2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
初三数学 试卷
（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．如果数轴上表示2和4-的两点分别是点A 和点B ，那么点A 和点B 之间的距离是
（A ）2-； （B ）2； （C ）6-； （D ）6． 2．已知点)1,21(--m m M 在第四象限内，那么m 的取值范围是 （A ）1>m ； （B ）2
1
1< 1 3．如图1，CD AB //，BE 平分ABC ∠,?=∠36C ，那么ABE ∠的大小是 （A）? 18；（B）? 36；（D） 24；（C）? 54． ? 4．已知直线)0 (- y经过点)0,3 A和点)2,0(B，那么关于x的方ax (≠ + =a b 程0 ax的解是 +b = （A）3- x；（D）2 = x． = = x；（B）1- = x；（C）0 5．某校开展“阅读季”活动，小明调查了班级里40名同学计划购书的花费情况，并将结果 绘制成如图2所示的条形统计图，根据图中相关信息，这次调查获取的样本数据的众数 和中位数分别是 （A）12和10；（B）30和50；（C）10和12；（D）50和30． 6．如图3，在ABC AC=，点D、E分别是边AB、AC的中点，?中，BC 延长DE到F， 使得DE EF=，那么四边形ADCF是 （A）等腰梯形；（B）直角梯形；（C）矩形； （D ）菱形． 二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．人体中红细胞的直径约为0000077.0米，将数0000077.0用科学记数法表示为__▲___． 8．方程22=-x x 的解是▲__． 9．如果反比例函数)0(≠=k x k y 的图像经过点)4,1(-P ，那么k 的值是__▲___． 10．如果关于x 的方程032=-+k x x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是_▲__． 11．将抛物线122+-=x x y 向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是__▲___． 12．在实数5、π、03、?60tan 、2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是▲_． 13．甲、乙、丙、丁四名跳高运动员赛前几次选拔赛成绩如表1所示， 根据表中的信息，如果要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，那么应该选 ▲ _． （表1） 14．如果t 是方程0122=--x x 的一个根，那么代数式t t 422-的值是__▲___． 15．如图4，四边形DEFG 是ABC ?的内接矩形，其中点D 、G 分别在边AB 、AC 上， 点E 、F 在边BC 上，DE DG 2=，AH 是ABC ?的高，20=BC ， 15=AH ，那 么矩形DEFG 的周长是__▲___． 16．如图5，在□ABCD 中，CD AE ⊥，垂足为E ，BC AF ⊥，垂足为F ， 4=AD ，3=BF ，?=∠60EAF ，设AB a =，如果向量)0(≠=k a k ， 那么k 的值是_▲__． 17． 如图6，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠交边BC 于点D ，AD BD =， 3=AB ，2=AC ，那么AD 的长是 ▲ _． 18．如图7，在ABC ?中，)18090(?< 时针旋转)900(2?< 三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12 分；第25题14分； 满分78分） 19．（本题满分10分） 先化简，再求值：1 3 3133222++---÷+-a a a a a a a a （其中1 21-= a ）． 20．（本题满分10分） 解方程组：.169124; 322 2 ?? ?? =+-=-y xy x y x 21．（本题满分10分） 某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种足球比甲种足球每只贵20元，该校分别花费2000元、1400元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球的单价各是多少元 22．（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 如图8，已知梯形ABCD 中，BC AD //，AC 、BD 相交于点O ， AC AB ⊥，CD AD =，3=AB ，5=BC ． 求：（1）ACD ∠tan 的值； （2）梯形ABCD 的面积． 23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 如图9-1，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，点D 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，BE AE =，点M 是AE 的中点，联结CM ，点G 在线段CM 上，作AEB GDN ∠=∠交边BC 于N ． （1）如图9-2，当点G 和点M 重合时，求证：四边形DMEN 是菱形； （2）如图9-1，当点G 和点M 、C 不重合时，求证：DN DG =． 24．（本题满分12分） 如图10，已知抛物线)0(42≠+=a ax y 与x 轴交于点A 和点)0,2(B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在第一象限的点． （1）当ABD ?的面积为4时， ① 求点D 的坐标； （4分） ② 联结OD ，点M 是该抛物线上的点，且BOD MDO ∠=∠，求点M 的坐标；（4分） （2）直线BD 、AD 分别交y 轴于点E 、F ，那么OF OE +的值是否变化，请说明理由． （4分） 25．（本题满分14分） 如图11，已知ABC ?中，5==AC AB ，6=BC ，点O 是边BC 上的动点，以点O 为圆心，OB 为半径作圆O ，交边AB 于点D ，过点D 作 B ODP ∠=∠，交边A C 于点P ，交圆O 于点E ．设x OB =． （1）当点P 与点C 重合时，求PD 的长； （4分） （2）设y EP AP =-，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （5分） （3）联结OP，当OD OP 时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的 位置关系．（5分） 2016学年第二学期徐汇区初三年级数学学科 学习能力诊断卷参考答案和评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．A ； 5．B ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．6107.7-?； 8．2=x 或1-=x ； 9．4-； 10．4 9->k ； 11．)2,1(； 12．5 2； 13．甲； 14．2； 15．36； 16．3 2 -； 17．5 10 3； 18．?=+180βα等． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24 题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解：原式1 ) 1(33)1)(1()1()3(++---+÷+-= a a a a a a a a a ； 31--=a ； 4-=a ． 当121 21+=-=a 时，原式32412-=-+=． 20．解：由方程②得432±=-y x ； 与方程①组合得方程组； （Ⅰ）?? ?=-=-;432,32y x y x 或（Ⅱ）???-=-=-; 432, 32y x y x 解方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）得?? ?-=-=2 ,1y x 或???-=-=;10, 17y x ∴原方程组的解是?? ?-=-=2,111y x 或???-=-=.10, 172 2y x 21．解：设甲种足球的单价为每个x 元，则乙种足球的单价为每个 )20(+x 元． 由题意，得 220 14002000?+=x x ； 解得 50=x ； 经检验，50=x 是原方程的根，且符合题意；所以 7020=+x ； 答：甲种足球的单价为每个50元，乙种足球的单价为每个70元． 22．解：（1）∵BC AD //，∴ACB DAC ∠=∠； ∵CD AD =，∴DCA DAC ∠=∠；∴ACB DCA ∠=∠； ∵AC AB ⊥，∴?=∠90BAC ； ∴4352222=-=-=AB BC AC ； ∴4 3 tan tan == ∠=∠AC AB ACB ACD ． （2）过点D 作AC DG ⊥，垂足为G ． ∵CD AD =，∴22 1==AC CG ； 在DGC Rt ?中，?=∠90DGC ，∴CG DG DCG =∠tan ； ∴2 3432tan =?=∠?=DCG CG DG ； ∴94)2 33(21=?+?=+=??ADC ABC ABCD S S S ． 23．证明：（1）∵点D 是边AB 的中点，点M 是AE 的中点， ∴BE MD //，BE MD 21 =，AE ME 2 1=； ∴?=∠+∠180END MDN ； 又AEB GDN ∠=∠，∴?=∠+∠180END AEB ；∴AE DN //； ∴四边形MDNE 是平行四边形； ∵BE AE =，∴ME MD =；∴四边形MDNE 是菱形． （2）联结DM 、CD ． ∵?=∠90ACB ，点D 是边AB 的中点，点M 是AE 的中 点， ∴BD AD CD ==,AM CM =； 又DM DM =，∴CDM ADM ???；∴MCD MAD ∠=∠； ∵BE AE =，∴B EAB ∠=∠；∴B MCD ∠=∠； ∵B AEB ∠-?=∠2180，B CDB ∠-?=∠2180； ∴CDB AEB ∠=∠；又AEB GDN ∠=∠，∴CDB GDN ∠=∠； ∴CDN CDB CDN GDN ∠-∠=∠-∠；即NDB GDC ∠=∠； ∴BND CGD ???； ∴DN DG =． 24．解：（1）①∵抛物线)0(42≠+=a ax y 与x 轴交于点A 和点)0,2(B ， ∴044=+a ，得1-=a ，∴42+-=x y ；∴可得)0,2(-A ，设点),(y x D ，由题意，得42=y ；解得2±=y （负值舍去）； ∵点)2,(x D 在抛物线42+-=x y 上，可得2±=x （负值舍 去）； ∴点)2,2(D ． ②由题意，分两种情况： ?1过点D 作AB DM //交抛物线42+-=x y 与点M ． 此时点M 满足题意。得)2,2(-M ； ?2以OD 为始边作BOD ODQ ∠=∠交x 轴正半轴于点Q ． 可得点)0,223( Q ，此时22 2 3>==OQ QD ，可知点Q 在点B 的右侧； 所以直线QD 在x 轴下方与抛物线42+-=x y 无交点； 所以可能的点M 只能与点D 重合，但此时不合题意， 舍去． 综合?1、?2，得点)2,2(-M ． （2）OF OE +的值不变． 过点D 作OB DG ⊥，垂足是G ，设点)4,(2+-x x D ． 易得OE DG //，∴GB OB DG OE =，AG AO DG OF = ； ∴ x x x OF OE ++-=+-+22 2242 ； ∴82424)2(2)2(2=-++=-++=+x x x x OF OE ． 25．解：（1）∵AC AB =，∴ACB B ∠=∠，∴B A ∠-?=∠2180； ∵OB OD =，∴ODB B ∠=∠，又B ODP ∠=∠， B PDA ∠-?=∠2180；∴PDA A ∠=∠；∴5==A C P D ． （2）?1当点E 在线段DP 上时， 过点A 、O 分别作BC AH ⊥、DE OG ⊥，垂足分别为H 、 G ． 在AHB Rt ?中，?=∠90AHB ，∴5 3 cos == AB BN B ； 在OGD Rt ?中，?=∠90OGD ，∴OD DG ODG = ∠cos ； ∴x B OB ODG OD DG 5 3cos cos =?=∠?=；∴x DG DE 5 62==； 由（1）可得，PD PA =；∴DE EP PD EP PA =-=-； ∴x y 5 6 =，定义域为 234 625 611≤ ≤x ． ?2当点E 在线段DP 的延长线上时，可得 35192625x y -= ，定义域为6 25 234625< M ． 当OD OP ⊥时，易得POD ?∽AHB ?； ∴5:4:3::=PD OP OD ；∴x OD =，x OP 34=，x PD 3 5=； （1分） 又BC AH CM AB ?=?；∴5 24= CM ； 在AMC Rt ?中，?=∠90AMC ，∴5 722=-=CM AC AM ； ∴25 7 cos = = AC AM A ； 过点P 作AB PN ⊥，垂足为N ． 在APN Rt ?中，?=∠90ANP ，x x AN 5 3252565-=- = ， x PD PA 35= =，PA AN A = cos ，∴A PA AN cos ?=； 即2573 55 32 5 ?=-x x ；解得32 75=x ； ∴8253 4 ==x OP ，32 353275355=?-=-=PA AC PC ； ∴1650165532353275>=+= +PC OB ．8 25 81032353275< =-=-PC OB ； ∴PC OB OP PC OB +<<-； ∴圆P 与圆O 相交．
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