式子可写为二向应力状态虎克定律
)(1
211μσσε-=E
)(1
122μσσε-=E
────────⒀
)(213σσμ
ε+-
=E
────已知主应力求主应变
利用⒀式的前二式可将⒀式改写成用主应变1ε、2ε表示1σ、1σ的形式：
)(1212
1μεεμσ+-=
E
────────⒁
)(1122
2μεεμ
σ+-=
E
────已知主应变求主应力
3、三向一般应力状态单元体的广义虎克定律
可以证明：在小变形、各向同性的情况下，于线弹性范围内：
σ只与ε有关（伸长或缩短） τ只与γ有关（角度变化）
故，可方便地按三向主应力单元体推导虎克定律的方法进行三向一般应力单元体的广义虎克定律的推导：
[]
)(1
z y x x E σσμσε+-=
[]
)(1
x z y y E σσμσε+-= ──────(15，A)
[]
)(1
y x z z E
σσμσε+-=
＋
G
y
x xy τγ=
G
yz
yz τγ=
──────────(15，B)
G
zx
zx τγ=
↑
→γτ?=G 剪切虎克定律
4、平面应力状态时的广义虎克定律
在(15，A)式中，若0=z σ，0=-=y z yz ττ，0=-=xz x z ττ， 即平面应力状态的一般形式，
则相应的广义虎克定律就为：
)(1
y x x E μσσε-=
)(1
x y y E
μσσε-=
)(y x z E
σσμ
ε+-
= ────────── ⒂
G
xy
xy τγ=
──已知应力求应变
利用⒂式中的前二式，可改写上式，即写成用应变表示应力的形式: )(12
y x x E
μεεμ
σ+-=
)(12
x y y E
μεεμσ+-=
─────────⒃ xy xy G γτ?=
──已知应变求应力
5、弹性常数E 、G 、μ间的关系
在广义虎克定律中，已涉及到E 、G 、μ三个弹性常数。对于各向同性材料，这三个弹性常数间存在着如下关系： )
1(2μ+=
E
G ─────────⒄
讨论：
⑴广义虎克定律的应用范围：
小变形、材料各向同性，线弹性范围内。 ⑵求应力的两条路：
其一，从外力→内力→应力
其二，从应变→应力→内力→外力
第五节 四种强度理论
(一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？
1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立）
2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？
3、强度理论的概念
4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论
第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论
第四强度理论——?????形状改变比能理论
均方根剪应力理论 (三)相当应力
11σσ=r
-=12σσr μ)(32σσ+
313σσσ-=r
2132322214)()()(2
1
σσσσσσσ-+-+-=
r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ]
(一)为什么需要强度理论？强度理论的概念
1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向）
强度条件：
[]n
A F o
N σσσ=≤=
，b S o σσσ由试验得
[扭转]（双向）
强度条件：
[]n
W M o
n n τττ=
≤=max
，b S o τττ由试验得
[弯曲]（二向）
强度条件（上下边缘点）：
[]σσ≤=
z
W M max
max
中性层处：[]ττ≤?=
b
I S F Z z Q *
max
max max （[]σ、[]τ由试验得）
为什么可以这样来建立强度条件？
因为：
⑴构件内的应力状态比较简单；
⑵用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现。 2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？ 复杂应力状态单元体
它的强度条件是：
σx ≤[σ]、σy ≤[σ] 吗？ τx ≤[τ]、τy ≤[τ] 不是！ 实践证明：
⑴强度与σ、τ均有关，相互影响 例：
易剪断 不易剪断
就象推动某物一样：
易动 不易动
⑵强度与σx 、σy 、σz (σ1、σ2、σ3)间的比例有关
σ1=σ2=0 σ1=σ2=σ 3
单向压缩，极易破坏 三向均有受压，极难破坏 那么，复杂应力状态下的强度条件怎样建立？ 模拟实际受力情况，通过实验来建立？
不行！！
因为
σx
σy 有无穷的比例关系，实验无穷无尽，不可能完成。 σz
怎么办？
长期以来，随着生产和实践的发展，人们在大量观察和研究了各种类型的材料在不同受力条件下的破坏情况，根据对材料破坏现象的分析，提出了各种各样的假说，认为材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，并通过简单的试验来推测材料在复杂应力状态下的强度，分析其极限条件，从而建立强度条件。
3、强度理论的概念 何谓强度理论？
假说材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，这种假说就称为强度理论。 (二)四个强度理论
第一强度理论——最大拉应力理论
假说：决定材料产生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应力σ 1
即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的三个主应力中的最大拉应力σ1到达材料的极限值o σ时，材料就会发生脆断破坏。 破坏条件： σ1=σb+
材料在拉伸试验中发生脆断的极限应力 强度条件： σ1≤[σ]=
n
b
σ───────────（A ）
注意：
1、只考虑三个主应务中的σ1，而没有考虑较小的σ
2、σ3； 2、无法解释下列现象：
⑴塑性材料： 简单拉伸时，材料在屈服阶段沿着45°斜面发生滑移，而并不从最大拉应力σ1所在的横截面上拉断。
⑵脆性材料： 简单压缩时
⑶三向均匀受压：σ1=σ2=σ 3 材料极不容易破坏，甚至超过极限应力几倍、十几倍也不破坏（如海底岩石）
3、此理论只对少数脆性材料受简单拉伸的情况才是正确的（铸铁拉伸） 因此更名：最大拉应力理论
（最大正应力理论——该理论在十七世纪由伽利略提出，距今已有三百多年历史，最早提出。
第二强度理论——最大拉应变理论
假说: 决定材料发生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应变ε1
即: 不论在怎么复杂的应力状态下，只要构件内一点处的最大拉应变 ε1达到了材料的极限值ε°，材料就会发生断裂破坏。
破坏条件：ε1=ε°=
E
b
σ b σ──脆断破坏时极限应力
为统一起见，将此条件改用σ来表示，根据虎克定律：
-=11[1
σεE
μ)](32σσ- ── 将此式代入上式
得：-1σμb σσσ=-)(32 强度条件：-1σμn
b
σσσσ=
≤-][)(32─────────────（B ）
注意：
1、此理论与脆性材料简单拉伸试验结果相结合，也可解释脆性材料的压缩破坏。 据此理论可解释：
2、根据此理论，二向、三向受拉应力状态比单向应力状态更安全，更容易承载，但这个结论被实验结果所否定。
更安全吗？否!
3、三向均匀受压不易破坏这一现象，第二强度理论也无法解释。 第三强度理论——最大剪应力理论
假说：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的最大剪应力τmax 。 破坏条件：2
max o
o
σττ=
= （o σ——拉伸时， 45=α，2
max στ=
）
复杂应力状态下：2
3
1max σστ-=
带入上式
得： s σσσ=-31 强度条件：[]n
S
σσσσ=
≤-31────────────（C ）
注意：
1、此理论能满意地解释下述现象：
⑴塑性材料单向拉伸时，45°斜面有τmax ，滑移线。
⑵脆向材料轴向压缩时大致与轴线成45°方向斜面破坏。
⑶三向均匀受压（σ1-σ3=0，即τ=0、τmax =0，应力圆上是个点圆）材料极不容易破坏的现象。
2、这个理论没有考虑σ2的影响，显然是个缺陷。
3、这个理论不能解释：
⑴脆性材料简单拉伸，并不在τmax 面上破坏。
⑵三向均匀受拉，也应该不易破坏（∵同样也是个点圆，τ=0）。 以上三个理论是十七世纪提出来的，因此称为古典三理论。 第四强度理论——均方根剪应力理论
假设：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的均方根剪应力*τ。这个均方根剪应力*τ在数量上与单元体的三对主剪应力。
2
2
112σστ-=
、2
2
223σστ-=
、2
1
331σστ-=
有关
可表达成下式：
][12
132
132322212
312
232
12）（）（）（σσσσσσττττ-+-+-=++=*
即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的均方根剪应力达到单向拉压危险状态时的均方根剪应力*jx τ时，材料就要发生塑性屈服破坏。
在ABAQUS 中对应力的部分理解 1、三维空间中任一点应力有6个分量yz xz xy z y ,,,σσσσσσ，，x ，在ABAQUS 中分别对应S11，S22，S33，S12，S13，S23。 2、一般情况下，通过该点的任意截面上有正应力及其剪应力作用。但有一些特殊截面，在这些截面上仅有正应力作用，而无剪应力作用。称这些无剪应力作用的面为主截面，其上的正应力为主应力，主截面的法线叫主轴，主截面为互相正交。主应力分别以321,,σσσ表示，按代数值排列（有正负号）为321σσσ≥≥。其中321,,σσσ在ABAQUS 中分别对应Max. Principal 、Mid. Principal 、Min. Principal ，这三个量在任何坐标系统下都是不变量。 可利用最大主应力判断一些情况：比如混凝土的开裂，若最大主应力（拉应力）大于混凝土的抗拉强度，则认为混凝土开裂，同时通过显示最大主应力的法线方向，可以大致表示出裂缝的开裂方向等。 利用最小主应力，可以查看实体中残余压应力的大小等。 3、弹塑性材料的屈服准则 3.1、Mises 屈服准则 22 13232 2 212)()()(S σ σσσσ σσ=-+-+- 其中s σ为材料的初始屈服应力。 在三维空间中屈服面为椭圆柱面；在二维空间中屈服面为椭圆。 Mises 等效应力的定义为：(牵扯到张量知识) 其中 S 为偏应力张量，其表达式为 其中为应力， I 为单位矩阵，p 为等效压应力（定义如下）： , 也就是我们常见的 )(31z y x p σσ σ ++= 。 还可以具体表达为： 其中 , , 为偏应力张量（反应塑 性变形形状的变化）。 q 在ABAQUS 中对应 Mises ，它有6个分量（随坐标定义的不同而变化）S11，S22，S33，S12，S13，S23 3.2、Trasca 屈服准则 主应力间的最大差值=2k
关于应力集中的概念及其避免措施的讨论 一．摘要 材料构件的应力集中现象危害很大，应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹，严重影响结构的安全性。因此，研究应力集中的避免措施具有重要的意义。生活中各种各样的例子也证明了其研究的重要性。为避免应力集中造成构件破坏，可采取消除尖角、改善构件外形、局部加强孔边以及提高材料表面光洁度等措施；另外还可对材料表面作喷丸、辊压、氧化等处理，以提高材料表面的疲劳强度。 二、关键词 应力应力集中措施 三、引言 现今社会，由于应力集中造成构件断裂，产生疲劳，对结构安全危害大。了解应力集中，并找出其避免措施，对人们的生活具有重大的意义。 四、正文 首先，先让我们了解一下应力与应力集中的概念，应力即受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。公式记为σ=f/s (其中，σ表示应力；δfj 表示在j 方向的施力；δai 表示在i 方向的受力面积)。材料在交变应力作用下产生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种
现象称为应力集中。对于由脆性材料制成的构件，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达强度极限之前。因此，在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。对于由塑性材料制成的构件，应力集中对其在静载荷作用下的强度则几乎无影响。所以，在研究塑性材料构件的静强度问题时，通常不考虑应力集中的影响。 承受轴向拉伸、压缩的构件，只有在寓加力区域稍远且横截面尺寸又无剧烈变化的区域内，横截面上的应力才是均匀分布的。然而实际工程构件中，有些零件常存在切口、切槽、油孔、螺纹等，致使这些部位上的截面尺寸发生突然变化。如开有圆孔和带有切口的板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀。这时，横截面上的应力不再均匀分布，这已为理论和实验证实。 图2-31 图2-32 在静荷载作用下，各种材料对应力集中的敏感程度是不同的。像低碳钢那样的塑性材料具有屈服阶段，当孔边附近的最大应力达到屈服极限时，该处材料首先屈服，应力暂时不再增大。如外力继续增加，增加的应力就由截面上尚未屈服的材料所承担，是截面上其
ABAQUS 中定义真实应力和真实应变 在ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： 00l A lA =， 当前面积与原始面积的关系为： 00l A A l = 将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： 00 ()nom F F l l A A l l σσ=== 其中0 l l 也可以写为1nom ε+。 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： (1)nom nom σσε=+ 真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下： 0001nom l l l l l ε-= =- 上式各加1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： ln(1)nom εε=+ ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： /pl t el t E ε εεεσ=-=- 其中pl ε是真实塑性应变，t ε是总体真实应变，el ε是真实弹性应变。
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
一点应力状态概念及其表示方法 凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力； 图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上 的应力情况（集合） ３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。 特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器
为平均直径，为壁厚 由平衡条件 得轴向应力：（8-1a） 图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面） 由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b） 2．球形贮气罐（图8-6） 由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为 对半球写平衡条件：
得（8-2） 3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴 4．受横向载荷作用的深梁 §8-3平面一般应力状态分析——解析法 空间一般应力状态
如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。 1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有： ， ， 。2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。 3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。 2．平面一般应力状态斜截面上应力 如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件： 和 可求得斜截面上应力，：
变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式；轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中；扭转的概念、纯剪切的概念、薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律、切应力互等定理；静矩、惯性矩、惯性积、惯性半径、平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积的计算、形心主轴和形心主惯性矩概念；应力状态的概念、主应力和主平面、平面应力状态分析—解析法、图解法（应力圆）、三向应力圆，最大切应力、广义胡克定律、三个弹性常数E 、G 、μ间的关系、应变能密度、体应变、畸变能密度；强度理论的概念、杆件破坏形式的分析、最大拉应力理论、最大拉应变理论、最大切应力理论、畸变能理论、相当应力的概念；疲劳破坏的概念、交变应力及其循环特征、持久极限及其影响因素。 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中
在 ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在 输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将 塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： l A = lA ， 当前面积与原始面积的关系为： A = A 0 l 0 将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： F = A 其中 也可以写为1+ nom 。 l 0 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： =nom (1+nom ) 真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下： 上式各加 1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： =ln （1+nom ） ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定 数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际 的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将 材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应 力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包 括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应 力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： pl = t -el =t -/E 其中pl 是真实塑性应变，t 是总体真实应变，el 是真实弹性应变。 Fl A l 0 nom l - l 0 l l 0l 0
区分应力与应变的概念 应力 所谓“应力”，是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。如图1 所示： 在圆柱体的项部向其垂直施加外力P的时候，物体为了保持原形 在内部产生抵抗外力的力——内力。该内力被物体（这里是单位 圆柱体）的截面积所除后得到的值即是“应力”，或者简单地可概 括为单位截面积上的内力，单位为Pa（帕斯卡）或N/m2。例如， 圆柱体截面积为A(m2),所受外力为P(N牛顿)，由外力=内力可得， 应力： （Pa或者N/m2） 这里的截面积A与外力的方向垂直，所以得到的应力叫做垂直应 力。 图1 应变 当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL，那么圆柱 体的长度则变为L+ΔL。这里，由伸长量ΔL和原长L的比 值所表示的伸长率（或压缩率）就叫做“应变”，记为ε。 与外力同方向的伸长(或压缩)方向上的应变称为“轴向应变”。应变表示的是伸长率（或压缩率），属于无量纲数，没有单位。由于量值很小(1×10-6百万分之一)，通常单位用“微应变”表示，或简单地用μE表示。 而单位圆柱体在被拉伸的状态下，变长的同时也会变细。直径为d0的棒产生Δd的变形时，直径方向的应变如下式所示： 这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。轴向应变与横向应变的比称为泊松比，记为υ。每种材料都有其固定的泊松比，且大部分材料的泊松比都在0.3左右。 应力与应变的关系 各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行 了测定。图2所示为一种普通钢材（软铁）的应力 与应变关系图。根据胡克定律，在一定的比例极限 范围内应力与应变成线性比例关系。对应的最大应 力称为比例极限。
或者 图2 应力与应变的比例常数 E 被称为弹性系数或扬氏 模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。 综上所述，虽然无法对应力进行直接的测量，但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
屈服点应力应变的定义：纤维拉伸曲线上“虎克区”和屈服区的转变点称为屈服点，所对应的应力和应变分别称为屈服点应力和屈服点应变。试验表明：当纤维或纱线超过屈服点后，将产生较高比例的塑性变形，它们的力学性质将其较大变化，所以在纺织品加工和纺织使用过程中，确定和掌握纤维或纱线的屈服点很重要。 运算过程（如图4-3所示）：根据屈服点的概念知在曲线上从O 点到断裂点C 点做连线，应力应变曲线上离这条线最远的一点即为屈服点。利用点到直线的距离自然可以求出。 因为直线OC 为一次函数，所以点到直线的为距离d=21k y kx +-，其中m m E P k =首先利用点到直线的公式距离求得=di 21k P kE i i +-，再利用一次循环就可以求出最大 的dmax 为AB ，则A 点为屈服点，它所对应的应力为屈服应力，应变为屈服应变。 f σ σ 图4-3屈服点的点到直线最大距离求法 4.2.3 初始模量 初始模量的定义：纺织纤维或纱线应力——应变曲线起始一段较直部分伸直延长线上的应力应变之比。其物理含义是材料初始拉伸弹性成分最多时的应力应变关系。它表征在小负荷的条件下，纤维或纱线承抵抗变形能力的大小，是衡量纤维或纱线刚性的指标。 纺织纤维或纱线的初始模量与纺织制品的耐磨、耐疲劳、耐冲击、手感、悬垂性、起拱变形性等关系密切。许多纺织品多半是在小变形条件下工作的，因此，初始模量是力学性能中的重要指标。 （a ）利用屈服点法：连接原点O 到屈服点A 作辅助线，求取曲线上从原点开始到屈服点的区域内曲线上距离辅助线最远的一点记为F 点，这是就是纤维（纱线）伸直后真正开始拉伸的点，连接F 点到屈服点A ，这条直线的斜率记为
第1章绪论 1.1 材料力学的任务 任何建筑物或机器设备都是由若干构件或零件组成的。建筑物和机器设备在正常工作的情况下，组成它们的各个构件通常都受到各种外力的作用。例如，房屋中的梁要承受楼板传给它的重量，轧钢机受到钢坯变形时的阻力等，这些力统称为作用在构件上的荷载。 要想使建筑物和机器设备正常工作，就必须保证组成它们的每一个构件在荷载作用下都能正常工作，这样才能保证整个建筑物或机械的正常工作。为了保证构件正常安全地工作，对所设计的构件在力学上有一定的要求，这里归纳如下。 1. 强度要求 强度是指材料或构件抵抗破坏的能力。材料强度高，是指这种材料比较坚固，不易被破坏；材料强度低，则是指这种材料不够坚固，较易被破坏。在一定荷载作用下，如果构件的尺寸、材料的性能与所受的荷载不相适应，如机器中传动轴的直径太小、起吊货物的绳索过细，当传递的功率较大、货物过重时，就可能因强度不够而发生断裂，使机器无法正常工作，甚至造成灾难性的事故。显然这是工程上绝不允许的。 2. 刚度要求 刚度是指构件抵抗变形的能力。构件的刚度大，是指构件在荷载作用下不易变形，即抵抗变形的能力大；构件的刚度小，是指构件在荷载作用下，较易变形，即抵抗变形的能力小。任何物体在外力作用下，都要产生不同程度的变形。在工程中，即使构件强度足够，如果变形过大，也会影响其正常工作。例如，楼板梁在荷载作用下产生的变形过大，下面的抹灰层就会开裂、脱落；车床主轴变形过大，则影响加工精度，破坏齿轮的正常啮合，引起轴承的不均匀磨损，从而造成机器不能正常工作。因此，在工程中，根据不同的用途，使构件在荷载作用下产生的变形不能超过一定的范围，即要求构件具有一定的刚度。 3. 稳定性要求 受压的细长杆和薄壁构件，当荷载增加时，还可能出现突然失去初始平衡形态的现象，
应力的定义[指南] 应力的定义 当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变称为应变(Strain)。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，定义单位面积上的这种反作用力为应力(Stress)。或物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力(Stress)。按照应力和应变的方向关系，可以将应力分为正应力σ 和切应力τ，正应力的方向与应变方向平行，而切应力的方向与应变垂直。按照载荷(Load)作用的形式不同，应力又可以分为拉伸压缩应力、弯曲应力和扭转应力。 应力的分类 同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。 有些材料在工作时，其所受的外力不随时间而变化，这时其内部的应力大小不变，称为静应力;还有一些材料，其所受的外力随时间呈周期性变化，这时内部的应力也随时间呈周期性变化，称为交变应力。材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集
材料力学 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中 第一节 拉压杆的内力、应力分析 1、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应 变沿横截面均匀分布N F A σ= 2、 材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：const ε=即变形关系②物理方程：E σε=即应力应变 关系③静力学方程：N A F σ?=即内力构成关系 3、 N F A σ= 适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域 4、 圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的 轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸 5、 拉压杆斜截面上的应力：0c o s /c o s N N F F p A A αασαα= ==；2 0cos cos p αασασα==， sin sin 22 p αασταα==；0o α=， max 0σσ=；45o α=，0 max 2 στ= 第二节 材料拉伸时的力学性能 1、 材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段 2、 线（弹）性阶段：E σε=；变形很小，弹性；p σ为比例极限，e σ为弹 性极限 3、 屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是出 α p α α τα
全应力-应变曲线 测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。 刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。 强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等 刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。 刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。 对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。 物理概念：杨氏模量和泊松比 在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas
应力 1 定义应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。公式记为σ=ΔFj/ΔAi其中，σ表示应力；ΔFj 表示在j 方向的施力；ΔAi 表示在i 方向的受力面积。因为面积与力都是矢量，如果受力面积与施力方向垂直则称正应力，如图1所示的σx 与σy；如果受力面积与施力方向互相平行则称剪应力(shear stress)，如图1所示的τxy 与τyx。“内应力”指组成单一构造的不同材质之间，因材质差异而导致变形方式的不同，继而产生的各种应力。当材料在外力作用下而又不产生惯性移动时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变就称为应变（Strain）。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力．把分布内力在一点的集度称为应力（Stress），应力与微面积的乘积即微应力内力．或物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部 分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力（Stress）。按照应力和应变的方向关系，可以将应力分为正应力σ 和切应力τ，正应力的方向与应变方向平行，而切应力的方向与应变垂直。按照载荷（Load）作用的形式不同，应力又可以分为拉伸压缩应力、弯曲应力和扭转应力。应力 2 分类正向应
力与剪应力同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。有些材料在工作时，其所受的外力不随时间而变化，这时其内部的应力大小不变，称为静应力；还有一些材料，其所受的外力随时间呈周期性变化，这时内部的应力也随时间呈周期性变化，称为交变应力。材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集中。对于组织均匀的脆性材料，应力集中将大大降低构件的强度，这在构件的设计时应特别注意。物体受力产生变形时，体内各点处变形程度一般并不相同。用以描述一点处变形的程度的力学量是该点的应变。为此可在该点处到一单元体，比较变形前后单元体大小和形状的变化。单位：Pa，Psi 3 线应变在直角坐标中所取单元体为正六面体时，三条相互垂直的棱边的长度在变形前后的改变量
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 20 （MPa ） 20 d （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0 ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττ σ==； （C ）AC AC /2,/2 ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
(b) (a) （A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 τ (a) (b) (c) （A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同；（D）（a ）和（c）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 (A) (B) (D) (C) 解答： max τ发生在 1 σ成45的斜截面上 7、广义胡克定律适用围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）脆性材料；（B）塑性材料； （C）材料为各向同性，且处于线弹性围；（D）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)] G E v =+适用于（ C ）。 （A）任何材料在任何变形阶级；（B）各向同性材料在任何变形阶级； （C）各向同性材料应力在比例极限围；（D）任何材料在弹性变形围。
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
弹性模量 开放分类：基本物理概念工程力学物理学自然科学 “弹性模量”的一般定义是：应力除以应变，即弹性变形区的应力－应变曲线的斜率：其中λ 是弹性模量，【stress应力】是引起受力区变形的力，【strain应变】是应力引起的变化与 物体原始状态的比，通俗的讲对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变称为“应 变”。材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即胡克定律），其比例系数称为 弹性模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。“弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量， 是一个总称，包括“杨氏模量”、“剪切模量”、“体积模量”等。所以，“弹性模量”和“体积模量” 是包含关系。 编辑摘要 基本信息编辑信息模块 中文名：弹性模量其他外文名：Elastic Modulus 定义：应力除以应变类型：定律 定义/弹性模量编辑 混凝土弹性模量测定仪图册 弹性模量modulusofelasticity，又称弹性系数，杨氏模量。 弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是物体变形难易程度的表征。用E表示。
定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。 根据不同的受力情况，分别有相应的拉伸弹性模量(杨氏模量)、剪切弹性模量(刚性模量)、体积弹性模量等。它是一个材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力，其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。 对一般材料而言，该值比较稳定，但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依赖性较明显。 对于有些材料在弹性范围内应力-应变曲线不符合直线关系的，则可根据需要可以取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。 线应变/弹性模量编辑 弹性模量图册 对一根细杆施加一个拉力F，这个拉力除以杆的截面积S，称为“线应力”，杆的伸长量dL 除以原长L，称为“线应变”。线应力除以线应变就等于杨氏模量E=( F/S)/(dL/L) 剪切应变： 对一块弹性体施加一个侧向的力f（通常是摩擦力），弹性体会由方形变成菱形，这个形变的角度a称为“剪切应变”，相应的力f除以受力面积S称为“剪切应力”。剪切应力除以剪切应变就等于剪切模量G=( f/S)/a 体积应变/弹性模量编辑 对弹性体施加一个整体的压强p，这个压强称为“体积应力”，弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V称为“体积应变”，体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V) 在不易引起混淆时，一般金属材料的弹性模量就是指杨氏模量，即正弹性模量。 单位：E（弹性模量）兆帕（MPa） 意义/弹性模量编辑 弹性模量是工程材料重要的性能参数，从宏观角度来说，弹性模量是衡量物体抵抗弹性变形能力大小的尺度，从微观角度来说，则是原子、离子或分子之间键合强度的反映。凡影响键
在ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： 00l A lA =， 当前面积与原始面积的关系为： 将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： 其中0 l l 也可以写为1nom ε+。 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： 真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下： 上式各加1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： 其中pl ε是真实塑性应变，t ε是总体真实应变，el ε是真实弹性应变。 总体应变分解为弹性与塑性应变分量 实验数据转换为ABAQUS 输入数据的示例 下图中的应力应变曲线可以作为一个例子，用来示范如何将定义材料塑性特性的实验特性的实验数据转换为ABAQUS 适用的输入格式。名义应力－应变曲线上的6个点将成为*PLASTIC 选项中的数据。 第一步是用公式将名义应力和名义应变转化为真实应力和应变。一旦得到这些值，就可以用公式不确定与屈服应力相关联的塑性应变。下面给出转换后的数据。在小应变时，真实应变和名义应变间的差别很小，而在大应变时，二者间的就会有明显的差别;因此，如果模拟的应变比较大，就一定要向abaqus 提供正确的应力－应变数据。定义这种材料的输入数据格式在图中给出。 （二）. 对于受力的大小,受力的方式,还有本构方程参数的选择对于模型是否收敛影响很大. 泊松比的影响：材料的泊松比的大小对于网格的扰动影响很大，在foam 中，由于其泊松比是0，所以它对于单元的扰动不是很大。所以在考虑到经常出现单元节点被翻转过来的现象，可以调整泊松比的大小。 REMESH ：对于creep 的，特别是材料呈现非线性的状态下，变形很大，就有必要对其进行重新划分网格，用map solution 来对其旧网格进行映射。这就要决定何时进行重新划分网格，这个就要看应变的增长幅度了，通过观察网格外形的变化曲线来决定是否要进行重新划分区域。 接触表面的remesh 时，网格类型，单元数目等必须和原有的mesh 保持一致，这个对于
第一章绪论第一节材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提 第五节变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。对构件进行受力分析时可忽略其变形。 5、线应变： l l? = ε。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6、切应变：tan γγ≈。切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。 第六节 杆件变形的基本形式 1、材料力学的研究对象：等截面直杆。 2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切 第一节 轴向拉伸（压缩）的特点 1、受力特点：外力合力的作用线与杆件轴线重合。 σ。 限100% 7、卸载定律和冷作硬化：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高，但塑性变形和延伸率有所降低。 8、名义屈服极限0.2σ：对于没有明显屈服阶段的材料，工程上常以卸载后产生残余应 变为0.2%的应力作为屈服强度，称为名义屈服极限0.2σ 9、材料压缩时的力学性能：塑性材料的拉压性能相同。脆性材料在压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限，脆性材料抗拉性能差，抗压性能好。（如图） 第四节 失效、许用应力与强度条件 低碳钢 铸铁
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。E以ζ单位面积上承受的力表示，单位为N/m^2。