第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中,直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( (12.1) 称(12.1)式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数) ,记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。 (2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)的拉氏变换。 解:00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下,求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解: ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( (3分) ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & (3分) 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解:11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? (4分) 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? (4分) 3.(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下,求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解:? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & (3分) 4.(8分)已知系统的状态方程为: u x x ?? ????+??????=111101&, 初始条件为1)0(1=x ,0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解:解法1:?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1; (4分) ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 (4分) 解法2: ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ;
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题: ???? ?????=??-==??=><?=??====0,20,00,002 002 2222t t l x x t u lx x u x u u t l x x u a t u (1) 解:分离变量,即令 (,)()()u x t X x T t = (2) 代入方程((1)中第一式),得 0)()(2=+''t T a t T λ (3) 0)()(=+''x X x X λ (4) 其中λ为分离常数。(2)式代入边界条件((1)中第二式),得 0)()0(='=l X X (5) 相应的本证值问题为求 ?? ?='==+''0 )()0(0 )()(l X X x X x X λ (6) 的非零解.下面针对λ的取值情况进行讨论: (1)当0λ<时,(6)式中方程的通解是 ()X x Ae =+ (7)
其中A ,B 为积分常数,(7)代入(6)中边界条件,得 00 A B Ae +=???-+=?? (8) 由(8)得A=B=0,得X (x )=0,为平凡解,故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时,(6)式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0,得X (x )=0,为平凡解,故也不可能有0λ=。 (3)当 02 >=βλ时,上述固有值问题有非零解.此时式(6)的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件(6)中边界条件,得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ,故 0cos =l β,即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程(3)的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是,所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,,得 0=n D
拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020
§13拉普拉斯变换 重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点: 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延续。 预习知识: 积分变换 §13-1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数,被称为复频率;F(s)为f(t)的象函数,f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 式中c为正的有限常数。 注意: 1)定义中拉氏变换的积分从t=0-开始,即: 它计及t=0-至0+,f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方便。 2)象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s),U(s),原函数f(t)用小写字母表示,如 i(t),u(t)。 3)象函数F(s)存在的条件: 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数
拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 表-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+=+∑? 个 2.常用函数的拉氏变换和z 变换表
表-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式,即
11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中,系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 (1)0)(=s A 无重根:这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式,即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根;i c 为待定常数,称为()F s 在i s 处的留数,可按下列两式计算:lim()()i i i s s c s s F s →=- (2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=1 i n s t i i c e =∑ (4) (2)0)(=s A 有重根:设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…,n s 为F(s)的n r -个单根;其中,1+r c ,…,n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算,r c ,1-r c ,…,1c 则按下式计算: )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (5)
拉普拉斯变换及其反变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ (m n >) 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -,m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数;n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中,Sn 2S 1S ,,,Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为
第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题: ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d , 所以波动方程是双曲型方程,有两组实的特征线 1c at x =-,2c at x =+, 作自变量的变换,令 at x -=ξ,at x +=η, 应用复合函数求导法则,有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中,化简得 0=ξηu , 利用偏导数的意义,得通解
)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ, 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式,于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(,C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d , 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波(或右行波),称)(at x G +为左传播波(或左行波),a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法,在数学上又叫通积分法.
§13 拉普拉斯变换 重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点: 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延续。 预习知识: 积分变换 §13-1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解 时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ,它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为 式中s=σ+jω为复数,被称为复频率;F(s)为f(t)的象函数,f(t)为F(s)的原函数。 由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意: 1)定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始,即: 它计及t=0- 至0+ ,f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方 便。 2)象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s),U(s) ,原函数f(t) 用小写字母表示,如i(t),u(t)。 3)象函数F(s) 存在的条件: 3.典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的象函数
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题: ???? ?????=??-==??=><?=??====0,20,00,002 002 2222t t l x x t u lx x u x u u t l x x u a t u (1) 解:分离变量,即令 (,)()()u x t X x T t = (2) 代入方程((1)中第一式),得 0)()(2=+''t T a t T λ (3) 0)()(=+''x X x X λ (4) 其中λ为分离常数。(2)式代入边界条件((1)中第二式),得 0)()0(='=l X X (5) 相应的本证值问题为求 ? ? ?='==+''0)()0(0 )()(l X X x X x X λ (6) 的非零解.下面针对λ的取值情况进行讨论: (1)当0λ<时,(6)式中方程的通解是 ()X x Ae =+ (7) 其中A ,B 为积分常数,(7)代入(6)中边界条件,得 00 A B Ae +=???-+=?? (8) 由(8)得A=B=0,得X (x )=0,为平凡解,故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时,(6)式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0,得X (x )=0,为平凡解,故也不可能有0λ=。 (3)当 02 >=βλ时,上述固有值问题有非零解.此时式(6)的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件(6)中边界条件,得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ,故 0cos =l β,即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程(3)的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是,所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,,得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离,然后放手任其自由振动。设弦 长为l ,被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处,拨开距离为h ,试求解弦的振动,即求解定解问题
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误!未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1.Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件;它起源于矩阵运算,现已发展成一种高度集成的计算机语言;它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境,以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进,MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面: 1)数学计算; 2)新算法研究开发; 3)建模、仿真及样机开发; 4)数据分析、探索及可视化; 5)科技与工程的图形功能; 6)友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数(称为M文件),既有常用的基本库函数,又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时,这些库函数都可以被直接调用。无疑,这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵,所以在MATLAB环境下,数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且,MATLAB7.0界面友好,用户使用方便。首先,MATLAB具有友好的用户
1.一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ,其单位长度的重力为ρg ,其中ρ是弦的线密度,g 是重力加速度。若弦的初始形状如图所示: (1)推导出弦的微振动方程; (2)写出定解问题。 解:(1)水平方向有:1122cos cos 0T T α-α=又120α→0,α→得:12T T =令12T T T == 竖直方向有:211222sin sin u T T mg m t ?α-α-=? 又m x =ρ?得: 2122(sin sin )u T xg x t ?α-α-ρ?=ρ??……① 当120α→0,α→时,11sin tan ,α≈α22sin tan α≈α 则: 221212sin sin tan tan ||()x x x u u u u x x x x x +?????α-α≈α-α=-=?=?????……② u 0 x x x+△x 1 u L/2 L x
由①②可得:22222u u a g t x ??=-??(其中2T a =ρ ) (2) 由已知条件可知:0|0x u ==, |0x L u ==,0|0t u t =?=?由几何求解可得 : 故定解方程为: 2.设有一个横截面积为S ,电阻率为r 的匀质导线,内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为: 222u u c k j r t x ??ρ-=?? 其中c ,ρ ,k 分别为导线的比热,体密度,及热传导系数。 证明:根据傅里叶实验定律可得:1|x u Q kS x ?=-??t ,2|x x u Q kS x +??=-??t 由比热的定义式1Q c m u ?=?可得:温度变化?u 吸收的热量3Q c S =ρ??x u 单位时间内通过S 的电流:jS I t =? 又电阻为:R rS x =?,则t ?时间内电流产生的热量为: 222()r x Q I R t jS t j rS x t S ?=?=?=?? 由1230Q Q Q Q --+=得 2|(|)x x x u u kS kS c S rS x x +???-?--?-ρ??????t t x u +j x t =0 又 22|(|)||)()x x x x x x u u u u u u k S k S k S k S k S x x x x x x x +?+???????-?--?=?-=??=?? ??????t t t (t t 0|t u == 2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤0|t u ==2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤22222,0,0u u a g x L t t x ??=-<<>??0|0,t u t =?=?,0|0,|0,0 x x L u u t ====>0x L ≤≤
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式
11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) 原函数)(t f 为 (F-6)
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2微分定理一般形式 初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s ) L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) L [ df ( t ) sF ( s ) f ( 0 ) dt ] d 2 f 2 ( t ) L [ dt ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f (0 ) L d n f n ( t ) s n F ( s ) n s n k f ( k 1 ) ( 0 ) k dt 1 f ( k 1 ) ( t ) d k1 f ( t ) dt k 1 L [ d n f n ( t ) ] s n F ( s ) dt 一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s) [ f (t )dt]t 0 s s 2 F (s) [ f (t)dt]t 0 [ L[ f (t)( dt) ] s2 s2 共n个 n 共 n个 n F (s) 1 L[ f (t)(dt) ] [ s n k 1 s n k 1 共n个 2 f (t )(dt) ]t 0 f (t)(dt)n ]t 0 初始条件为0 时4延迟定理(或称 t 域平移定理)5衰减定理(或称 s 域平移定理)6终值定理 7初值定理 8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) s n L[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s) L[ f (t )e at ] F ( s a) lim f ( t) lim sF ( s) t s 0 lim f (t ) lim sF (s) t 0 s t f1(t ) f2 ( )d ] t L[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s) 0 0
拉普拉斯变换的基本性质 变换及反变换 The following text is amended on 12 November 2020.
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419
419 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
419 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110?,m m b b b b ,,,110?L 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L (F-1) 式中,n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c =′= )() ( (F-3) 式中,)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换及其逆变 换表 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
拉普拉斯变换及其反变换表 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- (m n >) 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -,m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: 或 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= (F-6)