第2期厦门广播电视大学学报
No．22012年5月
Journal of Xiamen Radio ＆Television University
May．2012
［收稿日期］2012－03－13［作者简介］张永东(1967－)，男，福建永定人，厦门市康乐第二小学数学教师。
陈怀琳(1975－)，女，福建南安人，厦门市湖里实验小学数学教师。
小学数学模型构建策略研究
张永东1，陈怀琳
2
(1.康乐第二小学，福建厦门361009; 2.湖里实验小学，福建厦门361006)
［摘要］构建数学模型，要重视学生已有的经验，为学生提供丰富多彩的感性学习材料，从具体到
半具体半抽象再到抽象，运用比较、分析、抽象、概括等方法，去掉非本质的东西，把实际生活问题抽象成数学问题，将实际问题数学化。分析其中的数量关系，提炼出数学思想方法，建立模型，利用数学模型解决问题，学生得到“鱼”和“渔”
。学习建模的理论知识，用自己心中的模去影响学生的建模。创造性使用教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，因材施教，关注学生发展的差异性，激发学生的建模热情，分层推进，渗透建模思想。
［关键词］小学;数学模型;教学策略［中图分类号］G623.5
［文献标识码］A
［文章编号］1671－3222(2012)02－0092－05
“数学模型”这个概念在我国义务教育
《数学课程标准》(2001版)中首次出现:从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将数学实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。［1］1
在2011版的《数学课程标准》又提到“数学模型”，第一部分前言的课程设计思路中明确指出:在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型、寻求结
果、解决问题的过程。［2］4
由此可以看出数学模型在课标中的重要地位。数学建模是数学学习的一种新的方式，它是以探究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题的。这对于培养学生的创新精神和实践能力以及教师的成长和专业发展都具有十分重要的意义。下面就建立数学模型谈些我们在教学中的认识和实践，请大家赐教。
一、建立数学模型的教学策略
(一)感知的丰富性———建模准备
数学建模需要“招商引资”
，“招进”的是生活中与数学学习有关的素材，是学生熟悉的、
感兴趣的材料
，“引发”的是学生对生活中数学问题的火热思考。数学模型关注的对象是具有共
同普遍性的一类事物。因此教师要给学生提供丰富多彩的感性材料，从多层面、多方位去感知这类事物的特征，认识和思考问题的价值性，抓住问题的锚桩，为准确构建数学模型提供可能。
在教学中教师以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如构建
1
4
的模型:第一步，感知
1
4
: 1.把一块月饼平均分给4个小朋友，每个小朋友得到这个饼的
()
()
。2.把一盒月饼(内装4块同样的饼)平均分给4个
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小朋友，每个小朋友得到这盒饼的
()
()
。3.把一盒月饼(内装8块同样的饼)平均分给4个小
朋友，每个小朋友得到这盒饼的()
()
。第二步，模仿迁移:学生针对图1和图2进行分组讨论: 1.在图1三角形和图2长方形中不同颜色部分各占整个图形的几分之几呢? 2.图1和图2的两个图形形状不一样，大小也不一样，为什么其中的一份都用
1
4
表示?经过师生的讨论交流、深入思考，学生对分数1
4
的含义感悟渐渐变得具体、清楚。
第三步，做分数自由创造(略)。
在感知—模仿—做分数这3个环节，教师提供了丰富的材料，让学生充分地想、充分地做、充分地说，增加和丰富学生的感性认识，在学生的头脑中建立起丰富的表象，为抽象出它们相同的属性做好准备。
(二)抽象的逐渐性———建立模型
创设具体生动的情景只是为数学模型的构建提供可能，由生活情景中蕴含的数学问题还需要从具体到半具体半抽象到抽象的有效过渡，才能构建数学模型。模型的建构需要一个过程，逐渐
抽象、逐步概括，不是一蹴而就，否则模型的构建只是个“抽象苦涩”或是“虚无飘渺”的“海市蜃楼”。例如建立概念模型就需要一个运用比较、分析、抽象、概括等思想方法的过程，去掉非本质的东西，用数学语言逐步规范和抽象概括概念模型。下面是建立质数、合数概念模型的流程图
:
(三)方法的概括性———构建本质
数学建模是一个经历观察、分析、抽象、假设、推理、类比和归纳的过程，也是一个思想、方法的产生与选择的过程。数学思想方法是数学建模存在的灵魂，因此在构建数学模型的过程中，教师要引导学生从各式各样的思维中体验与发现具有更多概括意义的通用的思想方法，进而提炼出数学思想方法，提升构建模型的理性高度，这样学生体会和领悟了一些数学思想方法的
风采和魅力，得到的不仅是“鱼”
，还有“渔”，对学生的长远发展有着积极、深远的影响。［例1］如图4所示，四边形ABCD 为正方形、A 点为圆心，正方形ABCD 的面积S 正=10cm 2，求圆的面积S 圆=?
多数学生受思维定势的影响，认为:求圆的面积要知道半径等于多少?而学生从本题中S 正=10cm 2可以得r 2=10，因受到所学知识限制，学生苦于无法求出r =?，造成求不出圆的面积。
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部分学生错误求出r =10?2=5，然后代入圆面积公式进行计算。
从学生的学习心理看，这是学生受到思维定
势的影响。学生首先想到利用公式S 圆=∏r 2
来计算，按部就班，要知道r =?才行。从教学角度看，这是学生已有的较为牢固的认知经验对新知、新问题的负迁移。学生习惯把新知纳入自己已有的认知结构中(求圆的面积就必须知道半径等于多少)，去同化新知，但是此时此刻学生的已有的认知经验无法求出r =?，也就无法解决新问题。
重新审视计算公式S 圆=∏r 2
，提出问题:除了知道半径r 、直径d 或周长c 外，还有什么已知条件也能求出圆的面积呢?引导学生回顾圆面积的推导过程，从计算公式上明白:已知r 2
也就是已知正方形的面积也同样可以求圆面积。学生就
能调整思维，放弃对个体r =?的纠缠，关注整体r 2=?对S 圆=∏r 2，只要把r 2看作一个整体或一个数代入，问题就迎刃而解，无需知道r =?，从而促使学生的已有认知去顺应新知和新问题。学生在教师的指导下求出了圆的面积，是可喜可贺!但教师要乘胜追击，要求学生思考解题中的得与失，找出解题的突破口和阻碍点，梳理和优化解题思路，提高思维层次，建立数学模型，抽取数量关系式。教师引导学生观察图中正方形和圆之间的位置关系:正方形的一个顶点是圆的圆心，正方形的边长是圆的半径。分析面积关系:S 圆=∏r 2，其中r 2正好是正方形的面积，所以S 圆=∏r 2=∏S 正。提炼出数学思想方法:整体代入
的思想，进而发现规律、构建数学模型———以正方形的某个顶点为圆心，以这个正方形的边长为半径的圆的面积等于这个正方形的面积乘以∏。
(四)模型的延伸性———建模应用一个完整的数学建模程序:从实际问题抽象出数学模型到求解数学模型，再用数学模型的解来解决数学实际问题。因此经历概括提炼而构建的数学模型不是学生认识的终点，教师要进一步引导学生抓住问题中的条件和问题中的本质，分析其中的数量关系和变化规律，使已经构建的数学模型在解决问题中得以延伸应用和生根发芽。只有将生产和生活问题转化为数学问题才能建立数学与现实世界的联系。下面是在例1构建的数学模型在生产实际中的应用。
［例2］一块正方形钢板的面积是40dm 2
，在这个正方形钢板里截下一块最大的圆形钢板，这个圆形钢板的面积是多少?
这是生产中的实际问题，舍去题中的事件情景就能“抽取”出下面的数学问题:
［例3］如图5所示，正方形ABCD 的面积S 正=40dm 2，求圆的面积S 圆=?
教师引导学生观察此题在文字和图形上与例题1的相似之处，发挥想象:图4中小正方形“长大”了变成图5中的大正方形，借助逆向思维，图5的大正方形中就会“躲藏”着一个看不见的、像图4的小正方形。进一步引导学生思考例1和例3之间有关系吗?它们之间有什么样的关系?只要过圆心O 作OE ⊥BC ，OF ⊥CD ，E 、F 为垂足，就能把一个看不见的、像图4的小正方形变出来，得到小正方形OECF (见图6)。如果隐去图6的大正方形ABCD 不看，图6就“摇身一变”成了例1的图4，圆O 就变成了以小正方形的顶点O 为圆心、以小正方形的边
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长OE 为半径的圆。根据前面例1构建数学模型———以正方形的某个顶点为圆心，以这个正方形的边长为半径的圆的面积等于这个正方形的面积乘以∏，可知图6中这个圆面积等于小正方形OECF 的面积乘以∏，而这个小正方形OECF 的
面积等于大正方形ABCD 面积的1
4，即:S 圆=
∏SOECF =∏?
14?S ABCD =∏?1
4
?40=10∏dm 2。(五)思维的变通性———模型再生
生活实际和教材不缺乏数学建模内容的素材。
教师要有建模的思想意识，用建模的眼光和思维去分析和解读生活中的实际问题，利用一切可以利用的数学模型的教育因素，进行思维变通和整合。要在看似没有数学建模内容的问题中，挖掘建模素材，拓宽建模空间，开辟出能训练学生建
模能力的“新天地”
，让数学模型再现、再生，给学生提供和创造更多的数学建模机会和空间。
［例4］小东家有一张会“变”的方桌，方桌的边长是10dm 。如果把这张方桌的四边撑开，方桌就会变成圆桌，请问撑开后的圆桌的桌面面积是多少?
教师引导学生舍去题中的一切具体事件的情景就
能把这个生活实际问题“压缩”
，“抽取”出下面的数学问题:
［例5］如图7所示，正方形ABCD 的边长为10dm ，求圆面积S 圆=
?
例5与例1看似没有什么关系，图7与图5的正方形和圆的位置不一样，是否也能利用例1构建的模型来解决问题?这就需要思维的变通性。教师引导学生思考要用例1构建出的模型，首先要构造和再生出例题1的图形，连结AC 和BD ，
交于O 点，正方形ABCD 就被分割成四个大小一样等腰直角三角形，把三角形AOD 割补到三角形BOC 的外部，让三角形AOD 的边AD 与三角形BOC 的BC 边重合，这样等腰直角三角形BOC 和割补出来的等腰直角三角形AOD 正好构成一个像例1图形中的小正方形OBEC (见图8)。此时圆O 可以看成是以小正方形OBEC 的顶点O 为圆心，以小正方形OBEC 边长OB 为半径的圆。根据例1构建的模型可以知道，这个圆的面积等于小正方形OBEC 的面积乘以∏，而这个小正方形OBEC 的面积等于大正方形ABCD 面积的一半，即S 圆=∏S OBEC =∏?1
2S
ABCD
=∏?1
2
?10?10=50∏dm 2。(六)建模的反思性———提升建模
从例1提炼而构建的数学模型虽然在解决例2和例4的问题中得到较好的应用，但是教师不能就此画上句号。一个较完整的数学建模是离不开对数学建模的评价与反思。静能生慧!教师一
定要学生“静”下心来反思，反思“怎么想”、“怎么学”;反思“怎么概括”、“怎么变通”;
反思“怎么联系
”、“怎么应用”。通过例1→例5这样系列问题的变式，给学生提供一个鲜活、
生动的榜样，学生思维沿着数学知识的发生、发展的原始轨迹走过，借助反思、梳理、调控，在学生脑里实实在在形成了一个含金量高的思维
链:舍去情景—
——抽取数学问题———构建数学模型—
——应用模型———解决问题;在学生的眼里清清楚楚看到这些问题内在的、本质的联系，抽象出的数学模型不再那么抽象而是逐渐变得清晰、具体、美丽、可爱，它使复杂的问题本质化、一般化;在学生的心里真真切切体验和感受到数学模型的独特魅力和价值，有茅塞顿开、豁然开朗
的感觉，明白了教师为什么这样做，体会到“这样做”的作用，潜移默化促进了学生建模能力的提升。
二、建立数学模型应注意的问题
(一)加强研究，提高建模意识———突出“学习”二字
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要培养学生的建模意识，教师首先要有建模意识。教师要自觉加强数学建模的理论研究和学习，有目的、有计划学习和研究数学建模问题背景、建模的素材、建模的基本流程、模型的应用等，不断更新数学教育观念，增强建模意识，提升教师的数学素养。教师有了平时的自觉学习和积累，在教学中才有底气和有资本用自己的数学建模意识去熏陶学生，去影响学生的建模，去带领学生建模。只要教师有思想、善学习，做到“目中有人、心中有模”，教师的眼界就会更高、更广，对数学问题的把握就更贴近本原、更加原生态，学生的受益会更多。
(二)因材施教，把握建模起点———突出“差异”二字
小学数学建模的主体是小学生。因此开展建模活动，提供的问题要适合小学生的年龄特征和认知水平，不能只有“难度、深度”而没有“温度、适度”。要找准数学建模中小学生的认知起点、情感起点和思维起点，［3］9触及到小学生的“最近发展区”，让小学生有“跳一跳，够得着”的成功感。数学建模要适合小学生发展的差异性，分层次逐步推进，不能拔苗助长。对低、中年级的学生是进行“数学模型”的感知和感受;对高年级的学生则进行“数学模型”的点化，感悟建模初步运用。这样学生对建模思想方法的认识就可以由浅入深，由表及里，渐进地达到一定的高度。
(三)保护自尊，激发建模热情———突出“激励”二字
对学生建模的评价要从重过程、重参与、重鼓励的角度去看问题。由于学生的年龄特点和思维特点，教师不能苛求数学建模过程的严密、结果的准确。在评价学生时对学生的不合理的归纳、不合常情的猜想、不恰当的抽象，不要轻易随便否定和批评指责，恰恰相反要用放大镜来看学生的闪光点，保护学生的自尊，激发学生的建模热情和信心。只要学生提出的问题有新意，教师就应予以肯定;只要学生解决问题的方案中有合理、积极的成分，教师就应予以表扬;只要学生亲自参与，暴露建模的思维过程，对建模有帮助的，教师就应予以鼓励。
(四)教者有意，把握建模过程———突出“渗透”二字
小学生的抽象逻辑思维能力是逐步上升的，开展数学建模教学有利于学生抽象能力的培养。因此每一个数学教师要与时俱进、更新观念、大胆尝试，在教育教学中采用教者有意、学者无意的方式，以“润物细无声”的形式渗透数学建模思想方法。教师要关注和把握建模的过程，有目的、有计划、有序列地渗透建模思想方法。经过日长天久的渗透，当渗透积累到一定数量时必定会由“量变”到“质变”，学生对建模的感受、理解和感悟就会产生一个质的飞跃，它的点滴积累必积淀为人的数学素养。
通过数学建模教学实践，我们深刻体会到:数学建模在书本世界与学生生活世界架起了友谊之桥，它引领学生走出静态的、封闭的课本，走进动态的、开放的现实生活生产中，它有效促进书本理论与实践的有机结合。数学建模让学生充分体验享受建模、用模的快乐和价值，在数学建模过程中学生不仅积累了数学活动的经验，而且领悟了终身受益的数学思想方法，还增强了实践创新能力。我们坚信只要我们坚守数学建模这个阵地，我们的课堂会因“建模”而精彩，因“建模”而焕发生命的活力，师生的数学素养必定到提升和发展。
［参考文献］
［1］全日制义务教育数学课程标准:实验稿［M］.北京:北京大学出版社，2001.
［2］义务教育数学课程标准:2011年版［M］.北京:北京大学出版集团，2011.
［3］庄惠芬.合理把握小学数学建模的定位［J］.江苏教育:小学教学，2011(3):9－11.
［责任编辑:曾垂超］·
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