初中数学
轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形
轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
图形轴对称的性质
如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．
轴对称变换的性质
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
关于坐标轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）
关于原点对称
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）
关于坐标轴夹角平分线对称
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）
点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）
关于平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；
点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；
等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
B C
P M N O
角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
A
B C
P M N O
三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
添加辅助线口诀
几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.
线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；
公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.
角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
知识点1 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。 知识点2 对称轴的性质 1.对称轴是一条直线。 2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。 4.图形对称 例1下面哪些图形是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴。 例2.推理游戏：下面应该是什么图形？
知识点3线段垂直平分线定义及其性质 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 例3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6，则线段PB的长度为（） A．3 B．5 C．6 D．8 解析：∵直线CD是线段AB的垂直平分线， ∴PB=PA， ∵PA=6， ∴PB=6． 答案C． 例4如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（） A．ED=CD B．∠DAC=∠B
C ．∠C ＞2∠B D ．∠B+∠ADE=90° 分析：∵DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD=BD ． ∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE． ∴∠B+∠ADE=90° 答案D 课堂练习1 1．点A ，B 关于直线a 对称，P 是直线a 上的任意一点，下列说法不正确的是（ ） A ．直线AB 与直线a 垂直 B ．直线a 是点A 和点B 的对称轴 C ．线段PA 与线段PB 相等 D ．若PA=PB ，则点P 是线段AB 的中点 2.三角形中到三边的距离相等的点是（ ） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条角平分线的交点 3.已知A 和B 两点在线段EF 的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB 等于( ) A 、95° B 、15° C 、95°或15° D 、170°或30° 4.已知：如图，线段AB 垂直平分线段CD 则AC ＝ 。若线段AB,CD 互相垂直平分，则AC= 。 A B C O D O A B D C
轴对称与等腰三角形练习题 一.填空题 1.点（-2，1）关于x 轴的对称点是 ，关于y 轴的对称点是 2.已知点P 1（a ，3）和点P 2（-2，b ）关于y 轴对称，则a= ， b= ； 若关于x 轴对称，则a= ，b= 3.已知点P 1（a ，3）和点P 2（4，b ）关于y 轴对称，则（a+b ）2007= 4.点（3，-2）关于直线x=-2的对称点是 ，关于直线y=1的对 称点是 5.直线y=2x-3关于x 轴对称的直线为 ，关于y 轴对称的直线 为 6.已知等腰三角形的一个内角是80 已知等腰三角形的一个内角是100 7.已知等腰三角形的周长为24，一边长为6 . 已知等腰三角形的周长为24，一边长为10 8..在△ABC 中，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，BC=12，∠则∠BAD= ， BD= ， CD= 9.在△ABC 中，AB=AC ，AD 为中线，∠B=50°，则∠BAD= 10.已知等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm ， 则这个三角形的面积为 二.选择题 11.下列命题是真命题的是（ ） A 等腰三角形的对称轴是底边上的中线； B 等腰三角形两腰上的中线不一定相等 ； C 矩形有4条对称轴； D 有三条对称轴的三角形不一定是等边三角形.
12.在具备下列条件的两个 等腰三角形中，不能判定它们全等的是（ ） A.两腰对应相等； B.一条腰、底边对应相等； C. 顶角、一条腰对应相等； D.一底角、底边对应相等 13.下列说法不正确的是（ ） A. 周长相等的两个等边三角形全等； B. 面积相等的两个等边三角形全等 C. 三角形没有稳定性 ； D. 有对称轴的三角形都是等腰三角形 14.到三角形三顶点的距离相等的点在（ ）上 A. 三边的中垂线上； B.三内角的角平分线上； C. 三边的中线上； D.三边的高线上 三、解答题 16.等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，求它的三边的长 17.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，AD=DB ，CD=2， 求 AD 的长 18.已知，如图，BC ⊥AC ，DE ⊥AC ，D 为 AB 的中点，∠A=30°，AB=8 求BC ，DE 的长
初中数学知识点归纳：轴对称 初三学习的知识是初中三年学习的汇总，为了方便大家更好地复习，中国教育在线整理了初三数学关于轴对称的知识点，希望对大家的学习有所帮助。 一、轴对称与轴对称图形： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线： (1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 5.角的平分线： (1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 6.等腰三角形的性质与判定： 性质： (1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴; (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等; ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。 判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。 7.等边三角形的性质与判定：
轴对称与等腰三角形专题练习及参考答案 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列图案中是轴对称图形的是( ) 2．以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是( ) 3．到三角形的三个顶点距离相等的点是( ) A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点 C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点 4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则( ) A．PA＋PB>QA＋QB B．PA＋PB 1.5 等腰三角形的轴对称性复习课 [趣题导学] 建筑工人在建房子时，为了确定房梁是否水平，常用这样的方法：用一块等腰三角板放在梁上，从顶角顶点系一重物，如果系重物的绳刚好经过三角板的底边中点，则认为房梁就是水平的，你认为这样做有道理吗？ 解答：这样做有道理。如图1.5-1，△ABC 为等腰三角 形，所系重物过底边中点D 点，则可知AD 为等腰三角形的底边中线，根据等腰三角形底的平分线，底边的高，底边的中线，“三线合一”的性质，可知AD 也为高，即AD ⊥BC ，AD 的方向正好为铅垂方向，与铅垂方向垂直的线则是水平线，由此可知梁BC 是水平的。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．直角三角形 2、有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A ．2cm ，2cm ，4cm B ．3cm ，8cm ，3cm C ．3cm ，4cm ，6cm D ．5cm ，4cm ，4cm 3、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，40° B ．80°，20° C ．50°，50° D ．50°，50°或80°,20° 4、如图1.5-2，在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上,且BD=BE ，CD=CF ，∠A=70°，那么∠FDE 等于（ ） A ．40° B ．45° C ．55° D ．35° 5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．． 的个数是（ ） 图1.5-2 A B C E F D 初中数学知识点归纳轴 对称 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 初中数学知识点归纳：轴对称 一、轴对称与轴对称图形： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线： (1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 5.角的平分线： (1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 6.等腰三角形的性质与判定： 性质： (1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴; (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等; ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。 【知识点回顾】 轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。 轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】 例1. 如图，ABC ?中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。 求证：BC BD AD =+。 A D 1 B 2 E F C 分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取BD BF =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取BA BE =，连结DE ，易得，则有FD AD =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。 证明：在BC 上截取BD BF BA BE ==，，连结DE 、DF 在ABD ?和EBD ?中，BD BD 21BE BA =∠=∠=，， 80 DEF 100 A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴， 初中数学 轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. (2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到. 轴对称变换的性质 （1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 (2)?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点. (３）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 (1）作出一些关键点或特殊点的对称点． (2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x,y)关于x轴对称的点的坐标是（x，-y） 初一至初三数学全部知识点!! 八年级上册 第一章轴对称图形 -----轴对称与轴对称图形 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个 部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线：Array垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 ------线段、角的轴对称性Array 1．线段的轴对称性： ①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线， 另一条是这条线段的垂直平分线。 ②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2．角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形（第1课时） 会宁县桃林中学王伟彦 一、教学目的 1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。 二、教学过程 ⑴（整体浏览课本，确定学习目标） 1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。 2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。掌握等边三角形的相关特征。 ⑵创设情境导入新课 1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。 ⑶动手操作探求新知 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 1. 思考 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 （2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ （3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？ 2.归纳 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高 (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。 等腰三角形的特征： 1）.等腰三角形是轴对称图形 2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）.等腰三角形的两个底角相等。 3.推理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 （也称为“三线合一”）. 证明：因为AD是角平分线, 所以∠BAD= ∠ CAD 在ΔABD和ΔA CD中, 因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD 所以ΔABD ≌ΔACD 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90? 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 ⑷知识推广 1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？ ⑸知识应用 八年级数学上册教案 课题： 2.5 等腰三角形的轴对称性（2）课时： 2 课型：新授课教学目标： 1．掌握等腰三角形的判定定理． 2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理． 3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径． 4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力． 教学重点： 熟练地掌握等腰三角形的判定定理． 教学难点： 正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理． 教学设计：设计说明及补充： 情境导入一、创设情境 如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，它的一部分被墨水 涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．请同学们想一 想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家 试试看．[来源:学科网ZXXK] 演示折叠过程为 进一步的说理和 推理提供思路． 通过动手操作、演 示、观察、猜想、 教学过程二、探索发现一 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下 方法进行操作： （1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC． （2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC 的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A． （3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD 对折． 问题1：AB与AC有什么数量关系？ B C 问题2：请用语言叙述你的发现． 三、分析证明 思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？ 问题3：已知如图课本P62图2-31，在△ABC中，∠B ＝∠C．求证：AB＝AC． 引导学分析问题，综合证明． 思考：你还有不同的证明方法吗？ 问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？ 四、探索发现二 问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？ 问题6：等边三角形有什么性质？ 问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？ 五、学以致用 请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题． 小结 这节课你学到了什么？ 课堂作业补充练习体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验． 通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解． 板书设计:教学反思： 复习范围：等腰三角形的轴对称性 知识点回顾： 知识点一：等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； 等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 同步测试： 1、等腰三角形的周长为cm 13,其中一边长为cm 3,则该等腰三角形的底边为( ) A. cm 7 B. cm 3 C. cm 7或cm 3 D. cm 8 2、如图,△ABC 是等腰三角形,∠A=90°,AD 是BC 上的高,DE 、DF 分别是AB 、AC 上的高,图 中等腰三角形有 ( ) A.7个 B.6个 C.3个 D.5个 知识点二：等边三角形的轴对称性 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 等边三角形的每个角都等于600 。 同步测试： 1、在等边三角形ABC 中,AD 是高,∠B 的平分线交AD 于E,下面判断中错误的是 ( ) A.点E 在AB 的垂直平分线上 B.点E 到AB 、BC 、AC 的距离相等 C.点E 是AD 的中点 D.过点E 且垂直于AB 的直线必经过点C 知识点三：等腰（边）三角形的判定 如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”） 3个角相等的三角形是等边三角形； 有两个角等于600的三角形是等边三角形； 有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 同步测试： 1、有一个外角是120°,两个外角相等的三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 2、如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。①试说明△OBC 是等腰三角形，并说明理由。 知识点四：直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 同步测试： 1、某直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则它的斜边中线为 。 A E D C O A B C D E F 轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）. Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； 轴对称图形与等腰三角形 一、选择题 1．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．正方形的对称轴的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．C．D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6 C．9 D．3 6．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（） A．B．1 C．D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．C．D． 9．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（） P C B O D A 轴对称及等腰三角形 一．填空题 1..如果等腰三角形的顶角是36°，则它的底角是_______度 若等腰三角形的一个底角是36°, 则它的顶角是_________度 变式:若等腰三角形的一个角为36°,则它的另外两个角是________ 若这个角为110°,则它的另外两个角是________ 2. 等腰三角形两边的长分别为16和7.，则周长等于___________ 3.等腰三角形周长为13，一边长为4，其他两边的长分别为__________. 4..等边三角形两条中线所组成的钝角是______度。 5.等腰三角形一个角是50度，则底角是_______度。 6.三角形ABC 中，AB=AC, BC=12cm ，∠ A 的平分线是10cm ，则?ABC 的面积是________. 7.. 等腰三角形一个腰上的高与底边的夹角是37度，则顶角是___________度。 8.在Rt △ABC 中， ∠C=90°, ∠B=60°,BC=2cm,则AB=______ 9.等腰三角形的底角等于15°，腰长为12，则腰上的高为__________ 10.若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60o，则这个 三角形是________________。 11.如右图，已知DE 是AC 的垂直平分线，AB=5cm ，BC=8cm ，则ΔABD 的周长为 。 12．如图，在R t ABC △中，90B ∠=，ED 垂直平分AC 交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知BAC EAB ∠∠:=1：3，则C ∠= ． 13．已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=400，则C ∠= ． 14.如图，∠AOP=∠BOP=15°,PC ∥OA,PD ⊥OA.若PC=4,则PD= 15． 已知：△ABC 中，∠B =90°， O ，的度数为 . 16．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 17．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 18．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 19．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 13题 14题 12题 等腰三角形的轴对称性 1.知识.能力聚焦 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。 3.直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在应用该性质时应注意以下两点： （1）必须是在直角三角形中； （2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。 4.等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 （2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 ②等边三角形是每个角都等于60° （3）识别：判定等边三角形有如下三种方法: ①三边相等的三角形是等边三角形。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 创新.思维拓展 等腰三角形性质的拓展 由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质； （1）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。 E D C B A 第2题 （2） 等腰三角形两底角的平分线相等。 （3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。 （4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，并 且大边对大角。 再探直角三角形的性质 在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 习题 1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ； (2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE 是 °． 一对一辅导教案 学生姓名性别年级初二学科数学 授课教师上课时间年月日寒假一对一课程课时：课时教学课题轴对称知识点的回顾巩固复习 教学目标1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。 2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。 3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。 教学重点 与难点 熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧 教学过程 知识点一：轴对称 （一）轴对称图形和轴对称 1、轴对称图形 （1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。例 如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩 形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、轴对称 （1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两 个图形关于这条直线成轴对称。如上右图。 （2）成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 3、轴对称图形与轴对称的区别和联系 （1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。 （2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （二）线段的垂直平分线 1．线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2．线段的垂直平分线的作法： ①分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点； ②作直线CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。 知识点二：作轴对称图形 1．作轴对称图形： （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2．用坐标表示轴对称： 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. 知识点三：等腰三角形 （一）等腰三角形 1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。 2、等腰三角形性质 （1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； 注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。 （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。 3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。（二）等边三角形 1、定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°。 3、等边三角形的判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； 《等腰三角形的轴对称性》教学设计 一、教材分析 1.教材的地位和作用 本课是苏科版八年级上册第二章第5节第1课时的内容。在此之前，学生已经掌握了三角形全等和轴对称的知识，具有了初步的推理证明能力。本节课要求进一步培养学生推理能力；而“等边对等角”和“三线合一”也是今后证明两个角相等、两条线段相等、两条直线互相垂直的重要依据，也是学习等边三角形的预备知识。因此本节内容是本章的重点之一，具有承前启后的作用。 2.课时安排和说明 “2.5等腰三角形的轴对称”这一节安排三课时，本次教学内容为第一课时，探索得到等腰三角形的性质，并利用等腰三角形的性质解决有关问题。 3.教具准备 多媒体、长方形纸片，剪刀。 二、学情分析 认知分析：学生已掌握了轴对称与轴对称图形的性质，这将成为学生研究和探索等腰三角形性质的基础知识。 能力分析：学生通过前面的知识学习，已初步具备一定的操作、归纳、推理和论证能力，但数学意识和应用能力尚需要进一步培养。 情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与动手操作与研究，但合作交流意识方面，有待加强；少数学生主动性不够强，需要营造一定的学习氛围，来加以带动。 三、教学目标 1、知识与技能：能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。 2、过程与方法：经历剪纸，折纸等探究活动，进一步认识等腰三角形的定义和性质，了解等腰三角形是轴对称图形。 3、情感态度与价值观：培养学生的观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心。 四、教学重点和难点 教学重点：等腰三角形的性质的探索和应用。 教学难点：等腰三角形的性质的推理证明。 五、教学过程 （一）、创设情境，引出课题 1、课件出示一些具有三角形的图片，提问：这些三角形有什么共同的特点？ （设计意图：由日常生活中的等腰三角形引出课题，目的在于让学生体会数学来源于生活，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。） 2、回顾等腰三角形的概念，并让学生思考：等腰三角形还有其他的特殊性质吗？教师引入课题这节课我们就来研究等腰三角形的性质。 （设计意图：回顾旧知，有利于新旧知识的衔接，教师要让学生对探索的目标、意义有十分明确的认识，做好探索前的物质准备和精神准备。） 【知识点梳理】 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 1. 轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 1) 线段的垂直平分线： （1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 m C A B D' D C' B' A' K J I H 图1 图2 （2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角= 顶角顶角2 1 -902180?=-? 可见，底角只能是锐角。 （2）性质。 ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 ②等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一。 m C A B P 图3 底边 底角底角顶 角 腰 腰 D C B A 图41.5等腰三角形的轴对称性复习 (2)
初中数学知识点归纳轴对称
轴对称、等腰三角形经典练习题目
初中数学：轴对称-等腰三角形知识点归纳总结
初一至初三数学全部知识点!!
简单的轴对称图形(等腰三角形)
2.5 等腰三角形的轴对称性(2)
等腰三角形的轴对称性
最新八年级数学轴对称知识点总结
中考数学专题训练 轴对称图形与等腰三角形(无答案)
轴对称和等腰三角形
等腰三角形的轴对称性
沪科版轴对称与等腰三角形总复习
等腰三角形的轴对称性(教学设计)
轴对称、等腰三角形、等边三角形
相关主题
文本预览