第三章 向 量
2009考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3和农学数学需要根据大纲作部分增删)
向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 考试要求
1. 理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。
2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
3. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。
5. 了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。
6. 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。
7. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。 8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。
一、 n 维向量与n 维空间
一个n 维向量（存在n 个坐标分量）由一个n 行行矩阵或一个n 列列矩阵组成，在没有说明的情形下，向量指列矩阵，它具有矩阵的全部性质，n 个n 维向量（列矩阵）的集合，在线性无关情形下构成n 维向量组（即n 个同型向量组成的实体向量空间），切记两种维度的空间是独立的，单个向量的维数（列矩阵的行数）相当于某一抽象空间n R 的维度；无关向量组的个数（即向量组所含单个向量的个数）相当于一个实体空间m R 的维度，任意向量a 的表示是针对m R 空间。向量组对应列分块形式的矩阵，即
()12s A a a a =L 。矩阵与向量存在内涵关系，矩阵的每行或每列就是一个向量，一个矩阵就相当
于一个向量组，但是矩阵和其相应的向量组的等价性是不同的，因为两个矩阵的等价只要求秩相等，而两个向量组等价不仅要求秩相等，而且要求能相互线性表出。
二、线性表出（或称线性表示）
2.1 单一向量组的线性相关与无关
设n 个向量12, ,..., n a a a 组成单一向量组，如果1122...0n n k k k a a a +++=，只有当12, , ...., n k k k 全为零时成立，称向量组12,,...,n a a a 线性无关；如果12, , ...., n k k k 存在不全为零的数，称线性相关，这时任意同型向量b 能由向量组a 线性表出，记为11221...n
n n i i i k k k k b a a a a ==+++=?，或简记为b a ?。
零向量可由任何向量组线性表出（如11201000n a a a a =T×+×+×=L ），即零向量与任何向量组
线性相关；单个非零向量必线性无关（1
11100k k a a 1=????=）。两个向量线性相关的几何意义为平行
或共线或对应坐标成比例，对应坐标不成比例的2个向量一定线性无关，但对应坐标不成比例的3个向量或3个以上的向量不一定线性无关。
比如：12312312
31234560360360127897890612000?????????÷?÷?÷?÷
?--?--??÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷--è?è?è?è?
；三个向量线性相关的几何意义
为共面，读者结合相应的的几何背景帮助形象理解。 2.2 线性相关与无关的重要结论
()a 如果存在一个向量可由其余向量线性表示，则12,,...,n a a a 线性相关；但不能说：如果12,,...,n a a a 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余向量线性表示。比如12,a a 共线，3a 不共线，123,,a a a 线性相关，而3a 却无法用12,a a 表出。
()b 不能说：如果12, , ...., n k k k 全为零时，1122...0n n k k k a a a +++=成立，则12,,...,n a a a 线性无关，
因为这时是一个恒等式。
()c 线性相关的加减组合不一定线性相关。
例如：12,,...,n a a a 线性相关，则12231, , , n a a a a a a +++L 一定线性相关。 又如：若12,a a 线性相关，12,b b 线性相关，则1122, a b a b ++不一定线性相关。反例：
()()()()()()121211221, 0, 1, 0; 1, 1, 2, 22, 1, 1, 2 a a b b a b a b ==-==T+=+=，显然线性无关。
()d 线性无关的加减组合不一定线性无关。
例如：若125,,...,a a a 线性无关，()()()()()1223344551, , , , a a a a a a a a a a -+-+-却线性相关，因为 ()()()()()12233445510a a a a a a a a a a -++---++-=。
()e 由小表多，多的相关。
比如：3个向量123, , a a a 线性相关，则由这3个向量表示的4个向量112123, , , a a a a a a +-必相关。因为()()()1121231223123, , , , , , , , 0, a a a a a a a a a a a a a +-?-? 2.3 线性相关性与线性表出的关系
一个或多个同型向量组成向量组。如果向量1b 能由()123 a a a 线性表示，意味着()1231 a a a b 线性相关；如果向量2b 不能由()123 a a a 线性表示，并不意味着()1232 a a a b 线性无关，只有当
()123 a a a 线性无关时，()1232 a a a b 才线性无关。
2.4 初等变换是判断向量组相关性的重要方法
比如： 设()1231 a a a b 线性相关，()1232 a a a b 线性无关，而()()12312 k k a a a b b +任意常数 经过初等变换可变成()1232 a a a b ，故()123112 k a a a b b +线性无关；但不能变成()1231 a a a b ，因为2b 不能由()123 a a a 线性表示，无法消元；同理，()12312 k a a a b b +可经过初等变换变成
()1232 k a a a b ，因此，在0k 1时，线性无关，在0k =线性相关，因为零向量与任何向量线性相关。
我们用高斯消元法求解线性方程组AX b =的消元过程，实际上是对其增广矩阵()|A b 的行向量做线性运算（向量的交换、倍乘与倍加），通过这样的运算（也就是矩阵的初等行变换）把增广矩阵()|A b 化为阶梯形矩阵()|c d 时会有几个非零行，也可能会出现几个全零行，这取决于增广矩阵()|A b 的行向量之间在线性运算下有怎样的关系。例如：系数矩阵A 为5′5矩阵时，()|A b 的行向量有5个，记作
12345,,,,,a a a a a 如果45,a a 能用123,,a a a 线性表示，而123,,a a a 之间任一个都不能用另外两个线性表
示，那么对()|A b 做初等行变换，就一定可以将45,a a 所在的行化为全零行，于是()|A b 化为阶梯形矩阵()|c d 时就必有3个非零行，2个全零行。这就是说“根据是否出现了全零行，就可以断定向量组的线性相关性”，而非零行的个数就是线性无关向量的个数。
三、向量组的3个关系定理
向量组12:,,...,s A a a a 和向量组12:,,...,t B b b b 的每一个向量都分别能相互线性表示，称向量组等价，记为A B ?。它具有自身反射性、相互对称性和传递性。
定理1向量组的线性表出是矩阵相乘关系。如A B A BC ??=
设()()1212: ; : r s A B a a a b b b L L 是两个n 维向量组，则A B ?当且仅当存在一个s r ′矩阵
() 0C 1，使得：()()1212 r s C A BC a a a b b b =?=L L 。
证明：向量组A 可以由向量组B 线性表示A B ?,也就是存在数()1,2,...,;1,2,...,ij C i s j r ==，使得
()()()()11112
122122211221212121212...,... j r j r ij j j sj s s r s s sj s s sr c c c c c c c c c c c C
c c c c a b b b b b b a a a b b b b b b ????
?÷?÷
?÷?÷
=+++=?==?÷?÷
?÷?÷
?÷
è?
è?
L L L L L M M M O M L 写成矩阵形式，即A BC =。
由这一定理容易推知向量组之间的三个等价关系：反射律()A A ?；对称律()A B B A ???；传递律A A ?(), A B B C A C ??T?。
评 注 注意线性方程组、求和符号、矩阵相成和向量形式4种表示形式的等价性，例如
1111221331
3
211222233111223313113223331
, 1.2.3i ij j j a x a x a x b a x a x a x b AX b b a x i x x x a x a x a x b
a a a
b =++=ì?
++=?=?==?++=í?++=??
定理2 被表出者，数大相关；无关数小。
如果()()1212s r A B a a a b b b ?L L ，而且r s >，则向量组A 线性相关。
证明：设()1
1,2,,s
i ij
j
j k i r a b ==
=?L ，欲证()12
r A a a
a L 线性线关，只需证存在不全为0的
12,,r x x x L ，使得 112211111
+ 00r
r
s s r
r r i i i ij j ij i j i i j j i x x x x x k k x a a a a b b =====????++=T===?÷?÷è?è??????L
()()101,2,,0 12r
r s
ij i i i i k x j s x x i r >=T==???????????=?L 未知数的个数大于方程的个数
故存在非零解,即存在不全为 的 ，，，. 这个定理也可以从直观上去理解：r s >，说明向量组()12 r A a a a L 被向量组()12s B b b b L 的表出存在相互成比例的表示形式，则12 r a a a L 必线性相关。逆否命题是向量组A 线性无关，必有r s ￡，反之不成立，比如()()12:1,1, 1,1T
T
A a a ==相关，()()()123:1,0,0, 0,1,0, 0,0,1T
T
T
B b b b ===无关，显然A 可以被B 表示，且满足r s <，但A 却相关。注意，这里的, r s 是向量的个数，不一定是秩。
定理3 被表出者秩小。
若()()1212,,...,; ,,...,; r s R A p R B r B A a a a b b b ==?éùéù????，则r p ￡。
证明：不妨设12,,...,p a a a 和12,,...,r b b b 分别为向量组, A B 两个极大无关组，则有
()
()1
11111
1,2,,1,2,,,,p
i ij j j p
p
s
s
s
k ki i ki ij j ki ij j
i i j j i c i s B A b k r t b c b c a a b a a a ========????
?T====?÷?÷è?è???????L L L
这说明12,,...,r b b b 能够用12,,...,p a a a 线性表示，而12,,...,r b b b 线性无关，根据定理2推论 即得()()r p R B R A ￡T￡。
评 注 很多教材和考研参考书不重视上诉三个定理及其证明过程，从而给读者在后续的学习中造成许多迷惑，所以建议读者反复揣摩它们，因为它们是掌握向量及其秩的基础。
四、向量组的秩与极大无关组
4.1 一个向量组的线性无关向量的最多个数称为极大无关组，极大无关组是不唯一的，也称为向量组的秩，记为 R r 或 ，极大无关组所取向量方式不唯一，但个数唯一，所以秩是唯一的。一个向量组
()12,,...,r a a a 的线性无关最简单的充要条件是：对应矩阵()12,,,r A a a a =L ，使
()12,,...,r R A r a a a =éù??；线性相关最简单的充要条件是()R A r <。读者也可以通过把向量组的对应
矩阵A 化为阶梯形或RRFF 形式，如果没有全零行，则线性无关。注意A 不一定为方阵，所以，一般不能利用A 是否为零来判断。但却可以利用A 中不为零的最大阶子式来求秩。
4.2 向量组12:,,...,r A a a a 能由向量组12:,,...,s B b b b 线性表示（根据关系定理1：等价于矩阵方程
A BX =有解）的充要条件是()()(),,R A R A
B R B A ==；向量组12:,,...,s B b b b 能由向量组
12:,,...,r A a a a 线性表示（等价于矩阵方程B AX =有解）的充要条件是()(),R B R B A =；所以向
量组等价的充要条件是()()(),R A R B R A B == 4.3 n 阶单位矩阵()1
2n E e e e =L 的列向量称为n 维单位坐标向量，并有(),n m n R A E n ′o。任何
一个向量()12,,,n a a a a =L 可以用单位向量表示，即 ()121122,,,n n n e e e a a a a a a a ==+++L L 。
五、 向量组相关性的8大重要定理
定理1 增加向量保相关；减少向量保无关。
任意向量组的子集称为部分组，反之称扩充组，如称12:,,,m A a a a L 为121:,,,,m m B a a a a +L 的部分组，而121:,,,,m m B a a a a +L 为12:,,,m A a a a L 的扩充组。如果扩充组无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则扩充组必相关。但如果扩充组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则扩充组可能无关也可能相关。
证明：记()()()()12121, , , , , , , , 1m m m A B R B R A a a a a a a a +==T￡+L L
()()()()()()()()121121, , , , , 11=, , , , A m m B m R A m R B R A m R B m R A R B m a a a a a a a +????? 线性无关故线性相关。 故线性无关。 反例： 部分组()()121,1, 0,1T T a a ==无关，而扩充组()()()1231,1, 0,1, 1,1T T T a a a ===相关。 扩充组()()()1231,0,0, 0,1,0, 0,0,1T T T a a a ===无关，而部分组()()121,0,0, 0,1,0T T a a ==无关。 评 注 对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图案。上述定理 从坐标空间的维度很容易直观理解。 定理2 大空间少坐标必相关。 m 个n 维向量向量组成的向量组，如果坐标维数n 小于向量实体空间的维数m 时一定线性相关。 特别地：1n +个n 维向量一定线性相关。 证明：m 个n 维向量()12, , , m a a a L 构成矩阵()12, , , n m m A a a a ′=L ()()()()1212, , , , , , n m n m m m A R A n R A m m a a a a a a <′=T￡???? 上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解：二维矢量在二维空间展开是唯一的（线性无关），而二维矢量在三维空间展开不是唯一的，各展开形式不同，却是对应同一矢量，故各展开形式必线性相关。 定理3 延伸保无关，缩短保相关。 设, A B 向量组 ()A () ()()11121121222212, , , , , , , ,,, , , T T T n n s s s ns a a a a a a a a a a a a ===L L L L ()B ()()()1112111212222212, , , , , , , , , ,,, , , , T T T n n s s s ns s a a a b a a a b a a a b b b b ===L L L L i b 为增加i a 的一个分量得到的，称为延伸组（高维），反之称缩短组（低维）。则 （1）缩短组()12, , , s A a a a =L 无关T延伸组()12, , , s B b b b =L 无关； （2）延伸组()12, , , s B b b b =L 相关T缩短组()12, , , s A a a a =L 相关。 形象记忆法：高维相关T低维相关；低维无关T高维无关。这一定理可以从0AX =去理解。 证明：()1假设延伸组()12, , , s B b b b =L 线性相关，则有下列齐次方程成立 111122121122221122112211220 0 , 00 s s s s s s n n ns s s s a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x b x b x b x b b b +++=ì?+++=?? ++=?í?+++=?+++=??L L L L L L 12, ,, s x x x ?L 非零解， 而前n 个方程组成的方程组的解也是12, ,, s x x x L ，也有非零解，即()12, , , s A a a a =L 相关，矛盾。 故()12, , , s A a a a =L 无关T导出组()12, , , s B b b b =L 无关成立，实际上，增加多个分量定理3也成立。同理可以证明结论()2。 但是 ()()121,0, 1,0T T a a ==-相关，而()()121,0,1, 1,0,1T T b b ==-却无关，因为1b ，2b 无法相互表出。 ()()121,1,1, 1,0,1T T b b ==-无关，而()()121,1, 1,0T T a a ==却无关。 定 理4 设()m n R A r ′=，则n 元0AX =的解空间S 的秩（解的个数）为 ()R S n r =-。 定 理5 若0AB =，当A 为非零矩阵时B 不可逆；当, A B 均为非零矩阵时，则A 列不满秩， B 行不满秩。 证明：00T T AB B A =T=，A 为非零矩阵说明0T T B A =有非零解，故0T B B ==； 当, A B 均为非零矩阵时，由00T T AB B A =T=同样得出A 列向量相关，B 行向量相关。 定 理6 向量组A 能由向量组B 线性表示()A B ?， 若B 不能由A 线性表示，则0A =。 证明：向量组A 能由向量组B 线性表示()A B ?，则矩阵方程A BC =有非零解 向量组B 不能由向量组A 线性表示，则矩阵方程B AC =无解 若0A 1，则方程AX B =有解1 X A B -=，AX B =成立意味 B A ?，与条件矛盾。 故 0A =。 定 理7 若0AB =，当A 为列满秩矩阵时，则0B =。 证明：设 A m n n l B C ′′=，依题意，()R A n =，知A 的标准型为0n m n E ′?? ? ÷è?，并有m 阶可逆矩阵P ，使 ()()()()0 00000n n C E E B B PA PC PAB B R C R PC R R B R B =????????=T===T===????=? ÷?÷?÷?÷è?è?è?è? 令 而0B =的充要条件为()0R B =。 定 理8 若AB E =，则A 的行向量线性无关，B 的列向量线性无关。 证明：考虑0AX =，则有() 1 0000BAX AB X EX X -=T=T=T=为0AX =的解。 由于0AX =只有零解0A T1，则A 的行向量线性无关。同理，B 的列向量线性无关。 评 注 第一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵A ，因为秩是它们的公共量，从而等价于讨论矩阵的秩。 第二，要明白矩阵的秩是用子式（方阵）是否为零来定义的，所以矩阵A 的秩等于矩阵的行秩也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标抽象空间的维度）和向量组的维数（实体空间的维度）是两个不同的概念。给矩阵A 增加几行后得矩阵A B C ?? =? ÷?÷è? ，就相当于增加每一个向量的维数，这时满秩=()()max max A R A R C ?? ??=?÷?÷?÷?÷ è?è?，就是说，如果()12, , , n A a a a =L 无关，则()12, , , n B b b b =L 无关，但反之不成立，因为()A R R A C ??3?÷?÷è?；如果A R r C ?? ￡ ()12, , , r B b b b =L 相关，则()12, , , n A a a a =L 相关，反之也不成立，也是因为()A R R A C ?? 3?÷?÷è? 。 六、向量组与矩阵秩的联系与区别 6.1 向量组的秩与矩阵的秩的联系 设A 是m n ′矩阵，将矩阵的每个行看成行向量，矩阵的m 个行向量构成一个向量组，该向量组的秩叫做矩阵的行秩；将矩阵的每个列看成列向量，矩阵的n 个列向量构成一个向量组，该向量组的秩叫做矩阵的列秩，行秩=列秩=矩阵的秩。 6.2 矩阵等价与向量组等价的区别 矩阵的等价是指一个矩阵可以由另一个矩阵经过初等变换转化而来。由于初等变换不改变矩阵的秩，因此，等价矩阵有相同的秩。反过来，两个秩相等的同型矩阵，他们有相同的等价标准型000r m m E F ′?? =? ÷è?。 向量组的等价是指两个向量组可以互相表示，由线性表示和秩之间的联系，也可知等价的向量组有相同的秩。但是，反过来不成立，因为，两个向量组的秩相等，只说明这两个向量组的极大无关组有一样向量个数，并不能说明向量之间是否可以相互线性表示，其要点在于“相互”二字。 例如，向量组()()1210 00, 0100T T a a ==和向量组()10010, T b = ()2 0001T b =的秩都是2，但它们谁都不能由谁表出，更谈不上相互线性表出，因此，秩相等的 向量组不一定等价。 定 理 具有相同极大无关组的两个向量组必等价。 ■向量组相关性题型题法 【例1】向量组12, , s a a a L 线性相关的充要条件是( )。 ()()()()12121212, , , , , , , , 1s s s s A B C D s a a a a a a a a a a a a -L L L L 中至少有一个零向量。中至少有两个向量成比例。中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。中至少有个向量线性相关。 解：选()C 。 ()D 是线性相关的等价定义。()A ()B ()D 只是充分条件，不是必要条件，比如： [][]121, 0, 0, 1T T a a ==， []31, 1T a =，因1230a a a +-=，故123, , a a a 线性相关，但没有一个 零向量，也没有成比例向量，且任何两个向量都是线性无关的。 【例2】设123, , a a a 是三维向量，11321233123, 2, 2a a b a a b a a a b a a a =+=++=+- ()()()()1231231, , 2, , 3 3 41a a a a a a a a ==-线性相关线性无关 则123, , b b b 线性相关的充分条件是()()()()()()()()()()()()1 23 134 14A B C D 解：选()C 。注意：线性相关与线性无关都没有线性表出的传递性。 ()1123, , a a a 线性相关，则123, , a a a 的极大无关组最多有两个线性无关的向量，123, , b b b 是由 123, , a a a 线性表出的，故可由其极大无关组表出，故123, , b b b 必线性相关。 评 注 如果12, b b 是由线性相关向量组123, , a a a 中部分向量线性表出的，则12, b b 可能线性无关。 ()2()()()123123123121, , , , 01, , 12a C a b b b a a a a a a ?? ? ÷==?÷?÷-è? ()()1211 21121 010101 120230031C a a a a a a a ?? ?????÷?÷?÷=???÷ ?÷?÷?÷?÷?÷----+è?è?è? 当 3 1a or a 11-时，C 可逆，()()123123, , , , 3r r C b b b a a a ==éù??，故123, , b b b 线性无关。 ()3当 3 a =时，()()()1 2 3 1 2 3, , , , 2r r C r C b b b a a a =￡=éù??，故123, , b b b 必线性相关。 ()4当1a =-时，()()()1 2 3 1 2 3, , , , 2r r C r C b b b a a a =￡=éù??，故123, , b b b 必线性相关。 【例3】向量组12, , s a a a L 线性无关的充要条件是() ()()()()121122121122121122121122, ,, , 0., ,, , 0, ,, , 0, ,, , 0 s s s s s s s s s s s s A k k k k k k B k k k k k k C k k k k k k D k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++=+++1+++1+++1L L L L L L L L 有一组全为零的数使得有一组不全为零的数使得对任意全不为零的数使得对任意不全为零的数使得 解：选()D 。 ()A 因为1200 00s a a a ×+×++×oL ，故不能判别12, , s a a a L 的相关性。 ()B 只有一组远不能满足定义要求。比如：[] []121, 0, 2, 0T T a a ==线性相关，有1210k k ==1，使 得11220k k a a +1。 ()C 比如：[] []121, 0, 0, 0T T a a ==，对任意120, 0k k 11，有11220k k a a +1，但12, a a 线性相关。 ()D 为定义的逆否命题，正确。 【例4】向量组12, , s a a a L 线性无关的充要条件的个数是( ) ()()()()()()()1211121211221, ,, , ,, 1,2,,2, ,, 1,2,,3, ,, 401,2,,i i i n n n n n i n n i n E x x x i n a a a a a a b a a a a a a a a a -+==+++==L L L L L L L L L L 不能由线性表出。 任何一个维向量都能由线性表出。和单位矩阵的向量可以相互线性表出。方程组只有零解。 ()()()()1 2 3 4A B C D 解：选()D 。实际上，上述4个命题都是线性无关定理。 【例5】设向量组1224, , , a a a a 线性无关，则与1224, , , a a a a 等价的向量组是( ) ()()()()12233441122334 12233441112233441 , , , , , , , , , , , , A B C D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++---+-+-+++- 解：利用初等列变换法，选()D 。 ()()()()()()()2 1 3 2 4 3 12233441123134411231414112314112233441123141, , , , , , , , , , , , 0, , , , , , 03, C C C C C C A r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++++??? ?+-++????+-++????+-+T++++=+-+￡故相关。 ()()122334, , 3B r a a a a a a ---￡，故不可能与1224, , , a a a a 等价。 ()()()()()()1 23 4 1 3 122334411323314123314112233441233141, , , , , , 0, , , , , , 0, , , C C C C C C C r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+-+-????+-+-????-+-T+-+-=-+-￡3,故相关。 ()()()()()() 2 1 3 2 4 3 5 1 11223344112233441123344112344112344, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , C C C C C C C C D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++++-??? ?++-????+-????-???? 尽管5个向量线性相关，但前4个向量就是1234, , , a a a a ，故与1234, , , a a a a 等价。 【例6】设向量组1234, , , a a a a 线性无关，向量组1123213, 2,b a a a b a a =-+=+312,b a a =+ 4134 24,b a a a =--则下列结论错误的是() ()()()()1121234123 , ,, ,,A B C D b b b b b b b b b b 是非零向量不成比例线性无关不能由线性表出 解：选()C 。 ()A 因1224, , , a a a a 线性无关，所以123, , a a a 线性无关，其任何不全为零的组合均不为零，正确。 ()B 120, 0b b 11，若()()()121231312322110k k k k b b a a a a a a a a =?-+=+T-++-=，则 1234, , , a a a a 线性相关，矛盾，故12k b b 1。故()B 正确。 ()()()()()()123123123123123121,,,,101,,110121 1010,,2,,110 C P P r r P b b b a a a a a a b b b b b b ?? ?÷ =-=?÷?÷è?=-=T￡￡T线性相关。 ()D 由于只有4b 中有4a ，123b b b ，，中没有4a ，而1224, , , a a a a 线性无关， 则4123,,a a a a 不能由线性表出，故4123,,b b b b 不能由线性表出。 【例7】设向量组()1()121, , , s r a a a L 的秩为，()2()122, , , t r b b b L 的秩为，设向量组 ()3()12123, , , , , , , s t r a a a b b b L L 的秩为，则下列不正确的是 ()。 ()()()()()()()()2313 13212312 12 21 A r r B r r C r r r r D r r r r ===>=￡若可由表示，则 若可由表示，则 若 ，则 若 ，则 解：设()112, , , r a a a L 为向量组()1的极大无关组，() 212, , , r b b b L 为向量组()2的极大无关组。 ()A ()()12若可由表示，则()1可由极大无关组()2 1 2 , , , r b b b L 表出，而()2 1 2 , , , r b b b L 也是()3的极 大无关组，具有相同极大无关组的向量组必定等价，因而向量组()()2 3等价23 r r T=，()A 正确。 ()B ()()21若可由表示，则()2可由极大无关组()1 1 2 , , , r a a a L 表出，而()1 1 2 , , , r a a a L 也是()3的 极大无关组，具有相同极大无关组的向量组必定等价，因而向量组()()1 3等价13 r r T=，()B 正确。 ()C 由于()1与()2均在()3中，故有1323 ; r r r r ￡￡。因此13r r =若 ，则由23r r ￡推知21 r r ￡，故()C 不正确。 ()D 由于()1与()2均在()3中，故有1323 ; r r r r ￡￡。因此23r r =若 ，则由13 r r ￡推知12 r r ￡，故()D 正确。 【例8】设n 维向量组 ()A ()12, , , s a a a L ， ()B ()12, , , t b b b L ，已知()A 可以被()B 线性表示，且 ()()R A R B r ==，证明：()A 与()B 等价。 证明：设()12, , , i i ir a a a L 为()A 一个极大无关组；()12, , , i i ir b b b L 为()B 一个极大无关组 考虑向量组 ()C ()1212, , , , , , , i i ir i i ir a a a b b b L L ()A 可以被()B 线性表示，说明()B ()12, , , t b b b L 也是()C 的一个极大无关组，故()R C r =。 又()12, , , i i ir a a a L 线性无关，且()()R A R B r ==，故也是()C 的一个极大无关组，而同一向量组的两个极大无关组等价，故()A 与()B 等价。 【例9】设向量组()()()()()() 123123: 2, 4, 2, 1, 3, 1, 2, 8, 1: 2, 5, 2, 3, 7, 4, 1, 24, 1T T T T T T A a b B b a b a a a b b b ì=-=--=-? í=+-=-=+-??，问： ()1, a b 取何值时，()()R A R B =，且()(), A B 等价； ()2, a b 取何值时，()()R A R B =，且()(), A B 不等价。 解：()1231232 12231212231|43857240141122211241001010a b b a b b b a b a a a a b b b --éùéùêúêú=-++?-++êúêú êúêú-----+-???? ()1当1, 1a b 11-且 时，123 1230, 0a a a b b b T11，根据克拉姆法则： 方程组： ()112233 1,2,3i x x x i a a a b ++== 与方程组：()112233 1,2,3i x x x i b b b a ++== 均有解。故, i i a b 可相互表示，因此：()()R A R B =，且()(), A B 等价。 当()()1, 12a b R A R B ==-T==且 ，上述方程组也都有解，故()(), A B 也等价，且 ()()R A R B =。 ()2当1, 1a b =1-且 时，仍然有()()2R A R B ==，但方程1122333 x x x b b b a ++=中系数矩阵()123b b b 的秩为2，其增广矩阵的秩()1233b b b a 为3，故3a 不能由B 表示，故()(), A B 不等价。 当1, 1a b 1=-且 时，仍然有()()2R A R B ==，但方程1122332 x x x a a a b ++=中系数矩阵 ()123a a a 的秩为2，其增广矩阵()1232a a a b 的秩为3，故2b 不能由A 表示，故()(), A B 也不等价。 【例10】下列向量中，线性无关的向量组是 ( )。 ()[][][]()[][][][]()[][][] ()[][][]12312341231231, 2, 3, 1, 3, 2, 0, 5, 11, 2, , 1, 2, , , 1, 3, , 5, 10, , 0, , 1, 0, , 1, , 0, 1, , 0, , 03, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1,T T T T T T T T T T T T T A B a b c d C a b c d e f D a a a b b b b x x x h h h =-=-=-==-==-=====-=-[] 1 1, 0, 0, 0T h = 解：选()C ()A 因为1230a a a =，故123,,a a a 线性相关。 ()B 无论,,,a b c d 取什么值，4个三维向量均线性相关。 ()C 123,,x x x 除去第2 ，第4个分量，得到缩短组的向量为[] []12 0, 0, 1, 0, 1, 0,T T x x ￠￠== []2 1, 0, 0T x ￠=是线性无关的基本向量，增加分量后得123,,x x x 仍线性无关，故()C 正确。 ()D 1234 3211 1140022201 1 1 h h h h --= =，故1234,,,h h h h 线性相关。 【例11】已知n 维向量组12,,,n a a a L 线性无关，记[]()12, ,, 1,2,,T i i i in a a a i n a ==L L ，则 ()[] ()[]()[]()i 1213i 123i 23i 123,11, , ,, , 1,2,, 2, , ,, , 1,2,,30, , ,, , 1,2,, 4, , ,, , , 1,2,,T T i i i i in i i i in T T i i in i i i in i n a a a a a i n a a a a i n a a a i n a a a a a i n a b a a +￠￠=+==-=￠￠éù====??L L L L L L L L 必线性无关的向量组为() ()()()()()()()()()()()()()()13 24 123 124A B C D 解：选()D 。 向量组()()1, 2属于对列向量做初等变换，初等变换不改变向量组的秩，不改变对应向量组的相关性，故向量组()()1, 2必线性无关；又向量组()3是相当于减少分量（第一分量全为零，相当于以i a 为列向量的线性齐次方程组11220n n x x x a a a +++=L 除去第一个方程，n 个未知数，1n -个方程，者方程组可能存在非零解），可以使向量组()3线性相关，而向量组()4是增加向量分量，增加分量仍线性无关，故只有()D 正确。 【例12】设向量组123,,a a a 线性无关，则下列线性无关的向量组是( )。 ()()()()112123122331 121212112123 , , , , , 2, , 2 , , A B C D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--++-+++-+ 解：选()D 。 ()A 因为由小表多，多的相关，()A 中有4个向量，都由3个向量123,,a a a 线性表出，故相关。 ()B 因为()()()1223310a a a a a a -++-+=，故相关。 ()C 因为由小表多，多的相关，()C 中有3个向量，都由2个向量12,a a 线性表出，故相关。 ()D 因为[]()()112123123123111, , , , 011, , 001C a a a a a a a a a a a a ?? ?÷ +-+=-=?÷?÷è? 12311212311101110, , , , 00 1 C C a a a a a a a a a =-=1TT+-+可逆，故线性无关线性无关。 评 注 已知向量组()12, ,, 2s s a a a 3L 线性无关，设 112223111; ,; ; s s s s s b a a b a a b a a b a a --=±=±=±=±L ，又设上式第二项中带负号的向量个数为 k ，则s 与k 奇偶性相同12,,,s b b b L 无关；s 与k 奇偶性不同12,,,s b b b L 相关。比如 已知向量1234,,,a a a a 线性无关，则 ()()()()12233441122334411223344112233441,,, ,,, ,,, ,,, A B C D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----+++-++--线性无关 线性无关线性无关线性无关 ，根据上述结论，立即得出()C 正确。 【例13】已知A 是3阶矩阵，满足2 320E A A +-=，求()()3r E A r E A ++-。 解：()()2 32030E A A E A E A +-=T+-= ()()()()()()()()33; 334333 r E A r E A r E A r E A r E A E A r E r E A r E A T++-￡++-3++-==T++-= 【例14】 设向量组 ()2,,,2t t a a a >L 线性无关，令123t b a a a =+++L ； 213t b a a a =+++L ；121t t d b a a -=+++L 。证明：12,,,t b b b L 线性无关 证：无具体形式，只能使用定义法 11220t t k k k b b b +++=L ()()()231132110t t t t k k k k k k k k a a a -T++++++++++=L L L L 12,,,t a a a Q L 线性无关 ()()23131 210 10 20 (t) t t t k k k k k k k k k -+++=ì? +++=?\í??+++=?L L L L ①+②+……+○ t ()()120t k k k T+++=L t-1 ()1210 t t k k k 1T+++=*L ()*-①10k T= ()*-①20k T=，余类推。 【例15】设A 为三阶方阵，有三个不同的特征值123,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令 123b a a a =++，试证明：2,,A A b b b 线性无关。 证明：i i i A a la = ()1,2,3i = ()123112233A A b a a a l a l a l a =++=++ ()2222112233112233A A b l a l a l a l a l a l a =++=++ 211230k k A k A b b b ++= ()()()2221 213111223221333330k k k k k k k k k l l a l l a l l a ++++++++= 由于不同特征值的特征向量线性无关，则 2121312 122322 12333000 k k k k k k k k k l l l l l l ì++=?++=í?++=? ()()()2 112222132312 331101l l l l l l l l l l l l T=---1 1230k k k T=== 【例16】设, a b 为三维列向量，矩阵T T A aa bb =+，其中, T T a b 分别是, a b 的转置，证明： ()()()()2 2 R A R A a b I ￡?<； 若，线性相关，则 。 证 明： ()1首先应该明白一个结论：a 为列向量，()()1T r r aa a ￡￡，当 a 为0向量时()0r a =。 ()()()()2T T T T r A r r r aa bb aa bb =+￡+￡ ()2若a ，b 线性相关，则存在不全为0 的1k ，2 1 2 2120k k k k k k k k a b b a 1=-T+=????= ()()()()()2112T T T T T T r A r r k k r k r aa bb aa a a aa aa éùéùéù=+=+=+=￡ 。 七、向量空间（线性空间）的考点 7.1 概念与拓展 向量空间又称线性空间。n 维向量的全体所构成的集合V ，如果V 非空，且集合V 中的向量对于线性运算（数乘和加法）封闭（即：, , a V b V a b V a V l ??T+??），则称集合V 为向量空间。V 中的部分向量组成子空间。 n 不代表向量个数，只是向量的维数（每个向量的坐标分量个数），向量空间中每个向量的维数必须 相同。向量空间的容量用基（相当于1-3维空间中的坐标轴）来描述，如V 中极大无关组有r 个向量，则该向量空间的基r =，则V 又称r 维向量空间，记为r V ，如果取单位坐标向量组12, , , n e e e L （相当 于三维坐标空间的, , i j k r r r ）为基，称为自然基。线性空间中任意向量a 可由基表示出来（相当于三维坐标空间的任意矢量r xi yj zk =++r r r ），即 []()[]11111...,...,,...,,...,T r r r r r x x x x X a a a a a a a a =++?== 表示式中前面的系数的有序组()12,,...,r x x x 称为a 在基1,...,r a a 下的坐标，记为()1,...,T r X x x =，也是一个向量（坐标向量）。 7.2 向量空间的性质： ()1 基变换： [][][]11111111111111...,...,,...,,...,...n n n n n n n n nn n n nn a a a a P a a a a b a a b b a a a a b a a =++ì?? ??÷?==í?÷??÷ =++è??K K M O M L P 称为从基[]1,...,n a a （旧基）到基[]1,...,n b b （新基）的过渡矩阵。 ()2坐标变换： [][][]1111,...,,...,,..., n n n X Y PY X PY Y P X a a a b b a a -===T=T= 其中坐标向量： 11, n n x y X Y x y éùéù êúêú==êúêúêúêú???? M M ()3同一线性变换T 在两个不同基下的坐标矩阵A 与B 之间的关系 ()()()()()()()()()()()()()()()()11111 1111111111111,...,,..., ,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,..., ,...,,...,n n n n n n n n n n n n n n n n T A T B P P B T T P T P A P AP B P AP B P a a a a b b b b b b a a a a b b b b b b a a a a a a a a b b b b --===T=T=====éùéùéù??????T=T=1AP - 这表明两个不同基下的坐标矩阵A 与B 相似，两个基之间的过渡矩阵P 正是相似变换矩阵。 ()4 内 积：设11, =;n n a b a b a b ???? ?÷?÷=?÷?÷?÷?÷è?è? M M 则定义内积：11,...T n n a b a b a b a b ==++ 对连续实函数空间：内积定义为 ( )()(),()b a f x g x f x g x dx =ò 内积的性质： ()1 长度：a = = ； ()2交角()(),,arccos 0a b q a b q p a b ==￡￡； ()3 正交归一：,0a b =为正交；1a =为归一； () 4,,, ,,,b b a a b g a b g =+=+ ()5 欧几里德空间：线性实空间+内积定义。 7.3 施密特正交化：12,,,n a a a L 为一组线性无关非正交的向量组，其正交化方法为 1121 221 11 1111 1111 ,,,,,,s s s s s s s s b a a b b a b b b a b a b b a b b b b b b ----==-=- --L L 则1,,n b b L 相互正交。 ● 规范（标准）正交基 1111h b b = ； 222 1h b b =；L []12,,,n Q h h h =L 为规范正交基，由于T T Q Q QQ E ==，可见，Q 为正交矩阵，Q 正是正交变换矩阵。 ■线性空间的题型题法 【例17】设向量组 ()()() ()()() 123123: 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1: 1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3T T T T T T A B a a a b b b ==-====，则 12323b b b b =+-在向量组A 下的坐标为？ 解：()()123123 P b b b a a a = ()()1 1 123123********* 100234010111101101P a a a b b b --éùéùéù êúêúêúT===-êúêúêúêúêúêú-----?????? 又12323b b b b =+-，得b 在向量组B 下的坐标为()1, 2, 3T -，故12323b b b b =+-在向量组A 下 的坐标为： 123234140102210132x x PY x -éùéùéùéù êúêúêúêú==-=-êúêúêúêú êúêúêúêú---???????? 。 【例18】已知n 维向量12, a a 线性无关，34, a a 线性无关，12, a a 分别与34, a a 正交。证明： 12, a a ， 34, a a 线性无关。 证明：设 112233440k k k k a a a a +++=。 ()()()()()()()()()()()()()()()() ()()11111211311411111212112212312412112222 11121212212122123434, , , , 0, , 0 , , , , 0, , 0, , =, , 0 , , 0, k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+=ìì??TTíí +++=+=????->T==T==而又，线性无关0 因此，12, a a ， 34, a a 线性无关。 【例19】 1111a éùêú=êúêú?? 求23,a a 使相互正交 解：设所求向量为 123x x x x ???÷=?÷?÷è?， 11230T x x x x a =T=--，取 1110b ???÷=-?÷?÷è? 或 2101b éù êú=êúêú-??，有： 21110b a ???÷==-?÷?÷è? ；()()123222212,1,21b b a a a a a éù êú êú êú=-=êúêú-êúêú?? 。 【例20】 设3R 的两组基为()123100:,,110111A a a a éùêú=êúêú??；()123101:,,012110B b b b éùêú=êúêú-?? 求()123,,a a a 到()123,,b b b 的过渡矩阵P 和()1,2,1T x =-在()123,,b b b 下的坐标。 解：方法提示：初等变换方法。 因为： ()111...... ...m m m B AP F F B F F AP EP P A E F F B P =T===??? ，即()()A B E P ?M M ① []100101101010111111001122122A B P éùéù êúêú?-T=-êúêúêúêú----???? M ② [][]1 112312310115,,,,0122711014X X x b b b b b b x ----éùéùéù êúêúêú=T===-êúêúêú êúêúêú-?????? 【例21】 取基3 2 1234, , , 1x x x a a a a ====，求微分算子D 在该基下的坐标矩阵A 。 解： 21113421134 31134 4 1134303000 000300020020020010301001000000D x D x A D D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ì==×+×+×+×?? ?? ÷ ==×+×+×+×??÷T=í?÷ ==×+×+×+×??÷ ?==×+×+×+×è? ? 八、行最简阶梯形RREF 在向量中的应用 智轩第24技 利用RREF 求向量组的极大无关组及其相互线性表示。 设五个向量，主元有两个()()12123123 41245125 , a a a a a a a a a a a a a a a a ì? ??T?í??? ??? 主元个数不妨设为和为极大无关组的个数，也就是矩阵的秩，故可以立即确定一个极大无关组。 把所在的列的系数对应乘以主元和的线性表示把所在的列的系数对应乘以主元和的线性表示 把所在的列的系数对应乘以主元和的线性表示 这一方法也完全移植到第4章的解方程方法。 ■RREF 题型题法 1．求一个向量由另一个向量组线性表示的方法 求向量线性表示的问题，归结于解方程组问题，通常有两种方法来处理：一种是写出待定的表示式，然后求解方程组；另一种方法是将向量按列写成矩阵（一般把待表示的向量放在最后一列），然后化为RREF （简化行阶梯形），这时，非主元所在的列向量可以由主元所在的列向量线性表出，而且，表示式中的系数恰好就是非主元所在的列对应的分量。这一方法同样适应判断向量组之间的相关性。 【例22】设()()()()12314 02, 2713, 0112, 3104T T T T a a a a b ===-=， 问a 取何值时，b 可由123, , a a a 线性表示，并求出表示式。 解：方法一：方程法（本质上是初等行变换法）。 设 112233x x x b a a a =++，则有 12123123 2312323120347104711001123242324 x x x x x x x x x x a a x x x +=ì???????? ??÷?÷?÷?÷ ++=??÷?÷?÷?÷++=?í?÷?÷?÷?÷-=-??÷?÷?÷?÷?++=è?è?è?è?? 1 20312031 2034711001120 1120110110 0022 32401220 010a a a ?????? ?÷?÷? ÷ ---?÷?÷?÷?? ?÷?÷?÷ ---?÷?÷? ÷ --è?è?è? 显然，当()()2|a R A R A b =T=，有解，321210, 2, 231x x x x x ==+=T=- 122b a a \=-+ 方法二：RREF 法。 将向量按列写成矩阵（一般把待表示的向量放在最后一列），然后化为简化行阶梯形。 1 203120312034711001120 1120110110 002232401220 1 0a a a ???????÷?÷?÷---?÷?÷?÷ ?? ?÷?÷?÷ ---?÷?÷? ÷--è?è?è? 当()()2|a R A R A b =T=，b 可由123, , a a a 线性表示，上述矩阵进一步化为简化行阶梯形 ()12312120 310010 1120 102120200000 01000100 000RREF b a a a a a -???? ?÷? ÷ -? ÷?÷ ?? T=-′+′+′=-+?÷?÷?÷? ÷ è?è? 评 注 可见RREF 是解这类题型的最佳方法，望读者务必掌握。 2．求极大无关组和线性表示及秩的方法---RREF 法 ① 将向量依次按列写成矩阵； ② 化为简化行阶梯形； ③ 主元所在的列向量个数=一个极大无关组=向量组（矩阵）的秩=自由变量的个数。 ④ 非主元所在的列向量和和主元所在的列向量的关系由非主元列各分量表示。 【例23】设()()()()12341, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 4, 2, 5, 6, a a a a ==-==- ()53, 1, 5, 7a =，求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用它表示出来。 解：方法一：初等行变换法。 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 记单词只有一种方法——按照艾宾浩斯周期的不断重复！艾宾浩斯周期的标准速度是一天花3个小时背下3个新的List，每一个list大致有150个单词，因此有些词汇书如果不是这样划分list，我们可以自己来重新划分。以这样的标准第一遍背一页单词（10个左右）需要5分钟。这时第一个记忆周期已到，请同学们在背下一页前，立即返回第一个单词，把这10个单词迅速复习一遍。因为此时对单词的记忆程度在90％以上，所以只需要几十秒钟，但是对于记忆这些单词所起的作用是极大的。第二页也是如法炮制。用这种方法背过6页以后，第二个记忆周期（30分钟）已到，立即从第一页开始复习。由于这些单词刚刚背过两遍，所以这一遍复习也只需要三分钟。然后用同样的方法背7～12页。整个List大约一个小时。小宝老师对艾宾浩斯周期做了一个小的修订，非常适合我们白天还要上课的大学生或者中学生。也就是每天早上看完3个list之后，在花30分钟左右把三个单元快速的过一遍，不要强求自己记住，不可能，只是为了晚上的复习进行一次预复习状态，因为我经过测试发现，艾宾浩斯周期最理想的操作环境是纯脱产状态，而大学生白天还有大量的课程，实验等等，因此早上的3个单元的全部先快速过一遍非产有利于强化和抗遗忘。 用以上的方法背过的单词一定会记得很牢固。因为这种方法不但利用及时的复习改造了遗忘曲线，延缓了遗忘速度，而且基本上克服了前摄抑制和后摄抑制的影响。 建议大家选择上午特别是早晨的时间来背新单词，因为此时人的 生物节律处于最高峰背单词的记忆力最好，而且也不存在对日常琐事 的前摄干扰。到了晚上，也就是背过单词的12个小时之后，到了第三 个记忆周期，一定要复习今天新背过的单词。复习只需要第一遍背单 词的不到三分之一的时间，即每个List小于或等于20分钟，3个List 在50～60分钟之间。 整个背单词的过程需要背词者有一个严格的时间表。下面的时间 表就是参照新东方著名教学专家杨鹏老师的《17天搞定GRE单词》的艾宾浩斯周期表计划，因为俞敏洪先生的经典著作《GRE词汇精选》（红宝书）是51个单元，但是艾宾浩斯周期是所有记忆的周期， 因此适用于所有阶段的单词记忆，只不过单元数多还是少的问题，因 此对于考研词汇，托福词汇，四六级词汇均适用，大家只是自行增减 单元个数，来制定一个相应的艾宾浩斯单词记忆和复习周期： 晚上6点——9点，3小时内背 早上课前7点半到8点，半个小时复习 单词背诵周期表 1 2 3 4 5 6 7 L1-3 L4-6 L7-9 L10-12 L13-15 L16-18 L19-21 ·L1-3 ·L1-3 ·L4-6 ·L1-3 ·L4-6 ·L7-9 ·L10-12 ·L4-6 ·L7-9 ·L7-9 ·L10-12 ·L13-15 ·L16-18 ·L10-12 ·L13-15 ·L16-18 ·L19-21 8 9 10 11 12 13 14 L22-24 L25-27 L28-30 L31-33 L34-36 L37-39 L40-42 1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按 行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲：尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β 考研数学三（线性代数）-试卷15 (总分：64.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设A为3阶非零矩阵，且满足a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij为a ij的代数余子式，则下列结论： ①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为 ( )（分数： 2.00） A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：①若A可逆，则B可逆；②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆；④A－E恒可逆．正确的个数为 ( )（分数：2.00） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知 2.00） A.t=6时P的秩必为1 B.t=6时P的秩必为2 C.t≠6时P的秩必为1 D.t≠6时P的秩必为2 5.设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00） A.若｜A｜＞0，则｜B｜＞0 B.如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E C.如果A≌E，则｜B｜≠0 D.存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B 6.设 2.00） A.1 B.3 C.1或3 D.无法确定 7. 2.00） A.AP 1 P 2 =B B.AP 2 P 1 =B C.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B 8.设 2.00） A.A －1 P 1 P 2 B.P 1 A －1 P 2 C.P 1 P 2 A －1 【红宝书】考研英语词汇 基础词 Unit 4 bath 洗澡，淋浴；浴室 bathe 弄湿；游泳，洗澡 batch 一批，一组，一群 acquaint 使认识，使了解 acquaintance 熟悉，了解；熟人 across 横越，穿过；在……对面 satisfaction 满意，满足；乐事，愉快 satisfactory 令人满意的，可喜的，恰当的 satisfy 满意，使满意；使确信 satire 讽刺，讽刺作品 saturate 使饱和，浸透，使充满 sauce 酱汁，调味汁；无礼，莽撞 saucer 茶托，碟子 sausage 香肠，腊肠 saw 锯子；锯，锯开 scan 细看，审视；浏览，扫描 scandal 民愤；引起公愤的举动；丑闻；诽谤 scar 疤，疤痕；精神上的创伤 scarce 缺乏的，不足的；稀少的，罕见的 scarcely 几乎不，简直没有，勉强；决不 scare 惊吓，恐惧 scarf 围巾，头巾 scatter 撒播；消散，驱散 scenario 可能发生的事，可能出现的情况 scent 气味，香味；香水 scholar 学者 scholarship 奖学金；学问，学识 school 学校；学院；学派，流派 tablet 药片；碑，匾 taboo 禁忌，戒律；避讳 tackle 用具，装备；对付，处理，解决 tactics 策略，战术 tag 标签，货签 tailor 裁缝；缝制；使适应 tale 故事，传说 tame 平淡的；驯服的；温顺的；驯服；控制，抑制 tan 棕黄色，黄褐色；棕黄色的，棕褐色的 tangle 绞在一起，乱作一团；混乱状态 tank 坦克 tanker 油船，油轮，油罐车；坦克手 tap （水、煤气等管道或容器的）龙头，阀门，塞子；轻扣；窃听 2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也 相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握 考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错; (2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量 生物数学—-数理统计习题(前半部分) 一、抽样与抽样分布 1.设X 1,X 2,···,X n 为样本， ˉX n =1n n i =1X i ,S 2n =1n n i =1 (X i ?ˉX )2,X n +1为第n +1次的观测样本，试证： ˉX n +1=ˉX n +1n +1 (X n +1?ˉX n )2.设x 1,x 2,···,x n 及u 1,u 2,···,u n 为两个样本观测值，它们有如下关系： u i =x i ?a b ,b =0,a 都为常数，求样本平均值ˉu 与ˉx ，样本方差S 2u 与S 2x 之间的关系。 3.证明如下等式： (1) n i =1(X i ?ˉX )=0;(2) n i =1(X i ?C )2=n i =1(X i ?ˉX )2+n (ˉX ?C )2;(3) n i =1(X i ?ˉX )2=n i =1X 2i ?n ˉX,进而有S 2n =ˉX 2?ˉX 2，其中ˉX 2=1n n i =1X 2i 。 4.若从总体中抽取容量为13的一个样本： ?2.1,3.2,0,?0.1,1.2,?4,2.22,2.01,1.2,?0.1,3.21,?2.1,0 试写出这个样本的次序统计量，中位数和极差。5.设X ～N (μ,σ2),求样本均值ˉX 与总体期望μ的偏差不超过1.96 σ2n 的概率。6.在总体N (52,633)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值ˉX 落在50.8和53.8之间的概率。 7.求总体N (20,3)的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 8.设X 1,X 2,···,X 10为N (0,0.09)的一个样本，求P (10 i =1X 2i >1.44)。 9.设总体X ～N (μ,4),X 1,X 2,···,X n 为一个样本，ˉX 为样本均值，试问：样本容量n 应取多大，才能使P (|ˉX ?μ|≤0.1)≥0.95。10.设X 1,X 2,···,X n 是来自χ2(n )的样本，求E ˉX ,D ˉX 。 英语红宝书计划 经过笔者自己的实践和对同学们背单词的实际情况来测算，以这样的标准第一遍背一页红宝书单词（10个）需要5分钟。这时第一个记忆周期已到，请读者在背下一页前，立即返回第一个单词，把这10个单词迅速复习一遍。因为此时对单词的记忆程度在90％以上，所以只需要几十秒钟，但是对于记忆这些单词所起的作用是极大的。第二页也是如法炮制。用这种方法背过6页以后，第二个记忆周期（30分钟）已到，立即从第一页开始复习。由于这些单词刚刚背过两遍，所以这一遍复习也只需要三分钟。然后用同样的方法背1～12页。整个List大约一个小时。 用以上的方法背过的单词一定会记得很牢固。因为这种方法不但利用及时的复习改造了遗忘曲线，延缓了遗忘速度，而且基本上克服了前摄抑制和后摄抑制的影响。相当于每一个List被分成12个小的单元，每个小的单元自成一个复习系统；每6个小单元组成一个大单元，2个大单元各自成为一个复习系统，很大程度上避免了先后输入的信息之间的互相干扰。同时，这种在一个短时间内反复复习的方法，也起到了对所记忆的单词进行过渡学习的效果，有助于把这些单词的记忆形成功的延续到下一个复习周期。 本背词法的标准速度是一天花3个小时背下3个新的List。笔者建议本书的读者选择上午特别是早晨的时间来背新单词，因为此时人的生物节律处于最高峰背单词的记忆力最好，而且也不存在对日常琐事的前摄干扰。到了晚上，也就是背过单词的12个小时之后，到了第三个记忆周期，一定要复习今天新背过的单词。晚上复习的有点在于，由于背过单词后就要睡觉，所以不存在后摄干扰，有助于保持记忆。笔者经过仔细测算，发现对于绝大多数的同学来讲，这一遍复习只需要第一遍背单词的不到三分之一的时间，即每个List小于或等于20分钟，3个List在50～60分钟之间，注意请读者把这一遍复习的顺序与早晨初背的顺序作一个调换，如早晨的顺序是List1，List2，List3，则这一遍请调整为List2，List3，List1，其目的在于根本克服前摄抑制和后摄抑制的问题。在以后的复习当中，读者可以根据自己的情况灵活地调整复习地顺序，把以前记得最不清楚地部分放到自己记得最牢固地位置。 其后的复习模式请按照前面所讲的方法继续下去，分别在1天后，再过2天，4天，7天，15天后作复习。这里的天数是指时间间隔的天数，而不是指第几天。也就是说，如果10月1日早晨背的单词，晚上要复习，2号，4号，8号，15号，30号各自要作一次复习。等到这个大循环结束后，背词者对单词的记忆可以说是非常熟练了，因为他对每一个单词都背过至少9遍。在此之后，背词者只需要每天花上45分钟左右复习3个List，就可以对所有的红宝书单词一直保持牢不可破的记忆。 2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华 2011导航领航考研冲刺班数学讲义 线性代数 邓泽华编 第二篇线性代数 一、填空题分析 填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。 1.（06-1-2-3）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，2】 2.（06-4）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵方程，?Skip Record If...?】 3.（04-1-2）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 4.（03-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?均为三阶矩阵，已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...? .【矩阵方程，?Skip Record If...?】 5.（04-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为 三阶可逆矩阵，则 ?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 6.（06-4）已知?Skip Record If...?为二维列向量，矩阵?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 7.（03-2）设?Skip Record If...?为三维列向量，若?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...? . 【向量乘积，?Skip Record If...?】 8.（05-1-2-4）设?Skip Record If...?均为三维列向量，记矩阵 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 9.（03-3-4）设?Skip Record If...?维向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?的逆矩阵为 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 考研数学三（线性代数）-试卷3 (总分：64.00，做题时间：90分钟) 一、 选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设λ 1 ，λ 2 是n 阶矩阵A 的特征值，α 1 ，α 2 分别是A 的对应于λ 1 ，λ 2 的特征向量，则 ( ) （分数：2.00） A.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例 B.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量不成比例 C.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例 D.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必不成比例 √ 解析：解析：当λ 1 =λ 2 时，α 1 与α 2 可以线性相关也可以线性无关，所以α 1 ，α 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)． 3.已知α 1 =[－1，1，a ，4] T ，α 2 =[－2，1，5，a] T ，α 3 =[a ，2，10，1] T 是4阶方阵A 的3个不同特征值对应的特征向量，则a 的取值为 ( ) （分数：2.00） A.a≠5 √ B.a≠－4 C.a≠－3 D.a≠－3且a≠－4 解析：解析：α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由a≠5．故应选 (A)． 4.设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 ( ) （分数：2.00） A.λE －A=λE －B B.A 与B 有相同的特征值和特征向量 C.A 与B 都相似于一个对角矩阵 D.对任意常数t ，tE －A 与tE －B 相似 √ 解析：解析：A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得P －1 AP=B ，则 tE －B=tE －P －1 AP=P －1 (tE)P －P －1 AP=P －1 (tE －A)P ， 即tE －A 与tE －B 相似，选(D)．对于(A)：由λE －A=λE －B ，有A=B ；对于(B)：A 与B 相 似，则A 与B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与B 不一定能够相似对角化． 5.设A 为n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00） A.若α为A T 的特征向量，那么α为A 的特征向量 B.若α为A * 的特征向量，那么α为A 的特征向量 C.若α为A 2 的特征向量，那么α为A 的特征向量 D.若α为2A 的特征向量，那么α为A 的特征向量 √ 解析：解析：①矩阵A T 与A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误． ②假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A * 的特征向量．这是由于 A α=λα=>A * A α=λ A * α=A * α= λ －1 ｜A ｜α． 但反之，α为A * 的特征向量，那么α不一定为A 的特征向量．例如：当r(A)＜n －1时，A * =O ，此时，任意n 维非零列向量都是A * 的特征向量，故A * 的特征向量不一定是A 的特征向量．可知(B)错误． ③假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，则α为A 2 的特征向量．这是由于 A 2 α=A(A α)=λA α=λ 2 α． 但反之，若α为A 2 的特征向量，α不一定为A 的特征向量．例如：假设A β 1 =β 1 ，A β 2 =－β 2 ，其中 β 1 ，β 2 ≠0．此时有A 2 (β 1 +β 2 )=A 2 β 1 +A 2 β 2 =β 1 +β 一、 三大抽样分布的分布函数 综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任 何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。 )b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布， 集中表现为3大抽样分布规律。 )c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积） 1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握） 量纲模型： 性 质： ()1{ }i X ()2 可加性 ()3 证 明()3：由于()()() ~0,10; 1i i i X N E X D X ?== ()()()() ()22 2442 1 1,2,,3 i i i i x i E X E X E X D X i n E X x e dx +∞ - -∞ =-===????= = ()()()()()()()()()2 242 2 22112 2211 312 2i i i n n i i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X n χχ====??=-=-=????=== ?????=== ???∑∑∑∑ 样本函数中的必需记住的数字特征 ()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数 2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握） {}i X 独立同分布 2~(0,1), ~(); i X N Y n X Y χ和独立 性 质： ()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞? ()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数 ()3 ()0, 22 n EX DX n n == >- ()4 性质 T 分布具有对称性， 1()(); 45t n t n n αα -=->时，()t n Z αα≈ 3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握） X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型： 例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2 12 2 124X X P X X ??+ 2011考研的进~擅长忘记也能考360~ 复试结束了，下决心写点什么，说说现在我对去年此时自己迷惑的问题的答案~ 自我介绍先，女，来自山东某医学院，今年考上北医六院临床，初试成绩政英76、59，西综225，总分360，虽然不高，但对于我这个忘性极好记性极差的文学女青年来说，已经比较满意了~自认水星漂亮（注:智商高）的同学仅供参考~ 先说说处在这个阶段的同学最容易存在的疑问~ 1、如何安排复习，着重课本还是辅导书，书要看到多细，报不报辅导班，三门课如何安排等？答：去年此时我也在各种思潮冲击下不知如何是好（实际从寒假介绍大概三月就开始了），当时丁香园硕博版（推荐）有个帖子，是让过来人说说自己的经验，很长，看完以后就觉得心里有了底~现在来说说我现在的答案~一般的复习（指不是课也不上习也不实的全日制复习的复习，即每天晚上即课余时间复习）现在就应该开始了。晚上不用太晚，我们当时大概10点到10点半吧~我们学校大四毕业才结束内外科教学，所以现在平时跟着上课，认真听讲（利用好上课时间可事半功倍，注意上课要动脑），下课把学的内容理解记忆就好了。但有的学校现在内外科课已经结了，就可以全面复习了。 复习不要太早用全力，因为人的肉身是有极限的，是会累的。复习也不要太晚，因为我们是先报后考，复习太慢11月报考时不易对自己有个客观评估，不是报高了被调被刷，就是报低了心中后悔~ 课本还是辅导书？这是一个问题！这也是现在西综复习的两个主流派别（我自己总结的）。如何选择呢？西综内容之多绝不是单凭激情就能攻下的，无知者无畏，现在大部分同学都会制定目标是满分的复习计划，却没有正确充分的评估困难和自己的执行能力，这时就体现出方法的重要性~很多人会说，我们考西综就是拼谁坐的住对智力要求不高，但是为什么同样复习的很多人，一起实习一起吃饭一起复习，成绩确有差异，而且不是平时成绩好的考的高？实际上我要说，我们医学考研不是考智商（但记忆力强的人大占优势），也不是考谁坐得住（我的现实经验：坐一样长时间的考不一样的分，坐的长的可能考的少；考一样分的不一定花一样的力气，同样是369，其中一个大概花了另一个两倍的功夫），是考综合的能力，也就是素质！认识自己，评估自己，设定目标，选择方法，执行计划，困难时坚持，顺利时谨慎，每一时都根据情况微调，每一刻都又激情又实际，这才是成功之道啊~~ 我的建议：根据自己的基础和目标~ ①如果你记性好基础佳目标宏大，那当然是选课本了~现在出题人越来越不按牌理出牌，边边角角都可能考。看的时候注意不要太慢。很容易出现的情况是开始时追求完美，对刚开始复习的章节又要理解又要记忆又做真题又做习题，那个认真啊，结果复习着复习着，忽然发现，不好！时间不够了！于是后面的内容匆匆而过，落得个虎头蛇尾。给自己定下时间限制，限时完成~有不懂的地方先自己想，但不要想太长不要恋战，想不懂就问，甚至跳过去，考研要以大局为重！制定短期计划，中期计划，长期计划，全都要有时间！时时提醒自己几月了，该复习到哪了！千万不要到该报志愿了，还一遍没完，那时就很被动了~ 关于速度我曾经听过一个贺银成的讲座，他说第一遍在六月到十一之前完成都是正常，我是十一完成的第一遍，大家可以参考一下~ ②如果你像我一样记性差，隆重推荐事半功倍省时省力的“兔子速效西综复习法”~~具体执行如下：首先比较快速的记一到两遍贺银成辅导讲义，大概建立一个框架。这个讲义是一个重点框架和曾考考点的集合，性价比还是极高的。看讲义你就不能挑着重点看了，从头看到尾，一个关键就是一定要尽量快一点!快了既可以用别人看一遍的时间看两遍，还不容易走神，更重要的是符合记忆规律！然后看一遍课本，可以从头看到尾，或者自己喜欢什么顺序都行， 文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。 定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元 素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。 从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。 线性代数必考知识点 一、行列式 1、逆序数 一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A 第六章 数理统计的基本概念精华习题 一、填空题 1. 设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2. 3456则 71 2((C D 3．设1234, , , X X X X 是取自总体()~0, 4X N 的简单随机样本，()2 122X a X X =-+()2 3434b X X - ()2 ~n c ，则 ()()()()2 4 C 1 2 24A n B n n D n ====或或 【解】选()C 。因为()2 ~X n c ，故, a b 不可能同时为零，但可以其中一个或全不为零。 12（（（3 第六章 数理统计的基本概念精华习题完全解答 一、填空题 1．设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2 3 45．设随机变量()~, X F n n ，则概率{}1P X <= __________。 【解】()(){}{}{}{}111~, ~, 111112X F n n F n n P X P Y P P X P X X X ìü T T<=<=<=>T<=íy?t 。 6． 设总体()2, 01 ~0, X x x X f x other <<ì=í? ，12, X X 来自X 的简单随机样本，12U X =，21V X =+， 则12U P V ìü ￡=í y?t _______。 【解】()12, ~X X ()1212124, 01, 01 , 0, x x x x f x x other <<<<ì=í? 2P < 7 1 2 (( A B C D考研高数基础练习题及答案解析
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