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6.万有引力专题

专题六：万有引力

一．万有引力定律与天体运动

开普勒三定律 [基础导引]

开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置(近地点)和最远的位置(远地点)，哪点的速度比较大？ [知识梳理]

1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上． 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．

3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都相等，即a 3

T 2＝k .

思考：开普勒第三定律中的k 值有什么特点？万有引力定律 [基础导引]

根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在

地球表面的重力加速度都是相等的？为什么高山上的重力加速度比地面的小？ [知识梳理] 1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比． 2．公式

____________，通常取G ＝____________ N·m 2/kg 2，G 是比例系数，叫引力常量． 3．适用条件

公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到________间的距离．

考点一天体产生的重力加速度问题考点解读

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：

设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GM

2(或GM ＝gR 2)

若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G Mm (R ＋h )2，即g ′＝GM (R ＋h )2＝R 2

(R ＋h )2g .

典例剖析

例1 某星球可视为球体，其自转周期为T ，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P ，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P ，则星球的平均密度是多少？

跟踪训练1 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R

＝6 400 km ，地球表面重力加速度为g .这个小行星表面的重力加速度为

( )

A ．400g

B.1

400

C ．20g

D.120

g 考点二天体质量和密度的计算考点解读

1．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR

2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T ，轨道半径r .

(1)由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3

2；

(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3πr

GT 2R

3；

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π

2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估测出中心天体的密度．特别提醒不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg ＝G Mm

R 2.从而得出GM ＝gR 2(通常称为黄金

代换)，其中M 为该天体的质量，R 为该天体的半径，g 为相应天体表面的重力加速度．典例剖析

例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11

N·m 2/kg 2，由此估算该行星

的平均密度约为

( )

A ．1.8×103 kg/m 3

B ．5.6×103 kg/m 3

C ．1.1×104 kg/m 3

D ．2.9×104 kg/m 3

跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G .仅利用以上数据，可以计算出

( )

A ．火星的密度和火星表面的重力加速度

B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C ．火星的半径和“萤火一号”的质量

D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力双星模型

例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．

(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．

(2)设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式．建模感悟

1．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小． 2．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比．

3．要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系

设两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

M 1：G M 1M 2L 2＝M 1v 21r 1

＝M 1r 1ω2

M 2：G M 1M 2L 2＝M 2v 22r 2

＝M 2r 2ω2

在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径．

跟踪训练3 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m . (1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．

(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

[巩固提升]

A 组开普勒定律的应用

1．(2010·新课标全国·20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T /T 0)，纵轴是lg(R /R 0)；这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是

( )

2．(2011·安徽·22)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它

的公转周期T 的二次方成正比，即a 3

T 2＝k ，k 是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆

周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式．已知引力常量为G ，太阳的质量为M 太． (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m ，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s ，试计算地球的质量M 地．

(G ＝6.67×10

－11

N·m 2/kg 2，结果保留一位有效数字)

B组万有引力定律在天体运动中的应用

3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为()

4π

3Gρ B.

4πGρ

C. 3π

Gρ D.

Gρ

4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为

()

A．0.5 B．2 C．3.2 D．4

5．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.

二．卫星与航天

宇宙速度

[基础导引]

试推导地球的第一宇宙速度．已知地球半径为6 400 km，地球质量为5.98×1024kg，万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.

[知识梳理]

思考：三种宇宙速度是环绕速度还是发射速度？发射卫星的最小速度是多大？卫星绕地球运行的最大速度为多大？

人造卫星

[基础导引]

已知地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，试求出轨道半径为r的卫星的线速度、角速度和周期的表达式．

[知识梳理]

1．人造卫星的动力学特征

万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m v 2

r ＝mrω2＝m (2π

T )2r .

2．人造卫星的运动学特征

(1)线速度v ：v ＝ ____________，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小． (2)角速度ω：ω＝ ____________，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小． (3)周期T ：T ＝ ____________，随着轨道半径的增大，卫星的周期增大．特别提醒 (1)卫星绕地球运行的最小周期约为85分钟．

(2)人造地球卫星绕地球运行时，处于失重状态，并不是不受重力作用，是因为重力完全用来提供卫星做圆周运动的向心力．

考点一同步卫星考点解读

同步卫星的五个“一定”

1．轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． 2．周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h. 3．角速度一定：与地球自转的角速度相同．

4．高度一定：由G Mm (R ＋h )2

＝m 4π2

T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R .

5．速率一定：v ＝ GM

R ＋h .

典例剖析

例1 如图1所示，地球赤道上的山丘e ，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( ) A. v 1>v 2>v 3 B. v 3a 2>a 3

D. a 1