第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题型)
1.(2014·山东高考)函数f (x )＝
1
2x 2
－1
的定义域为( ) A.???
?0，1
2 B.(2,＋∞) C.????0，12∪(2,＋∞) D.???
?0，1
2∪[2,＋∞) 解析：选C (log 2x )2－1>0,即log 2x >1或log 2x <－1,解得x >2或0 2 ,故所求的定义域 是??? ?0，1 2∪(2,＋∞). 2.(2014·福建高考)已知函数f (x )＝? ???? x 2＋1，x >0， cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数 B.f (x )是增函数 C.f (x )是周期函数 D.f (x )的值域为[－1,＋∞) 解析：选D 因为f (π)＝π2＋1,f (－π)＝－1,所以f (－π)≠f (π),所以函数f (x )不是偶函数,排除A ；因为函数f (x )在(－2π,－π)上单调递减,排除B ；函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增,所以函数f (x )不是周期函数,排除C ；因为x ＞0时,f (x )＞1,x ≤0时,－1≤f (x )≤1,所以函数f (x )的值域为[－1,＋∞),故选D. 3.(2014·湖南高考)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1,则f (1)＋g (1)＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析：选C 用“－x ”代替“x ”,得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1,化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1,令x ＝1,得f (1)＋g (1)＝1,故选C. 4.(2014·陕西高考)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( ) A.y ＝1125x 3－35x B.y ＝2125x 3－45x C.y ＝3125x 3－x D.y ＝－3125x 3＋15 x 解析：选A 设所求函数解析式为y ＝f (x ),由题意知f (5)＝－2,f (－5)＝2,且f ′(±5)＝0,代 入验证易得y ＝1125x 3－3 5 x 符合题意,故选A. 5. (2014·新课标全国卷Ⅰ)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y ＝f (x )在[0,π]的图象大致为( ) 解析：选B 由题意知,f (x )＝|cos x |·sin x ,当x ∈????0，π2时,f (x )＝cos x ·sin x ＝12 sin 2x ；当x ∈????π2，π时,f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ,故选B. 1.函数的三个性质 (1)单调性 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,且x 1 (2)奇偶性 对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (－x )＝－f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立,则f (x )为偶函数). (3)周期性 周期函数f (x )的最小正周期T 必须满足下列两个条件： ①当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x ＋T )＝f (x )； ②T 是不为零的最小正数. 2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期. ③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x ),即f (x )＝f (2a －x ),则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x ),即f (x )＝－f (2a －x ),则f (x )的图象关于点(a,0)对称. ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x ),则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2 对称. 1.函数f (x )＝ 1 x ＋ ＋4－x 2的定义域为( ) A.[－2,0)∪(0,2] B.(－1,0)∪(0,2] C.[－2,2] D.(－1,2] 2.(2014·长春模拟)已知函数f (x )＝????? －????12x ，a ≤x <0， －x 2＋2x ，0≤x ≤4 的值域是[－8,1],则实数a 的取值 范围是( ) A.(－∞,－3] B.[－3,0) C.[－3,－1] D.{－3} 3.(2014·三明模拟)已知函数f (x )＝? ???? 1，x >0，－1，x <0.若m ≠n ,则m ＋n ＋m －nfm －n 2的值( ) A.一定是m B.一定是n C.是m 、n 中较大的数 D.是m 、n 中较小的数 4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝? ?? ?? －4x 2 ＋2，－1≤x <0， x ， 0≤x <1，则f 3 2 ＝________. [自主解答] 1.x 需满足????? x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即???? ? x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2， 解得－1 2.当0≤x ≤4时,f (x )∈[－8,1],当a ≤x <0时,f (x )∈????－????12a ，－1,所以????－12a ，－1?[－8,－1],－8≤－1 2 a <－1,即－3≤a <0. 3.由题意可知f (m －n )＝????? 1 m >n ， － m m ＋n ＋m －nfm －n 2＝ ? ?? m ＋n ＋m －n 2 ，m >n m ＋n －m －n 2 ，m ???? m ，m >n ，n ，m 值是m 、n 中较大的数,故选C. 4.由已知易得f ????－12＝－4×????－122＋2＝1,又由函数的周期为2,可得f ????32＝??? ?－12＝1. [答案] 1.B 2.B 3.C 4.1 互动探究 在题2中,当a 取得最小值时,若方程f (x )＝m 有且只有一个实数根,求m 的取值范围. 解：由题2可知,a 的最小值为－3,则f (x )的图象如图所示.方程f (x )＝m 有且只有一个实数根,等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有且只有一个公共点,由图可知,m 的取值范围为{m |m ＝1或－1≤m <0}. 函数值和值域的求法 (1)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可,在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式； (2)求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解的方法. 1.(2014·内江模拟)若函数f (x )＝x 1－2x －x 2,则函数f (x )( ) A.是偶函数,在(－∞,0)是增函数 B.是偶函数,在(－∞,0)是减函数 C.是奇函数,在(－∞,0)是增函数 D.是奇函数,在(－∞,0)是减函数 2.函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠1},对定义域中任意的x ,都有f (2－x )＝f (x ),且当x <1时,f (x )＝2x 2 －x .那么当x >1时,f (x )的递增区间是( ) A.????54，＋∞ B.????1，54 C.????74，＋∞ D.??? ?1，74 3.已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3),y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称,且f (4)＝4,则f (2 012)＝( ) A.0 B.－4 C.－8 D.－16 [自主解答] 1.法一：由定义易得,函数f (x )＝x 1－2x －x 2 为偶函数. 求导得：f ′(x )＝1－2x －x －2x －2x 2－12＝1＋2x × 2x ln 2－22x －2x 2＝2－ x ＋2x ×ln 2－2x 2×2－ x －2x 2 .(这里之所以在分子提2x 出来,目的是便于将分子求导) 再令g (x )＝2－ x ＋2x ×ln 2－2x , 则g ′(x )＝－2－x ln 2＋2ln 2－2x ln 2＝－ln 2(2－ x ＋2x －2)<0(x >0), 当x >0时,－ln 2(2－x ＋2x －2)<－ln 2(2－2)＝0,所以g (x )＝2－ x ＋2x ×ln 2－2x 在x >0时单调 递减,g (x ) 2 在(0,＋∞)上是减函数,由偶函数的对称性知,f (x )＝x 1－2x －x 2 在(－∞,0)上是增函数. 法二：由定义易得,函数f (x )＝ x 1－2x －x 2为偶函数.结合选项来看,函数在(－∞,0)上必单调,故取特殊值来判断其单调性.f (1)＝11－2－12＝－32,f (2)＝21－4－22＝－53<－32,所以f (x )＝x 1－2x － x 2在(0,＋∞)上是减函数,由偶函数的对称性可知,f (x )＝x 1－2x －x 2 在(－∞,0)上是增函数.选A. 2.由f (2－x )＝f (x ),得函数图象关于直线x ＝1对称,当x <1时,递减区间是? ???－∞，1 4,由对称性得C. 3.由y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称可知,函数f (x )的图象关于点(0,0)对称,即函数f (x )为奇函数.在已知等式中取x ＝－3,得f (3)＋f (－3)＝2f (3),f (－3)＝f (3),又f (－3)＝ －f (3),因此f (3)＝0.所以f (6＋x )＋f (x )＝0,f (12＋x )＋f (6＋x )＝0,因此有f (12＋x )＝f (x ),即函数f (x )是一个周期为12的周期函数.由于2 012＝12×168－4,因此f (2 012)＝f (－4)＝ －f (4)＝－4. [答案] 1.A 2.C 3.B 1.四招破解函数的单调性 (1)对于选择、填空题,若能画出图象一般用数形结合法； (2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数的单调性问题来解决； (3)对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法； (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数的奇偶性应关注三点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称； (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称； (3)对于偶函数而言,有f (－x )＝f (x )＝f (|x |). [例1] (1)函数f (x )＝2 －x 2－x －1 的图象大致为( ) A B C D (2)(2014·宜春模拟)一电子广告,背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成,这列正三角形的底边在同一直线上,正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图),设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积S 关于时间t 的函数为S ＝f (t ),则下列图中与函数S ＝f (t )图象最近似的是( ) (3)(2014·安徽高考)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3,则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8 [师生共研] (1)将解析式变形整理,f (x )＝2－ x －1＋12－x －1＝1＋1 2－x －1 ,当x >0时,f (x )＝1＋ 12x －1∈(－∞,0),当x <0时,f (x )＝1＋1 2x －1 ∈(1,＋∞),只有A 选项符合题意. (2)滚动中的圆与一系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积s 关于时间t 的关系呈周期性变化,且两者之间是非线性变化,故排除答案D ；当圆滚动到两三角形的连接点时,阴影部分的面积取最小值,但仍不为0,故排除答案C ；又由当t ＝0时,阴影部分的面积取最大值,可排除答案A ；故选B. (3)当a ≥2时,f (x )＝??? ?? 3x ＋a ＋1，x >－1， x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1， －3x －a －1，x <－a 2 ， 如图1可知,当x ＝－a 2 时,f (x )min ＝f ????－a 2＝a 2－1 ＝3,可得a ＝8； 当a <2时,f (x )＝???? ? 3x ＋a ＋1，x >－a 2 ， －x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2 ，－3x －a －1，x <－1， 如图2可知,当x ＝－a 2时,f (x )min ＝f ????－a 2＝－a 2 ＋1＝3,可得a ＝－4.综上可知,答案为 D. [答案] (1)A (2)B (3)D 作图、识图、用图的技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结 合图象研究.但是,在利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确,否则容易出错. 1.已知函数y ＝f (x )的定义域是R ,若对于任意的正数a ,函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )是其定义域上的增函数,则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) A B C D 解析：选A 设x 1 f (x 1＋a )－f (x 2＋a ) x 1－x 2 ,即曲线y ＝f (x )的割线的斜率单调 递增,结合函数图象可知,选项A 正确. 2.设函数f (x )＝|log a x |(0 3 ,则 实数a 的值为( ) A.13或23 B.23或34 C.14或13 D.14或34 解析：选B 如图作出f (x )＝|log a x |的图象,因为0 1a ，1,此时满足条件 的(n －m )min ＝1－a ＝13或1a －1＝13,解得a ＝23或a ＝3 4 ,经验证均符合条件. [例2] (2014·湖北高考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝1 2 (|x －a 2|＋ |x －2a 2|－3a 2 ).若?x ∈R ,f (x －1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( ) A.????－16，16 B.???－66，66 C.????－13，13 D.??? ?－33，33 [师生共研] 当x ≥0时,f (x )＝????? －x ，0≤x ≤a 2 ，－a 2，a 2 ， x －3a 2，x >2a 2， 又f (x )为奇函数,可得f (x )的图象如图 所示,由图象可得,当x ≤2a 2时,f (x )max ＝a 2,当x >2a 2时,令x －3a 2＝a 2,得x ＝4a 2,又?x ∈R ,f (x － 1)≤f (x ),可知4a 2－(－2a 2)≤1?a ∈??? ?－66，6 6,选B. [答案] B 解决与函数有关的综合问题的常见切入点 (1)已知函数的单调性和周期性,常画出函数的图象求解； (2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性,常画出函数的图象求解； (3)求函数的最值或值域时,常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐标求解； (4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时,常借助函数性质求解. 3.定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ),当x ∈[0,2)时,f (x )＝????? x 2－x ，x ∈[0，，－????12????x －32，x ∈[1，，若x ∈[－4,－2)时,f (x )≥t 4－12t 恒成立,则实数t 的取值范围是 ( ) A.[－2,0)∪(0,1) B.[－2,0)∪[1,＋∞) C.[－2,1] D.(－∞,－2]∪(0,1] 解析：选D 当－4≤x <－3时,0≤x ＋4<1,f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)＝1 4 [(x ＋4)2－(x ＋4)],即 f (x )＝14(x ＋4)(x ＋3).此时,－116≤f (x )≤0.当－3≤x <－2时,1≤x ＋4<2,f (x )＝12f (x ＋2)＝1 4 f (x ＋4)＝－ 14·????12????x ＋4－32＝－14·????12????x ＋52.此时,－14≤f (x )≤－28 .所以f (x )在[－4,－2)上的最小值为－14.f (x )≥t 4－12t 恒成立,则t 4－12t ≤－14,即t 2 ＋t －2t ≤0,t ＋t －t ≤0,即t ≤－2或0 [例3] (1)(2014·山东高考)已知函数y ＝f (x )(x ∈R ).对函数y ＝g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ),y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是________. (2)(2014·南京模拟)对于函数f (x ),若存在区间M ＝[a ,b ],使得{y |y ＝f (x ),x ∈M }＝M ,则称区间M 为函数f (x )的一个“好区间”,给出下列4个函数： ①f (x )＝sin x ；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝x 3－3x ；④f (x )＝lg x ＋1. 其中存在“好区间”的函数是________.(填入所有满足条件函数的序号) [师生共研] (1)函数g (x )的定义域是[－2,2], 根据已知得hx ＋gx 2 ＝f (x ), 所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2. 又h (x )>g (x )恒成立, 即6x ＋2b － 4－x 2> 4－x 2恒成立, 即3x ＋b > 4－x 2恒成立. 令y ＝3x ＋b ,y ＝4－x 2, 则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可,由 |b | 10 >2,解得b >210(舍去负 值), 故实数b 的取值范围是(210,＋∞). (2)①函数f (x )＝sin x 在????－π2，π2上是单调增函数,若函数在??? ?－π2，π 2上存在“好区间”[a ,b ]则必有sin a ＝a ,sin b ＝b ,即方程sin x ＝x 有两个根,令g (x )＝sin x －x ,g ′(x )＝cos x －1≤0在????－π2，π2上恒成立,所以函数g (x )在????－π2，π2上为减函数,则函数g (x )在??? ?－π2，π2上至多有一个零点,即方程sin x ＝x 在??? ?－π2，π 2上不可能有两个解,又因为函数f (x )的值域为[－1,1],所以当x <－π2或x >π 2 时,方程sin x ＝x 无解.所以函数f (x )＝sin x 没有“好区间”； ②对于函数f (x )＝|2x －1|,该函数在[0,＋∞)上是增函数由幂函数的性质我们易得,M ＝[0,1]时,f (x )∈[0,1]＝M ,所以M ＝[0,1]为函数f (x )＝|2x －1|的一个“好区间”. ③对于函数f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)·(x ＋1),当x ∈(－1,1)时,f ′(x )<0,所以函数f (x )＝x 3 －3x 的增区间有(－∞,－1)和(1,＋∞),减区间是(－1,1),取M ＝[－2,2],此时f (－2)＝－2,f (－1)＝2,f (1)＝－2,f (2)＝2,所以函数f (x )＝x 3－3x 在M ＝[－2,2]上的值域是[－2,2],则M ＝[－2,2]为函数的一个“好区间”； ④函数f (x )＝lg x ＋1在定义域(0,＋∞)上为增函数,若有“好区间”[a ,b ]则lg a ＋1＝a ,lg b ＋ 1＝b ,也就是函数g (x )＝lg x －x ＋1有两个零点,显然x ＝1是函数的一个零点,由g ′(x )＝ 1 x ln 10 －1<0,得,x >1ln 10,函数g (x )在????1ln 10，＋∞上为减函数；由g ′(x )＝1x ln 10－1>0,得x <1ln 10 ,函数在????0，1ln 10上为增函数,所以g (x )的最大值为g ????1ln 10>g (1)＝0,则该函数g (x )在??? ?0，1ln 10上还有一个零点.所以函数f (x )＝lg x ＋1存在“好区间”. [答案] (1)(210,＋∞) (2)②③④ 解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义,然后把其转化为熟悉的数学问题求解.如本例(1)通过对“对称函数”的理解,将问题转化为熟知的直线与圆的位置关系,从而使问题得以顺利解决. 4.在平面直角坐标系中,若两点P 、Q 满足条件； ①P 、Q 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②P 、Q 两点关于直线y ＝x 对称,则称点对{P ,Q }是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”.(注：点对{P ,Q }与{Q ,P }看作同一对“和谐点对”) 已知函数f (x )＝? ???? x 2＋3x ＋x ≤0， log 2 xx ，则此函数的“和谐点对”有( ) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 解析：选C 作出函数f (x )的图象,然后作出f (x )＝log 2 x (x >0)关于直线y ＝x 对称的图象,与函数f (x )＝x 2＋3x ＋2(x ≤0)的图象有2个不同交点,所以函数的“和谐点对”有2对. 5.设函数f (x )＝x －1 x ,对任意x ∈[1,＋∞),使不等式f (mx )＋mf (x )<0恒成立的实数m 称为函 数f (x )的“伴随值”,则m 的取值范围是________. 解析：由题意知f (x )为增函数且m ≠0,若m >0,由函数的单调性可知f (mx )和mf (x )均为增函 数,此时不符合题意,若m <0,则f (mx )＋mf (x )<0可化为mx －1mx ＋mx －m x <0,所以2mx － ????m ＋1m ·1x <0,即1＋1m 2<2x 2,因为y ＝2x 2在x ∈[1,＋∞)上的最小值为2,所以1＋1m 2<2,即m 2>1,解得m <－1. 答案：(－∞,－1) 一、选择题 1.函数y ＝2－x lg x 的定义域是( ) A.{x |0 B.{x |0 C.{x |0 D.{x |0 解析：选D 由题意知,要使函数有意义只需???? ? 2－x ≥0，x >0， lg x ≠0，解得0 数y ＝ 2－x lg x 的定义域为{x |0 x (a ∈R ),则下列结论正确的是( ) A.?a ∈R ,f (x )在(0,＋∞)上是增函数 B.?a ∈R ,f (x )在(0,＋∞)上是减函数 C.?a ∈R ,f (x )是偶函数 D.?a ∈R ,f (x )是奇函数 解析：选C 对于A,只有当a ≤0时,f (x )在(0,＋∞)上是增函数；对于B,如果a ≤0,可知结论不成立；对于D,不存在a ,使f (x )为奇函数,因此只有C 是正确的,即当a ＝0时,f (x )＝x 2是偶函数,因此存在a ∈R ,使f (x )是偶函数. 3.奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数,且f (1)＝1,则f (8)＋f (9)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：选D 由函数f (x ＋2)为偶函数可得f (2＋x )＝f (2－x ).又f (－x )＝－f (x ),故f (2－x )＝－f (x －2),所以f (2＋x )＝－f (x －2),即f (x ＋4)＝－f (x ).所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x ),故该函数是周期为8的周期函数.又函数f (x )为奇函数,故f (0)＝0.所以f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1,故选D. 4.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( ) A.a >1,c >1 B.a >1,0 C.01