第四章：曲线运动
本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
★命题规律
本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法——运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切联系是高考命题的热点。例如2008全国I第17题，山东基本能力第32题，全国II第25题，广东单科第12题考查了万有引力定律的应用，2005年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷以及北京理综、广东物理均考查了人造卫星在万有引力作用下的圆周运动问题。再如2006全国I卷、江苏物理、天津理综、重庆理综、广东物理均考查了人造卫星及万有引力定律在天体运动中的应用问题。
预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向，特别是神舟系列飞船的发射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。
★复习策略
在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提高自己分析综合能力。
1．在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动。如平抛运动就是将曲线运动转化为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点。就圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄弱环节。
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2．天体问题中，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，容易导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时依据的物理关系（一般是牢牢抓住万有引力提供向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、简便地处理问题。
3．万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于：（1）研究一天体绕待测天体的圆周运动。（2）二者之间的万有引力提供向心力。
4．万有引力定律是力学中一个独立的基本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延伸，学习本部分内容要具有丰富的空间想象建模能力以及学科间的综合能力。
1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。
2、记住匀速圆周运动的v、ω、T、f、a、向心力等运动学公式。
3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同）。
4、掌握几种情景中的圆周运动：
①重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件）。
②天体的匀速圆周运动。
③点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。
④带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解法）。
⑤复合场中的圆周运动。
第一模块：曲线运动、运动的合成和分解
『夯实基础知识』
■考点一、曲线运动
1、定义：运动轨迹为曲线的运动。
2、物体做曲线运动的方向：
做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。
3、曲线运动的性质
由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。
4、物体做曲线运动的条件
（1）物体做一般曲线运动的条件
物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。
（2）物体做平抛运动的条件
物体只受重力，初速度方向为水平方向。
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可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。
（3）物体做圆周运动的条件
物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）
总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。
5、分类
⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。
⑵非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。
■考点二、运动的合成与分解
1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。
2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。
3、合运动与分运动的关系：
⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；
⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等
⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）
4、运动的性质和轨迹
⑴物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。
⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。
常见的类型有：
（1）a=0：匀速直线运动或静止。
（2）a恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。）
（3）a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。
具体如：
①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
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②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
第二模块：平抛运动
『夯实基础知识』 平抛运动
1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。
2、条件：
a 、只受重力；
b 、初速度与重力垂直．
3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。g a =
4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
5、平抛运动的规律
①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：2
2
y
x v v v +=
物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为：
tan v gt v v x
y ==
α
②水平位移：t v x 0=，竖直位移2
2
1gt y =
合位移（实际位移）的大小：2
2
y x s +=
物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为：
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2tan v gt x
y =
=
θ
可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。 而且θαtan 2tan =而θα2≠ 轨迹方程：由t v x 0=和2
2
1gt y =消去t 得到：2
2
2x v g y =
。可见平抛运动的轨迹为抛物
线。
6、平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定： 由2
2
1gt h =
得：g
h t 2=
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：
g
h v t v x 20
0==
③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θa 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：2
2
1tan 2
x s s
gt v gt =
?==
α
⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt ，方向恒为竖直向下（与g 同向）。任意相同时间内的Δv 都相同（包括大小、方向），如右图。
V
V
V
⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）
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如右图：所以θ
tan 20g
v t
=
)tan(v gt v v a x
y =
=+θ
所以θθtan 2)tan(=+a ，θ为定值故a 也是定值与速度无关。
⑦速度v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，θtan 变大，↑θ，速度v 与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。
⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。
7、平抛运动的实验探究
①如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A 球沿水平方向抛出，同时B 球松开，自由下落，A 、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A 在竖直方向上的运动为自由落体运动。
②如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A 、B 两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A 、B 两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动。
8、类平抛运动
（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。
2、类平抛运动的受力特点：
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物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 3、类平抛运动的处理方法：
在初速度0v 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
F a m
=合。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个
分运动的直线规律来处理。
第三模块：圆周运动 『夯实基础知识』 匀速圆周运动
1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。
2、分类： ⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。
注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直． 3、描述匀速圆周运动的物理量
（1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。 （2）线速度（v ）：
①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ②定义式：t
s v =
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。
（3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。
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②大小：T
t
π?ω2=
=
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s ）
④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
（4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 （5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系：
r t r v f T t rf T
r
t s
v ωθππθωππ==
???
???
??
======
2222 注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 （6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
②大小：r r v
a n 2
2
ω==（还有其它的表示形式，如：()r f
r T v a n 22
22ππω=??
? ??==）
③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。
对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度τa ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，τa =0）
（7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，
常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力n F 提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力τF 提供切向加速度。
向心力的大小为：r m r
v
m
ma F n n 2
2
ω===（还有其它的表示形式，如：
()r f
m r T m mv F n 22
22ππω=??
?
??==）；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。 五、离心运动
1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力
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情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。 2、本质：
①离心现象是物体惯性的表现。
②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。 3、条件：
当物体受到的合外力n n ma F =时，物体做匀速圆周运动； 当物体受到的合外力n n ma
F ＜时，物体做离心运动 当物体受到的合外力n n ma F ＞时，物体做近心运动
实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。
4．两类典型的曲线运动的分析方法比较
（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正
交分解其位移和速度”，运动规律可表示为
?
?
???==2
021,gt y t x υ；???==.,
0gt y
x υυυ
（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系
内正交分解其力和加速度”，运动规律可表示为
??
?
??===
====.,02
2υωωυm mr r m ma F F ma F 向向法切切 『题型解析』
【例题】（1991年上海高考题）如图所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这
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时，突然使它所受力反向，大小不变，即由Ｆ变为－Ｆ。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ A 、B 、D ）
A ．物体不可能沿曲线Ｂa 运动
B ．物体不可能沿直线Ｂb 运动
C ．物体不可能沿曲线Ｂc 运动
D ．物体不可能沿原曲线由Ｂ返回A
【例题】质量为m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F 1时，物体可能做( )
A ．匀加速直线运动；
B ．匀减速直线运动；
C ．匀变速曲线运动；
D ．变加速曲线运动。
★解析：当撤去F 1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F 1，方向与F 1方向相反。
若物体原来静止，物体一定做与F 1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动，若F 1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A 、B 正确。
若F
1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C 正确，D 错误。 正确答案为：A 、B 、C 。
【例题】我国“嫦娥一号”探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2007年10月24日晚6点05分发射升空。如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M 点向N 点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（ ）
★解析：C 卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于90
，由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向．故选C 。 【例题】质点仅在恒力F 的作用下，由O 点运动到A 点的轨迹如图所示，在A 点时速度的方向与x 轴平行，则恒力F 的方向可能沿（ ）
A
B
a b
https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html,中小学理科培优专A．x轴正方向
B．x轴负方向
C．y轴正方向
D．y轴负方向
★解析：D根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的速度方向不与合外力方向平行，可知D正确。
【例题】一个物体以初速度vo从A点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B为轨迹上的一点，虚线是经过A、B两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是( )
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域中
B．如果这个力是引力，则施力物体可能在③区域中
C．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域中
D。如果这个力是斥力，则施力物体可能在⑤区域中
★解析：物体做曲线运动，一定受到与初速度v o方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧(相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲)，是斥力时施力物体在轨迹弯曲的外侧(相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲)。
【答案】A C
【例题】如图所示，质量为m的小球，用长为l的不可伸长的细线挂在O点，在O点正下
方
2
l
处有一光滑的钉子O′。把小球拉到与钉子O′在同一水平高度的位置，摆线被钉子拦住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点P时（）
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A ．小球的运动速度突然减小 B
．小球的角速度突然减小
C ．小球的向心加速度突然减小
D ．悬线的拉力突然减小
★解析：在通过位置P 前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为l 和2
l ，并且小球在通过
P 点瞬间受到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。 答案：B 、C 、D
曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化），则为非匀变速运动。 例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g ；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。
【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（ A ） A ．曲线运动一定是变速运动 B ．曲线运动一定是变加速运动 C ．圆周运动一定是匀变速运动 D ．变力作用下的物体一定做曲线运动 【例题】物体做曲线运动时，其加速度（ ） A ．一定不等于零 B ．一定不变 C ．一定改变 D ．可能不变
★解析：AD 曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零，A 正确；曲线运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周运动和多数的曲线运动加速度是改变的。
【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（
） A ．速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变 B ．速度一定不断地改变，加速度可以不变 C ．速度可以不变，加速度一定不断地改变 D ．速度可以不变，加速度也可以不变
★解析：B 质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，所以，A 、C 、D 错误，只有B 项正确。
【例题】如图所示，一个劈形物体M 各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球m ，
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现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长）（ ）
a
b
c
A ．沿斜面向下的直线
B ．竖直向下的直线
C ．无规则曲线
D ．抛物线
★解析：B 小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做竖直向下的直线运动，所以B 正确．
【例题】如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ A ）
A ．A 、
B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用 B ．B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游
C ．A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游
D ．都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游
★解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A 、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A 。
【例题】如图为一空间探测器的示意图，P 1、P 2、P 3、P 4四个喷气发动机，P1、P3的连钱与空间一固定坐标系的x 轴平行，P 2、P 4的连线与y 轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率v 0向正x 方向平动．要使探测器改为向正x 偏负y 60o的方向以原来的速率v 0平动，则可
P 2
P 1
P 3
P 4
A ．先开动P 1适当时间，再开动P 4适当时间
B ．先开动P 3适当时间，再开动P 2适当时间
C ．开动P 4适当时间
D ．先开动P 3适当时间，再开动P 4适当时间
★解析：选A ．在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即“向正x 偏y60o的方向以原来的速率v 0平动”为合运动，x 轴、y 轴方向上的运动为分运动．据平行四边形定则，由右图可得，u x https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 轴方向上探测器做的是沿正x 方向的减速运动，其加速度沿负x 方向．由牛顿第二定律，沿x 轴方向的合外力必沿负x 方向，所以P 1发动机开动．在y 抽方向上探测器做的是沿负y 方向的加速运动，加速度方向沿负y 方向，由牛顿第二定律，沿y 轴方向的合外力必沿负y 方向，所以P4发动机打开．本题正确答案为A 【例题】一质点在xOy 平面内从O 点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度（ ） A ．若x 方向始终匀速，则y 方向先加速后减速 B ．若x 方向始终匀速，则y 方向先减速后加速 C ．若y 方向始终匀速，则x 方向先减速后加速 D ．若y 方向始终匀速，则x 方向先加速后减速 ★解析：BD 从轨迹图可知，若x 方向始终匀速，开始所受合力沿－y 方向，后来沿＋y 方向，如图所示，可以看出应是先减速后加速，故A 错，B 正确；若y 方向匀速，则受力先沿＋x 方向，后沿－x 方向，如图所示，故先加速后减速，所以C 错，D 正确． 方法一：根据加速度与初速度的方向关系判断 先求出合运动的初速度和加速度（可以用作图法求），再判断。可以发现，当2 102 01a a v v = 时， 合运动为直线运动，否则为曲线运动。 方法二：通过两个分位移的比例关系来判断 作为一般性讨论，我们可以设两个分运动的规律分别为： 2 110121t a t v s +=， 2 22022 1t a t v s + = https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 令：2 2202 1102 12 121t a t v t a t v s s k + +== 根据数学知识可以判断出，若k 为一常数（即当 2120 10a a v v = 或02010==v v 或0 21==a a 时），则表明物体沿直线运动；若k 为时间t 的函数（当2 102 01a a v v ≠时），则表明物体将做曲 线运动。 如在平抛运动中，v y0=0，a x =0，a y =g ，所以0 2x v gt k = ，即k 是时间t 的函数，且随时间的 延续而变大，所以合运动的轨迹应是越来越陡的曲线。 【例题】关于运动的合成，下列说法中正确的是（ C ） A ．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B ．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C ．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D ．合运动的两个分运动的时间不一定相等 【例题】关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 A ．一定是直线运动 B ．一定是曲线运动 C ．可能是直线运动，也可能是曲线运动 D ．以上都不对 ★解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。当a 和v 重合时，物体做直线运动，当a 和v 不重合时，物体做曲线运动，由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选C 【例题】互成角度(0,180)ααα≠≠ 的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动（ ） A ．有可能是直线运动 B ．一定是曲线运动 C ．有可能是匀速运动 D ．一定是匀变速运动 ★解析：BD 互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，是匀变速，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B 、 D 。 https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θ υυsin 1船d d t = = ， 显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为v d ，合运动沿v 的方向 进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水υυ θ=cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 v https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (m in 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θ cos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 602 === υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则 216 3cos 1 2= = = υυθ， 60=θ 最短行程，m m d s 1202 660cos == = θ 小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m 。 技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。 https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C ) A ． 21 222 υ υυ-d B ．0 C ． 2 1 υυd D ． 1 2 υυd ★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间t= 2 v d ；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的距离，即 为登陆点距离0点距离2 11v dv t v s = =。答案：C 【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 2 1 22 2 T T T - (B) 12T T (C) 22 2 11T T T - (D) 2 1T T ★解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ： 1 1v d T = ① 当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则22 2 1 2v v d T -= ② 联立①②式可得： 1 2 2 212 1v v v T T -= ，进一步得 2 1 22 2 2 1T T T v v -= 【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 d v k kx v 04= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ， 则下列说法中正确的是（ A ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线 D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。 合速度方向：物体实际运动方向 分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩） 垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动 速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。 这类问题也叫做：斜拉船的问题——有转动分速度的问题 【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。 ★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图所示，由此可得 θ θ cos cos 01v v v A = = 。 https://www.doczj.com/doc/fe12843216.html, 中小学理科培优专 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。 设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有θcos x L ?=?，两边同除以△t 得： θcos t x t L ??=?? 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为： θ cos 0v v A = 总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。 解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉 力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为θcos 2A Fv P =，因为21P P =所以θ cos 0v v A = 。 评点：①在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出θcos 0v v A =的错误结果；②当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，A v 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。 总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。 【例题】如图所示，在高为H 的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C ，由地面上的人以均匀的速度v 0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A 处向右行走距离s 到达B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？
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