2014年全国各地高考试题分类汇编（理数）
解析几何（解答题）
（2014安徽理数）19．（本小题满分13分）如图所示，已知两条抛物线1E ：212y p x =()10p >和2E ：
222y p x =()20p >，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于
1B ，2B 两点．（1）证明：1122//A B A B ；
（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点．记111A B C △与222A B C △的面积分别为1S 与2S ，求12
S
S 的值．
解：（1）设直线1l 、2l 的方程分别为1y k x =，2y k x =()12,0k k ≠，
则由1212y k x y p x
=??=?，得11121122,p p A k k ?? ???， 由12
22y k x y p x =??=?， 得22221122,p p A k k ??
???．同理可得11122222,p p B k k ?? ???，22222
222,p p B k k ??
???． 所以11111122
21212222,p p p p A B k k k k ??=--
???122212111112,p k k k k ??
=-- ???
2222222221212222,p p p p A B k k k k ??=-- ???222212111112,p k k k k ??=-- ???
，故111222p
A B A B p =，所以1122A B A B ∥．
（2）由（1）知1122A B A B ∥，同理可得1122B C B C ∥，1122C A C A ∥．
所以111222A B C A B C △△∽，因此
2
111222=A B S S A B ?? ? ???
，又由（1）知111222
A B p p A B =，故211222S p S p =． （2014北京理数）19．（本小题14分）已知椭圆2
2:24C x
y +=，
（1）求椭圆C 的离心率． （2）设O 为原点．若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆2
22
x y +=的位置关系，并证明你的结论．
解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=。所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=。
因此2,a c ==C
的离心率2
c e a =
=
。 （2） 直线AB 与圆222x y +=相切。证明如下：
设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠。因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即0020tx y +=，
解得00
2y t x =-。当0x t =时，2
02t y =，代入椭圆C
的方程，得t =AB
的方程为x =
圆心O 到直线AB
的距离d =AB 与圆222x y +=相切。 当0x t ≠时，直线AB 的方程为002
2()y y x t x t
--=
--，即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=， 圆心0到直线AB
的距离d =
，又220024x y +=，0
2y t x =-
，
故d =
=
=AB 与圆222x y +=相切。
（2014大纲理数）21．（本小题满分12分）已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴
的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5
4
QF PQ =
．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于,M N 两点，且,,,A M B N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解：（1）设()0,4Q x ，代入2
2y px =得08x p =
．所以8
PQ P =，0822p p QF x p
=+=+．
由题设得
858
24p p p
+=+，解得2p =-（舍去）或2p =．所以C 的方程为24y x =． （2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+≠．代入2
4y x =得2
440y my --=．
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-．故AB 的中点为()
2
21,2D m m +
，
()21241AB y y m =-=+．又l '的斜率为m -，所以l '的方程为21
23x y m m
=-
++． 将上式代入2
4y x =，并整理得()2
24
4230y y m m
+
-+=．设()33,M x y ，()44,N x y ，
则344y y m +=-
，()2
34423y y m ?=-+．故MN 的中点为222223,E m m
m ??++- ???
，(
2342
41m MN y m
+=-=．由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==
，从而222
1144AB DE MN +=， 即()
()()
2
222
2
2
2
24
4121224122m m m m m m m
++????+++
++= ? ??
???
．化简得2
10m -=，解得1m =或1m =-．
所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．
（2014福建理数）19．（本小题满分13分）已知双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的两条渐近线分别为
1:2l y x =，2:2l y x =-．
（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图所示，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．
解法一：（1）因为双曲线E 的渐近线分别为2y x =，2y x =-，所以2b a =
2=，
故c =，从而双曲线E
的离心率c
e a
=
=． （2）由（1）知，双曲线E 的方程为22
22
14x y a a -
=．设直线l 与x 轴相交与点C ． 当l x ⊥轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，
则OC a =，4AB a =，又因为OAB △的面积为8，所以1
82
OC AB ?=，
因此1
482a a ?=，解得2a =，此时双曲线E 的方程为
221416x y -=． 若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为
22
1416
x y -=．
以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：
22
1416
x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y kx m =+，依题意，得2k >或2k <-，则,0m C k ??
-
???
．记()11,A x y ，()22,B x y ． 由,2y kx m y x
=+??
=?得122m y k =-，同理得222m y k =+．由121
2OAB S OC y y =?-△得，1228222m m m k k k -?-=-+．
即()2224444m k k =-=-．由221416y kx m
x y =+???-=??
得()222
42160k x kmx m ----=．
因为2
40k -<，所以()()()2222
224441616416k m k
m
k m ?=+-+=---，
又因为()
22
44m k =-，所以0?=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．
因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为
22
1416
x y -=． 解法二：（1）同解法一．
（2）由（1）知，双曲线E 的方程为22
22
14x y a a -
=．设直线l 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 依题意得1122m -
<<．由,2x my t y x =+??=?
得1212t y m =-，同理得2212t
y m -=+． 设直线l 与x 轴相交于点C ，则(),0C t ．由121
82
OAB S OC y y =?-=△， 得
122821212t t t m m
?+=-+，所以()222414414t m m =-=-． 由2222,14x my t x y
a a =+???-=??
得()()222241840m y mty t a -++-=． 因为2
410m -<，直线l 与双曲线E 由且只有一个公共点当且仅当()()
222226416410m t m t a ?=---=，
即2222
40m a t a +-=，即()222244140m a m a +--=，即()()22
1440m
a
--=，所以24a =，
因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为
22
1416
x y -=． 解法三：（1）同解法一．
（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．依题意得2k >或2k <-．
由22
40
y kx m x y =+??-=?得()222420k x kmx m ---=，因为240k -<，0?>，所以21224m x x k -=-， 又因为OAB △的面积为8，所以
1sin 82OA OB AOB ??∠=，又易知4
sin 5
AOB ∠=，
8=，化简得124x x =．所以2244m k
-=-，即()2244m k =-． 由（1）得双曲线E 的方程为222214x y a a -=，由2222,
1
4y kx m x y a a =+???-=??
得()22224240k x kmx m a ----=， 因为2
40k -<，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当()()2222
244440k m k
m
a ?=+-+=，
即()()2
2
440k a --=，所以2
4a =，所以双曲线E 的方程为
22
1416
x y -=． 当l x ⊥轴时，由OAB △的面积等于8可得l ：2x =，
又易知l ：2x =与双曲线E ：
22
1416
x y -=有且只有一个公共点． 综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为
22
1416
x y -=． （2014广东理数）20．（14分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
的一个焦点为
)
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
解：（1
）由题意知c =
3
c e a ==，所以3a =，222
4b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=． （2）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴时或1//l x 轴时，2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知()3,2P ±±． ②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，且0k ≠，则2l 的斜率为1
k
-
， 1l 方程为()00y y k x x -=-，与22194
x y +=联立，整理得()()22
009418k x y kx kx ++-()2009360y kx +--=，因为直线1l 与椭圆相切，所以?=0，即()(
2
22
0099y kx k k --)()2
00440y kx ??+--=??
，所以
()22200009240x k x y k y --+-=，所以k 是方程()209x -?22000240x x y x y -+-=的一个根，同理，1
k
-
是方程()22
20
000
9240x x x y x y --+-=的另一个根，所以2
020419
y k k x -???-= ?-??，整理得22
0013x y +=，其中03x ≠±，
所以点P 的轨迹方程为2
2
0013x y +=()03x ≠±．检验()3,2P ±±满足上式．综上，点P 轨迹方程为2
2
0013x y +=．
（2014湖北理数）21．（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多
1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1P -．求直线l 与轨迹C
恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围． 解：（1）设点(),M
x y ，依题意得1MF
x =+
1x =+，化简整理得()
2
21y x =+．
故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,
0, 0.
x x y x ?=?
（2）在点M 的轨迹C 中，记1C ：2
4y x =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+．
由方程组()2124y k x y x
-=+???=??可得()244210ky y k -++=．①
① 当0k =时，此时1y =．把1y =代入轨迹C 的方程，得1
4
x =
． 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14??
???
． ② 当0k ≠时，方程①的判别式为()
21621k k ?=-+-．② 设直线l 与x 轴的交点为
()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得0
21
k x
k
+=-
．③ （i ）若00
x ?．即当()
1,1,2k ??
∈-∞-+∞ ???
时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． （ii ）若000x ?=??
0x ?>???…则由②③解得11,2k ??∈-????或102k -<…．
即当11,
2k ?
?
∈-???
?
时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点． 当1,02k ??
∈-
????
时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点． 故当11,01,22k ????
∈-
-????????
时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． （iii ）若00
0x ?>??
则由②③解得112k -<<-或102k <<．
即当111,0,22k ?
???
∈--
? ?????
时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，
故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．
综合①②可知，当(){}1
,1,02k ??∈-∞-+∞ ?
??
时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；
当11,01,22k ????
∈-
-????????
时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ?
???∈-- ? ??
???时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．
（2014湖南理数）21．如图所示，O 为坐标原点，椭圆1:C ()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，
离心率为1e ；双曲线2:C 22221x
y a b -=的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，
已知122e e =，且241F F =．
（1）求12,C C 的方程；（2）过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦
AB ，M 为AB 的中点，
当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
解：（1）依题意a =1b =，故1C ：22
12x y +=，2C ：2212
x y -=． （2）设过点1F 且不垂直于y 轴的直线AB 的方程为1x ty =-．不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立直线AB 的方程与椭圆2212x y +=得221
12
x ty x y =-???+=??，消x 建立关于y 的一元二次方程得：()22
2210t y ty +--=，故122122
2212t y y t y y t ?+=??+?-?=?+?，中点121222
2,,2222x x y y t M t t ++-????= ? ?++????， OM ：2t y x =-．联立直线OM 方程与双曲线2C ：2212x y -=的方程得222
1
2
t y x x y ?
=-????-=??，
消y ，建立关于x 的一元二次方程得：22
222t x x -=， 即2
242x t =-
，故x =，
不妨设P
，Q ，设点P 、Q 到直线AB ：10x ty -+=的距离分别为1d 、2d
，则1d =
2d =
，
()121=2APBQ S AB d d +
四边形
)
2
22
21122
t t +=?+
=
=
==因为
231
122t --≥
，故APBQ
S 四边形的最大值为． （2014江苏）17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>的左、
右焦点，顶点B 的坐标为()0,B b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1
FC ．（1）若点C 坐标为4
1,33??
???
，且2BF =（2）若1
FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．
解：设椭圆的焦距为2c ，则()1,0F c -，()2,0F
c ．
（1）因为()0,B b
，所以2BF a =
．又2BF a =
因为点41,33C ?? ???
在椭圆上，所以22161
991a b +=，解得21b =．故所求椭圆的方程为2212x y +=． （2）因为()0,B b ，()2,0F c 在直线AB 上，所以直线AB 的方程为
1x y
c b
+=．
解方程组22221,1,x y c b
x y a b ?+=????+=??得()2122221222,,a c x a c b c a y a c ?=?+??-?=?+?
，220,.x y b =??=?所以A 的坐标为()2222
2222,b c a a c a c a c ??- ? ?++??． 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()2222
2222,b a c a c a c a c ??- ? ?++??
． 因为直线1F C 的斜率为
()
()()
22222
2
22322
23b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c
-，且1
FC AB ⊥， 所以()2223
13b a c b a c c c -???-=- ?+??．又222b a c =-，整理得22
5a c =．故215
e =
．因此e =． （2014江西理数）20．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：22
21x y a
-=()0a >的右焦点F ，点,A B 分
别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，//BF OA （O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程； （2）过C 上一点()00,P x y ()00y ≠的直线l ：
21xx y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线2
3=x 相交于点N ．证明：点P 在C 上移动时，
NF
MF
恒为定值，并求此定值．
解：（1）设(),0F c ，因为1b =，
所以c =直线OB 的方程为1y x a =-
，直线BF 的方程为()1
y x c a
=-，解得,22c
c B a ??-
???．又直线OA 的方程为1y x a =，则,c A c a ??
???
，322
AB
c c a a k c a c ??
-- ???==-．
又因为AB OB ⊥，所以311a a ???-=- ???
，解得2
3a =，故双曲线C 的方程为2213x y -=．
（2）由（1
）知a =l 的方程为
()000103x x
y y y -=≠，即00
33x x y y -=．
因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点为00232,
3x M y ??
- ???
； 直线l 与直线3
2x =的交点为003332,23x N y ??
- ? ? ?
??
，
则
()()
()
()
()()2
022
22
0002
2
22
2200000023323234
9933323234
4
12432x MF y x x y y x NF
x x y ---=
==?+-??+-- ???+??
???
．因为()00,P x y 是C 上一点，则2
2
0013x y -=，代入上式得()()()222
002222
000023234443341293332MF x x x x x x NF
--=?=?=-+-+-，
所求定值为
MF NF
=
=． （2014辽宁理数）20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，
当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P
（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．
解：（1）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>，则切线斜率为00
x y -
，切线方程为()0000x
y y x x y -=--，
即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为0000
1448
2S x y x y =
??=． 由22000042x y x y +=…
知当且仅当00x y =00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P
的坐标为
．
由题意知22
222221,3,
a b
a b a ?-=???+=?
解得21a =，22b =．故1C 的方程为2212y x -=． （2）由（1）知2C
的焦点坐标为()
，
)
，由此设2C 的方程为22
22
113x y b b +=+，其中10b >．
由
P
在2C 上，得22
12213b b +=+，解得2
13b =，因此2C 的方程为22163x y +
=． 显然，l 不是直线0y =．设l
的方程为x my =()11,A x y ，()22,B x y
，由221,6
3x my x y ?=+?
?+=??得
(
)22230m y ++-=，又1y ，2y
是方程的根，因此12122 3, 2y y y y m ?+=???
-?=?+?①②
由11x my =+
22x my =(
)()12122
21212122 663. 2x x m y y m x x m y y y y m ?+=++???-?=+++=?+?
③④
因(
)
112AP x y =
，(
)
222BP x y =
．由题意知0AP BP ?=
，
所以))1212121240 x x x x y y y y ++++=⑤
将①
，②，③，
④代入⑤式整理得22
110m -=，解得
1m -或1m
=．
因此直线l 的方程为10x y ?--
??
??或10
x y ?
+????
． （2014山东理数）21．（本小题满分14分）已知抛物线()2
:20C y px p =＞
的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，当点A 的横坐标为3时，
ADF △为正三角形．（1）求C 的方程；（2）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，
（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ii ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意知,02p F ?? ???．设()(),00D t t >，则2,04p t FD +??
???．因为FA FD =，由抛物线的定义知
322p p
t +
=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）．由234
p t +=解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．
（2）（i ）由（I ）知()1,0F ，设()00,A x y ()000x y ≠，()(),00D D D x x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +．故直线AB 的斜率0
2
AB y k =-．因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02
y y x b =-
+，
代入抛物线方程得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ?=+=，得02
b y =-．设(),E E E x y ，则04E y y =-
，20
4E x y =，当2
04y ≠时，0
000
22
00204
4444
E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AB 的方程为()0002044y y y x x y -=
--，由2
004y x =，整理可得()02
0414
y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F ． 当2
04y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F ．
（ii ）由（i ）知直线AE 过焦点()1,0F ，所以
()000011
112AE AF FE x x x x ??=+=+++=++ ???
．
设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故001x m y -=
，设()11,B x y ，直线AB 的方程为()0002
y y y x x -=--，由于00y ≠，可得002
2x y x y =-++，
代入抛物线方程得2008840y y x y +
--=．所以0108y y y +=-，可求得101000
84
4y y x x y x =--=++，所以点B 到直线AE
的距离为
414x d ?
+=
=． 则
ABE △
的面积001142162S =
x x ????++ ??
?…，当且仅当001
x x =，即01x =时等号成立． 所以ABE △的面积的最小值为16．
（2014陕西理数）20．（本小题满分13分）如图所示，曲线C 由上半椭圆()22
122:10,0y x C a b y a b
+=>>…
和部分抛物线()22:10C y x y =-+…连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中
1C 的离心率为
2
．（1）求,a b 的值； （2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．
解：（1）在1C ，2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -，()1,0B ， 由e c a
=
，且222
a b c =+，得2a =．所以2a =，1b =． （2）由（1）可知，1C 方程为2
214
x y +=()0y ≥．易知l 与坐标轴不平行，设其方程为()1y k x =-()0k ≠． 联立方程组()22
114
y k x x y =-???+=??，消去y ，得()22222
4240k x k x k +-+-=，设(),P P P x y ，由于l 过()1,0B 及
(),P P P x y ，由韦达定理可知：2244P k x k -=+，从而可得284P k y k -=+，故P 的坐标为22248,44k k k k ??
-- ?++??， 同理，由()()()
2
1010y k x k y x y =-≠???=-+??≤，可得Q 的坐标为()2
1,2k k k ----．所以()22,44k AP k k =-+，()1,2AQ k k =-+，又由AP AQ ⊥，故0AP AQ ?=，得()2
2
24204k k k k --+=???
?+， 因为0k ≠，故()420k k -+=，解得83k =-
，且符合题意．所以直线l 的方程为()8
13
y x =--． （2014四川理数）20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ． （i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当
TF PQ
最小时，求点T 的坐标．
解：（1
）由已知可得224
b c ===??解得26a =，2
2b =，所以椭圆C 的标准方程是
22162x y +=． （2）（i ）由（1）可得，F 的坐标是()2,0-，设T 点的坐标为()3,m -．则直线TF 的斜率()
32TF m k m -==----．
当0m ≠时，直线PQ 的斜率1
PQ k m
=
．直线PQ 的方程是2x my =-．
当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式．
设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =-??
?+=??
．
消去x ，得()
223420m y my +--=，其判别式()
22
16830m m ?=++>．
所以12243m y y m +=
+，12223y y m -=+，()12122
12
43
x x m y y m -+=+-=+． 所以PQ 的中点M 的坐标为22
6
2,33m m m -?? ?++??
．所以直线OM 的斜率3OM m k =-， 又直线OT 的斜率3
OT m
k =-
，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ ． （ii ）由（i
）可得，TF =．
所以
PQ =
=
=
)2213m m +=+．
所以
TF PQ
=
=． 当且仅当2
2
4
11m m +=
+，即1m =±时，等号成立，此时TF PQ
取得最小值． 所以当
TF PQ
最小时，T 点的坐标是()3,1-或()3,1--．
（2014天津理数）18．（本小题满分13分）设椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，
上顶点为B
．已知12AB F =
．
（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切． 求直线l 的斜率．
解：（1）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0
c ．由12AB F F =
，可得2223a b c +=， 又222
b a
c =-，则2212
c a =．所以椭圆的离心率2
e =．
（2）由（1）知222a c =，22
b c =．故椭圆方程为222212x y c c
+=．
设()00,P x y ．由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =．由已知，110F P F B ?=，即
()000x c c y c ++=．又0c ≠，故有000x y c ++=．① 又因为P 在椭圆上，故22
002212x y c c
+=．②
由①②可得20040x cx +=3．而点P 不在椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03
c
y =，即点P 的坐标为
4,33c c ??- ???．设圆的圆心为()11
,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323c c
y c +==，进而圆的半径
r =
．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l 与圆相切，
r =
=
，整理得2810k k
-+=，解得4k =
所以直线l
的斜率为4+4
（2014新课标1理数）20．（本小题满分12分） 已知点)2,0(-A ，椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+
=>>的离心率
为
2
，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3
，O 为坐标原点．（1）求E 的方程； （2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程． 解：（1）设(),0
F c ，由条件知
2
c =
c
=c a =2a =，2221b a c =-= ， 故E 的方程2
214
x y +=．
（2）当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ．
将2y kx =-代入2214
x y +=，得()22
1416120k x kx +-+=．
当2
16(43)0k ?=->，即2
34
k >时，1,2x =
，
O
到直线PQ 的距离d =，
所以OPQ △
的面积12OPQ
S =
△t =，则0t >，24444OPQ t S t t t
==++△． 因为4
4t t +
…，当且仅当2
t =，k =0?>，
所以当OPQ △的面积最大时，l
的方程为：
2y x =
-
或2y x =-．
（2014新课标2理数）20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>的左，右焦点，
M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一个交点为N ．
（1）若直线MN 的斜率为
3
4
，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15M N FN =，求,a b ．
解：（1
）根据c 及题设知2,b M c a ?? ???
，223b ac =．将222b a c =-代入2
23b ac =，
解得
12c a =或c a =2-（舍去）
．故C 的离心率为1
2
． （2）由题意，得原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，
故24b a =，即24b a =． ①由15MN F N =得112DF F N =．设()11,N x y ，由题意知10y <，则()112,22,c x c y ?--=??-=?? 即113,21.
x c y ?=-???=-?代入C 的方程，得2229114c a b +=． ② 将①
及c ②得()22
941144a a a a -+=． 解得7a =，2
428b a ==，故7a =
，b =
（2014浙江理数）21．（本题满分15分）如图，设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>动直线l 与椭圆C 只有一个公
共点P ，且点P 在第一象限．（1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标； （2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．
解：（1）设直线l 的方程为()0y kx m k =+<，由2222,1
y kx m x y a
b =+??
?+=??，
消去y 得()
222222222
20b a k mx a kmx a m a b +++-=．由于l 与C 只有一个公共点，故0?=，
即2
2
2
2
0b m a k -+=，解得点P 的坐标为222222
22,a km b m b a k b a k ??
- ?
++??
． 又点P 在第一象限，故点P
的坐标为22
P ??
． （2）由于直线1l 过原点O 且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，
所以点P 到直线1l
的距离d =
，整理得
22
d =
因为2
2
2
22b a k ab k
+…
，所以22
22a b =-，
当且仅当2
b
k a
=
时等号成立．所以，点P 到直线1l 的距离最大值为a b -． （2014重庆理数）21．如图，设椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，
112DF F F ⊥
，
121
F F DF =，12DF F △
（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．
解：（1）设()
1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-
．由121
F F DF =
1DF =
=
．
从而12211212DF F S DF F F =
==△，故1c =
．从而1DF =， 由112DF F F ⊥得2
22
21129
2DF DF F F =+=
，因此2DF =
122a DF DF =+=
a =2
2
2
1b a c =-=．因此，所求椭圆的标准方程为2
212
x y +=．
（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2
212
x y +=相交，()111,,P x y =， ()
222,,P x y =是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线， 且1122F P F P ⊥．由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212PP x =． 由（I ）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()
22111,F P x y =--． 再由1122
F P F P ⊥得()2
2
1110x y -++=．由椭圆方程得()22
1
1112
x x -=+， 即2
11340x x +=，解得14
3
x =-
或10x =． 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在． 当14
3
x =-
时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ． 由11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥，知12CP CP ⊥． 又12
CP CP =，故圆C
的半径11213
CP ===．
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1
8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为（） D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
1 / 12 2020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何 （2020海淀一模）已知双曲线2 2 21(0)y x b b -=> 则b 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___. （2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=> 的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为 ____________. （2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++= （2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1 (2,)2 ，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． （2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）
2 / 12 A. ()()22 112x y -+-= B. ()()22 112x y -++= C. ()()2 2 114x y ++-= D. ()()2 2 114x y +++= （2020东城一模） 已知曲线C 的方程为22 1x y a b -=， 则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （2020东城一模） 抛物线2 4x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ） A. 1(0,)2 - B. (0,1)- C. (0,2)- D. (0,4)- （2020丰台一模） 已知双曲线M ：2 2 13 y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直 线.若椭圆N ：22 221x y a b +=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______. （2020丰台一模） 过抛物线C ：2 2y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60?的直线与抛物线C 交于两 个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则 AF BF 的值为（ ） A. 13 B. 43 D. 3
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}.
专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1
2020年高考数学分类汇编：解析几何 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A. ( 14 ,0) B. (12,0) C. (1,0) D. (2,0) 6.在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若1AC BC ?=，则点C 的轨迹为 A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 4．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切 线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ?最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++= 15．已知F 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为. 7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,D E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4 B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0)
8.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为 A ．1 B C D ．2 8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 A ．5 B ．5 C ．5 D ．5 10.若直线l 与曲线y =2215x y += 都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112 y x =+ D. 1122 y x =+ 14.设双曲线22 22:1x y C a b -=()0,0a b >>的一条渐近线为y =,则C 的离心率为______. 6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2﹣y 25=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=√52 x ，则该双曲线的离心率是▲ . 11.设双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a= A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
2010-2018江苏高考解析几何汇编(文)
2010~2018年高考解析几何汇编 1、考纲要求：直线的斜率和倾斜角B直线方程C直线的平行与垂直关系B两直线的交点B两点间的距离、点到直线的距离B圆的标准方程与一般方程 C 直线与圆、圆与圆的位置关系B椭圆标准方程与性质B双曲线标准方程与性质 A 抛物线的标准方程与性质 A 2、高考解读：通常是两小一大，填空题一方面考查直线与圆的位置关系，另一 方面考查圆锥曲线的概念与几何性质，解答题主要是直线与圆、直线与圆锥曲 线的综合题，个别考题是基础题，多数考题是中档题，特别是解答题主要考查 学生的运算能力和学生的观察、推理以及创造性地综合分析、解决问题的能力， 有可能出现难题。 一、直线与圆的位置关系 ★★9．（5分）（2010?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．★★★14．（5分）（2011?江苏）设集合 ，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠？，则实数m的取值范围是． ★★★12．（5分）（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是． ★★9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． ★★10．（5分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈Ｒ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方 程为． ★★13．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． ★★★12．（5分）（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x
2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤
2017年高考试题分类汇编（集合） 考点1 数集 考法1 交集 1.（2017·北京卷·理科1）若集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，则 A B = A. {}21x x -<<- B. {}23x x -<< C. {}11x x -<< D. {}13x x << 2.（2017·全国卷Ⅱ·理科2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若 {}1A B =，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.（2017·全国卷Ⅲ·理科2）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.（2017·山东卷·理科1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(2,1)- D ．[2,1)- 5.（2017·山东卷·文科1）设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N = A.()1,1- B.()1,2- C.()0,2 D.()1,2 6.（2017·江苏卷）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =，则实数a 的值为______. 考法2 并集 1.（2017·全国卷Ⅱ·文科2）设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则A B = A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（2017·浙江卷1）已知集合{}11P x x =-<<,{}02Q x x =<<，那么P Q = A. (1,2)- B. (0,1) C.(1,0)- D. (1,2) 考法3 补集
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角
2017年全国高考英语试题分类汇编（共23份） 目录 2017全国高考汇编之定语从句 (2) 2017全国高考汇编之动词+动词短语 (13) 2017全国高考汇编之动词时态与语态 (30) 2017全国高考汇编之非谓语动词 (47) 2017全国高考汇编改错 (68) 2017全国高考汇编之交际用语 (82) 2017全国高考汇编之介词+连词 (96) 2017全国高考汇编之名词性从句 (112) 2017全国高考汇编之完型填空 (187) 2017全国高考汇编之形容词+副词 (330) 2017全国高考汇编之虚拟语气+情态动词 (341) 2017全国高考汇编阅读之广告应用类 (355) 2017全国高考汇编阅读之广告应用类 (375) 2017全国高考汇编阅读之科普知识类 (409) 2017全国高考汇编阅读之人物传记类 (456) 2017全国高考汇编阅读之社会生活类 (471) 2017全国高考汇编阅读之文化教育类 (552) 2017全国高考汇编阅读新题型 (658) 2017全国高考汇编阅读之新闻报告类 (712) 2017全国高考汇编之代词+名词+冠词 (740) 2017全国高考汇编之状语从句 (761)
2017全国高考汇编之定语从句 The exact year Angela and her family spent together in China was 2008. A. When B. where C. why D. which 【考点】考察定语从句 【答案】D 【举一反三】Between the two parts of the concert is an interval, _______ the audience can buy ice-cream. A. when B. where C. that D. which 【答案】A 二I borrow the book Sherlock Holmes from the library last week, ______ my classmates recommended to me.. A.who B. which C. when D. Where 【考点】考察定语从句 【答案】B 【举一反三】The Science Museum, we visited during a recent trip to Britain, is one of London’s tourist attractions.
2011高考数学分类汇编－解析几何 1、（湖北文）将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则（ ） A. 0=n B. 1=n C. 2=n D. 3≥n 2、（江西理） 若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A. )3 3 ,33(- B. )33,0()0,33(Y - C. ]33,33[- D. ),3 3()33,(+∞--∞Y 3、（江西理）若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21 ,1(作圆122=+y x 的 切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭 圆方程是 . 4、（湖南文）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为 2cos (x y α αα =??? =??为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为 (cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ． 5、（湖南理）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=??=+?（α为参 数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。 6、（湖南文）已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y += （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ． (2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 7、（江苏）设集合},,)2(2 |),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围___.
解析几何专题汇编 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 解析：选C.由e ＝52，得c a ＝5 2 ， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝1 2a . 而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±1 2 x . 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4 解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6. ∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝1 2 ×2×26＝2 3. 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则? ?? x 21a 2＋y 21 b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22 b 2 ＝1. ② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2 ＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2) b 2 ， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2) . ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2 a 2. 而k AB ＝0－(－1)3－1 ＝1 2， ∴b 2 a 2＝1 2 ，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，
九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D
2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8