专题四 不等式
第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
线性规划问题的解题步骤为：
1．设出变量x ，y ，列出变量x ，y 的线性约束条件，确定目标函数． 2．作出可行域和目标函数值为0的直线l .
3．利用直线l 确定最优解对应的点，从而求出最优解．
1．基本不等式：
a ＋b
2
≥ ab .
(1)基本不等式成立的条件：a ，b ＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
2．几个重要的不等式． (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b ≥2(a 与b 同号)．
(3)a ＋1a
≥2(a ＞0)，a ＋1
a
≤－2(a ＜0)．
(4)ab ≤? ??
?
?a ＋b 22
(a ，b ∈R)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．(×) (2)不等式x 2
－y 2
<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．(√)
(3)不等式组 表示的平面区域是如图所示的阴影部分．(×)
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√) (5)若a >0，则a 3
＋1a
2的最小值为2a .(×)
(6)a 2＋b 2＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R)．(√)
1．设x ，y 满足
则z ＝x ＋y (B )
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
解析：画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故选B.
2．(2015·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x ＋6y的最大值为(C)
A．3 B．4 C．18 D．40
解析：由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0，3)时z＝x＋6y取得最大值，最
大值为18.
3．若x ＞0，则x ＋2
x 的最小值为
解析：∵x ＞0?x ＋2x
≥22，当且仅当x ＝2
x
?x ＝2时取等号．
4．(2015·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．
解析：由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8
a
.
所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2? ??
??16a
＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2
＋4，
当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4.
一、选择题
1．若f (x )＝3x 2
－x ＋1，g (x )＝2x 2
＋x －1，则有(A ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )＜g (x )
D ．不能确定f (x )与g (x )的大小关系
解析：∵f (x )－g (x )＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2
＋1＞0. ∴f (x )＞g (x )．
2．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：将(1，1)代入直线x a ＋y b
＝1，得1a ＋1
b
＝1，a ＞0，b ＞0，
故a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a
b
≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C.
3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有(B ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c
C.a c ＞b d
D.a c ＜b d
解析：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，－1d ＞－1c ＞0.又a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a
d
＜
b
c
.故选B. 4．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2
－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为(A ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1，2] D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，对|x ＋3|－|x －1|≤a 2
－3a 对任意x 恒成立，所以a 2
－3a ≥4，解得a ≥4或a ≤－1.
5．(2015·北京卷)若x ，y 满足????
?x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，
则z ＝x ＋2y 的最大值为(D )
A ．0
B ．1 C.3
2
D ．2
解析：作出不等式组所表示的平面区域，如下图．
作直线x ＋2y ＝0，向右上平移，当直线过点A (0，1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max
＝0＋2×1＝2.
6. (2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3
，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(C )
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
解析：设长方体底面边长分别为x ，y ，则y ＝4
x
，所以容器总造价为z ＝2(x ＋y )×10＋
20xy ＝20?
??
??x ＋4x ＋80，由基本不等式得，z ＝20? ??
??x ＋4x ＋80≥160，当且仅当底面为边长为2
的正方形时，总造价最低．故选C.
二、填空题
7．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2
＋2y 2
的最小值为
解析：x 2
＋2y 2
≥2x 2
·2y 2
＝22·（xy ）2
＝2 2.当且仅当x 2
＝2y 2
时等号成立．
8．(2015·新课标Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件?????x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为3．
解析：画出可行域如图阴影所示，∵ y
x
表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，
∴ 点(x ，y )在点A 处时y
x
最大．
由?
????x ＝1，x ＋y －4＝0，得?????x ＝1，y ＝3. ∴ A (1，3)． ∴ y x
的最大值为3. 三、解答题
9．若对一切x ＞2均有不等式x 2
－2x －8≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解析：由x 2
－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 得x 2
－4x ＋7≥m (x －1)，
∴对一切x ＞2均有不等式x 2－4x ＋7
x －1≥m 成立．
∴m 应小于或等于f (x )＝x 2－4x ＋7
x －1(x ＞2)的最小值．
又f (x )＝x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4
x －1
－2≥
2
（x －1）·
4
x －1
－2＝2，
当且仅当x －1＝
4
x －1
，即x ＝3时等号成立． ∴f (x )min ＝f (3)＝2.
故m 的取值范围为(－∞，2]．
10．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ 上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．
(1)设总造价是S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，S 最小？并求出最小值．
解析：(1)设AM ＝y ，则x 2
＋4xy ＝200. ∴y ＝50x －x 4
.
∴S ＝4 200x 2＋210×4×xy ＋80×4×12y 2＝4 000x 2＋4×105
×1x 2＋38 000(x ＞0)．
(2)S ＝4 000x 2＋4×105
×1x
2＋38 000≥
2
4 000x 2
×400 000x
2
＋38 000＝118 000， 当且仅当x ＝10时等号成立，
即x ＝10米时，S 有最小值118 000元．
《2018年高考文科数学分类汇编》 第十四篇：不等式选讲 解答题 1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 2.【2018全国二卷23】设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 3.【2018全国三卷23】设函数． （1）画出的图像； （2）当，，求的最小值． ()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a ()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b +
4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 参考答案 解答题 1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??=-<的解集为1 {|}2 x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． 2.解：（1）当时， 可得的解集为． （2）等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． 3.解：（1）的图像如图所示． 1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??=-<≤??-+>? ()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ?-<-???=+-≤
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x )
第4讲 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤???? a ＋ b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4 ．(简记：和定积最大) 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤???? a ＋ b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1 a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析：选C.xy ≤????x ＋y 22 ＝???? 1822 ＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.
第4节基本不等式 知识点、方法题号 利用基本不等式比较大小、证明2,3 利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13 基本不等式的实际应用6,12,14 基本不等式的综合应用5,8,10 基础巩固(时间:30分钟) 1.已知f(x)=x2(x<0),则f(x)有( C ) (A)最大值0 (B)最小值0 (C)最大值4 (D)最小值4 解析:因为x<0,所以f(x)=(x)2≤=4,当且仅当x=,即x=1时取等号. 选C. 2.下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x2)>lg x(x>0) (B)sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) (C)x21≥2|x|(x∈R) (D)>1(x∈R) 解析:当x>0时,x2≥2·=x,所以lg(x2)≥lg x(x>0),故选项A不正确当2kππ 解析:由ab=1,可得a2bab=1, 因为2ab≤a2b2,当且仅当a=b时取等号. 所以2ab2≥1, 则a2b2≥. 当a,b异号时,不妨取a=1,b=2,易知A,C,D都不正确. 故选B. 4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x4y的最小值是( C ) (A)24 (B)28 (C)25 (D)26 解析:因为正数x,y满足=1, 则3x4y=(3x4y)( )=13≥133×2=25, 当且仅当x=2y=5时取等号. 所以3x4y的最小值是25. 故选C. 5.导学号 38486113(2017·平度二模)若直线2mxny2=0 (m>0,n>0)过点(1,2),则最小值 ( D ) (A)2 (B)6 (C)12 (D)32 解析:因为直线2mxny2=0(m>0,n>0)过点(1,2), 所以2m2n2=0,即mn=1, 因为=()(mn)=3≥32, 当且仅当=,即n=m时取等号, 所以的最小值为32, 故选D. 6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB 上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则的最小值为( C ) (A) (B)4 (C) (D)5 解析:由题意可得, a·S△BCD bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高. h==2, 所以ab=2. 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 专题强化训练 1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3 解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A. 2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪????－1 2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 2 D.12 解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－1 2是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0 的两个根，所以－1×????－12＝－1 a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4， 当且仅当3y x ＝x 3y ， 即x ＝12，y ＝1 6 时，取等号． 4．若平面区域???? ?x ＋y －3≥0， 2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间 的距离的最小值是( ) A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析：选B.不等式组???? ?x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、 B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B. 5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－a x －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为 6，则实数a 的值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12 解析：选 B.f (x )＝ 2x 2－a x －1 ＝ 2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a x －1 ＝2(x －1)＋ 2－a x －1 ＋ 4≥2 2（x －1）·2－a x －1＋4＝2 4－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－a x －1 ?x ＝1＋ 2－a 2 时，等号成立，所以2 4－2a ＋4＝6?a ＝3 2 ，故选B. 6．若不等式组? ????x 2－2x －3≤0， x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－4，20] D ．[－4，20) 解析：选B.不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1，3]， 第四节 基本不等式 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：? ?? ??a ＋b 22≤a 2＋b 2 2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 命题p ：(a －b )2≤0?a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件． 答案 B 2．已知f (x )＝x ＋1 x －2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4 解析 ∵x <0，∴－x >0. ∴x ＋1 x －2＝－? ?? ??－x ＋1－x －2≤－2 (－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 答案 C 3．下列不等式：①a 2 ＋1>2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1，其 中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2 ＋1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1－1≥2 －1＝1. 答案 B 4．(2014·云南师大附中模拟)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．2 5 解析 当a >0，b >0时，有ab ≤(a ＋b )24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．∵ab 的最大值为2，∴t 2 4＝2，t 2＝8，∴t ＝8＝2 2. 答案 C 5．(2014·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得x xy ＋3y xy ＝5，即1y ＋3x ＝5，∴15y ＋3 5x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )? ????15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ×12y 5x ＝ 135＋12 5＝5. 答案 C 6．(2014·湖北八校联考)若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( ) 2017-2019高考文数真题分类解析 ----不等式选讲 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） 222111 a b c a b c ++≤++； （2）3 3 3 ()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）因为2 2 2 2 2 2 2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有 222111 ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++= =++． 所以 222111 a b c a b c ++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有 333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3≥??? =24． 所以3 3 3 ()()()24a b b c c a +++++≥． 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---． 当1x <时，2 ()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥． 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 选修4--5 不等式选讲 一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示： 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2 第四题。 2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理 一、选择题 1．若x ＞0，则x ＋4 x 的最小值为( )． A ．2 B ．3 C ．2 2 D ．4 解析 ∵x ＞0，∴x ＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( )． A.72 B ．4 C.9 2 D ．5 解析 依题意得1a ＋4b ＝12? ????1a ＋4b (a ＋b )＝12??????5＋? ????b a ＋4a b ≥12? ? ???5＋2 b a ×4a b ＝9 2 ， 当且仅当????? a ＋ b ＝2b a ＝ 4a b a ＞0，b ＞0 ，即a ＝2 3 ， b ＝4 3时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a a 2 －a 2 a ＋ b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2 有最小值 22 解析 由基本不等式，得ab ≤ a 2＋ b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝ a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2 －2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错． 答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2 ＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ?? ??2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2 ＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2 ＋2m 恒成立， 即8>m 2 ＋2m ，解得－4 高三数学一轮总复习第十八章不等式选讲（文）（教师用书）高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角 不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不 等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x －b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分 析法、反证法和放缩法. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明 一些简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋ b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式 |α|·|β|≥|α·β|、一般形式 ∑∑∑ === ? n i n i n i i i i i b a b a 11 2 1 2 2) ( ≥ ，理解它们的几何意义.掌握 柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数 极值中的应用. 6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用. 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式： .) 1 ,0 ,1 ＞ ( ＞1 ) 1(的正整数 为大于 n x x nx x n≠ - + + 本章重点：不等 式的基本性质； 基本不等式及其 应用、绝对值型 不等式的解法及 其应用；用比较 法、分析法、综 合法证明不等 式；柯西不等式、 排序不等式及其 应用. 本章难点：三个 正数的算术—— 几何平均不等式 及其应用；绝对 值不等式的解 法；用反证法、 放缩法证明不等 式；运用柯西不 等式和排序不等 式证明不等式. 本专题在数学必修5 “不等式”的基础上， 进一步学习一些重要 的不等式，如绝对值 不等式、柯西不等式、 排序不等式以及它们 的证明，同时了解证 明不等式的一些基本 方法，如比较法、综 合法、分析法、反证 法、放缩法、数学归 纳法等，会用绝对值 不等式、平均值不等 式、柯西不等式、排 序不等式等解决一些 简单问题.高考中，只 考查上述知识和方 法，不对恒等变形的 难度和一些技巧作过 高的要求. 知识网络 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b 2c 0，∴c a 0，a －c ac <0， 但b 2 与a 2 的关系不确定，故b 2c 0，即－16x 2＋56 x －1>0，解 得2 C ．4 D ．5 解析：先作出可行域，再求目标函数的最大值． 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标 函数取得最大值．由? ?? ?? 2x －y ＝0， x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4. 答案：C 4．已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－ x )的图象可以为( ) 解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B 5．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．42 C ．2 2 D ．26 解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32 时，等号成立．故 选B. 答案：B 3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数 选修4－5不等式选讲 最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法． 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)| 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3高考数学复习+不等式选讲大题-(文)
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