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最新人教版高中数学选修1-1《简单的逻辑联结词》拓展延伸

最新人教版高中数学选修1-1《简单的逻辑联结词》拓展延伸
最新人教版高中数学选修1-1《简单的逻辑联结词》拓展延伸

拓展延伸

应用点1.命题的构成形式

【例1】指出下列命题的构成形式:

(1)96是48与16的倍数;

(2)方程x 2-3=0没有有理根;

(3)x 2-x -2≥-5.

解:(1)这个命题是“p 且q ”的形式,其中p :96是48的倍数,q :96是16的倍数.

(2)这个命题是“p ”的形式,其中p :方程x 2-3=0有有理根.

(3)这个命题是“p 或q ”的形式,其中p :x 2-x -2>-5,q :x 2-x -2=-5.

点评:判断一个命题的构成形式,不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”,还要从命题表达的意思上去理解.

应用点2.判断命题的真假

【例2】判断下列命题的真假:

(1)不等式|x +2|≤0没有实数解;

(2)-1是偶数或奇数; (3)2属于集合Q ,也属于集合R .

思路分析:先确定命题的构成形式,然后再根据真值表判断命题的真假.

解:(1)此命题是“p ”的形式,其中p :不等式|x +2|≤0有实数解.因为x =-2是该不等式的一个解,所以命题p 为真命题,即p 为假命题,所以此命题为假命题.

(2)此命题是“p ∨q ”的形式,其中p :-1是偶数,q :-1是奇数.因为命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以p ∨q 为真命题,故原命题为真命题.

(3)此命题为“p ∧q ”的形式,其中p :2∈Q ,q :2∈R .因为命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以,命题p ∧q 为假命题,故原命题为假命题.

应用点3.涉及逻辑联结词的综合性问题

【例3】已知p :关于x 的一元二次方程x 2-mx +2=0有两个不等实根;q :关于x 的一元二次方程x 2+5x -m +1=0无实根.若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求m 的取值范围.

解:若方程x 2-mx +2=0有两个不等实根,则有△=m 2-8>0,

即m >22或m <-22,即p :m >22或m <-22.

若方程x 2+5x -m +1=0无实根,则有△=25-4(-m +1)<0,

即m <-214,即q :m <-214

. ∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴命题p 、q 一真一假.

①当p 真q 假时,则有?????

m >22或m <-22,

m ≥-214,

∴-214≤m <-22或m >22. ②当p 假q 真时,则有?

????

-22≤m ≤22,

m <-214,此不等式组无解. 综合①②可知,m 的取值范围是-214

≤m <-22或m >22. 应用点4.命题的否定与否命题

【例4】写出下列各命题的否定形式及否命题:

(1)若xy =0,则x =0或y =0;

(2)菱形的对角线相等且互相垂直;

(3)若m 2+n 2+a 2+b 2=0,则实数m ,n ,a ,b 全为零.

解:(1)否定形式:若xy =0,则x ≠0且y ≠0;

否命题:若xy ≠0,则x ≠0且y ≠0.

(2)否定形式:菱形的对角线不相等或不互相垂直;

否命题:如果一个四边形不是菱形,则它的对角线不相等或不互相垂直.

(3)否定形式:若m 2+n 2+a 2+b 2=0,则实数m ,n ,a ,b 不全为零;

否命题:若m 2+n 2+a 2+b 2≠0,则实数m ,n ,a ,b 不全为零.

点评:分清所给命题的条件和结论是解题的关键.命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.

指出下列命题的构成形式:

(1)等边三角形是锐角三角形,也是等腰三角形;

(2)集合A (A ∪B ); (3)矩形有外接圆或内切圆.

判断下列命题的真假:

(1)数列{2n }是递增数列,也是等比数列;

(2)0没有方向;

(3)函数y =cos x 是周期函数或是奇函数.

已知命题p :函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在区间(0,+∞)上单调递增,命题q :函数f (x )=ax 2-ax +1对于任意x ∈R 都有f (x )>0恒成立.如果p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命

题,求实数a 的取值范围.

写出下列命题的否定形式和否命题:

(1)等腰三角形有两个内角相等;

(2)整数的平方是正数.

迁移1.解:(1)形式:p ∧q ,其中p :等边三角形是锐角三角形;q :等边三角形是等腰三角形.

(2)形式:p ,其中p :A ?(A ∪B ).

(3)形式:p ∨q ,其中p :矩形有外接圆;q :矩形有内切圆.

迁移2.解:(1)此命题是“p ∧q ”的形式,其中p :数列{2n }是递增数列;q :数列{2n }是等比数列,因为p ,q 都是真命题,故原命题为真命题.

(2)此命题是“p ”的形式,其中p :0有方向,因为p 为真命题,故原命题为假命题.

(3)此命题是“p ∨q ”的形式,其中p :y =cos x 是周期函数;q :y =cos x 是奇函数,因为p 为真命题,故原命题为真命题.

迁移3.解:若命题p 为真,有a >1,所以命题p 为假有0<a <1.

若命题q 为真,有a =0或?????

a >0,a 2-4a <0.解得0≤a <4,所以命题q 为假时,a <0或a ≥4. 因为p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,即p ,q 一真一假,所以有p 真q 假或p 假q 真. 即????? a >1,a <0或a ≥4,或?????

0<a <1,0≤a <4. 解得a ≥4或0<a <1.

所以所求a 的取值范围是(0,1)∪[4,+∞).

迁移4.解:(1)否定形式:等腰三角形的任意两个内角都不相等;

否命题:如果一个三角形不是等腰三角形,则它的任意两个内角都不相等.

(2)否定形式:整数的平方不是正数;

否命题:如果一个数不是整数,则它的平方不是正数.

高中数学必修一专题复习

第一章集合与函数概念 知识架构

第一讲 集合 ★知识梳理 一:集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 3.集合中元素与集合的关系: 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+ N Z Q R C 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素 都相同 B A ?且A ?B ? B A = 子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素,且B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 A ?φ,φ B (φ≠B ) 三:集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 交 并 补 {|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或 U C A ={}x x U x A ∈?且

★重、难点突破 重点:集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点:正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化,准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点: 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特别注意集合中元素的互异性, 在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验; 2.集合的表示法 (1)列举法要注意元素的三个特性;(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别,如果对集合中代表元素认识不清,将导致求解错误: 问题:已知集合221,1,9432x y x y M x N y ???? =+==+=????????? 则M N=( ) A. Φ;B. {})2,0(),0,3(;C. []3,3-;D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ,集合N 表示直线12 3=+y x ,由于这直线过椭圆的两个顶点,于是错选B [正解] C ; 显然{} 33≤≤-=x x M ,R N =,故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3.集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即A ?φ (2)任何集合都是它本身的子集,即A A ? (3)子集、真子集都有传递性,即若B A ?,C B ?,则C A ? 4.集合的运算性质 (1)交集:①A B B A =;②A A A = ;③φφ= A ;④A B A ? ,B B A ? ⑤B A A B A ??= ;

高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示)。 (3)常用数集及其表示符号 (4)集合的表示法:列举法;描述法;图示法。 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算 x x } x B ∈ x x } x B ∈ (1)A A ?=; (2)A A A =; A B B = B A =? A (1)A?=? (2)A A A =; A B B = (4)A B A =? A B ? () U C A= () U U C A= (4)()( U C A B= (5)()( U C A B= 知识拓展: 设有限集合A中元素的个数为n,则(1) (1)A的子集个数是2n; (2)A的真子集个数是2n-1; (3)A的非空子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2。

一、不等式的定义 用数学符号“>、<、≤、≥、≠”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式。 二、不等式的基本性质 三、比较大小的基本方法 作差法: 理论依据:0;0;0a b a b a b a b a b a b ->?>-?? >?的解集为}{x x b >;(2)x a x b ?? ?的解集为? 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 2y ax bx =+(0)a >的图像3、绝对值不等式 (1)当0a >时,有{ x a x x a >?>或}x a <;{ }x a x a x a ?≠;0x

【必考题】高中必修一数学上期末试卷附答案(1)

【必考题】高中必修一数学上期末试卷附答案(1) 一、选择题 1.已知()f x 在R 上是奇函数,且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时,则 A .-2 B .2 C .-98 D .98 2.设a b c ,,均为正数,且122log a a =,12 1log 2b b ??= ???,21log 2c c ??= ???.则( ) A .a b c << B .c b a << C .c a b << D .b a c << 3.定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意的1x ,212[0,)()x x x ∈+∞≠,有 2121 ()() 0f x f x x x -<-,则( ). A .(3)(2)(1)f f f <-< B .(1)(2)(3)f f f <-< C .(2)(1)(3)f f f -<< D .(3)(1)(2)f f f <<- 4.已知函数ln ()x f x x =,若(2)a f =,(3)b f =,(5)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .b c a << B .b a c << C .a c b << D .c a b << 5.对于函数()f x ,在使()f x m ≤恒成立的式子中,常数m 的最小值称为函数()f x 的 “上界值”,则函数33 ()33 x x f x -=+的“上界值”为( ) A .2 B .-2 C .1 D .-1 6.函数 ()()2 12 log 2f x x x =-的单调递增区间为( ) A .(),1-∞ B .()2,+∞ C .(),0-∞ D .()1,+∞ 7.把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位,所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称;已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--,当[]0,1x ∈时, ()()1h x g x =-;若函数()()y k f x h x =?-有五个零点,则正数k 的取值范围是 ( ) A .()3log 2,1 B .[ )3log 2,1 C .61log 2, 2? ? ??? D .61log 2,2 ?? ?? ? 8.已知函数()2log 14x f x x ?+=?+? 0x x >≤,则()()3y f f x =-的零点个数为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:(1)(3)0f x f x ++-=,且(1)0f ≠,若函数 6()(1)cos 43g x x f x =-+?-有且只有唯一的零点,则(2019)f =( ) A .1 B .-1 C .-3 D .3

高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习

北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解 第一章集合与函数概念 知识架构 第一讲集合

★知识梳理 一:集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 3.集合中元素与集合的关系: 三:集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 {|B x x ={|B x x =

★重、难点突破 重点:集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点:正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化,准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点: 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特别注意集合中元素的互异性, 在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验; 2.集合的表示法 (1)列举法要注意元素的三个特性;(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别,如果对集合中代表元素认识不清,将导致求解错误: 问题:已知集合221,1,9432x y x y M x N y ????=+==+=????????? 则M N=( ) A. Φ; B. {})2,0(),0,3(; C. []3,3-; D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆 14 922=+y x ,集合N 表示直线123=+y x ,由于这直线过椭圆的两个顶点,于是错选B [正解] C ; 显然{} 33≤≤-=x x M ,R N =,故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3.集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即A ?φ (2)任何集合都是它本身的子集,即A A ? (3)子集、真子集都有传递性,即若B A ?,C B ?,则C A ? 4.集合的运算性质 (1)交集:①A B B A =;②A A A = ;③φφ= A ;④A B A ? ,B B A ? ⑤B A A B A ??= ;

高一数学必修一期末试卷及答案 (1)

一、选择题。(共10小题,每题4分) 1、设集合A={x ∈Q|x>-1},则( ) A 、A ?? B 、2A ? C 、 2A ∈ D 、 {}2 ?A 2、设A={a ,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B=( ) A 、{1,2} B 、{1,5} C 、{2,5} D 、{1,2,5} 3、函数2 1 )(--= x x x f 的定义域为( ) A 、[1,2)∪(2,+∞) B 、(1,+∞) C 、[1,2) D 、[1,+∞) 4、设集合M={x|-2≤x ≤2},N={y|0≤y ≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( ) 5、三个数70。 3,0。37, ,㏑,的大小顺序是( ) A 、 70。 3,, ,㏑, B 、70。 3,,㏑, C 、 , , 70。 3,,㏑, D 、㏑, 70。 3, , 6、若函数f(x)=x 3 +x 2 -2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f(1)=-2 f= f= f= f= f= 那么方程x 3 +x 2 -2x-2=0的一个近似根(精确到)为( ) A 、 B 、 C 、 D 、 7、函数2,0 2,0 x x x y x -?????≥=< 的图像为( ) 8、设 ()log a f x x =(a>0,a ≠1),对于任意的正实数x ,y ,都有( ) A 、f(xy)=f(x)f(y) B 、f(xy)=f(x)+f(y) C 、f(x+y)=f(x)f(y) D 、f(x+y)=f(x)+f(y) 9、函数y=ax 2 +bx+3在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,则( ) A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ,b 的符号不定 10、某企业近几年的年产值如图,则年增长率最高的是 ( )(年增长率=年增长值/年产值) A 、97年 B 、98年 C 、99年 D 、00年 二、填空题(共4题,每题4分) 11、f(x)的图像如下图,则f(x)的值域为 ; 0099 98 97 96 (年) 2004006008001000(万元)

人教A版高中数学必修一专题讲解 全套名师教学资料

高中数学必修一专题讲解 高中数学必修一专题讲解(集锦) 专题一:抽象函数常见题型解法 总章——抽象函数的考察范围及类型 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f (x )的定义域是[-2,2],则函数y = f (x+1)+f (x -1)的定义域为 11≤≤-x 。 解:f(x)的定义域是[]2,2-,意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习:已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ,求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2:已知函数()x f 3log 的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析: 已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 练习:定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-,若它的反函数为f -1(x),则y=f -1(2-3x)的定义域为 ,值域为 。(]8,3,34,0?? ??? ?

(完整)高中数学必修一期末试卷和答案

人教版高中数学必修一测试题二 一、选择题:本大题10小题,每小题5分,满分50分。 1、已知全集I ={0,1,2,3,4},集合{1,2,3}M =,{0,3,4}N =,则()I M N I e等于 ( ) A.{0,4} B.{3,4} C.{1,2} D. ? 2、设集合2{650}M x x x =-+=,2{50}N x x x =-=,则M N U 等于 ( ) A.{0} B.{0,5} C.{0,1,5} D.{0,-1,-5} 3、计算:9823log log ?= ( ) A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点 ( ) A (0,1) B (0,3) C (1,0) D (3,0) 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则与故事情节相吻合是 ( ) 6、函数12 log y x =的定义域是( ) A {x |x >0} B {x |x ≥1} C {x |x ≤1} D {x |0<x ≤1} 7、把函数x 1y -=的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得函数的解析式 应为 ( ) A 1x 3x 2y --= B 1x 1x 2y ---= C 1x 1x 2y ++= D 1 x 3x 2y ++-=

8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=,,则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 C f(x)与g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 9、使得函数2x 2 1x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 10、若0.52a =,πlog 3b =,2log 0.5c =,则( ) A a b c >> B b a c >> C c a b >> D b c a >> 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分 11、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2,2]上的值域是______ 12、计算:2391- ??? ??+3 2 64=______ 13、函数212 log (45)y x x =--的递减区间为______ 14、函数1 22x )x (f x -+=的定义域是______ 三、解答题 :本大题共5小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (15分) 计算 5log 333 3322log 2log log 859 -+-

高一数学必修一《集合》专题复习

高一数学必修一《集合》专题复习 一.集合基本概念及运算 1.集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A .5 B .6 C .7 D .8 2.已知{}{}1,2,3,2,4A B ==,定义{}|A B x x A x B -=∈?且,则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 ( ) A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4.已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ,集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e( ) A .[]1,2 B .(]2,4 C .[)1,2 D .[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-,则A B = _________。 6、已知R x ∈ ,集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-,求x 的值和集合A?B . 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞,若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8.已知集合,,且,求实数 的取值范围。 9.设U R =,集合{}2|320A x x x =++=,{} 2|(1)0B x x m x m =+++=; 若A B ?,求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>,U R =. (I)求A B , U C A B ;(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围.

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期: 1.1.1命题 (一)教学目标 1、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题,能判断命题的真假;能把命题改写成“若p,则q”的形式; 2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 (二)教学重点与难点 重点:命题的概念、命题的构成 难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 (三)教学过程 学生探究过程: 1.复习回顾 初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题? 2.思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点. (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)若x2=1,则x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 3.讨论、判断 学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。其中(1)(3)(5)的判断为真,(2)(4)(6)的判断为假。 教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。 4.抽象、归纳 定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的定义的要点:能判断真假的陈述句. 在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的定义,判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解.

高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?” 表示)。 (3)常用数集及其表示符号 (4)集合的表示法:列举法;描述法;图示法。 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算

x x }x B ∈ x x }x B ∈ (1)A A ?=(2)A A A =; A B B =A B A =? (1)A ?=?(2)A A A =; A B B =; (4) A B A =? A B ? ()U C A =()U U C A =(4)()(U C A B =(5)U C 知识拓展: 设有限集合A 中元素的个数为n ,则(1) (1)A 的子集个数是2n ; (2)A 的真子集个数是2n -1; (3)A 的非空子集个数是2n -1; (4)A 的非空真子集个数是2n -2。 一、不等式的定义 用数学符号“> 、< 、≤ 、≥ 、≠ ”连接两个数或代数式以表示它 们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式。 二、不等式的基本性质

三、比较大小的基本方法 作差法: 理论依据:0;0;0 a b a b a b a b a b a b ->?>- ? ? > ? 的解集为} {x x b>;(2)x a x b < ? ? < ? 的解集为} {x x a<; (3)x a x b > ? ? < ? 的解解为} {x a x b <<;(4) x a x b < ? ? > ? 的解集为? 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 二次函 2 y ax bx =+

最新高中数学必修一期末试卷及答案

高中数学必修一期末试卷 姓名: 班别: 座位号: 注意事项: ⒈本试卷分为选择题、填空题和简答题三部分,共计150分,时间90分钟。 ⒉答题时,请将答案填在答题卡中。 一、选择题:本大题10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知全集I ={0,1,2,3,4},集合{1,2,3}M =,{0,3,4}N =,则() I M N 等于 ( ) A.{0,4} B.{3,4} C.{1,2} D. ? 2、设集合2{650}M x x x =-+=,2{50}N x x x =-=,则M N 等于 ( ) A.{0} B.{0,5} C.{0,1,5} D.{0,-1,-5} 3、计算:9823log log ?= ( ) A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点 ( ) A (0,1) B (0,3) C (1,0) D (3,0) 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则与故事情节相吻合是 ( ) 6、函数12 log y x =的定义域是( )

A {x |x >0} B {x |x ≥1} C {x |x ≤1} D {x |0<x ≤1} 7、把函数x 1y -=的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得函数的解析式应为 ( ) A 1x 3x 2y --= B 1x 1x 2y ---= C 1x 1x 2y ++= D 1 x 3x 2y ++-= 8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=,,则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 C f(x)与g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 9、使得函数2x 2 1x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 10、若0.52a =,πlog 3b =,2log 0.5c =,则( ) A a b c >> B b a c >> C c a b >> D b c a >> 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分 11、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2,2]上的值域是______ 12、计算:2391- ??? ??+3 2 64=______ 13、函数212 log (45)y x x =--的递减区间为______ 14、函数1 22x )x (f x -+=的定义域是______ 三、解答题 :本大题共5小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (15分) 计算 5log 333 3322log 2log log 859 -+-

高中数学必修1知识点、考点、题型汇总

集合与函数知识点讲解 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。

高中数学拓展知识一戴德金分割

高中数学拓展知识 戴德金分割 无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。直到1872年,德国数学家戴德金(Dedekind )从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 事实上,实数系的逻辑结构问题在19世纪后叶才引起数学家的重视。欧几里得(Euclid )关于比的理论的发展,两个无公度比的相等,只是在几何上可以适用。尽管如此,他的理论已经具备定义无理数的基本思想了。实际上,戴德金(Dedekind )定义无理数的方法确实借鉴了这种思想。 戴德金(Dedekind )是在直线划分的启发下来定义无理数的。他注意到把直线上的点划分为两类,使一类中的每一个点位于另一类中每一个点的左边,就必有一个且只有一个点产生这个划分。这一事实使得直线是连续的。他把这个思想运用到数系上来,就得到戴德金(Dedekind )划分。 将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集1A 和2A ,使得1A 中的每一个元素小于2A 中的每一个元素,这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割。即(1A ,2A )表示这个分割。 用数学语言表述戴德金分割:设1A 和2A 是满足以下三个条件的Q 的两个子集: (1)1A 和2A 都不是空集; (2)1A ∪2A Q =; (3)若1α∈1A ,2α∈2A ,则21αα<(从而1A ∩2A =φ)。

我们称序对(1A ,2A )为一个分割,并分别称1A 和2A 为该分割的下类和上类。 在一些分割中,或者1A 有最大数,或者2A 有最小数,这样的分割由一个有理数确定。 例如,对任一Q α∈,令A 1={x ∈Q|x<α},2A x Q|x α={∈≥},则(1A ,2A )显然是一个分割。 又令1B x Q|x α={∈≤},2B x Q|x α={∈>},显然(1B ,2B )也是一个分割。其中,(1A ,2A )的上类A 2有最小数α,(1B ,2B )的下类有最大数α,我们把这种分割称为有端分割。 有端分割对应所有的有理数。 下类无最大数且上类无最小数的分割称为无端分割。 无端分割是存在的。例如213C x Q|x ={∈<},223C x Q|x ={∈>}。 显然(C 1,C 2)的下类C 1无最大数,上类C 2无最小数。 对每一个可能的Q 的无端分割,都定义一个新数来填补Q 中的空隙;反之,每一个新数()Q α?也可对应Q 的一个无端分割: {}A x Q x α=∈<, {}A x Q x α'=∈>。 正是因为无端分割与新数一一对应的,所以不妨把无端分割本身用来充当新数。 我们称Q 的全体分割为分割集,用R 表示。 其中R 中任意两个元素(,)A A α'=与(,)B B β'=之间的序关系可定义如下: 在下类A 与B 都无最大元的约定下,若A B ≠ ?,则说αβ<;若A B =,则说αβ=;若A B ≠ ?,则说αβ>。

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高中数学必修一期末试卷和答案 人教版高中数学必修一测试题二 一、选择题:本大题10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。 1 、已知全集I {0,1,2,3,4} ,集合M {1,2,3} , N {0,3,4} ,则 (e I M ) I N 等于 ( ) A. { 0,4} B. {3,4} C. { 1,2} D. 2、设集合M { x x2 6 x 5 0},N { x x2 5x 0},则M UN等于() A. {0} B.{0,5} C. {0,1,5} D.{ 0,- 1,- 5} 3、计算:log2 9 log 38 =() A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数y a x 2(a 0且 a 1) 图象一定过点( ) A (0,1 ) B (0,3) C (1,0 )D(3,0 ) 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一 觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终 点用 S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则与故事情节相吻合是() 6、函数y log 1 x 的定义域是() 2 A {x | x>0} B {x |x≥ 1} C {x |x≤ 1} D {x | 0<x≤ 1} 7、把函数y 1 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后,所得函数的解析式x 应为() 2x 3 B y 2x 1 C y 2x 1 D 2x 3 A y 1 x 1 x 1 y 1 x x

x 1 e x 1 ,则 ( ) 8、设 f (x ) lg ,g(x) x x 1 e A f(x) 与 g(x) 都是奇函数 B f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数 C f(x) 与 g(x) 都是偶函数 D f(x) 是偶函数, g(x) 是奇函数 9、使得函数 f ( x) ln x 1 x 2 有零点的一个区间是 ( ) 2 A (0 ,1) B (1 ,2) C (2 ,3) D (3 ,4) 10、若 a 20.5 , b log π3 , c log 2 0.5 ,则( ) A a b c B b a c C c a b D b c a 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11、 函数 f ( x) 2 log 5 ( x 3) 在区间 [-2 ,2] 上的值域是 ______ 1 - 3 2 2 12、计算: + 64 3 = ______ 9 13、函数 y log 1 ( x 2 4 x 5) 的递减区间为 ______ 2 14、函数 f (x ) x 2 2x 的定义域是 ______ 1 三、解答题 :本大题共 5 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (15 分 ) 计算 2log 3 2 log 3 32 log 3 85log 5 3 9

高中数学必修一至必修五知识点精选

高中数学必修一至必修五知识点精选 必修一 1.函数奇偶性: (1)偶函数:对于函数f(x )定义域内任意一个x,都有f (-x)=f(x).图象关于y轴对称. (2)奇函数:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).图象关于原点对称. 奇函数和偶函数的性质: (1)若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =. (2)奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. 2.分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 3.对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. 4.几个重要的对数恒等式 log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. 5.常用对数:lg N ,即10log N 自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). 6.对数的运算性质 (1)log log log ()a a a M N MN += (2)log log log a a a M M N N -= (3)log log ()n a a n M M n R =∈ (4)log a N a N = (5)log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ (6)log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 7.指数函数 (1)定义:形如)1,0(≠>=a a a y x 且的函数,叫指数函数。 a>1 0<a <1 图象

人教版高中数学选修1-1知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、原命题:“若p ,则q ” 逆命题: “若q ,则p ” 否命题:“若p ?,则q ?” 逆否命题:“若q ?,则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若p q ?,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ?,则p 是q 的充要条件(充分必要条件). 利用集合间的包含关系: 例如:若B A ?,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式p q ∧;⑵或(or ):命题形式p q ∨; ⑶非(not ):命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“ 全称命题p :)(,x p M x ∈?; 全称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“?”表示;

特称命题p :)(,x p M x ∈?; 特称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?; 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于 12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:

高中数学拓展知识一欧拉公式

欧拉公式 等式i e cos i sin θθθ=+称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula )。 1714年,英国数学家科兹(1682-1716),首先发表了下述定理(用现代+, +, +, 在的展开式中把x 换成±ix . i =,4()i ±

3423(1-+)(-+)!3!4!2!1!3! x x x x x i +±=±, ix e cos x i sin x ±=±, ix e cos x i sin x =+ (x R ∈), 这个等式有一种直观的几何解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示,旋转这个向量,就相当于乘以一个虚数i 。据此建立一个以实数为横轴,虚数为纵轴的坐标系。实单位向量,每次逆时针旋转2 π, 可以分别得到结果1,i ,-1,-i ,1, 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度,得到的向量就是:θθsin cos i +。 根据欧拉公式 θθθsin cos i e i +=可以看出θi e 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以πi e 意味着单位向量逆时针旋转了π,结果显然是-1。

用积分的方法也可以证明欧拉公式。 设复数()z cos x i sin x,x R =+∈,两边对x 求导数,得 2dz sin x i cos x i sin x i cos x i(cos x i sin x )iz dx =-+=+=+=, 分离变量并对两边积分,得 1即dz idx,ln z ix C z ==+??, 取0x =得0C =,故有ln z ix =,即ix e cos x i sin x =+。 欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”,关于它也有一个好玩的故事。欧拉早年曾受过良好的神学教育,成为数学家后在俄国宫廷供职。一次,俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了,她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是,狄德罗被告知,一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在,要是他想听的话,这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。 “先生,10ei π+=,因此上帝存在。请回答!”对狄德罗来说,这听起来好像有点道理,他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑,使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国,女皇神态自若地答应了。 图3-1 意味着单位向量逆时针旋转了π

【典型题】高中必修一数学上期末模拟试题含答案(1)

【典型题】高中必修一数学上期末模拟试题含答案(1) 一、选择题 1.设a b c ,,均为正数,且122log a a =,12 1log 2b b ??= ???,21log 2c c ??= ???.则( ) A .a b c << B .c b a << C .c a b << D .b a c << 2.已知()f x 是偶函数,它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-,则x 的取值范围是( ) A .1,110?? ??? B .10, 10, 10 C .1,1010?? ??? D .()()0,110,?+∞ 3.已知函数()()2,2 11,22x a x x f x x ?-≥?=???-

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