https://www.doczj.com/doc/f511931721.html, 1 26．3 实际问题与二次函数（2）
● 双基演练
1、二次函数y=x 2+10x －5的最小值为（ ）
A 、－35
B 、－30
C 、－5
D 、20
2、正方形的面积S 与其边长a 的函数关系用图象表示大致是（ ）
3
、设函数y=x 2－(m+1)x
－4(m+5)的图象如图，它与x 轴交于A 、
B 两点，且线段OA 与OB 的长度
之比为1:4，那么m 的值为（
）。
A 、8
B 、－4
C 、11
D 、4或11
4、汽车刹车后仍会行驶一段路程才会停下来，从刹
车时起至汽车完全停下的路程称为刹车距离，研究表明：影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的磨擦系数，若晴天在某公路上行驶的速度为v （km/h ）的汽车的刹车距离s （m ），可由公式s=100
1v 2确定，当v=50km/h 时，该汽车与前面的汽车至少应保持 m ，才能使两车不相撞。
5、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情
况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t(s)满足：s= v 0t －2
1gt 2(其中g 是常数，通常取10m/s 2)。若v 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距地面 m 。 ● 能力提升
6．某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,
窗户的面积是多少?(A) a (B) a (C) (D)
2018年上海市黄浦区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中， 有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（） A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．b+2a＞0 2．（4分）若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y＝2x2，则原来抛物线的表达式为（） A．y＝2x2+2B．y＝2x2﹣2C．y＝2（x+2）2D．y＝2（x﹣2）2 3．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，则下列等式成立的是（）A．B．C．D． 4．（4分）如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（） A．OC＝1，OD＝2，OA＝3，OB＝4B．OA＝1，AC＝2，AB＝3，BD＝4 C．OC＝1，OA＝2，CD＝3，OB＝4D．OC＝1，OA＝2，AB＝3，CD＝4．5．（4分）如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令，则＝（）
A．1B．C．D．2 6．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（） A．20°B．40°C．60°D．80° 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则＝．8．（4分）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB＝3：2，那么BF：FC＝． 9．（4分）已知向量为单位向量，如果向量与向量方向相反，且长度为3，那么向量＝．（用单位向量表示） 10．（4分）已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝度． 11．（4分）已知锐角α，满足tanα＝2，则sinα＝． 12．（4分）已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方
第二章二次函数 第一节二次函数概念以及表示方法 想一想：并把结果写在下面相应的横线上 1、正方形边长用x表示，面积用y表示，如何用x表示y？ 2、圆半径用x表示，面积用y表示，如何用x表示y？ 3、圆半径为1，若半径再增加x，那么增加的面积用y表示，如何用x 表示y？ 4、一个数平方的2倍，再加这个数，再减少1得到另一个数，若第一个 数用x表示，得到的这个数用y表示，如何用x表示y？ （1） （2） （3） （4） 5、果园有橙子树100棵时每棵树平均能结橙子600个，若多种一棵，导 致平均每棵树少结5个橙子。 （1）问题中变量有那些。 （2）设增种了x棵树，则总共有棵树，导致每棵少结个橙子，那么平均每棵结橙子个 （3）设总产量为y，则x和y的关系式表示为 （4）列表计算 总结： 二次函数概念： 一般地，若对于两个变量x和y，y可以用x表示成c bx ax y+ + =2的形式（c b a, ,是常数，且0 ≠ a），我们把y叫做x的二次函数。 二次函数特征： （1）x的最高次数 （2）二次项为，二次项的系数为 （3）看分母，它是一个方程 自己写几个二次函数： （1）（2） （3）（4） 设银行年利率为x，若存款额为100元，两年后本息合计为y 元，则如何用x表示y？（注第一年利息计入下年本金）
随堂练习： 【例1】 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x2；④y=2 1 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． 1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式． 2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式． 3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式． 【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式． 【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 【例6】如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题： （1）在第n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）； （2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）； （3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； （4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？ （5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？ 课后练习: 1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m －2）x 2 2-m 是二次函数． 3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积． 5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2 1mv 2 （m 为定值）． （1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值： （2 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2 ＋4 B ．y=－3 1x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数 8．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．S=2π（x ＋3）2 B ．S=9π＋x C ．S=4πx 2＋12x ＋9 D ．S=4πx 2＋12x ＋9π 9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ） A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D ．圆的周长与圆的半径之间的关系． 10．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y=6x 2 ＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26 x ＋1 11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为 30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围． 12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ． 13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x 元，每天所赚利润为y 元，请你写出y 与x 之间的函数表达式？ 14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a （m ），则正方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？ 15．⑴已知：如图菱形ABCD 中，∠A=60°，边长为a ，求其面积S 与边长a 的函数表达式． ⑵菱形ABCD ，若两对角线长a ：b=1：3，请你用含a 的代数式表示其面积S ． ⑶菱形ABCD ，∠A=60°，对角线BD=a ，求其面积S 与a 的函数表达式． 16．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动， 同时， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围． 17．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作 DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ． （1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ； （2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．
26.3实践与探索 第2课时二次函数实物或几何模型 知I识I目I标 1.通过模拟、问题变式等，能把实物中的距离、高度、长度等问题转化为二次函数的问题, 并 加以解决. 2.通过销售问题中的成本价、销售价、利润等关系，建立二次函数模型，借助二次函数的性质 探究出最佳方案. 、目标突破W ______________________ 有的放矢 目标一能解决抛物线形实物模型问题 例1教材问题2针对训练如图26-3-4①所示是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②). (1)求抛物线所对应的函数关系式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的步骤： (1)恰当地建立平面直角坐标系； ⑵将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标求出关系式； (5)利用关系式求解问题. 目标二能用二次函数探究销售中的最佳方案 例2高频考题超市的售货员小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，每千克进价为2元的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价班元/千克)之间满足20卄200(3WxW5), 若要使销售该种苹果当天的利润达到最高，则其售价应为() A. 5元/千克 B. 4元/千克 C. 3. 5元/千克 D. 3元/千克 例3高频考题为满足市场需求，某超市在端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒. （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价*元）之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； （2）当每盒售价定为多少元时，每天的销售利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门规定：这种粽子每盒的售价不得高于58元.如果超市想要每
二次函数图像性质 1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ， ①abc ＜0；② 24b ac <；③1-=-b ac ； ④02<+b a ；⑤ a c OB OA -=?； ⑥024< +-c b a 。其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是 3，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ________________．(填序号) 5．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结 论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点（-2，0）（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在（0，2）下方。下列结论：（1）4a-2b+c=0.(2)a ＜b ＜0.（3）2a+c ＞0.（4）2a-b+1＞0.其中正确的序号是 . 第（16）题
第二章二次函数单元测试 一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 ) 1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 2 2．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 － 1 － 1 1 则该二次函数图象的对称轴为( ) 5 3 A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝2 3．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 () A．±1 B． 0 C． 1 D．－1 图 8－Z－1 c 4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1 所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 () 图 8－Z－2 为 5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为() x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)
图 8－Z －3 6．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分 ，图象过点 (－ 3，0)，对称轴 ① b 2 ＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5 为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ， C － 1 ，y 2 为函数图象上的两点 ，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 ( ) 2 A ．②④ B ．①④ C ．①③ D ．②③ 图 8－Z －4 7．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 Rt △OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°， 得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 ( ) A ．( 2， 2) B ．(2，2) C ．( 2，2) D ．(2， 2) 二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 ) 8． 函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时 ， x ＝ ________． 9． 将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位 ，再向下平移 4 个单位长度 ，那么得到 的抛物线的表达式为 ____________ ． 10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线 ，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系 ，若抛 物线的表达式为 y ＝－ 1 2 2 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.
二次函数y=a （x-h)2 +k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.会用描点法画出二次函数2 ()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2 ()y a x h k =-+与2 y ax =图象之间的关系； 2.熟练掌握函数2 ()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2 ()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题； 3.经历探索2 ()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2 ()y a x h k =-+与2 y ax =、2 y ax k =+、 2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 【要点梳理】 要点一、函数2 ()(0)y a x h a =-≠与函数2 ()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2 ()(0)y a x h a =-≠的图象与性质 2.函数2 ()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 要点诠释： 二次函数2 ()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 【典型例题】 类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质 1．将抛物线2 2(1)3y x =-+作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向． 【答案与解析】 抛物线2 2(1)3y x =-+的顶点为(1，3)． (1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变， 所以a ＝2，得到抛物线解析式为2 2 2(1)242y x x x =+=++． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则2a =-， 所得抛物线解析式为2 22(1)3241y x x x =--+=-++．
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2 －4x+1； ②y=2x 2 ； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2 +5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数y=(m －1)x m2 +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2 +k ，则最值为k ； 如果解析式为一般式y=ax 2 +bx+c ，则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2 －m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2 +bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2 ＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2 +2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2 +mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2 －2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。
二次函数的应用第二课时教案 2.4二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。教学过程：一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？ l与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。二、例题讲解例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两
船同时出发，a船发每小时km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2 =(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 。（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。解:设经过t时后，a，b ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为 s=a’b’=ab’2+aa’2 =(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0）当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。所以当t=1013 时，s最小值=576 =24（km）答：经过1013 时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。三、课堂小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、布置作业见作业本 2.4二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数
初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号? 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对Array值越大， 抛物线的 开口越 小。 2. 2 y ax c =+ 的性质： 上加下 减。 )2h-
第二章 二次函数复习教案 一、知识网络 二、知识要点 1．定义：形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其图象是抛物线． 2．性质：抛物线2 y ax bx c =++可变形为2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? 的 形式，它的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是2424b ac b a a ??-- ??? ，．当0a >时，开口向上，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧， y 随x 的增大而增大，当2b x a =- 时，y 有最小值；当0a <时，开口向下，在对称轴左侧， y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的 增大而减小，当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 3．表达式的形式
一般式：2(0) y ax bx c a =++≠； 顶点式：2()y a x h k =-+（0a ≠，其中（h k ，）是抛物线的顶点坐标）． 三、精典考题 例1 （北京）函数2y ax bx c =++的图象如图１所示，则下列结论正确的是 （ ）． Ａ．0ab >，0c > Ｂ．0ab >，0c < Ｃ．0ab <，0c > Ｄ．0ab <，0c < 析解：由抛物线开口向下知0a <，由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上知0c >，又由抛物线的对称轴02b x a =->及0a <知0b >，所以0ab <，0c >．故选Ｃ． 点评：抛物线的系数a b c ，，与图象间的关系如下表： 例２ （台洲、温州市）将抛物线22y x =向左平移1个单位，再向上平移３个单位得到的抛物线的表达式是（ ）．
26.3．5实际问题与二次函数 学习目标：1．会将二次函数的图象与二次函数关系式中系数的关系进行对应。 2．能结合相关函数关系式判断它们正确的位置，能求出它们的交点。 学习过程： 活动一：能判别相关函数关系式所决定的图象特征,利用特征解决相关问题。 1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象仅不经过第二象限，则c b a 、、的取值范围是（ ） A ．a>0 b<0 c>0 B ． a<0 b<0 c<0 C ．a<0 b>0 c<0 D ． a<0 b>0 c>0 2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（ A a>0 b<0 c>0 B a<0 b<0 c>0 C a<0 b>0 c<0 D a<0 b>0 c>0 3．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0； ②c>0；③b 2－4ac>0，其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 归纳：二次函数y=ax 2+bx+c ，它的对称轴是直线 ，顶点坐标 是 ，其中ａ决定图象的 ， 决定 图象的对称轴即顶点横坐标， 决定图象与y 轴的交点位置， 不仅决定顶点纵坐标，还决定 。当 时，图象与x 轴有两个不同的交点；当 时，图象与x 轴有两个相同的交点；当 时，图象与x 轴没有交点。 反馈： 1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系： ①2a+b<0；②a+b+c=0；③ac>0；④4a+b<0；⑤b 2－4ac>0．其中成 立的是 （填序号） 2． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且过(3，0)， 则a ＋b ＋c ＝______。 活动二：会求与二次函数有关的交点问题。 已知一次函数y=2x+2和二次函数y=x 2+3x ，试求出一次函数与坐标轴的交点坐标和两个函数图象的交点坐标。 归纳：求函数图象与两坐标轴的交点坐标可以 。求两个函数的交点坐标可以 。
人教版初中数学二次函数技巧及练习题 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）
《最大面积是多少》典型例题 有许多面积的最大（小）值问题，是屮考的重点题型，常常是例用二次函数的最大（小）值来解决的，现举例说明这类问题的解法. 例1?现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m,宽为30m,要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；菊花；C.月季；D.牵牛花. A 1 c 1 A x—? M— 4-J 91 （1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自为量的取值范禺. （2）当兀是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 分析：这是花草种植面积的最值问题，先根据矩形的面枳公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值. 解：（1）由题意知，B场地宽为（30-x）m, y = x（30-x） = -x2 + 30x ,自变量x的取值范围为0 vxv3O. （2） y 二一F+30X =-（X-15）2+225, 当x = 15m时，种植菊米的面积最大，最大面积为225ml 例2.某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长）, 另外的部分用30米的竹篱笆围成，现在两种方案：①围成一个矩形（如图2）；②围成一个半圆形（如图3）.设矩形的面积为$平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为/米, 请你通过计算帮助农场主选择一个圉成区域而积最大的方案（龙= 3）. //////// ///////////// X Si 分析：这是一道实际应用问题，方案②中半圆的血积是固定不变的，解决本题的关键是确定方案①中矩形而积的最大值，然后再比较?因此，对于方案①，需要根据矩形的面积构造二次函数，通过求二次函数的最值解决.
人教版初中数学二次函数难题汇编及答案 一、选择题 1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 1 2 > ；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ） A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误， 当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确， 当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0， 由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ， 则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a - >-，a ＞0，得1 22b a >>，故③正确， 故选C ． 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0； 由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确） ：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确） 故选D ． 考点：二次函数图像与系数的关系. 3．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）
初中数学二次函数难题汇编 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-?
∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误； ③对称轴：直线12b x a =- =-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误； ④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确． 【详解】 解：①∵抛物线与x 轴由两个交点， ∴240b ac ->， 即24b ac >， 所以①正确； ②由二次函数图象可知， 0a <，0b <，0c >，
第二章二次函数 单元测试（2） 一、选择题 1.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（） A. 直线x=1 B. 直线x=﹣1 C. 直线x=﹣2 D. 直线x=2 2.若所求的二次函数图象与抛物线2 =--有相同的顶点，并且在对称轴 y2x4x1 的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（） A．224 =---（＞） y ax ax a y x x =-++ B．2230 C．2 y ax ax a a =-+-（＜） =--- D．2230 y x x 245 3.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点P（3，0），则的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 4.如果抛物线 y ＝－ x 2 +2( m －1) x + m +1与 x 轴交于 A 、 B 两点，且 A 点在 x 轴正半轴上， B 点在 x 轴的负半轴上，则 m 的取值范围应是（）A． m ＞1 B． m ＞－1 C． m ＜－1 D． m ＜1 5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( ) A．3 B．－1 C．4 D．4或－1 6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( ) A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论： ①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－5≤x≤0时，它的最大值与最小值分别是( ) A．1，－29 B．3，－29 C．3，1 D．1，－3 9.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a x 与正比例函数y＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( ) 10.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( ) A.y＝26 675x2 B.y＝ 26 675 -x2 C.y＝ 13 1350 x2 D.y＝ 13 1350 -x2 二、填空题 11.如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________．