a r X i v :h e p -t h /0507035v 2 15 D e c 2005KCL-TH-05-08
UUITP-10/05
HIP-2005-28/TH
hep-th/0507035
February 1,2008
Special holonomy sigma models with boundaries P.S.Howe 1,2,U.Lindstr¨o m 2,3and V.Stojevic 11Department of Mathematics,King’s College,London,UK 2Department of Theoretical Physics,Uppsala,Sweden 3HIP-Helsinki Institute of Physics,P.O.Box 64FIN-00014University of Helsinki,Suomi-Finland Abstract A study of (1,1)supersymmetric two-dimensional non-linear sigma models with boundary on special holonomy target spaces is presented.In particular,the consistency of the boundary conditions under the various symmetries is studied.Models both with and without torsion are
discussed.
Contents
1Introduction1 2Review of basics2 3Additional symmetries6 4Consistency9 5Target space geometry10 6Examples of solutions14 1Introduction
There has been a long history of interplay between di?erential geometry and supersymmetric non-linear sigma models starting with the observation that N=2supersymmtery in two di-mensions requires the sigma model target space to be a K¨a hler manifold[1].It was?rst pointed out in[2]that one could construct conserved currents in(1,1)sigma models given a covariantly constant form on the target space,and in[3]it was shown that the(1,1)model on a Calabi-Yau three-fold has an extended superconformal algebra involving precisely such a current constructed from the holomorphic three-form.In[4]symmetries of this type were studied systematically in the classical sigma model setting;each manifold on Berger’s list of irreducible non-symmetric Riemannian manifolds has one or more covariantly constant forms which give rise to conserved currents and the corresponding Poisson bracket algebras are non-linear,i.e.they are of W-symmetry type.Subsequently the properties of these algebras were studied more abstractly in a conformal?eld theory framework[5,6]and more recently in topological models[7].
In this paper we shall discuss two-dimensional(1,1)supersymmetric sigma models with bound-aries with extra symmetries of the above type,focusing in particular on target spaces with special holonomy.In a series of papers[8]-[12]classical supersymmetric sigma models with boundaries have been discussed in detail and it has been shown how the fermionic boundary conditions involve a locally de?ned tensor R which determines the geometry associated with the boundary. In particular,in the absence of torsion,one?nds that there are integral submanifolds of the projector P=1
The main new results of the paper concern boundary(1,1)models with torsion or with a gauge ?eld on the brane.There is no analogue of Berger’s list in the case of torsion but we can nevertheless consider target spaces with speci?c G-structures which arise due to the presence of covariantly constant forms of the same type.In order to generalise the discussion from the torsion-free case we require there to be two independent G-structures speci?ed by two sets of covariantly constant forms{λ+,λ?}which are covariantly constant with respect to two metric connections{Γ+,Γ?}and which have closed skew-symmetric torsion tensors T±=±H,where H=db,b being the two-form potential which appears in the sigma model action.This sort of structure naturally generalises the notion of bi-hermitian geometry which occurs in N=2sigma models with torsion[17,4]and which has been studied in the boundary sigma model context in [10].We shall refer to this type of structure as a bi-G-structure.The groups G which are of most interest from the point of view of spacetime symmetry are the groups which appear on Berger’s list and for this reason we use the term special holonomy.Bi-G-structures are closely related to the generalised structures which have appeared in the mathematical literature[19,20,21]. These generalised geometries have been discussed in the N=2sigma model context[22,23,24]. In a recent paper they have been exploited in the context of branes and generalised calibrations. We shall show that,in general,the geometrical conditions implied by equating the left and right currents on the boundary lead to further constraints by di?erentiation and that these constraints are the same as those which arise when one looks at the stability of the boundary conditions under symmetry transformations.It turns out,however,that these constraints are automatically satis?ed by virtue of the target space geometry.
We then study the target space geometry of some examples,in particular bi-G2,bi-SU(3)and bi-Spin(7)structures.Structures of this type have appeared in the supergravity literature in the context of supersymmetric solutions with?ux[27,28,30].
The paper is organised as follows:in section two we review the basics of boundary sigma models, in section three we discuss additional symmetries associated with special holonomy groups or bi-G-structures,in section four we examine the consistency of the boundary conditions under symmetry variations,in section?ve we look at the target space geometry of bi-G structures from a simple point of view and in section six we look at some examples of solutions of the boundary conditions for the currents de?ned by the covariantly constant forms.
2Review of basics
The action for a(1,1)-supersymmetric sigma model without boundary is
S= dz e ij D+X i D?X j,(2.1) where
e ij:=g ij+b ij,(2.2) b being a two-form potential with?eld strength H=db on the n-dimensional Riemannian target space(M,g).X i,i=1,...n,is the sigma model?eld represented in some local chart for M and z denotes the coordinates of(1,1)superspaceΣ.We shall use a light-cone basis so that
z=(x++,x??,θ+,θ?),with x++=x0+x1,x??=x0?x1.D+and D?are the usual?at superspace covariant derivatives which obey the relations
D2+=i?++;D2?=i???;{D+,D?}=0.(2.3) We use the convention that?++x++=1.We shall take the superspace measure to be
dz:=d2x D+D?(2.4) with the understanding that the super?eld obtained after integrating over the odd variables(i.e after applying D+D?to the integrand)is to be evaluated atθ=0.
As well as the usual Levi-Civita connection?there are two natural metric connections?±with torsion[17,18],
1
Γ(±)j ik:=Γj ik±
b ij(ψi+ψj++ψi?ψj?),(2.7)
4
where a i is a gauge?eld which is de?ned only on the submanifold where the boundary sigma model?eld maps takes its values.Note that the boundary here is purely bosonic so that the ?elds are component?elds,ψi±:=D±X i|,the vertical bar denoting the evaluation of a super?eld atθ=0).1The boundary term ensures that the action is unchanged if we add dc to b provided that we shift a to a?c.The modi?ed?eld strength F=f+b,where f=da,is invariant under this transformation.In the absence of a b-?eld one can still have a gauge?eld on the boundary. In the following we brie?y summarise the approach to boundary sigma models of references [8]-[12].We impose the standard boundary conditions[31]on the fermions,
ψi?=ηR i jψj+,η=±1,on?Σ(2.8) We shall also suppose that there are both Dirichlet and Neumann directions for the bosons. That is,we assume that there is a projection operator Q such that
Q i jδX j=Q i j˙X j=0,(2.9)
on?Σ.If F=0,parity implies that R2=1,so that Q=1
2(1+R)
is the complementary projector.In general,we shall still use P to denote1
2The occurrence of(combinations of)?eld equations as boundary conditions is discussed in[32].
E ij:=πk iπl j E kl.(2.18) From(2.18)we?nd an expression for R,
R i j=( E?1)ik E jk?Q i j,(2.19) where the inverse is taken in the tangent space to the brane,i.e.
( E?1)ik E kj=πi j.(2.20) We can multiply equation(2.14)with Q to obtain
P l[i P m j]?l Q k m=0.(2.21) Using(2.13)we can show that this implies the integrability condition forπ,
πl[iπm j]?l Q k m=0.(2.22) This con?rms that the distribution speci?ed byπin T M is integrable and the boundary maps to a submanifold,or brane,B.However,in the Lagrangian approach adopted here,this is implicit in the assumption of Dirichlet boundary conditions.When F=0the derivative of R along the brane is essentially the second fundamental form,K.Explicitly,
K i jk=P l j P m k?l Q i m=P l j??k Q i l.(2.23) The left and right supercurrents are
i
T+3:=g ij?++X i D+X j?
H ijk D?3X ijk(2.25)
6
The conservation conditions are
D?T+3=D+T?3=0.(2.26) The superpartners of the supercurrents are the left and right components of the energy-momentum tensor,D+T+3and D?T?3respectively.If one demands invariance of the total action under supersymmetry one?nds that,on the boundary,the currents are related by
T+3=ηT?3(2.27)
D+T+3=D?T?3.(2.28)
The supercurrent boundary condition has a three-fermion term which implies the vanishing of the totally antisymmetric part of
2Y i,jk+P l i H ljm R m k+
1
?+1a+?λ(+)i
1...i?+1
?(+)
?
D+(?+1)X i1...i?+1
= dz(?1)?D? 2
reductions of the structure group to the various special holonomy groups.In order to preserve the symmetry on the boundary we must have both left and right symmetries so there must be two independent such reductions.Thus we can say that we are interested in boundary sigma models on manifolds which have bi-G-structures.
Theλ-forms can be used to construct currents L(±)
±(?+1)
,
L(±)
±(?+1):=λ(±)i
1...i?+1
D±(?+1)X i1...i?+1(3.6)
If we make both left and right transformations of the type(3.2)we obtain
δS=
2(?1)?
?+1 ?Σ D+(a+?L(+)±(?+1))?D?(a??L??(?+1)) .(3.7) In order for a linear combination of the left and right symmetries to be preserved in the presence of a boundary the parameters should be related by
a+?=ηL a??,(3.8)
D+a+?=ηηL D?a??,(3.9)
on the boundary,whereηL=±1.3This implies that the currents and their superpartners should satisfy the boundary conditions
L(+)
+(?+1)=ηηL L(?)
?(?+1)
,(3.10)
D+L(+)
+(?+1)=ηL D?L(?)
?(?+1)
.(3.11)
The boundary condition(3.10)implies
λ(+)i
1...i?+1=ηLη?λ(?)j
1...j?+1
R j1i
1
...R j?+1i
?+1
.(3.12)
The algebra of left(or right)transformations was computed in the torsion-free case in[4].The commutators involve various generalised Nijenhuis tensors and the classical algebra has a non-linear structure of W-type.In fact,the generalised Nijenhuis tensors vanish in the absence of torsion.However,this is not the case when torsion is present.The commutator of two plus transformations of the type given in(3.2)is(we drop the pluses on the tensors to simplify matters),
[δL,d M]=δP+δN+δK(3.13)
where P and N are antisymmetric tensors given by
P LM=(L·M)[L,M]:=L p[L M p M](3.14) and
N iLM=(?+m+1)H jk[i L j L M k M]+(?1)?
?m
n?(?+m?2)
(3.16)
Here L stands for?antisymmetrised indices,L2indicates that the?rst of these should be omitted and so on.Square brackets around the multi-indices indicate antisymmetrisation over all of the indices.TheδK transformation is generated by the conserved current K:=T Q,where
Q:=Q L
2M2D+(?+m?2)X L2M2.Note that P and Q can be zero and that N is not the Nijenhuis
concomitant except in the special case that L=M=J,an almost complex structure.
The left and right symmetries commute up to the equations of motion.In the case of(2,2) models,closure of the left and right algebras separately requires the two type(1,1)tensors J(±) to be complex structures.They need not commute unless one demands o?-shell closure without the introduction of further auxiliary?elds.However,any two left and right symmetries of the above type commute up to a generalised commutator term as a simple argument shows.Letδ±denote left and right variations with two L-tensors,of di?erent rank in general.We have
δ+δ?X i=δ+ a?m L(?)i K D?m X K ,(3.17) where K denotes a multi-index with m antisymmetrised indices.Since all of the K indices are contracted we can replace theδ+variation by a covariant variation with the Levi-Civita connection provided that we take care of the remaining i index.The explicit connection term drops out in the commutator by symmetry.In the remaining terms one can introduce either ?(?),acting on L(?),or?(+),acting onδ+X k,and then show that all of the torsion terms cancel,bar one,again coming from the i index.However,this cancels in the commutator too, because the plus and minus connections are swapped in the other term.One thus?nds
[δ+,δ?]X i=(?1)n mn a?m a+n L(?)i mK2L(+)m pL2?L(+)i mL2L(?)m pL2 ×
D+(l?1)X L2D?(m?1)X K2 × ?(+)?D+X p ,(3.18)
the third factor being the equation of motion.The multi-index L associated with L(+)stands for n antisymmetrised indices.
4Consistency
In this section we shall examine the consistency of the boundary conditions,i.e we investigate the orbits of the boundary conditions under symmetry variations to see if further constraints arise.We shall show that the supersymmetry variation of the L-boundary condition(3.10)and the L-variation of the fermion boundary condition(2.8)are automatically satis?ed if(3.12)is. To see this we di?erentiate(3.12)along B to obtain
Y(+)k,[i
1mλ(+)
i2...i?+1]m
=0,(4.1)
where
Y(+)i,jk:=(R?1)jl(??(+)
i
R l k?H l im R m k).(4.2) Note that we have contracted the derivative with P rather thanπ;this is permissible due to the fact that Pπ=πP=P.Equation(4.1)says that Y(+),regarded as a matrix-valued one-form,takes its values in the Lie algebra of the group which leaves the formλ(+)invariant.The constraint corresponding to the superpartner of the L-current boundary condition is just the totally antisymmetric part of(4.1).
We now consider the variation of the fermionic boundary condition under L-transformations. We need to make both left and right transformations which together can be written
δX i=2a+?P i k L(+)k j
1...j?
D+?X j1...j?(4.3)
=2a??P i k L(?)k j
1...j?
D??X j1...j?.(4.4) A straightforward computation yields
(2??[k R i m]?P i n H n[k|p|R p m])L(+)k j
1...j?
D+(?+1)X j1...j?m=0.(4.5) We de?ne
Z(+)
i,jk
=(R?1)il(2??[j R l k]+P l m H m n[j R n k]),(4.6) which is the term in the bracket in(4.5)multiplied by R?1.We claim that
Y(+) i,jk =Z(+)
i,jk
.(4.7)
This can be proved using(2.29)with the aid of a little algebra.Thus we have shown that,if the boundary conditions(3.12)are consistent,then the constraints following from supersymmetry variations of the L-constraints and from L-variations of the fermionic boundary condition are guaranteed to be satis?ed.
Ifλ(+)=λ(?):=λthe boundary condition(3.12)typically implies that±R is an element of the group which preservesλ.If this is the case,then(4.1)becomes an identity.However,it can happen that R is not an element of the invariance group but that R?1dR still takes its values
in the corresponding Lie algebra.For example,ifλis the two-form of a2m-dimensional K¨a hler manifold and the signηLη=?1,R is not an element of the unitary group but,since it must have mixed indices,it is easy to see that R?1dR is itself u(m)-valued.
A similar argument applies in the general case,whenλ(+)=λ(?).In the next section we discuss how the plus and minus forms are related by an element V of the orthogonal group(see(5.5)). Thus equation(3.12)can be written
λ(?)i
1...i?+1=ηLη?λ(?)j
1...j?+1 R j1i1... R j?+1i?+1,(4.8)
where R:=RV?1.If we di?erentiate(4.8)along the brane with respect to the minus connection we can then use the above argument applied to R.
5Target space geometry
In this section we discuss the geometry of the sigma model target space in the presence of torsion when the holonomy groups of the torsion-full connections?(±)are of special type,speci?cally G2,Spin(7)and SU(3).We use only the data given by the sigma model and use a simple approach based on the fact that there is a transformation which takes one from one structure to the other.We begin with G2and then derive the other two cases from this by dimensional reduction and oxidation.
G2
In this case we have a seven-dimensional Riemannian manifold(M,g)with two G2-forms?(±) which are covariantly constant with respect to left and right metric connections?(±)such that the torsion tensor is±H.G2manifolds with torsion have been studied in the mathematical literature[33,34]and have arisen in supergravity solutions[27].Bi-G2-structures have also appeared in this context and have been given an interpretation in terms of generalised G2-structures[21].They can be studied in terms of a pair of covariantly constant spinors from which one can construct the G2-forms,as well as other forms,as bilinears.We will not make use of this approach here,preferring to use the tensors given to us naturally by the sigma model. As noted in[27]there is a common SU(3)structure associated with the additional forms.We shall derive this from a slightly di?erent perspective here.
In most of the literature use is made of the dilatino Killing spinor equation which restricts the form of H.The classical sigma model does not appear to require this restriction as the dilaton does not appear until the one-loop level.The dilatino equation is needed in order to check that one has supersymmetric supergravity solutions but is not essential for our current purposes. For G2there are two covariantly constant forms,the three-form?and its dual four-form??(we shall drop the star when using indices).The metric can be written in terms of them.A convenient choice for?is
?=
1
useful way of think about the G2three-form is to write it in a6+1split.We then have
?ijk=λijk
?ij7=ωij
?ijk7=? λijk,(5.2)
where i,j,k=1...6,and{λ, λ,ω}are the forms de?ning an SU(3)structure in six dimensions. The three-formsλand λare the real and imaginary parts respectively of a complex three-form ?which is of type(3,0)with respect to the almost complex structure de?ned byω.
On a G2manifold with skew-symmetric torsion,the latter is uniquely determined in terms of the Levi-Civita covariant derivative of?[33,34].This follows from the covariant constancy of ?with respect to the torsion-full connection.
Now suppose we have a bi-G2-structure.The two G2three-forms are related to one another by an SO(7)transformation,V.If we start from?(?)this will be determined up to an element of
G(?)
2
.So we can choose a representative to be generated by an element w∈so(7)of the coset algebra with respect to g(?)2.This can be written
w ij=?(?)
ijk
v k(5.3) and V=e w.The vector v will be speci?ed by a unit vector N and an angleα.It is straightfor-ward to?nd V,
V i j=cosαδi j+(1?cosα)N i N j+sinα?(?)i jk N k.(5.4) Using
?(+)=?(?)V3,(5.5) where one factor of V acts on each of the three indices of?,we can?nd the relation between the two G2forms explicitly,
?(+) ijk =A?(?)
ijk
+B?(?)
ijkl
N l+3C?(?)
[ij
l N
k]
N l,(5.6)
where
A=cos3α,B=sin3α,C=1?cos3α.(5.7) The dual four-forms are related by
?(+) ijkl =(A+C)?(?)
ijkl
?4B?(?)
[ijk
N l]?4C?(?)
[ijk
m N
l]
N m.(5.8)
The angleαis related to the angle between the two covariantly constant spinors.To simplify life a little we shall follow[27]and choose these spinors to be orthogonal which amounts to setting cosα
?(+) ijk =??(?)
ijk
+6?(?)
[ij
l N
k]
N l.(5.9)
and
?(+) ijkl =?(?)
ijkl
?8?(?)
[ijk
m N
l]
N m.(5.10)
We can use the vector N to de?ne an SU(3)structure as above.We set
ω=i N?(?);λ=?(?)?ω∧N; λ=i N??(?).(5.11) The three-form λis the six-dimensional dual ofλand the set of forms{ω,λ, λ}is the usual set of forms associated with an SU(3)structure in six dimensions.For the plus forms we have
i N?(+)=ω
?(+)?ω∧N=?λ
i N??(+)=? λ.(5.12)
Thus a bi-G2-structure is equivalent to a single G2structure together with a unit vector(and an angle to be more general).The unit vector N then allows one to de?ne a set of SU(3)forms as above.In[27]it is shown that the projector onto the six-dimensional subspace is integrable, but this presupposes that the dilatino Killing spinor equation holds.Since we make no use of this equation in this paper it need not be the case that integrability holds.
It is straightforward to construct a covariant derivative ?which preserves both G2structures. This connection has torsion but this is no longer totally antisymmetric.It is enough to show that the covariant derivatives of N and?(?)are both zero.If we write
?i N j=?(?)i N j?S i,j k N k,(5.13) where S i,jk=?S i,kj,then these conditions are ful?lled if
S i,jk=1
4
H i lm?(?)
lmjk
?
3
4
H i lm?m i jkln N n N m.(5.14)
HereΠi j:=δi j?N i N j is the projector transverse to N.
SU(3)
Manifolds with SU(3)×SU(3)have arisen in recent studies of supergravity solutions with?ux [28]-[30].They have also been discussed in a recent paper on generalised calibrations[25].A bi-SU(3)structure on a six-dimensional manifold is given by a pair of a pair of forms{ω(±),?(±)}of the above type which are compatible with the metric.If the sigma model algebra closes o?-shell the complex structures will be integrable.The transformation relating the two structures can be found using a similar construction to that used in the G2case.However,we can instead derive
the relations between the plus and minus forms by dimensional reduction from G2.To this end we introduce a unit vector N′,which we can take to be in the seventh direction,and de?ne the SU(3)forms as in equation(5.2)above.We consider only the simpli?ed bi-G2-structure and we also then take the unit vector N to lie within the six-dimensional space.The unit vector N now de?nes an SO(6)transformation.The relations between the plus and minus forms are given by
ω(+) ij =?ω(?)
ij
+4ω(?)
[i
k N
j]
N k
λ(+) ijk =?λ(?)
ijk
+6λ[ij l N k]N l.
λ(+)ijk= λ(?)ijk?6 λ(?)[ij l N k]N l.(5.15)
We can rewrite this in complex notation if we introduce the three-forms?(±):=λ(±)+i λ(±) and split N into(1,0)and(0,1)parts,n,ˉn.So
N i=n i+ˉn i;iωij N j=n i?ˉn i.(5.16) Note that n·ˉn=1
φajk= φabc=?abc
φab8=δab
(5.19)
φabkl= φab cd=?ab cd?2δcd[ab]
φabc8=??abc
,(5.20) where?abc is the G2invariant.It will also be useful to de?ne
φaijkl:=φab[ijφb kl].(5.21) The Spin(7)form itself can be written as
Φijkl=φa[ijφa kl].(5.22) The space of two-forms splits into7+21,and one can project onto the seven-dimensional subspace by means ofφajk.With these de?nitions we can now oxidise the G2equations relating the plus and minus structure forms to obtain
Φ(+) ijkl =?Φ(?)
ijkl
?6n a n bφ(?)a[ijφ(?)b kl].(5.23)
Here the unit vector N in the G2case becomes the unit spinor n.
6Examples of solutions
In this section we look at solutions to the boundary conditions for the additional symmetries which can be identi?ed with various types of brane.We shall go brie?y through the main examples,con?ning ourselves to U(n
2
)and the exceptional cases G2and Spin(7).
U(n
R= 1p00?1q ,(6.2)
where p and q denote the dimensions of B and the transverse tangent space,p+q=n,and1p,1q denote the corresponding unit matrices.The only possibility is p=q=m.The K¨a hler form vanishes on both the tangent and normal bundles to the brane,so that the brane is Lagrangian. When the F?eld is non-zero the situation is more complicated.We may take R to have the same block-diagonal form as in(6.2)but with1p replaced by R p.From(2.19)
R p=(1+F)?1(1?F)(6.3) The analysis of JR=?RJ shows that the brane is coisotropic[37].This means that there is a 4k-dimensional subspace in each tangent space to the brane where J is non-singular,there is an r-dimensional subspace on which it vanishes,and the dimension of the normal bundle is also r. The product(J p F)is an almost complex structure and both J p and F are of type(2,0)+(0,2) with respect to(J p F).For m=3we can therefore only have p=5.For m=4we can have p=5but we can also have a space-?lling brane with p=8.
N=2sigma models with boundary and torsion have been discussed in[10];the geometry associated with the boundary conditions is related to generalised complex geometry[24,23].
SU(n
2
.There are two independent real covariantly constant forms,λand λ,which can be taken to be the real and imaginary parts of?.The corresponding L-tensors which de?ne the symmetry transformations are related by
L i j1...j m?1=J i k L k j1...j m?1(6.4)
Because there are now two currents we can introduce a phase rather than a sign in the boundary condition.Thus
?i
1...i m =e iα?j
1...j m
R j1i
1
...R j m i
m
(6.5)
A second possibility is that?on the right-hand side is replaced byˉ?.For type
B branes, the displayed equation is the correct condition.The R-matrix is the sum of holomorphic and anti-holomorphic parts,R=R⊕ˉR,and(6.5)implies that
det R=e iα.(6.6) If F=0this?xes the phase,but if F=0it imposes a constraint on F which must in any case be a(1,1)form(from JR=RJ)[38].The constraint is
det R p=e iα(?1)q
or
det(1+f)=e iα(?1)q
only di?erence being that the phase is not arbitrary.The constraints on the F?eld are therefore slightly stronger.
The last possibility is a space-?lling brane in seven dimensions.Since F is antisymmetric there must be at least one trivial direction for R so that we can again reduce the algebra to the six-dimensional case.The only possibilty isη=+1in which case we have type B.The non-trivial dimension must be even,and since det R=1the case p=2is also trivial.
Now let us consider the case with torsion.The boundary condition for the non-linear symmetries associated with the forms yield
?(+)=ηL?(?)R3
??(+)=ηL??(?)R4det R,(6.11)
When the brane is normal to N we?nd,on the six-dimensional subspace,
λ=?ηλR3
λ=?η λR3det R
ω=?ηωR2,(6.12)
The analysis is very similar to the case of zero torsion with F.One?nds thatηL=?1 corresponds to type B whileηL=+1is type A.In particular,for type B there is a?ve-brane which corresponds to the?ve-brane wrapped on a three-cycle discussed in the supergravity literature[26,27].
Spin(7)
In the absence of torsion,the boundary condition associated with the conserved current is
Φ= ηΦR4,(6.13)
for some sign factor η.If this is negative then det R is also negative so that the dimension of B must be odd.Furthermore,Φmust have an odd number of normal indices with respect to the decomposition of the tangent space induced by the brane.However,one can show that such a decomposition is not compatible with the algebraic properties ofΦ.Therefore the sign ηmust be positive.It is easy to see that a four-dimensional B is compatible with this,and indeed we then have the standard Cayley calibration withΦpulled-back to the brane being equal to the induced volume form.On the other hand if B has either two or six dimensions one can show that it is not compatible with the Spin(7)structure.As one would expect,therefore,the only brane compatible with the non-linear symmetry associated withΦon the boundary is the Cayley cycle[13].
If F=0,but H=0,and if we assume that there is at least one direction normal to the brane, then the Spin(7)case reduces to G2(with F=0).If the brane is space-?lling but there is at least one trivial direction,then there must be at least two by symmetry and again we recover the G2case.But we can also have a space-?lling brane which is non-trivial in all eight directions.
Acknowledgements
This work was supported in part by EU grant(Superstring theory)MRTN-2004-512194,PPARC grant number PPA/G/O/2002/00475and VR grant621-2003-3454.PSH thanks the Wenner-Gren foundation.
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分析阶段就是六西格玛“Ｄ-M-A-Ｉ-C”与“D-M-A-Ｄ-V”流程中得一个中间环节,同时就是非常重要得环节。因为要解决问题,首先得发现问题得原因。在实际工作中,多数问题得原因就是未知得。六西格玛选项原则中就有一条就是:“根本原因未知,即所有得六西格玛项目在实施项目前其改善对象得问题原因就是未知或最少就是未确切知道得。得确,对于比较简单得问题,不用六西格玛方法也可以很好解决，这时就无须选其为六西格玛项目。比如生产线停线多发，原因就是物料供应不及时,或某个设备常发生故障。此问题原因清楚,解决方案已知，显然没必要选作六西格玛改善项目。反过来说,所有六西格玛项目均为问题较严重、客户抱怨大,或对公司造成重大损失得项目,其原因复杂,用普通方法无法分析或无法找到根本原因,无法知道最佳解决方案。 一、分析阶段得作用 六西格玛管理法得解决方案就是基于数据,通过定义问题、测量现状、分析原因、实施改善、进行控制,即D-M-A-Ｉ-C模式展开项目运作。对于普通方法无法分析得问题，六西格玛管理法采用一整套严密、科学得分析工具进行定量或定性分析，最终会筛选出关键影响因素ｘ's。只有筛选出关键得x's,改善阶段才会有得放矢。所以分析质量得高低直接影响到改善效果与项目成败。分析阶段在六西格玛项目中得位置如同疾病治疗过程得诊断阶段一样,只有找到病因了，后续才能对症下药,否则可能毫无效果或适得其反。 二、分析阶段得输入 "D-M-Ａ-Ｉ-C"模式中,各阶段衔接严密，环环相扣,后一个阶段得输入即为前一阶段得输出。因此,分析阶段得输入为测量阶段得输出。其输入(同时就是测量阶段得输出）为: 1、过程流程图。 在六西格玛测量阶段为把握现状，需绘制详细得过程流程图以对过程全貌有准确把握，这样测量得结果才能反映过程实际。现在得一般公司均有各个过程得详细流程图,可直接使用。 ２、过程输出得量化指标即项目y。 过程输出得量化指标就是六西格玛项目得改善对象。在测量阶段,已取得项目ｙ得详细现状测最数据。此数据就是分析与改善阶段得研究对象。
六西格玛管理系列讲座之一 什么是6西格玛管理？当人们谈论世界著名公司-通用电器（GE）的成功以及世界第一CEO-杰克.韦尔奇先生为其成功制定的三大发展战略时，都会不约而同地提出这样的问题。 如果概括地回答的话，可以说6西格玛管理是在提高顾客满意程度的同时降低经营成本和周期的过程革新方法，它是通过提高组织核心过程的运行质量，进而提升企业赢利能力的管理方式，也是在新经济环境下企业获得竞争力和持续发展能力的经营策略。因此，管理专家Ronald Snee先生将6西格玛管理定义为：“寻求同时增加顾客满意和企业经济增长的经营战略途径。” 如果展开来回答的话，6西格玛代表了新的管理度量和质量标准，提供了竞争力的水平对比平台，是一种组织业绩突破性改进的方法，是组织成长与人才培养的策略，更是新的管理理念和追求卓越的价值观。 让我们先从6西格玛所代表的业绩度量谈起： 符号σ（西格玛）是希腊字母，在统计学中称为标准差，用它来表示数据的分散程度。我们常用下面的计算公式表示σ的大小： 如果有两组数据，它们分别是1、2、3、4、5；和3、3、3、3、3；虽然它们的平均值都是3，但是它们的分散程度是不一样的（如图1-1所示）。如果我们用σ来描述这两组数据的分散程度的话，第一组数据的σ为1.58，而第二组数据的σ为0。假如，我们把数据上的这些差异与企业的经营业绩联系起来的话，这个差异就有了特殊的意义。 假如顾客要求的产品性能指标是3±2(mm)，如果第一组数据是供应商A所提供的产品性能的测量值，第二组数据是供应商B所提供的产品性能的测量值。显然，在同样的价格和交付期下，顾客愿意购买B的产品。因为，B的产品每一件都与顾客要求的目标值或理想状态最接近。它们与顾客要求的目标值之间的偏差最小。 假如顾客要求的产品交付时间是3天。如果第一组数据和第二组数据分别是供应商A和B每批产品交付时间的统计值，显然，顾客愿意购买B的产品。因为，B每批产品的交付时间与顾客要求最接近。尽管两个供应商平均交付时间是一样的，但顾客的评判，不是按平均值，而是按实际状态进行的。 假如顾客要求每批产品交付数量是3件。如果第一组数据和第二组数据分别是供应商A和B每批产品
FMEA和FTA分析 故障模式与影响分析(FMEA)和故障树分析(FTA)均是在可靠性工程中已广泛应用的分析技术，国外已将这些技术成功地应用来解决各种质量问题。在ISO 9004：2000版标准中，已将FMEA和FTA分析作为对设计和开发以及产品和过程的确认和更改进行风险评估的方法。我国目前基本上仅将FMEA与FTA技术应用于可靠性设计分析，根据国外文献资料和我国部分企业技术人员的实践，FMEA 和FTA可以应用于过程(工艺)分析和质量问题的分析。质量是一个内涵很广的概念，可靠性是其中一个方面。 通过FMEA和FTA分析，找出了影响产品质量和可靠性的各种潜在的质量问题和故障模式及其原因（包括设计缺陷、工艺问题、环境因素、老化、磨损和加工误差等），经采取设计和工艺的纠正措施，提高了产品的质量和抗各种干扰的能力。根据文献报道，某世界级的汽车公司大约50%的质量改进是通过FMEA 和FTA/ETA来实现的。
Kano模型 日本质量专家Kano把质量依照顾客的感受及满足顾客需求的程度分成三种质量：理所当然质量、期望质量和魅力质量（如下图） A：理所当然质量。当其特性不充足（不满足顾客需求）时，顾客很不满意；当其特性充足（满足顾客需求）时，无所谓满意不满意，顾客充其量是满意。 B：期望质量也有称为一元质量。当其特性不充足时，顾客很不满意，充足时，顾客就满意。越不充足越不满意，越充足越满意。 C：魅力质量。当其特性不充足时，并且是无关紧要的特性，则顾客无所谓，当其特性充足时，顾客就十分满意。 理所当然的质量是基线质量，是最基本的需求满足。 期望质量是质量的常见形式。 魅力质量是质量的竞争性元素。通常有以下特点：
六西格玛：追求零缺陷的质量水平(一) 最近二十年，有一个词汇牢牢吸引了大公司的CEO们以及华尔街的财务分析师，这个词汇就是6σ（六西格玛）。 六西格玛作为一套非常严密的业务过程系统，可以说是集所有先进质量管理手段于一身，能够帮助企业真正实现产品的零缺陷。σ是一个统计学术语，用来衡量一个过程的质量。σ的量级为2～6，代表百万个产品之中可能有多少个缺陷。对于一般公司来说，能够达到4σ就是一个不错的成绩了，这相当于每百万个产品中有6000个缺陷（合格率为99.4％）。我们的奋斗目标是6σ，相当于每百万个产品中有3.4个缺陷，即合格率达到99.9997%。合格率越高，经济效益自然越高。因此，六西格玛对于改善公司经营状况有着巨大的作用。 六西格玛和质量改进系统——全面质量管理（TQM）存在着根本性的区别。TQM强调问题解决的过程，这就导致了改进团队和自我改进团队的形成。实施职能取决于质量部门，这就很难在整个业务中形成一个整合方案。而六西格玛则不同，它是一种以质量改进战略为支撑的业务战略。它采用统计方法，通过解决问题工具和预防问题工具来消除和防止在过程、产品、服务、文件及决策中发生的缺陷，以实现99.9997%的完美质量水平。
为什么采用六西格玛？ 在当今的市场环境中，任何一种产品要长期维持它的垄断地位是非常困难的。同类产品或服务的竞争不可避免的将矛头集中于定价上，即降低价格。如果公司生产或提供服务的成本仍维持不变的话，显然单纯降价将会影响到公司的利润以及长期生存的问题。 成本包括两个部分，一个是制造成本或服务成本，另一个是被隐藏的劣质成本（COPQ）。COPQ反映了整个过程中存在的问题所造成的影响，包括劳动力成本、返工的材料成本、检验成本、废品成本以及一些非增值活动，如重新提供服务等。六西格玛追求的是减少这些隐藏的劣质成本来提高利润底线。 业务过程中实施六西格玛所产生的立竿见影的效果包括：运作成本减少、生产力提高、市场份额增加、客户忠实度提高、周期时间缩短以及缺陷率降低。
18个常用六西格玛统计工具介绍 六西格玛作为经典的质量管理手段，备受质量人追捧。以下天行健将整理出18种常用六西格玛统计工具供大家学习： 1、帕累托图（Pareto图） 帕累托图来源于一种称为帕累托原则的观点，该观点认为大约80％的结果来自20％的原因。 帕累托图可帮助您直观地了解此原则如何应用于您收集的数据。它是一种特殊类型的条形图，旨在将“少数几个”原因与“琐碎的”原因区分开来，使您能够专注于最重要的问题。 2、直方图
直方图是连续数据的图形快照。直方图使您能够快速识别数据的中心和范围。它显示了大部分数据落在哪里，以及最小值和最大值。直方图还显示您的数据是否为钟形，可以帮助您找到可能需要进一步调查的异常数据点。 3、Gage R&R 准确的测量至关重要。如果您无法准确测量过程，则无法对其进行改进，这时Gage R＆R就有了用武之地。 4、属性一致性分析 另一个确保您可以信任您的数据的工具是属性一致性分析。Gage R＆R评估连续型数据的重复性和再现性，而属性一致性分析评估的是属性数据，例如通过或失败。此工具显示对这些类别进行评级的人是否与已知标准，与其他评估者以及他们自己一致。 5、过程能力分析
几乎每个过程都具有可接受的下限和/或上限。例如，供应商的零件不能太大或太小，等待时间不能超过可接受的阈值，填充重量需要超过规定的最小值。能力分析向您展示您的流程与规范的完美程度，并深入了解如何改善不良流程。经常引用的能力指标包括Cpk，Ppk，Cp，Pp，百万机会缺陷数（DPMO）和西格玛水平（Z值）。 6、检验 我们使用t检验来比较样本的平均值与目标值或另一个样本的平均值。例如，工艺参数调整后，想确定钢筋抗拉强度均值是否比原来的2000要高。 7、方差分析 t检验将平均值与目标进行比较，或者将两个平均值相互比较，而ANOVA则可以比较两个以上总体的均值。例如，ANOVA可以显示3个班次的平均产量是否相等。您还可以使用ANOVA分析多于1个变量的均值。例如，您可以同时比较3班次的均值和2个制造地点的均值。
项目八假设检验、回归分析与方差分析 实验3 方差分析 实验目的学习利用Mathematica求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令< 中,向量Y是因变量,也称作响应变量.矩阵X称作设计矩阵, ?是参数向量??是误差向量? ????????DesignedRegress也是作一元和多元线性回归的命令, 它的应用范围更广些. 其格式与命令Regress的格式略有不同: DesignedRegress[设计矩阵X,因变量Y的值集合, RegressionReport ->{选项1, 选项2, 选项3,…}] RegressionReport(回归报告)可以包含:ParameterCITable(参数?的置信区间表???? ?PredictedResponse (因变量的预测值), MeanPredictionCITable(均值的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等, 但不含BestFit. 实验准备—将方差分析问题纳入线性回归问题 在线性回归中, 把总的平方和分解为回归平方和与误差平方和之和, 并在输出中给出了方差分析表. 而在方差分析问题 中, 也把总的平方和分解为模型平方和与误差平方和之和, 其方法与线性回归中的方法相同. 因此只要把方差分析问题转化为线性模型的问题, 就可以利用线性回归中的设计回归命令DesignedRegress 做方差分析. 单因素试验方差分析的模型是 ?? ? ??==+=. ,,2,1;,,2,1,),,0(~,2s j n i N Y j ij ij ij j ij ΛΛ独立各εσεεμ (3.1) 上式也可改写成 ?? ? ??===+-+==+=.,,2,1;,,2,1,),,0(~; ,,3,2,)(, ,,2,1,2111111s j n i N s j Y n i Y j ij ij ij j ij i i ΛΛΛΛ独立各εσεεμμμεμ (3.2) 给定具体数据后, 还可(2.2)式写成线性模型的形式: 多元统计分析第三章假设检验与方差分析 第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 当2 σ已知时，用统计量n X z σ μ -= 六西格玛项目团队由项目所涉及的有关职能人员构成，一般由( )人组成。 A 2～5 B 5～7 C 3～10 D 10～15 六西格玛管理是由组织的( )推动的。 A 最高领导者 B 倡导者 C 黑带 D 绿带 在DMAIC改进流程中，常用工具和技术是过程能力指数、控制图、标准操作程序、过程文件控制和防差错方法的阶段是( )。 A D界定阶段 B M分析阶段 C I改进阶段 D C控制阶段 对应于过程输出无偏移的情况，西格玛水平Z0是指规范限与( )的比值。 A σ B 2σ C 3σ D 6σ 关于六西格玛团队的组织管理，下列说法不正确的是( )。 A 六西格玛团队的建设要素包括使命、基础、目标、角色、职责和主要里程碑六项 B 作为团队负责任人的黑带不仅必须具备使用统计方法的能力，同时还必须拥有卓越的领导力与亲合力 C 特许任务书一旦确定下来就不允许做任何的更改 D 六西格玛团队培训的重点是六西格玛改进(DMAI过程和工具 六西格玛管理中常将( )折算为西格玛水平Z。 A DPO B DPMO C RTY D FTY 某送餐公司为某学校送午餐，学校希望在中午12:00送到，但实际总有误差，因而提出送餐的时间限定在11:55分至12:05分之间，即TL为11:55分，TU为12:05分。过去一个星期来，该送餐公司将午餐送达的时间为：11:50，11:55，12:00，12:05，12:10。该公司准时送餐的西格玛水平为( )。(考虑1.5σ的偏移) A 0.63 B 1.5 C 2.13 D 7.91 六西格玛管理中，为倡导者提供六西格玛管理咨询，为黑带提供项目指导与技术支持的是( )。 A 执行领导 实验四 假设检验 实验目的：通过此实验熟练掌握如何利用假设检验工具根据不同条件 选择相应检验工具进行检验，有助于学习者理解假设检验的过程及结果 实验要求：能够运用Excel 对总体均值进行假设检验，学会针对实际 背景提出原假设和备择假设来检验实际问题，并根据检验结果作出符合统计学原理和实际情况的判断和结论，加深对统计学方法的广泛应用背景的理解 假设检验与区间估计两者之间存在密切的关系，二者用的是同一个样本、同一个统计量、同一种分布，所以也可以用区间估计进行假设检验，两者结论是一致的。在Excel 中进行假设检验，除可按区间估计过程用公式和逆函数计算外，还备有专用的假设检验工具，包括Z —检验工具、T —检验工具和F —检验工具。使用这些工具，可以直接根据样本数据进行计算，一次给出检验统计量、单尾和双尾临界值以及小于或等于临界值的概率等所需要的数值。实验四主要介绍假设检验工具的使用。 一、假设检验的一般过程 假设检验主要是根据计算出的检验统计量与相应临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决定。 根据全国汽车经销商协会报道，旧车的平均销售价格是10192美元。堪萨斯城某旧车经销处的一名经理检查了近期在该经销处销售的100辆旧车。结果样本平均价格是9300美元，样本标准差是4500美元。在0.05的显著性水平下，检验H 0：10192≥μ H 1：10192<μ。问：假设检验的结论是什么？这名经理接下来可能会采取什么行动？ 本例由于样本容量比较大，其均值近似服从正态分布，总体方差未知，需要用样本标准差来代替，选择T 统计量进行检验。T 统计量的计算公式如下： )1(~1 0--= -n t n s x t n μ 单击任一空单元格，输入“=(9300-10192)/(4500/SQRT(100))”，回车确认，得出t 统计量为-1.982。单击另一空单元格，输入“=TINV(0.025,99)”，回车确认，得出t 分布的右临界值为2.276。因为276.2982.1<-，所以不拒绝原假设，认为此旧车经销处旧汽车平均销售价格不小于10192美元。那么接下来这名经理会采取什么相应行动？（请读者思考）。 本例主要介绍了假设检验的一般过程，利用Excel 的公式和函数求出相应的统计量值和临界值，最后作出结论。 二、假设检验工具的使用 接下来介绍如何使用Excel 的假设检验工具。使用这一工具应该注意二点：第一，由于现实世界和生活中大量的数据服从正态分布，Excel 的假设检验工具是按正态总体设计的（以下各例未特殊说明，认为其服从或近似服从正态分布）；第二，Excel 的假设检验工具主要用于检验两总体之间有无显著差异。具体来讲，Z —检验工具是对方差或标准差已知的两总体均值进行差异性检验；T —检验工具是对方差和标准差未知的两总体均值进行差异性检验，其中包括等方差假设检验、异方差假设检验和成对双样本检验；F —检验工具是对总体的标准差进行检验。 （一）Z —检验工具的使用 国际航空运输协会对商务旅行者进行调查以确定大西洋两岸过关机场的等级分数。假定：要求50名商务旅行者组成的随机样本给迈阿密机场打分，另50名商务旅行者组成的随机样本给洛杉机机场打分，最高等级为10分。两个样本数据如下： 迈阿密机场得分数据： 6 4 6 8 7 7 6 3 3 8 10 4 8 7 8 7 5 9 5 8 4 3 8 5 5 4 4 4 8 4 5 6 2 5 9 9 8 4 8 9 9 5 9 7 8 3 10 8 9 6 洛杉机机场得分数据： 10 9 6 7 8 7 9 8 10 7 6 5 7 3 5 6 8 7 10 8 4 7 8 6 9 9 5 3 1 8 9 6 8 5 4 6 10 9 8 3 2 7 9 5 3 10 3 5 10 8 假定两总体的等级标准差已知（这里用样本标准差代替总体标准差）， 实验四 假设检验 实验目的：通过此实验熟练掌握如何利用假设检验工具根据不同条件 选择相应检验工具进行检验，有助于学习者理解假设检验的过程及结果 实验要求：能够运用Excel 对总体均值进行假设检验，学会针对实际 背景提出原假设和备择假设来检验实际问题，并根据检验结果作出符合统计学原理和实际情况的判断和结论，加深对统计学方法的广泛应用背景的理解 假设检验与区间估计两者之间存在密切的关系，二者用的是同一个样本、同一个统计量、同一种分布，所以也可以用区间估计进行假设检验，两者结论是一致的。在Excel 中进行假设检验，除可按区间估计过程用公式和逆函数计算外，还备有专用的假设检验工具，包括Z —检验工具、T —检验工具和F —检验工具。使用这些工具，可以直接根据样本数据进行计算，一次给出检验统计量、单尾和双尾临界值以及小于或等于临界值的概率等所需要的数值。实验四主要介绍假设检验工具的使用。 一、假设检验的一般过程 假设检验主要是根据计算出的检验统计量与相应临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决定。 根据全国汽车经销商协会报道，旧车的平均销售价格是10192美元。堪萨斯城某旧车经销处的一名经理检查了近期在该经销处销售的100辆旧车。结果样本平均价格是9300美元，样本标准差是4500美元。在0.05的显著性水平下，检验H 0：10192≥μ H 1：10192<μ。问：假设检验的结论是什么？这名经理接下来可能会采取什么行动？ 本例由于样本容量比较大，其均值近似服从正态分布，总体方差未知，需要用样本标准差来代替，选择T 统计量进行检验。T 统计量的计算公式如下： 单击任一空单元格，输入“=(9300-10192)/(4500/SQRT(100))”，回车确认，得出t 统计量为-1.982。单击另一空单元格，输入“=TINV(0.025,99)”， 假设检验和方差分析 目录 一．正态总体均值的检验 (1) 1.单个总体 (1) 2.两个总体 (2) 3.成对数据的t 检验 (3) 二．正态总体方差的检验——方差齐次检验 (3) 三．方差分析 (4) 1.单因素方差分析 (4) 2.均值的多重比较 (6) 3.方差分析前提的三个条件： (8) 4.双因素方差分析 (9) 一．正态总体均值的检验 R 中函数为：t.test() ，使用格式为： t.test(x, y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, ...) 其中，x 、y 是由数据构成的向量（如果只提供x ，则作单个正态总体的均值检验；提供x 和y 做两个总体的均值检验）。alternative 表示备择假设，two.sided （缺省）表示双边检验（10:H μμ≠），less 表示单边检验（10:H μμ<），greater 表示单边检验（10:H μμ>）。mu 表示原假设0μ，conf.level 是置信水平，即1α-，通常是0.95。var.equal 是逻辑变量，若var.equal=T 表示认为两样本方差相同，若var.equal=F 表示认为两样本。paired 是逻辑变量，表示是否进行配对样本t 检验，默认为不配对。 注意：假设检验的基本思想是：为了检验一个“假设”是否成立，就现假定这个“假设”是成立的。从这个假定也看产生的后果，如果导致一个不合理的现象出现，那么就表明原先的假定不成立，如果没有导出不合理的现象发生，则不能拒绝原来的假设，称原假设是相容的。这里的“不合理”，并不是形式逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们实践中广泛采用的一个原则：小概率事件在一次观察中可以认为基本不会发生。 选择备择假设的原则：事先有一定信任度或者出于某种考虑是否要加以“保护”。 1.单个总体 例1：某种元件的寿命x （小时），服从正态分布2 (,)N μσ，其中μ，2σ均未知，16只原件的寿命（单位：小时）如下，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 六西格玛管理中20种常用工具 1FMEA和FTA分析 故障模式与影响分析(FMEA)和故障树分析(FTA)均是在可靠性工程中已广泛应用的分析技术，国外已将这些技术成功地应用来解决各种质量问题。在ISO 9004：2000版标准中，已将FMEA和FTA分析作为对设计和开发以及产品和过程的确认和更改进行风险评估的方法。我国目前基本上仅将FMEA 与FTA技术应用于可靠性设计分析，根据国外文献资料和我国部分企业技术人员的实践，FMEA和FTA可以应用于过程(工艺)分析和质量问题的分析。质量是一个内涵很广的概念，可靠性是其中一个方面。 通过FMEA和FTA分析，找出了影响产品质量和可靠性的各种潜在的质量问题和故障模式及其原因（包括设计缺陷、工艺问题、环境因素、老化、磨损和加工误差等），经采取设计和工艺的纠正措施，提高了产品的质量和抗各种干扰的能力。根据文献报道，某世界级的汽车公司大约50%的质量改进是通过FMEA和FTA/ETA来实现的。 2Kano模型 日本质量专家Kano把质量依照顾客的感受及满足顾客需求的程度分成三种质量：理所当然质量、期望质量和魅力质量。 A：理所当然质量。当其特性不充足（不满足顾客需求）时，顾客很不满意；当其特性充足（满足顾客需求）时，无所谓满意不满意，顾客充其量是满意。 B：期望质量也有称为一元质量。当其特性不充足时，顾客很不满意，充足时，顾客就满意。越不充足越不满意，越充足越满意。 C：魅力质量。当其特性不充足时，并且是无关紧要的特性，则顾客无所谓，当其特性充足时，顾客就十分满意。 理所当然的质量是基线质量，是最基本的需求满足。 期望质量是质量的常见形式。 魅力质量是质量的竞争性元素。通常有以下特点： 1、具有全新的功能，以前从未出现过； 2 、性能极大提高； 3、引进一种以前没有见过甚至没考虑过的新机制，顾客忠诚度得到了极大的提高； 4、一种非常新颖的风格。 Kano模型三种质量的划分，为6Sigma改进提高了方向。如果是理所当然质量，就要保证基本质量特性符合规格（标准），实现满足顾客的基本要求，项目团队应集中在怎样降低故障出现率上；如果是期望质量，项目团队关心的就不是符合不符合规格（标准）问题，而是怎样提高规格（标准）本身。不断提高质量特性，促进顾客满意度的提升；如果是魅力质量，则需要通过满足顾客潜在需求，使产品或服务达到意想不到的新质量。项目团队应关注的是如何在维持前两个质量的基础上，探究顾客需求，创造新产品和增加意想不到的新质量。 3POKA-YOKE POKA-YOKE意为“防差错系统”。日本的质量管理专家、著名的丰田生产体系创建人新江滋生（Shingeo Shingo）先生根据其长期从事现场质量改进的丰富经验，首创了POKA-YOKE的概念，并将其发展成为用以获得零缺陷，最终免除质量检验的工具。 POKA-YOKE的基本理念主要有如下三个： 第七章 假设检验与方差分析 习题答案 一、名词解释 用规范性的语言解释统计学中的名词。 1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。 2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。 3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。 4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。 5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。 6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。 二、填空题 根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。 1. u ，n x σμ0 -，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞n z n z σ σ αα 2. 参数检验，非参数检验 3. 弃真，存伪 4. 方差 5. 卡方， F 6. 方差分析 7. t ，u 8. n s x 0 μ-，不拒绝 9. 单侧，双侧 10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异 12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r 18. 正态，独立，方差齐 三、单项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。 1．B 2．B 3. B 4．A 5． C 6． B 7． C 8． A 9． D 10． A 11． D 12． C 四、多项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。 1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD 五、判断改错 对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。 1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。 ( × ) 样本量一定时 2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t 检验均可使用，且两者检验结果一致。 ( √ ) 3. 方差分析中，组间离差平方和总是大于组内离差平方和。( × ) 不一定 4. 在假设检验中，如果在显著性水平0.05下拒绝了 00:μμ≤H ，则在同一水平一定可以拒绝假设00:μμ=H 。( × ) 不一定 5. 为检验k 个总体均值是否显著不同，也可以用t 检验，且与方差分析相比，犯第一类错误的概率不变。（ × ） 会增加 6. 方差分析中，若拒绝了零假设，则认为各个总体均值均有显著性差异。( × ) 不完全相等 六、简答题 根据题意，用简明扼要的语言回答问题。 1. 假设检验与统计估计有何区别与联系？ 【答题要点】 假设检验是在给定显著性水平下，计算出拒绝域，并根据样本统计量信息来做出是否拒 20种6-Sigma管理工具 六西格玛管理工具之1-FMEA和FTA分析 故障模式与影响分析(FMEA)和故障树分析(FTA)均是在可靠性工程中已广泛应用的分析技术，国外已将这些技术成功地应用来解决各种质量问题。在ISO 9004：2000版标准中，已将FMEA和FTA分析作为对设计和开发以及产品和过程的确认和更改进行风险评估的方法。我国目前基本上仅将FMEA与FTA技术应用于可靠性设计分析，根据国外文献资料和我国部分企业技术人员的实践，FMEA和FTA可以应用于过程(工艺)分析和质量问题的分析。质量是一个内涵很广的概念，可靠性是其中一个方面。 通过FMEA和FTA分析，找出了影响产品质量和可靠性的各种潜在的质量问题和故障模式及其原因（包括设计缺陷、工艺问题、环境因素、老化、磨损和加工误差等），经采取设计和工艺的纠正措施，提高了产品的质量和抗各种干扰的能力。根据文献报道，某世界级的汽车公司大约50%的质量改进是通过FMEA和FTA/ETA来实现的。 六西格玛管理工具之2-Kano模型 日本质量专家Kano把质量依照顾客的感受及满足顾客需求的程度分成三种质量：理所当然质量、期望质量和魅力质量。 A：理所当然质量。当其特性不充足（不满足顾客需求）时，顾客很不满意；当其特性充足（满足顾客需求）时，无所谓满意不满意，顾客充其量是满意。 B：期望质量也有称为一元质量。当其特性不充足时，顾客很不满意，充足时，顾客就满意。越不充足越不满意，越充足越满意。 C：魅力质量。当其特性不充足时，并且是无关紧要的特性，则顾客无所谓，当其特性充足时，顾客就十分满意。 理所当然的质量是基线质量，是最基本的需求满足。 期望质量是质量的常见形式。 魅力质量是质量的竞争性元素。通常有以下特点： l 、具有全新的功能，以前从未出现过； 2 、性能极大提高； 3、引进一种以前没有见过甚至没考虑过的新机制，顾客忠诚度得到了极大的提高； 4、一种非常新颖的风格。 Kano模型三种质量的划分，为6Sigma改进提高了方向。如果是理所当然质量，就要保证基本质量特性符合规格（标准），实现满足顾客的基本要求，项目团队应集中在怎样降低故障出现率上；如果是期望质量，项目团队关心的就不是符合不符合规格（标准）问题，而是怎样提高规格（标准）本身。不断提高质量特性，促进顾客满意度的提升；如果是魅力质量，则需要通过满足顾客潜在需求，使产品或服务达到意想不到的新质量。项目团队应关注的是如何在维持前两个质量的基础上，探究顾客需求，创造新产品和增加意想不到的新质量。 六西格玛管理工具之3-POKA-YOKE POKA-YOKE意为“防差错系统”。日本的质量管理专家、著名的丰田生产体系创建人新江滋生（Shingeo Shingo）先生根据其长期从事现场质量改进的丰富经验，首创了POKA-YOKE的概念，并将其发展成为用以获得零缺陷，最终免除质量检验的工具。 POKA-YOKE的基本理念主要有如下三个月： ⑴决不允许哪怕一点点缺陷产品出现，要想成为世界的企业，不仅在观念上，而且必须在实际上达到“0”缺陷。 ⑵生产现场是一个复杂的环境，每一天的每一件事都可能出现，差错导致缺陷，缺陷导致顾客不满和资源浪费。 ⑶我们不可能消除差错，但是必须及时发现和立即纠正，防止差错形成缺陷。 六西格玛管理工具之4-质量功能展开（QFD） 项目八 假设检验、回归分析与方差分析 实验1 假设检验 实验目的 掌握用Mathematica 作单正态总体均值、方差的假设检验, 双正态总体的均值差、方差比的假设检验方法, 了解用Mathematica 作分布拟合函数检验的方法. 基本命令 1.调用假设检验软件包的命令< 六西格玛水平概述 六西格玛水平 6个西格玛=3.4失误/百万机会―意味着卓越的管理，强大的竞争力和忠诚的客户 5个西格玛=230失误/百万机会－优秀的管理、很强的竞争力和比较忠诚的客户4个西格玛=6,210失误/百万机会－意味着较好的管理和运营能力，满意的客户3个西格玛=66,800失误/百万机会－意味着平平常常的管理，缺乏竞争力 2个西格玛=308,000失误/百万机会－意味着企业资源每天都有三分之一的浪费 1个西格玛=690,000失误/百万机会－每天有三分之二的事情做错的企业无法生存 6SIGMA管理的核心特征：顾客与组织的双赢以及经营风险的降低。 六西格玛管理原则 简单的讲，6Sigma管理的基本原则就是经济性。最大限度地降低成本，节约资源，减少风险，提高客户满意度，给股东创造利益，给社会创造价值。 一、6Sigma质量成本分析 二、6Sigma顾客满意度分析 三、6Sigma质量的风险分析 六西格玛主要原则 在推动6西格玛时，企业要真正能够获得巨大成效，必须把6西格玛当成一种管理哲学。这个哲学里，有六个重要主旨，每项主旨背后都有很多工具和方法来支持： 1．真诚关心顾客。 2．根据资料和事实管理。 3．以流程为重。 4．主动管理。 5．协力合作无界限。 6．追求完美，但同时容忍失败。 六西格玛管理实施 一是团队合作。 二是领导层的参与支持。 6sigma的具体实施有7个步骤： （1）找问题。即把要改善的问题找出来，当目标锁定后便召集有关员工，成为 改善的主力，并选出首领，作为改善责任人，跟着编制订时间表跟进。 （2）研究现时生产方法，收集现时生产方法的数据，并作整理。 （3）找出原因。集合有经验的员工，利用科学方法找出每一个可能发生问题的原因。 （4）计划及制定解决方法。依靠有经验的员工和技术人才，通过各种检验方法，找出解决方法，当方法设计完成后，便立即实行。 （5）检查效果。通过数据收集、分析，检查其解决方法是否有效和达到什么效果。 （6）把有效方法制度化。当方法证明有效后，便制定为工作守则，各员工必须遵守。 （7）总结成效并发展新目标。当以上问题解决后，总结其成效，并制定解决其他问题的方案。 T检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应 的总体参数是否相同。 t 检验：1.单因素设计的小样本（n＜50）计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时，要求两样本相应的总体方差相等 ?根据研究设计t检验可由三种形式： –单个样本的t检验 –配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验) –两个独立样本均数t检验 （1）单个样本t检验 ?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差别。 ?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ?单样t检验的应用条件是总体标准 未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。 （2）配对样本均数t检验 ?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。 ?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机地给予两种处理。 ?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素，提高统计处理的效率。 ?配对设计处理分配方式主要有三种情况： ①两个同质受试对象分别接受两种处理，如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对，或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对； ②同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分配接受两种不同处理，如例资料； ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理（实验或治疗）前后的结果进行比较，如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 （3）两独立样本t检验 两独立样本t 检验(two independent samples t-test)，又称成组t 检验。 ?适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 ?完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中，每组对象分别接受不同的处理，分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ?两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)，且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, homoscedasticity)。 ?若两总体方差不等,即方差不齐，可采用t’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。 t 检验中的注意事项 1.假设检验结论正确的前提作假设检验用的样本资料，必须能代表相应的总体，同时各对比组 具有良好的组间均衡性,才能得出有意义的统计结论和有价值的专业结论。这要求有严密的实验设计和抽样设计,如样本是从同质总体中抽取的一个随机样本,试验单位在干预前随机分组,有足够的样本量等。 2.检验方法的选用及其适用条件,应根据分析目的、研究设计、资料类型、样本量大小等选用适当 的检验方法。t 检验是以正态分布为基础的，资料的正态性可用正态性检验方法检验予以判断。 若资料为非正态分布，可采用数据变换的方法，尝试将资料变换成正态分布资料后进行分析。 项目八 假设检验、回归分析与方差分析 实验3 方差分析 实验目的 学习利用Mathematica 求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令<最新多元统计分析第三章 假设检验与方差分析
2017六西格玛管理考试试题与答案解析.doc
假设检验与方差分析
假设检验及方差分析
8.假设检验和方差分析
六西格玛管理中20种常用工具
07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
20种6Sigma管理工具
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