进贤一中2015——2016学年度上学期期末考试
高二理科数学试题
（满分150分 考试时间120分钟） 一、 选择题（5分?12=60分）
1、 直线???
????=+=t 23-1y t 211x （ t 为参数）倾斜角为（ ）
A 、6π
B 、3π
C 、3
2π D 、65π 2、函数f （x ）=sin 2x 导数f ‘（x ）=（ ）
A 、 2sinx
B 、2cosx
C 、-sin2x
D 、sin2x
3、抛物线y=4x 2焦点坐标为（ ）
A 、（1,0）
B 、(0，1)
C 、(161, 0)
D 、(0，16
1)
4、命题“所有偶函数的图像关于Y 轴对称”的否定为（ ）
A 、所有偶函数的图像不关于Y 轴对称
B 、存在偶函数的图像关于Y 轴对称
C 、存在偶函数的图像不关于Y 轴对称
D 不存在偶函数的图像不关于Y 轴对称
5、一质点运动方程为s=2-3t 2（s 单位：米，t 单位：秒），则此质点在1．2秒末的瞬时
速度为（ ）
A 、-7．2
B 、7．2
C 、-2．32
D 、2．32
6、在极坐标系中，直线θ=α与ρcos （θ-α）=1位置关系（ ）
A 、平行
B 、垂直
C 、相交但不垂直
D 、不能确定
7、已知a 〉0，b 〉0且a+b=1，则3a +3b 整数部分为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
8、直线y=x+3与曲线9y 2-4
x x =1的交点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
9、函数f （x ）=2x+cosx 在x=2
π处的切线与坐标轴围成三角形面积为（ ） A 、82π B 、24
2
π C 、41 D 、21 10、我们知道：正三角形的中心到三个顶点距离都相等，设为d ；到三条边距离也相等，设为r ，则r
d =2；类比到空间：正四面体也有中心，到四个顶点距离都相等且为d ；到四个面距离也相等且为r ，则d =
（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
11、设F 1、F 2分别为双曲线22a
x -22
b y =1（a 〉0，b 〉0）的左右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足2PF =21F F ,且F 2到直线PF 1距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线离心率为（ ）
A 、 34
B 、 35
C 、 45
D 、3
71+ 12、设p ：f （x ）=lnx+
31mx 3-23x 2+4x+1在??????6,61内单调递增，q ：m ≥95，则q 是p 的（ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要
二、填空题（5分?4=20分）
13、观察下列等式：13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102……根据上述规律，第五个等式是
14、函数f （x ）=1
-x 2x + f ‘（1），则f ‘（1）= 15、椭圆22a
x +22
b y =1（a 〉b 〉0），过点（1，21）作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
16、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AE =211AB ，在面ABCD 中取一点F ，使 ︱EF ︳+ ︳FC 1︳最小，则最小值是
三、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分）
17、求函数f （x ）=x 2e 2x 单调区间及极值
18、曲线C 1参数方程是???==?
?sin 3y cos 2x （?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 按逆时针次序排列，点A 极坐标为（2，3
π） （1）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标 （2）设P 为C 1上任意一点，求PA 2+PC 2的取值范围
19、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ‖BC,∠ABC=900，E 、F 分别在线段AD 、BC 上，且EF ⊥ BC ，AD=4，
CB=6，AE=2，现将梯形ABCD 沿EF 折叠，使A 到达M 位置，B 到达N 位置，且平面MNFE ⊥平面EFCD
（1） 判断直线MD 与 NC 是否共面，用反证法证明你的结论
（2） 若MC 与平面EFCD 所成角记为θ，那么tan θ为多少时，二面角M —DC —E 的大小是600
20、双曲线C 与椭圆8
x 2+4y 2
=1有相同焦点，直线y=3x 为C 的一条渐近线 （1）求双曲线方程
（2）过点P （0,4）的直线L 交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当
=λ1QA =λ2QB 且λ1+λ2=-3
8时，求Q 点坐标
21、曲线C ：y=x 3及其上一点P 1（1,1），过P 1作C 的切线L 1，L 1与C 的另一个公共点为P 2，过P 2作C 的切
线L 2，L 2与C 的另一个公共点为P 3，……，依次下去得到C 的一系列切线L 1，L 2，……，L n ，……，
相应切点分别为P 1（a 1，a 13），P 2（a 2，a 23），……，P n （a n ，a n 3），……
（1）确定a n 与a n+1（n ∈N+）关系，并求a n
（2）设S n =1+
21+31+41+……+1
-a 21n （n ∈N+），比较S n 与21n +大小，并用数学归纳法证明你的论断
B A E F D
C E
F M N D
C
22、抛物线y 2=2px （p 〉0）焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径作圆C ，圆C 与抛物线x
轴上方部分交于M ，N 两点；设圆C 半径为R ，证明R FN
FM +为定值；根据类比推理，椭圆也具有此性质，已知椭圆22a
x +22
b y =1（a 〉b 〉0），F 为左焦点，求R FN FM +值（结果用离心率e 表示）
进贤一中高二年级（上）期末考试理科数学参考答案
1C 2D 3D 4C 5A 6B 7B 8D 9A 10C 11B 12A
13、13+23+33+43+53+63=212 14、-1 15、5x 2+4y 2=1 16、214
17、f （x ）增区间为（-∞，-1）、（0，+∞），减区间为（-1,0）；
f （x ）极大值为2e 1
，极小值为0
18、（1）A （1，3） B （-3，1） C （-1，-3） D （3，-1）
（2）用参数方程设P 点坐标，建三角函数，易求范围[]26,16
19、（1）MD 与NC 不共面（或说异面直线），用反证法证明
（2）tan θ=32
20、（1）x 2-3y 2
=1
（2）Q （2,0）、（-2,0）
设 L ：y=kx+4（k ≠0） A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则Q （-k 4
，0）
由 =λ1QA 得?????
??==1
1114
-y k 4
-k 4
-x λλ 代入x 2-
3y 2
=1中得（16-k 2）λ12
+32λ1 +16-316
k 2=0 同理（16-k 2）λ22+32λ2 +16-316k 2
=0
从而λ1+λ2=16-k 322 =-38 得k 2
=4即k=±2
21、（1）求导得y |=3x 2，k=3a n 2，同时k=n
1n 3
n 31n a -a a
-a ++=a n+12+a n+1a n +a n 2
所以a n+12+a n+1a n -2a n 2
=0解得a n+1=-2a n 从而{}n a 为等比数列，首项a 1=1，公比q=-2
故a n =（-2）n-1
（2）结论：Sn ≥21
n +
22、抛物线：圆心C （2p
+R ，0），圆C ：（x-2p -R ）2+y 2=R 2
联解得x 2-（2R-P ）x+4p 2
+PR=0 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）
有 x 1+x 2=2R-P 所以MF +NF = x 1+x 2+P=2R 从而R FN
FM +=2；
椭圆：圆C ：（x-R+c ）2+y 2=R 2
联解得e 2x 2+2（c-R ）x+a 2-2RC=0 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2） 有x 1+x 2=2e c
2-2R 因为MF =2121y c x ++）（=2
1212a
cx 2x e ++ =a+ex 1，同理NF =a+ex 2 所以MF +NF =e （ x 1+x 2）+2a=e 2R
从而R FN FM +=e 2