2018北师大版高中数学必修三巩固提升4.1平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2
标准差含解析
[A 基础达标]
1．已知一组数据10，30，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A．平均数>中位数>众数
B．平均数 c．中位数 D．众数＝中位数＝平均数解析：选D.中位数、平均数、众数都是50，从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同．
2．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x－A和x－B，样本标准差分别为sA 和sB，则( )
A．x－A>x－B，sA>sB B．x－AsB
c．x－A>x－B，sA 解析：选B.A中的数据都不大于B中的数据，所以x－AsB.
3．期中考试后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为，如果把当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么∶N为( )
A．4041 B．1 c．4140 D．2
解析：选B.设40位同学的成绩为xi(i＝1，2，…，40)，则＝x1＋x2＋…＋x4040，N＝x1＋x2＋…＋x40＋41＝40＋41＝.
故∶N＝1.
4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为( )
分数54321
人数2010303010
A.3
B.2105
c．3D.85
解析：选 B.x－＝20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1100＝3，
所以s2＝1100(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝160100＝85，所以s＝2105，故选B.
5．一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．81.2，4.4B．78.8，4.4
c．81.2，84.4D．78.8，75.6
解析：选A.由平均数和方差的计算公式知，如果数据中的每一个数都减去80，则平均数就减去80，因而原来数据的
平均数为80＋1.2＝81.2，而方差并不发生变化，仍为4.4.因此答案选A.
6．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x－，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x－这21个数据的方差为________．
解析：这21个数的平均数仍为x－，从而方差为121×[20×0.2＋(x－－x－)2]≈0.19.
答案：0.19
7．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝________．
解析：由平均数是10，得x＋y＝20，由标准差是2，得 15[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2]＝2，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy ＝96.
答案：96
8．已知总体的各个个体的值由小到大依次为3，7，a，b，12，20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a＝________.
解析：由中位数为12可得a＋b2＝12，所以a＋b＝24，所以总体的平均数为3＋7＋a＋b＋12＋206＝11，要使该总体的标准差最小，需要(a－11)2＋(b－11)2最小，而(a－11)2＋(b－11)2＝(a－11)2＋(24－a－11)2＝2(a－12)2＋
2，所以a＝12时总体的标准差最小．
答案：12
9．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和(1)算得的结果，对两人的训练成绩做出评价．
解：(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲10分13分12分14分16分
乙13分14分12分12分14分
甲的平均得分为10＋13＋12＋14＋165＝13，
乙的平均得分为13＋14＋12＋12＋145＝13.
s2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s2甲>s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线统计图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．
10．在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，统
计出他们命中的环数如下表：
甲9676277989
乙24687897910
赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？
解：为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示.
平均数方差中位数命中10环次数
甲7470
乙75.47.51
(1)平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．
(2)平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜，若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．
(3)平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．
[B 能力提升]
11．若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况)均不超过3，则称该同学为班级尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，中位数为2
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
c．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
解析：选D.甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可能是尖子生；丁同学名次数据的众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x＝1，2，3时，方差均小于1，故x＞3，断定丁一定不是尖子生．
12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为( )
A．s＝s1B．s＜s1
c．s＞s1D．不能确定
解析：选c.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x－，
则s＝115[（15－x－）2＋（23－x－）2＋（x3－x－）2＋…＋（x15－x－）2]，
s1＝115[（20－x－）2＋（18－x－）2＋（x3－x－）2＋…＋（x15－x－）2].
若比较s与s1的大小，只需比较(15－x－)2＋(23－x－)2与(20－x－)2＋(18－x－)2的大小即可．而(15－x－)2＋(23－x－)2＝754－76x－＋2x－2，(20－x－)2＋(18－x －)2＝724－76x－＋2x－2，所以(15－x－)2＋(23－x－)2＞(20－x－)2＋(18－x－)2.从而s＞s1.
13．已知数据80，82，84，86，88的方差为s2，且关于x的方程x2－(k＋1)x＋k－3＝0的两根的平方和恰好是s2，则k＝________．
解析：样本的平均数是84，
所以s2＝15×[(80－84)2＋(82－84)2＋(84－84)2＋(86－84)2＋(88－84)2]＝8.设方程的两根为x1，x2，则
x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(k＋1)2－2(k－3)＝8，即k2＝1，解得k＝±1，且当k＝±1时，满足方程有两根，即k＝±1.
答案：±1
14．(选做题)某工厂36名工人的年龄数据如下表．工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄
140103619272834
244113120432939
340123821413043
441133922373138
533144323343242
640154524423353
745163925373437
842173826443549
943183627423639
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值x－和方差s2；
(3)36名工人中年龄在x－－s与x－＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，相应工人的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.
(2)样本均值x－＝19×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40.
样本方差s2＝19×[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－
40)2＋(37－40)2]＝19×[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝1009.
(3)由于x－＝40，s＝s2＝103≈3.33，36名工人中年龄在x－－s≈36.67与x－＋s≈43.33之间有23人，所占比例为2336≈63.89%.