第6章系统时域分析习题解090211

第6章 系统及系统的时域分析

6.1学习要点

1. 系统的分类

（1）连续（时间）系统与离散（时间）系统 （2）即时系统与动态系统 （3）确定性系统与随机性系统

（4）单输入-单输出系统与多输入-多输出系统 （5）线性系统与非线性系统 （6）时变系统与时不变系统 （7）因果系统与非因果系统 （8）稳定系统与非稳定系统 2. 线性时不变因果稳定系统的基本特性

（1）线性（齐次性、可加性）：

)

()()()(2121?+?→?+?y y f f βαβα （6-1）

（2）时不变性：

)()(d f d t t y t t f -→- （对连续系统） （6-2）

)()(d f d k k y k k f -→- （对离散系统） （6-3）

（3）微积分特性：

)

(')('t y t f f →

（6-4） dx

x y dx x f t

f t

?

?

∞

-∞

-→

)()(

（6-5）

（4）因果性：

如果0)(=?f ，0t t <（或0k k <），则0)(=?f y ，0t t <（或0k k <） （5）稳定性：

如果系统的激励∞

3. 系统分析的任务及方法

系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号（激励）求系统的输出信号（响应）。系统分析方法包括时域分析法和变换域分析法。本章讨论的时域分析法是直接分析时间变量t (或

n )函数（或序列），研究系统的时间响应特性（或称时域特性），其主要优点是物理概念清楚。

4. LTI 系统的数学模型（输入输出方程）

一个n 阶L TI 连续系统，若其激励为)(t f ，响应为)(t y ，则描述该系统输入输出关系的数学模型是n 阶常系数线性微分方程，它可以写为：

∑∑===

m

j j j

n

i i i

t f

b

t y

a

)

(0

)

()

()(

（6-6）

式中，),,1,0(n i a i =和),,1,0(m j b j =都是常数，且1=n a 。

一个N 阶L TI 离散系统，若其激励为)(n f ，响应为)(n y ，则描述该系统输入输出关系的数学模型是N 阶线性常系数差分方程，它可以表示为：

∑∑=-=--=

-M

j j

M N

i i

N j n f b

i n y a

)()(

（6-7）

式中，),,1,0(N i a i =和),,1,0(M j b j =都是常数，且1=N a 。 5. 系统的框图表示

表6-1中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励)(?f 与响应)(?y 之间的运算关系（箭头表示信号传输的方向）。

表6-1 常用的系统基本运算单元

系统的数学模型（即输入输出方程）直接反映系统响应与激励之间的关系，便于数学分析与计算；系统框图除此之外，还以图形方式直观地表现各单元在系统中的地位与作用。两者可

以相互转换，可以从系统方程画出系统框图，也可以由系统框图写出系统方程。 6. LTI 系统时域分析法主要包含两个方面

L TI 连续系统分析与离散系统分析在许多方面是相互平行的，它们有许多类似之处。 （1）时域经典法：直接求解描述系统的微分（或差分）方程，算出齐次解和特解，从而得到系统的完全响应。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用，当学习了变换域分析方法后，很多复杂的计算问题便能迎刃而解。

（2）卷积法：利用卷积积分（或卷积和）运算求系统的零状态响应（至于零输入响应可以利用求齐次解的方法得到）。卷积法在连续系统分析中占有比较重要的地位。

需要指出：对于L TI 离散系统，由于差分方程具有递推关系，利用迭代法可求其数值解。迭代法简单易懂，便于编程实现，但只能得到数值解，不能得到闭式解。 7. LTI 系统全响应的分解

（1）自由响应与强迫响应（从微分方程经典解求解规律考虑）

根据时域经典法，微分（或差分）方程的全解由齐次解和特解组成。从系统分析的角度来说，齐次解)(?h y 的形式仅依赖于系统本身的特性，与激励)(?f 的函数形式无关，可称为自由响应或固有响应，表示系统特性的特征方程的根称为系统的固有频率或自由频率，它们决定了系统自由响应的全部形式；而特解)(?p y 的形式是由激励信号)(?f 决定的，故称为是强迫响应。

从而，系统的全响应可分解为自由响应和强迫响应两种分量，即：

)(?y = )(?h y + )

(?p y

（6-8）

（2）瞬态响应与稳态响应（从+∞→n t 或的状态考虑）

对于一个稳定的系统，自由响应必定随着时间的增长而逐渐趋于零。强迫响应则根据激励函数的性质可能随时间的增长趋于零，也可能趋于稳定，或者两者皆有。系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应；随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。

可见，系统的全响应可以又分解成瞬态响应和稳态响应两种分量。 （3）零输入响应与零状态响应（从区分起始储能与激励作用的角度考虑）

系统在任意时刻的响应)(?y 可以用初始状态{)0(x }和区间],0[t 或],0[n 上的激励{)(?f }完全地确定。初始状态代表系统的起始储能情况，可以看作是系统的另一种激励（有的书上称之为“内部激励”），这样系统的完全响应)(?y 将取决于两种不同的激励，即输入信号{)(?f }和初始状态{)0(x }。即：

)}]

0({)},([{)(x f T y ?=? （6-9）

零输入响应——输入信号为零、仅由初始状态引起的响应，即：

)}]

0({},0[{)(x T y x =?

（6-10）

零状态响应——初始状态为零、仅由输入信号引起的响应，即：

}]

0{)},([{)(?=?f T y f

（6-11）

从而，系统的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应两种分量，即：

)

()()(?+?=?f x y y y

（6-12）

例如，对于一个n 阶L TI 系统，若其特征根i λ),,2,1(n i =均为单根，则全响应可写为：

)()()(

1

1

1

t y e

C

e

C

t y e

C

t y p t

n

i fi

t

n

i xi

p t

n

i i

i i i ++

=

+=∑∑∑===λλλ （6-13）

式中

t

n

i fi t n i xi t n i i

i i i e

C e C e C

λλλ∑∑∑===1

1

1

＋＝ （6-14）

且系统响应分量中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应，随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。

根据响应各分量的定义，可以得到一些重要的结论： 1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。

2）自由响应和零输入响应的系数不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依赖于初始状态和激励信号。

3）自由响应由两部分构成，其中一部分由初始状态决定，另一部分由激励信号决定，两者都与系统自身参数有关。确切地说，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。

4）若系统初始状态为零（无初始储能），那么零输入响应为零，但自由响应可以不为零，由激励信号与系统参数共同决定。

5）对L TI 连续系统，零输入响应由-=0t 时刻到+=0t 时刻不跳变（因为此时微分方程右边为0，不含)(t δ或其各阶导数项）。若全响应由-=0t 时刻到+=0t 时刻发生跳变，只可能出现在零状态响应分量中。

6）一般来说，对于稳定系统，当激励信号为等幅（或指数增长）情况下，瞬态响应等于自由响应，而稳态响应等于强迫响应。

7）当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各初始状态呈线性（包括齐次性和可加性），即零输入线性，这可表示为：

)]

0(},0[{)]0(},0[{)]0()0(},0[{2121x T x T x x T βαβα+=+ （6-15）

而当初始状态为零时，系统的零状态响应对于各外加激励信号呈线性，即零状态线性，这可表示为：

强迫响应

自由响应

零输入响应零状态响应

}]

0{),([}]0{),([}]0{),()([2121?+?=?+?f T f T f f T βαβα （6-16）

（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。） 8. LTI 系统时域分析中根据初始状态（-0状态）求初始条件（+0状态）

“初始条件”（或+0状态）：在+=0t 时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即)0()

(+i y ，

其中1,,1,0-=n i 。)0()

(+i y

包含输入信号（激励）的作用，不便描述系统的历史信息。

“初始状态”（或-0状态）：在-=0t 时刻，系统响应及其各阶导数的值，即)0()

(-i y

。

)0()

(-i y

可以反映系统的历史情况，而与激励无关（因为此时激励尚未接入），它们为求得0

≥t 的响应)(t y 提供了以往历史的全部信息。

通常，实际工程上，对于具体的系统，初始状态常常容易得到。这样，为求解描述L TI 系统的微分方程，就需要从已知的初始状态)0()

(-i y

设法求得初始条件)0()

(+i y

。

需要指出的是，当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从-0状态到+0状态有没有跳变取决于微分方程右边激励项是否包含冲激信号)(t δ或其各阶导数。如果方程右边不包含

)(t δ或其各阶导数，说明相应的-0状态到+0状态没有发生跳变，即)()

(t y

i 在0=t 处连续，

所以)0()

(+i y

=)0()

(-i y

。否则，如果方程右边包含)(t δ或其各阶导数，说明相应的-0状态

到+0状态发生了跳变，即)0()0(-+≠y y 或)0(')0('-+≠y y 等等。

为确定初始条件)0()

(+i y

（1,,1,0-=n i ）的值，在时域分析中有两种方法:

1）利用物理概念对电路模型进行分析判断。

2）奇异函数匹配法（也称为奇异函数平衡法）。其基本原理是根据微分方程左右两端的)(t δ及其各阶导数应该平衡相等。

前者适用于给定具体电路图的情形，后者虽然比较抽象,但却是普遍适用的一般方法。不过，在学习了拉普拉斯变换后，还会有更加简便的方法。

另外，可补充说明的是，对于LTI 离散系统，可认为)1(-y ，)2(-y …，)(N y -是激励作用之前在因果系统中存储的数据，与激励信号无关，这组条件与微分方程的初始状态（-0状态）相对应；由这组数据与激励信号约束共同求得的)0(y ，)1(y ，…，)1(N-y 则

类似于微分方程的初始条件（+0状态）。不过，这里根据初始状态求初始条件比较简单，直接根据差分方程进行迭代运算即可。

9. LTI 系统的单位冲激（序列）响应和阶跃响应以及它们之间的关系

L TI 连续系统在激励为单位冲激信号)(t δ的作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用)(t h 表示。

L TI 连续系统在激励为单位阶跃信号)(t u 的作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t s 表示。

同一L TI 连续系统的阶跃响应与冲激响应的关系为

dt

t s d t h )()(=

（6-17）

?

∞

-=

t d h t s τ

τ)()( （6-18）

L TI 离散系统在激励为单位序列)(n δ的作用下产生的零状态响应，称为单位序列响应（或单位取样响应，单位样值响应），用)(n h 表示。

L TI 离散系统在激励为单位阶跃序列)(n u 的作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应（或阶跃响应），用)(n s 表示。

同一L TI 离散系统的阶跃响应与单位序列响应的关系为

∑

∑

+∞

=-∞

=-=

=

)()()(j n

i j n h i h n s

（6-19）

)1()()()(--=?=n s n s n s n h （6-20）

10. LTI 系统时域分析的卷积法及其应用

（1）利用卷积积分求L TI 连续系统的零状态响应的由来

)(t δ→)

(t h

)(τδ-t →)(τ-t h

)()(τδτ-t f →)()(ττ-t h f

τ

τδτd t f t f ?

∞

∞

--=

)()()(→)

()()()()(t h t f d t h f t y f *=-=

?

∞

∞

-τττ

（6-21）

（2）利用卷积和求L TI 离散系统的零状态响应的由来

)(n δ→)(n h

)(i n -δ→)

(i n h -

)()(i n i f -δ→)

()(i n h i f -

∑

+∞

-∞

=-=

i i n i f n f )()()(δ→)()()()()(n h n f i n h i f n y i f *=-=

∑

+∞

-∞

= （6-22）

（3）)(?h 完全表征了系统本身的特性，因此通常用如图6-1所示的框图来表示系统的零状态响应。

(?f )

(?y

图6-1 系统的框图表示

根据卷积的性质，对于串并联系统，能方便地得到其等效系统，如图6-2所示，以两个子系统组成的串、并联系统为例：

)

(?f )(

?y )

(?f )

(?y

)(?)

(?f )(?f )

(?y (a)两个子系统串联

(b)等效的系统

(c)两个子系统并联

(d)等效的系统

图6-2 串联系统、并联系统以及它们的等效系统

这个结果很容易推广可知，N 个子系统串联和并联的情况。

6.2 精选例题

例 1 设一个L TI 离散系统的初始状态不为零，当激励为)()(1n u n f =时全响应为

)(121)(1n u n y n ????????+??? ??=，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(2n u n y n ???

?

????-??? ??-=。

（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，求系统的全响应)(3n y 。 （2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，求系统的全响应)(4n y 。

（3）求该系统的单位序列响应)(n h 。

解：设系统的初始状态保持不变，当激励为)()(1n u n f =时系统的零输入响应和零状态

响应分别为)(n y x 、)(n y f 。依题意，有：

)(121)()()(1n u n y n y n y n f x ???

?

????+??? ??=+= ○

1

根据L TI 系统的性质，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为

)(121)(()(2n u n y n y n y n f x ???

?

????-??? ??-=-=） ○

2

联立式○1、○2，可解得：

??

?

????

???

?

????+??

?

??-+??

? ??=????

??????? ??--??? ??=++++)(12121)()(2121(1

1

11n u n y n u n y n n f n n x ）

同样，根据L TI 系统的基本性质，不难得到：

（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，系统的全响应为：

)

(4)()(3n y n y n y f x +=

)

(121214)(21211111n u n u n n n n ???

?

????+??? ??-+??? ??+??????????? ??--??? ??=++++ )(42132151

1n u n n ???

?????+??? ??-+??? ??=++

（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，系统的全响应为：

)

2(4)(2)(4-+=n y n y n y f x

)2(121214)(21211111-???

?????+??? ??-+??? ??+??????????? ??--??? ??=--++n u n u n n n n

（3）由于)1()()(--=n u n u n δ，所以该系统的单位序列响应为：

)1()()(--=n y n y n h f f

)

1(12121)(1212111-???

?

????+??? ??-+??? ??-

????????+??? ??-+??? ??=++n u n u n n n n 例2 一个L TI 连续系统对激励)(sin )(t tu t f =的零状态响应)(t y f 如例2图所示，求该

系统的冲激响应)(t h 。

解：依题意，该系统的零状态响应为：

)

()(sin )(t h t tu t y f *=

由于没学过卷积逆运算，无法直接求得冲激响应)(t h ，

可以从卷积运算的性质下手，设法使激励信号中出现

)(t δ，这样就有可能求出)(t h 。

因为)

(cos )

(sin t tu dt

t tu d =，

)

(sin )()

(sin 2

2

t tu t dt

t tu d -=δ

不难发现：

)

()](sin )([)(sin )

(sin )(sin 2

2

t t tu t t tu dt

t tu d t tu δδ=-+=+

从而，一方面，根据卷积分配律：

)

()()()

(])

(sin )(sin [)

()

(sin )()(sin 2

2

2

2

t h t h t t h dt

t tu d t tu t h dt

t tu d t h t tu =*=*+=*+

*δ

另一方面，根据卷积的微分性质：

22

2

2

)()()()

(sin )()(sin dt

t y d t y t h dt

t tu d t h t tu f f +

=*+

*

故系统的冲激响应为：

2f 2

f dt

t y d t y t h )()()(+

=

其波形如例2解图所示。

例3 求下面例3图（1）所示系统中的加权系数)(n h ，以使得该系统与例3图（2）所示

的系统等效。

t

例2

解图

t

例2图

x 例3图（

1）

例3图（2）

解：如果两个离散系统的单位序列响应相同，则这两个系统等效。因此，必须先求出每个系统的单位序列响应。

根据例3图（2），可以得到该系统的差分方程为：

)1()()2(6)1(5)(-+=-+--n x n x n y n y n y

设该系统初始状态为零，当激励)(n x 为单位取样信号)(n δ时，系统响应)(n y 就是单位序列响应)(0n h ，上述差分方程可以写为：

)1()()2(6)1(5)(000-+=-+--n n n h n h n h δδ

此差分方程的特征方程为：

0652

=+-λλ

解之，得特征根：

3221==λλ，

由于激励是单位取样信号)(n δ，方程特解为零，故单位序列响应的形式与齐次解相同，即：

)()32()(210n u C C n h n

n

?+?=

由于初始状态

0)2()1(00=-=-h h

不难根据差分方程迭代求出0n ≥的初始条件：

1)0(0=h 6)1(0=h

将它们代入单位序列响应，求得

???=+==+=632)1(1)0(210

210C C h C C h 解之，得 ???=-=43

2

1C C

故： )()3423()(0n u n h n

n

?+?-= ○1

对于例3图（1）所示系统的响应为：

)

()()

()()()()1()1()()0()(0

n h n x m n x m h N n x N h n x h n x h n y m *=-=

+-++-+=∑∞

=

因为系统的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的卷积，所以图（1）所示系统中的各加权系数)(n h 正是该系统的单位序列响应在不同时刻的样值。这样要使图（1）和图（2）所示的两个系统等效，则图（1）所示系统的加权系数)(n h 就应和式○1相同，即

)()3423()(n u n h n

n

?+?-=

从上面分析可以看出

，图（1）所示系统实际上是一个卷积器。利用这个结构可以模拟线性离散系统。

6.3 习题精解

1. 下列系统中)(?f 为激励，)(?y 为响应，)0(x 为初始状态，试判断它们是否为线性系统。 （1）)()0()(t f x t y = （2）)(5)0()(3

t f x t y +=

（3）)(7)0(4)(n f x n y -= （4）b n af n y +=)()(，其中a 、b 为常数 解：由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。

对于系统(4)，如果直接观察 )(n y ～)(n f 关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性。但考虑到令)(n f =0时，系统响应为常数b ，若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。

2. 下列系统中)(?f 和 )(?f y 分别表示激励和零状态响应，试判断它们是否为时不变系统。

(1) )](cos[)(t f a t y f =，其中a 为常数 （2）)()(n bf n y f =，其中b 为常数

解：

(1) 已知)(t f →)](cos[)(t f a t y f =，设 d d t t t t f t f >-=),

()(1，则其零状态响应

为)](cos[)](cos[)(11d f t t f a t f a t y -==，显然 )()(1d f f t t y t y -=，故该系统是时不变系统。

(2) 已知)(n f →)()(n bf n y f =，设 001),

()(n n n n f n f >-=，则其零状态响应为

)()()(011

n n bf n bf n y

f -==，显然 )()(01

n n y n y

f f -=，故该系统是时不变系统。

3. 下列系统中)(?f 和 )(?f y 分别表示激励和零状态响应，试判断系统的因果性。 （1）3)(7)(+=t f t y f （2）?

∞

-=

t

f x x f t y d )()( （3）)2(5)(3)(-+=n f n f n y f

（4）∑

-∞

==

n

i f i f n y )()( (5)）1()(+=n f n y f （6）)3()(t f t y f =

解：对于（1）～（4），由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。

而对于（5），系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。因此，该系统是非因果的。

（6）也是非因果的，因为如果

0)(=t f ，0t t <

则有

0)3()(==t f t y f ，3

0t t <

可见在区间

003

t t t <<上0)(≠t y f ，即零状态出现于激励之前，因而该系统是非因果的。

4. 下列系统中)(?f 和 )(?f y 分别表示激励和零状态响应，试判断系统的稳定性。 （1）)1(2)(3)(-+=n f n f n y f

（2）?

∞

-=

t

f x x f t y d )()(

解：

（1）显然，无论激励)(n f 是何种形式的序列，只要它是有界的，那么)(n y f 也是有界的，因果该系统是稳定的。

（2）若)()(t u t f =，显然该激励是有界的，但

t x x u t y t

f ==

?

∞

-d )()(，0≥t

它随时间t 无限增长，故该系统是不稳定的。

5. 已知系统方程及其对应的初始条件（+0状态），求系统的零输入响应。 （1）)()(2)('2)(''t f t y t y t y =++，给定：2)0('0)0(==++y y ，； （2）)()()('2)(''t f t y t y t y =++，给定：2)0('1)0(==++y y ，；

解：

（1）特征方程为：0222=++λλ，得特征根：j +-=11λ，j --=11λ 因而，可设零输入响应为：0,)sin cos ()(21>+=-t t C t C e t y t x

代入初始条件得：

0)

sin cos ()0(1021==+=+

=-+C t C t C e

y t t

x

2)]

cos sin ()sin cos ([)0('2102121=+-=+-++-=+

=--+C C t C t C e t C t C e y t t

t

x

联立以上两式，解得 2021==C C ，

所以，系统的零输入响应为： )(sin 2)(t tu e t y t x -=

（2） 特征方程为：0122=++λλ，得特征根：121-==λλ 因而，可设零输入响应为： 0,)()(21>+=-t e C t C t y t x

代入初始条件得：

1)()0(2021==+=+

=-+C e C t C y t t

x

2]

)([)0('210211=-=+-=+

=--+C C e

C t C e

C y t t

t

x

联立以上两式，解得 1321==C C ，

所以，系统的零输入响应为： )()13()(t u e t t y t x -+=

6. 给定系统微分方程、初始状态（-0状态）以及激励信号分别为以下三种情况： （1）)()(2)('t f t y t y =+，)()(0)0(t u t f y ==-， （2）)('3)(2)('t f t y t y =+，)()(0)0(t u t f y ==-，

（3）)(')(4)('3)(''2t f t y t y t y =++，)()(1)0('1)0(t u t f y y ===--，，

试判断系统在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其)0(+y 值，对（3）写出)0(+y 和)0('+y 值。

解:

（1） 将)()(t u t f =代入方程，由于方程右边没有冲激信号)(t δ及其导数，所以系统在起始点（从-0状态到+0状态）没有发生跳变。

从而可知：0)0()0(==-+y y

（2）将)()(t u t f =代入方程，由于)()('t t f δ=，即方程右边有冲激信号)(t δ，所以系统在起始点（从-0状态到+0状态）会发生跳变。

根据奇异函数匹配法的原理，可设：+-≤≤+=00,

)()()('t t bu t a t y δ。（注意：这

里)(t u 不代表单位阶跃信号，只是借用它表示)()(t y n 在0=t 点有一个单位的跳变量。） 从而有：)()(t au t y =

代入原方程可得：)(3)(2)()(t t au t bu t a δδ=++ 解得：63-==b a ，

故3)0()0(=+=-+a y y

（3）将)()(t u t f =代入方程，由于)()('t t f δ=，即方程右边有冲激信号)(t δ，所以系统在起始点（从-0状态到+0状态）会发生跳变。

根据奇异函数匹配法的原理，可设：+-≤≤++=00,

)()()()("'

t t cu t b t a t y δδ

从而有：)()()('t bu t a t y +=δ，)()(t au t y =

代入原方程可得：)()(4)(3)(3)(2)(2)(2't t au t bu t a t cu t b t a δδδδ=+++++ 解得：4

3,21,

0-

==

=c b a

故： 2

3)0(')0('=+=-+b y y ，1)0()0(=+=-+a y y

7. 给定系统微分方程)(3)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++，若激励信号和初始状态分

别为2)0('1)0()()(===--y y t u t f ，，，试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。

解：

（1）求零输入响应)(t y x ：

由已知条件有：

??

???=====++-+-+1)0()(02)0()0(0)(2)('3)("'

'x x x x x x x y y y y t y t y t y 特征方程： 0232=++λλ

特征根为： 11-=λ，22-=λ

故可设零输入响应（齐次解）为：0,)()(221>+=--t e C e C t y t t x

代入初始条件，并求解得41=C ，32-=C 故 )()34()(2t u e e t y t t x ---= （2）求零状态)(t y f ： 依题意，可设齐次解 0,

221>+--t e

D e

D t

t

，

又由于0>t 时，1)()(==t u t f ，易知

2

3是方程的一个特解。

故零状态响应为：0,2

3)(221>+

+=--t e D e D t y t

t f

为了确定待定系数，将)t (u )t (f =代入原方程，有：

)(3)()(2)('3)("t u t t y t y t y f f f +=++δ

根据奇异函数匹配法，当+-≤≤00t 时，可设：)()()("t bu t a t y f +=δ，则：

)()('t au t y f =，0)()(==t atu t y f

代入方程，平衡两边相同项的系数得0,1==b a

故 110)0()0('

'

=+=+=-+a y y f f ，0)0()0(==-+f f y y

代入表达式，可解得：21-=D ，2

12=

D

故 )()2

32

12()(2t u e

e t y t

t

f +

+

-=--

（3）全响应)()2

32

52()()()(2t u e

e t y t y t y t

t

f x +

-

=+=-- ，其中：

零输入响应为：)()34(2t u e e t t --- 零状态响应为：)()2

32

12(2t u e

e t

t +

+

---

自由响应为：)()2

52(2t u e

e t

t

---

强迫响应为：)(2

3

t u

8. 有一系统满足：当激励为)()(1t u t f =时，全响应为)(2)(1t u e t y t

-=；当激励为

)()(2t t f δ=时，全响应为)()(2t t y δ=。

（1）求该系统的零输入响应)(t y x ；

（2）设系统的初始状态保持不变，求其对于激励为)()(3t u e t f t -=的全响应)(3t y 。

解：

（1）设当激励为)()(1t u t f =时，系统的零输入响应为)(t y x 、零状态响应为)(t y f ，则系统全响应为：

)(2)()()(1t u e t y t y t y t

f x -=+= ○

1

系统的初始状态保持不变，根据L TI 系统的性质，当激励为)()(2t t f δ=时全响应为：

)()(')()(2t t y t y t y f x δ=+= ○2

联立式○1、○2，可得：

)(2)()()('t u e t t y t y

t

f f

--=-δ ○

3

又知0)0(=-f y ，用经典法解式○3所示的方程，可得 )()(t u e t y t

f -=

从而，系统的零输入响应为：

)()()(2)()()(1t u e t u e t u e t y t y t y t

t t f x ---=-=-=

（2）由（1）不难看出，系统的单位冲激响应)()()(')(t u e t t y t h t f --==δ

所以，根据卷积积分法，当激励为)()(3t u e t f t -=时，零状态响应为：

)

()1()()()]()([)()()()(33

t u e t t u te

t u e t u e t t u e t h t f t y

t

t

t t t f ------=-=-*=*=δ

又由于系统的初始状态保持不变，所以系统的零输入响应仍为)()(t u e t y t

x -=， 故系统的全响应为：

)()2()()1()()()()(3

3t u e t t u e t t u e t y

t y t y t

t t f x ----=-+=+=

9. 某L TI 系统，无初始储能，在外界激励)(2)(3t u e

t f t

-=作用下的响应为)(t y ，即

[])()(t f T t y = ，又已知： [])()(3)('2t u e

t y t f T t

-+-=，求该系统的单位冲激响应)(t h 。

解：依题意，对于初始状态为零的LTI 系统，在激励)(2)(3t u e t f t -=作用下的响应为：

)()()]([)(t h t f t f T t y *==

则在激励)(2)(6)('3t t u e t f t δ+-=-作用下的响应为：

)()(')]('[)('t h t f t f T t y *==

由于)(2)(3)(2)(6)('3t t f t t u e t f t δδ+-=+-=-，故有：

)(2)(3)()(2)()(3)()](2)(3[)('t h t y t h t t h t h t h t t h t y +-=*+*-=*+-=δδ

又由已知条件：)()(3)]('[)('2t u e t y t f T t y t -+-==，从而得：

)(2)(3)()(32t h t y t u e

t y t

+-=+--

故该系统的单位冲激响应为：

)(21)(2t u e

t h t

-=

10. 电路如题10图所示，0

（1）试从物理概念判断)0(-i 、)0('-i 和)0(+i 、)0('+i ；

（2）写出+≥0t 时间内描述系统的微分方程表示，求)(t i 的全响应；

（3）写出一个方程式，可在时间+∞<<∞-t 内描述系统，根据此式利用奇异函数匹配

法判断-0时刻和+0时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。

V

20题10图

解：

（1）-=0t 时刻，开关位于“1”，电路处于稳定状态，不难得到：

V 10)0(C =-u ， V 0)0(L =-u ， 0)0()0(L ==--i i

从而可知：0)0(1)0()0(L '

'==

=---u L

i i L

+=0t 时刻，开关自“1”转至“2”，电容电压和电感电流不会突变，故有：

V 10)0()0(C C ==-+u u ，0)0()0()0(L ===-++i i i L

而电感电压要发生变化，有KVL 可知：V)(101020)0(L =-=+u

从而可知：A u L

i i 10)0(1)0(')0(L L '==

=+++

综上所述，有：

0)0()0(')0(===+--i i i ，A i 10)0('

=+

（2）+≥0t 时，由KVL 可知：)(20)()()(t u t Ri t i dt

d L t u C =++

方程两边求导并将)()(t u dt

d C

t i C =代入，可得：

)(20)(C

1)()(2

2t t i t i dt

d R

t i dt

d L

δ=+

+

由于1===C R L ，且+≥0t 时，0)(=t δ，所以系统微分方程为：

)()()(2

2=++

t i t i dt

d t i dt

d

其特征方程为：012=++λλ，得特征根：j 2

32

12,1±

-

=λ

显然0是方程的一个特解，故全响应可设为：0,

)()2

32

1(2)2

32

1(1>+=--

+-

t e

K e K t i t

j

t j

代入初始条件10)0(,0)0('==++i i ，解得：

j

K j K 3

10,

31021=

-

=

代入上式，并化简，得系统的全响应为：

)()2

3sin(

3

20)(2

1

t u t e

t i t

=

（3）根据（2），不难得到，在∞<<∞-t 时间内，系统微分方程为：

)()()()(2

2t f dt

d t i t i dt

d t i dt

d =

++

其中，??

?><=0

,

200,10)(t t t f ，这可表示为)(1010)(t u t f +=

代入系统微分方程，得：

)(10)()()(2

2t t i t i dt

d t i dt

d δ=++

根据奇异函数匹配法的原理，可设：+-≤≤+=00,

)()()("t t bu t a t i δ

从而有：)()('t au t i =，0)()(==t atu t i 代入原方程可得：)(10)()()(t t au t bu t a δδ=++ 解得：10,

10-==b a

故： 10100)0(')0('=+=+=-+a i i ，0)0()0(==-+i i

可见，与（1）的结果一致。

11. 设某因果L TI 系统输入、输出之间的关系可以用以下方程表示：

)()()()(5)('t f d t p f t y t y --=

+?

∞

∞

-τττ

其中)(3)()(t t u e t p t

δ+=-，求该系统的单位冲激响应)(t h 和阶跃响应)(t s 。

解：)()()()()()()(5)('t f t f t p t f d t p f t y t y -*=--=

+?

∞

∞

-τττ

为了求)(t h ，将已知条件)(3)()(t t u e t p t δ+=-及)()(t t f δ=代入，并化简得：

)(2)()(5)('t t u e t h t h t

δ+=+-

易知0)0(=-h ，用“经典法”可求得系统的单位冲激响应为：

)()4

741(

)(5t u e

e

t h t

t

--+

=

从而进一步可以得到系统的阶跃响应为：

)()4

74

15

3(

)()(5t u e

e

d h t s t

t

t --∞

--

-

==

?

ττ

12. 如题12图所示电路，以)(t u s 为输入，)(2t u 为输出，试列出其微分方程，用时域分析法求出电路的冲激响应和阶跃响应。

+

-

)

(2t u )

(t u s

题12图

解：依题意，不难得到电路的微分方程为：

)()()()(222t u t u t u t u s s

+'=+' )()(t t u s δ=作用于系统时，对应得到的系统冲激响应)(t h ，从而有：

)()()()('2'

t t t h t h δδ+=+

特征方程为：012=+λ，得特征根：2

1-=λ

可设齐次解：)0()(21+-≥=t Ae t h t

h

初始状态：0)0(=-h

用奇异函数匹配法，设)()()()(''t cu t b t a t h ++=δδ，+-≤≤00t 则：)()()(t bu t a t h +=δ

代入方程)()()()('2't t t h t h δδ+=+，得：

???

?

???

=+=+=021221c b b a a 解得：8

14

12

1-

==

=

c b a ，，

电路分析基础习题集与答案解析

电路分析基础练习题 @ 复刻回忆 1-1 在图题1-1 所示电路中。元件 A 吸收功率30W ，元件 B 吸收功率15W ，元件 C 产生功率30W ，分别求出三个元件中的电流I 1、I 2、I 3。 5V A I 15V B I 2 5V C I 3 图题1-1 解I 1 6 A，I 2 3 A ，I 3 6 A 1-5 在图题1-5 所示电路中，求电流I 和电压U AB 。 解I 4 1 2 1 A，U AB 3 10 2 4 4 39 V 1-6 在图题1-6 所示电路中，求电压U。 30V 5 U 2A 50V 1 I 2 5V 3 I 1 2 4V 图题1-6 图题1-7解50 30 5 2 U ，即有U30V 1-8 在图题1-8 所示电路中，求各元件的功率。 解电阻功率：P 3 P22 2 3 42 / 2 12 W， 3 8 W 2A 电流源功率：P2A 2(10 4 6) 0 ，2 P1 A 4 1 4 W 10V 4V 1A

电压源功率：P 10V 10 2 20 W， P 4V 4(1 2 2) 4 W 2-7 电路如图题2-7 所示。求电路中的未知量。 解U S 2 6 I 12 4 A 2 9 3 12 V I 0 2A I 2 I 3 I 3 P3/ U S12 / 12 1 A U S R eq 6 9 R3 I 0 2 R 4 / 3 1 12 12 13 / 3 A P312W 1 U S R eq I 12 36 13/ 3 13 图题2-7 2-9 电路如图题2-9 所示。求电路中的电流解从图中可知， 2 与3 并联，I 1 。 1 2 由分流公式，得 I 2 I 33 5 I1 5 1 1 A 1 3I 1 I 3 I 2 1V I 1 5I 1 3 所以，有 I 1 I 2I 3 3I 1 1 图题2-9 解得I 1 0.5 A 2-8 电路如图题2-8 所示。已知I1 3I 2 ，求电路中的电阻R 。 解KCL ：I 1 I 2 60 I1 3I 260mA I 1 2.2k 解得I 1 R 为45 mA, I 215 mA. I 2R R 2.2 45 15 6.6 k图题2-8 解(a) 由于有短路线， (b) 等效电阻为 R AB 6 , R AB 1// 1 (1 1// 1) // 1 0.5 1.5 2.5 1.1 2-12 电路如图题2-12 所示。求电路AB 间的等效电阻R AB 。 3

自动控制原理课后习题测验答案

目录 1自动控制系统的基本概念 1.1内容提要 1.2习题与解答 2自动控制系统的数学模型 2.1内容提要 2.2习题与解答 3自动控制系统的时域分析 3.1内容提要 3.2习颗与他答 4根轨迹法 4.1内容提要 4.2习题与解答 5频率法 5.1内容提要 5.2习题与解答 6控制系统的校正及综合 6.1内容提要 6.2习题与解答 7非线性系统分析 7.1内容提要 7.2习题与解答 8线性离散系统的理论基础 8.1内容提要 8.2习题与解答 9状态空间法 9.1内容提要 9.2习题与解答 附录拉普拉斯变换 参考文献 1自动控制系统的基本概念 1. 1内容提要 基本术语：反馈量，扰动量，输人量，输出量，被控对象； 基本结构：开环，闭环，复合； 基本类型：线性和非线性，连续和离散，程序控制与随动； 基本要求：暂态，稳态，稳定性。 本章要解决的问题，是在自动控制系统的基本概念基础上，能够针对一个实际的控制系统，找出其被控对象、输人量、输出量，并分析其结构、类型和工作原理。 1.2习题与解答 题1-1图P1-1所示，为一直 流发电机电压白动控制系统示

意图。图中，1为发电机；2为减速器； 3为执行电机；4为比例放大器； 5为可调电位器。 (1)该系统有哪些环节组成， 各起什么作用” (2)绘出系统的框图，说明当 负载电流变化时，系统如何保持发 电机的电压恒定 (3)该系统是有差系统还是无 差系统。 (4)系统中有哪些可能的扰动， 答 (1)该系统由给定环节、比较环节、中间环节、执行结构、检测环节、 发电机等环节组成。 给定环节:电压源0U 。用来设定直流发电机电压的给定值。 比较环节:本系统所实现的被控量与给定量进行比较，是通过给定电 压与反馈电压反极性相接加到比例放大器上实现的 中间环节:比例放大器。它的作用是将偏差信号放大，使其足以带动 执行机构工作。该环节又称为放大环节 执行机构:该环节由执行电机、减速器和可调电位器构成。该环节的 作用是通过改变发电机励磁回路的电阻值，改变发电机的磁场，调节发 电机的输出电压 被控对象:发电机。其作用是供给负载恒定不变的电压. 检测环节跨接在发电机电枢两端、且与电压源0U 反极性相接到比 例放大器输人端的导线。它的作用是将系统的输出量直接反馈到系统的 输人端。 (2)系统结构框图如图1-5所示。当负载电流变化如增大时，发电 机电压下降，电压偏差增大，偏差电压经过运算放大器放大后，控制可逆 伺服电动机，带动可调电阻器的滑动端使励磁电流增大，使发电机的电压 增大直至恢复到给定电压的数值上，实现电压的恒定控制。 负载电流减小的情况与此同理。 (3)假设在系统稳定运行状态下，发电机输出的电压与给定的电压0U 相等，也就是我们所称谓的无差系统。此时，比例放大器输出电压为零，执 U 0 + - 5 3 + -负载 G V 1 2 + - + - 图P1-7电压自动控制系统示意图

大作业1(机电控制系统时域频域分析)

《机电系统控制基础》大作业一 基于MATLAB的机电控制系统响应分析 哈尔滨工业大学 2013年11月4日

1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。

2 题目1 单位脉冲响应曲线 单位阶跃响应曲线

源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即

_第二章连续系统的时域分析习题解答

第二章 连续系统的时域分析习题解答 2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。试列写各响 解： . 1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1 111)( )b (; 105.7)625(3 102 ; )(375)()6253(4) ()()61002.041( )a (0202200 204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p p p f t u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++?++=+=+++= ++= ?=+??==+?=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。 解：. 1 )()()( ; 11)()()( )b (; 625 3105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (22 0 20 40 0 +++==+++== +?==+== -p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i f u 2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。 . ) 2)(1() 3()( )4( ; 323)( )3(; 3 3)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+= p p p p p H p p p H p p p H p p p H 解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d )1( f t f y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f t f y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为： . 4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(1 3)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84() 12()( )2(; 1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(4 2)( )1(---2 ---2 --=''='=++==''='=+++-=='=+++= t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t y 1 f u 0(t ) (b) 1 f (t ) 4k 6k 2F u 0(t ) (a) 图题2-1

第三章控制系统的时域分析法知识点

第三章 控制系统的时域分析法 一、知识点总结 1．掌握典型输入信号（单位脉冲、单位阶跃、单位速度、单位加速度、正弦信号）的拉氏变换表达式。 2．掌握系统动态响应的概念，能够从系统的响应中分离出稳态响应分量和瞬态响应分量；掌握系统动态响应的性能评价指标的概念及计算方法（对于典型二阶系统可以直接应用公式求解，非典型二阶系统则应按定义求解）。 解释：若将系统的响应表达成拉普拉氏变换结果（即S 域表达式），将响应表达式进行部分分式展开，与系统输入信号极点相同的分式对应稳态响应；与传递函数极点相同的分式对应系统的瞬态响应。将稳态响应和瞬态响应分式分别进行拉氏逆变换即获得各自的时域表达式。 性能指标：延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量 3．掌握一阶系统的传递函数形式，在典型输入信号下的时域响应及其响应特征；掌握典型二阶系统的传递函数形式，掌握欠阻尼系统的阶跃响应时域表达及其性能指标的计算公式和计算方法；了解高阶系统的性能分析方法，熟悉主导极点的概念，定性了解高阶系统非主导极点和零点对系统性能的影响。 tr tp ts td

4．熟悉两种改善二阶系统性能的方法和结构形式（比例微分和测速反馈），了解两种方法改善系统性能的特点。 5．掌握系统稳定性分析方法：劳斯判据的判断系统稳定性的判据及劳斯判据表特殊情况的构建方法（首列元素出现0，首列出现无穷大，某一行全为0）；掌握应用劳斯判据解决系统稳定裕度问题的方法。了解赫尔维茨稳定性判据。 6．掌握稳态误差的概念和计算方法；掌握根据系统型别和静态误差系数计算典型输入下的稳态误差的方法（可直接应用公式）；了解消除稳态误差和干扰误差的方法；了解动态误差系数法。 二、相关知识点例题 例1. 已知某系统的方块图如下图1所示，若要求系统的性能指标为： δδ%=2222%，tt pp=1111，试确定K和τ的值，并计算系统单位阶跃输入下的特征响应量：tt，tt。 图1 解：系统闭环传递函数为：Φ(s)=CC(ss)RR(ss)=KK ss2+(1+KKKK)ss+KK 因此，ωnn=√KK，ζζ=1+KKKK2√KK， δ%=e?ππππ?1?ππ2?ζζ=0.46， t pp=ππωωdd=1ss?ωdd=ωnn?1?ζζ2=3.14 ?ωnn=3.54 K=ωnn2=12.53，τ=2ζζωnn?1KK=0.18 t ss=3ζζωωnn=1.84ss

第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案

第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应 t e t k 25.10125.0)(-= 试求系统闭环传递函数)(s Φ。 解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程 T c t c t r t r t ?? +=+()()()()τ 近似描述，其中，1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ?? ? ?????? ??-+=τln 693.0 t T r =22. T T T t s ?? ??? ? -+=)ln( 3τ 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 1 )()(++=Ts s s R s C τ 1 11 11)(+-- = ? ++= ∴ Ts T s s Ts s s C τ τ C t h t T T e t T ()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时 h t T T e t t d ()./==---051τ 12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -??? ??-=-τln 2ln ????? ???? ??-+=∴ T T T t d τln 2ln

2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间) 当 T t e T T t h /219.0)(--- ==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T t e T T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==2109 01 22ln ... 3) 求 t s T t s s e T T t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln T T T T T T T T T t s τ ττ-+=+-=--=∴ 3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211 +=+=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤= =K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。

第三章 时域分析法 习题

第三章时域分析法 3-1两相交流电动机，使用在简单位置控制系统中见习题3-1图。假设作误差检测器用的差动放大器增益为10，且它供电给控制磁场。 ω和阻尼系数ζ等于什么？ 试问a)无阻尼自然频率n b)相对超调量和由单位阶跃输入引起峰值的时间等于什么？ c)写出关于单位阶跃输入下的误差时间函数。 习题3-1图 3-2 差动放大器的增益增加至20，重做习题3-1。并问从你的结果中能得出什么结论？ 3-3 两相交流感应电动机采用齿轮传动和负载链接，使用在简单位置系统中，见习题3-1图。假设作误差检测器用的差动放大器增益为20，且由它供电给控制磁场。试问 ω和阻尼系数ζ等于什么? a)无阻尼自然频率n b)相对超调量和由单位阶跃输入下的峰值的时间等于什么？ c)写出关于单位阶跃输入下的误差时间函数。 3-4 差动放大器的增益增至40，重做习题3-3.并问从你的结果中能得出什么结论？ 3-5 差动放大器的增益减至10，重做习题3-3.并从你的结果中可得出什么结论？ 3-6 综合典型有翼可控导弹控制系统，可使用转矩作用于导弹弹体的方法。这些转矩由作用在离重心很远的控制翼面的偏斜来产生。这样做的结果可以用相对小的翼面负载，就能引起较大的转矩。对这一类型控制系统的设计，为使输入指令响应时间最小，就要求控制回路具有高增益。而又必须限制增益在不引起高频不稳定范围内。习题3-6图表示导弹加速度控制操纵系统。给定加速度与加速度计输出量比较，发出驱动控制系统的节本误差信号。由速度陀螺仪的输出作为阻尼。 试求出下列各式： a)确定这一系统的传递函数C(s)/R(s)。 b)对应一下的一组参数： 放大器增益= A k=16，飞行器增益系数=q=4，R k=4, ω和阻尼系数ζ。 确定该系统无阻尼自然频率n c)确定相对超调量和从加速度单位阶跃输入指令所引起的峰值时间。

第二章__连续系统的时域分析习题解答

— P2-1 — 第二章 连续系统的时域分析习题解答 2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。试列写各响应关于激励微分算子方程。 解： . 1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1 111)( )b (; 105.7)625(3 102 ; )(375)()6253(4) ()()61002.041( )a (0202200 204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p p p f t u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++?++=+=+++= ++= ?=+??==+?=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。 解：. 1 )()()( ; 11)()()( )b (; 625 3105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (22 0 20 40 0 +++==+++== +?==+== -p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i f u 2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。 . ) 2)(1() 3()( )4( ; 323)( )3(; 3 3)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+= p p p p p H p p p H p p p H p p p H 解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d )1( f t f y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f t f y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为： . 4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(1 3)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84() 12()( )2(; 1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(4 2)( )1(---2 ---2 --=''='=++==''='=+++-=='=+++= t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t y f (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a) 图题2-1

自动控制原理习题1(本部)

第一章 1．开环控制和闭环控制的主要区别是什么？ 2. 电加热炉炉温控制中，热电阻丝端电压U及炉内物体质量M的变化，哪个是控制量？哪个是扰动？为什么？ 3. 简述自动控制所起的作用是什么？ 4. 简述自动控制电加热炉炉温控制的原理。 5．比较被控量输出和给定值的大小，根据其偏差实现对被控量的控制，这种控制方式称为。 6．简述控制系统主要由哪三大部分组成？ 7.反馈控制系统是指：a.负反馈 b.正反馈答案a.负反馈 8.反馈控制系统的特点是：答案控制精度高、结构复杂 9.开环控制的特点是：答案控制精度低、结构简单 10.闭环控制系统的基本环节有：给定、比较、控制、对象、反馈 11.自控系统各环节的输出量分别为：给定量、反馈量、偏差、控制量输出量。 第二章 1．自控系统的数学模型主要有以下三种：微分方程、传递函数、频率特性 2．实际的物理系统都是：a.非线性的 b.线性的 a.非线性的 3．传递函数等于输出像函数比输入像函数。 4．传递函数只与系统结构参数有关，与输出量、输入量无关。 5．惯性环节的惯性时间常数越大，系统快速性越差。 6.由laplace变换的微分定理，(()) L x t''=。 7.如图质量、弹簧、摩擦系统，k和r分别为弹簧系数和摩擦系数，u(t)为外力，试写出系统的传递函数表示()()/() G s y s u s =。 8．机电控制系统中电压u(t)，转速Ω(t)分别为输入、输出量，各部分运动关系的laplace变换为： ()()() M s Js f s =+Ω()() E s b s =Ω ()()()() U s E s Ls R I s -=+()() M s dI s = 式中() M t为力矩，() E t为感应电动势，() I t为感应电流，J、f、L、R、b、d为非零常 数，试画出总的系统方框图。 9. 试列举二种子系统常用的连结方式，并画出示意图。 10. 复杂方框图简化应注意哪些原则(至少列出四项) 11.将环节 1() G s的输出信号作为环节 2() G s的输入信号，则总的系统传递函数为。 12. 二个环节 1() G s和 2() G s有相同输入，总的系统输出为二个环节输出的代数和，则总的系统传递函数为。

控制系统的时域分析

实验报告 实验名称：实验1：控制系统的时域分析 课程名称：自控控制原理 专业：电气工程及其自动化 班级：130037 学生姓名：施苏伟 班级学号：13003723 指导教师：杨杨 实验日期：2015 年10 月16日

一、实验目的 1.观察控制系统的时域响应； 2.记录单位阶跃响应曲线； 3.掌握时间响应分析的一般方法； 4.初步了解控制系统的调节过程。 二．实验步骤： 1．将‘实验一代码’这个文件夹拷贝到桌面上; 2．开机进入Matlab6.1 运行界面(其他版本亦可); 3．通过下面方法将当前路径设置为‘实验一代码’这个文件夹所在的路径 4．Matlab 指令窗>>后面输入指令：con_sys; 进入本次实验主界面。 5．分别双击上图中的三个按键，依次完成实验内容。

6．本次实验的相关Matlab 函数： 传递函数G=tf([num],[den])可输入一传递函数，其中num、den 分别表示分子、分母按降幂排列的系数。 三、仿真结果： （一）观察一阶系统G=1/(T+s)的时域响应： T=5s T=8s

T=13s 结果分析：一阶系统 G=1/(T+s)的，通过观察曲线发现，随着时间常数T的增大，同种响应要达到相同响应的时间增大，说明T越大，响应越慢。 (二)二阶系统的时域性能分析 （1）

结果分析：自然频率和阻尼比的适当时，通过调节相应的时间，阶跃响应可以得到稳定值。 (2)数据一：自然频率=5.96rad/sec 阻尼比=0.701

数据二：自然频率=8.2964rad/sec 阻尼比=0.701 结果分析：要达到既定范围，自然频率增大阻尼比要随之增大 (3)

第三章 时域分析

第3章 时域分析法 1．选择题 （1）一阶系统传递函数为 4 24 2++s s ，则其ξ,ωn 依次为( B ) A ．2，1/2 B ．1/2，2 C ．2，2 D ．1/2，1 （2）两个二阶系统的最大超调量δ相等，则此二系统具有相同的( B ) A ．ωn B ．ξ C ．k D ．ωd （3）一个单位反馈系统为I 型系统，开环增益为k ，则在r(t)=t 输入下系统的稳态误差为( A ) A ． k 1 B ．0 C ．k +11 D ．∞ （4）某系统的传递函数为) 16)(13(18 )(++= s s s G ，其极点是 ( D ) A ．6,3-=-=s s B ．6,3==s s C ．61,31- =-=s s D ．6 1,31==s s （5）二阶最佳系统的阻尼比ζ为（ D ） A. 1 B. 2 C. 0.1 D. 0.707 （6）对于欠阻尼系统,为提高系统的相对稳定性,可以( C ) A ．增大系统的固有频率; B. 减小系统固有频率 C. 增加阻尼 D. 减小阻尼 （7）在ζ不变的情况下,增加二阶系统的无阻尼固有频率,系统的快速性将( A ) A. 提高 B. 降低 C. 基本不变 D. 无法得知 （8）一系统对斜坡输入的稳态误差为零,则该系统是( C ) A.0型系统 B. I 型系统 C. II 型系统 D. 无法确定 （9）系统 ) )((b s a s s c s +++的稳态误差为0,它的输入可能是( A )

A.单位阶跃 B.2t C.2 t D. 正弦信号 （10）系统开环传函为 ) 1)(1(1 32 +++s s s s ,则该系统为( B )系统 A.0型 B.I 型 C. II 型 D.III 型 2．为什么自动控制系统会产生不稳定现象？开环系统是不是总是稳定的？ 答：在自动控制系统中，造成系统不稳定的物理原因主要是：系统中存在惯性或延迟环节，它们使系统中的信号产生时间上的滞后，使输出信号在时间上较输入信号滞后了ｒ时间。当系统设有反馈环节时，又将这种在时间上滞后的信号反馈到输入端。 3．系统的稳定性与系统特征方程的根有怎样的关系？为什么？ 答：如果特征方程有一个实根s=a ，则齐次微分方程相应的解为c(t)=Ce at 。它表示系统在扰动消失以后的运动过程中是指数曲线形式的非周期性变化过程。 若a 为负数，则当t →∞时，c(t)→0，则说明系统的运动是衰减的，并最终返回原平衡状态，即系统是稳定的。 则当t →∞时，c(t)→∞，则说明系统的运动是发散的，不能返回原平衡状态，即系统是不稳定的。 若a=0，c(t)→常数，说明系统处于稳定边界（并不返回原平衡状态，不属于稳定状态） 4．什么是系统的稳定误差？ 答：自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量，一个是稳态分量，另一个是暂态分量。暂态分量反映了控制系统的动态性能。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的推移。将逐渐减小并最终趋向于零。稳态分量反映系统的稳态性能，即反映控制系统跟随给定量和抑制扰动量的能力和准确度。稳态性能的优劣，一般以稳态误差的大小来衡量。 5．已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts 减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh 和K0的数值。 解：首先求出系统传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。 一阶系统的过渡过程时间ts 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()() (00++= +=

_第二章连续系统的时域分析习题解答

第二章 连续系统的时域分析习题解答 2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。试列写各响应关于 激励微分算子方程。 解： . 1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1 111)( )b (; 105.7)625(3 102 ; )(375)()6253(4) ()()61002.041( )a (0202200 204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p p p f t u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++?++=+=+++= ++= ?=+??==+?=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。 } 解：. 1 )()()( ; 11)()()( )b (; 625 3105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (220 20 40 0 +++==+++==+?==+== -p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i f u 2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。 . ) 2)(1() 3()( )4( ; 323)( )3(; 3 3)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+= p p p p p H p p p H p p p H p p p H 解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d )1( f t f y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f t f y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为： . 4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(1 3)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84() 12()( )2(; 1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(4 2)( )1(---2 ---2 --=''='=++==''='=+++-=='=+++= t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t y 1 f (u 0(t ) (b) @ f (t ) 4k 6k 2F } u 0(t ) (a) 图题2-1

自动控制基本知识填空题九篇理解练习附答案解析

自动控制原理填空题复习（一） 1. 对于一个自动控制的性能要求可以概括为三个方面： 稳定性 、 快速性 、 准确 性 。 2. 反馈控制系统的工作原理是按 偏差 进行控制，控制作用使 偏差 消除或减小， 保证系统的输出量按给定输入的要求变化。 3. 系统的传递函数只与系统 本身 有关，而与系统的输入无关。 4. 自动控制系统按控制方式分，基本控制方式有：开环控制系统 、 闭环控制系统 、 混合控制系统 三种。 5. 传递函数G(S)的拉氏反变换是系统的单位 阶跃 响应。 6. 线性连续系统的数学模型有 电机转速自动控制系统。 7. ★系统开环频率特性的低频段，主要是由 惯性 环节和 一阶微分 环节来确定。 8. 稳定系统的开环幅相频率特性靠近（-1，j0）点的程度表征了系统的相对稳定性， 它距离（-1，j0）点越 远 ，闭环系统相对稳定性就越高。 9. 频域的相对稳定性常用 相角裕度 和 幅值裕度 表示，工程上常用这里两个量 来估算系统的时域性能指标。 10. 某单位反馈系统的开环传递函数2 ()(5) G S s s = +，则其开环频率特性是 2- 2.0tan -)(1π ωω?-= ，开环幅频特性是4 2 4252)(A ω ωω+= ，开环对数 频率特性曲线的转折频率为 。 11. 单位负反馈系统开环传递函数为2 ()(5) G S s s = +，在输入信号r(t)=sint 作用下，， 系统的稳态输出c ss (t)= , 系统的稳态误差e ss (t)= .

12. 开环系统的频率特性与闭环系统的时间响应有关。开环系统的低频段表征闭环系统 的 稳定性 ；开环系统的中频段表征闭环系统的 动态性能 ；开环系统的高频段表征闭环系统的 抗干扰能力 。 自动控制原理填空题复习（二） 1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 输入量 与反馈量的差值进行的。 2、复合控制有两种基本形式：即按 参考输入 的前馈复合控制和按 扰动 的前馈复合控制。 3、两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为 ()G s ，则G(s)为 G 1(s)+G 2(s) （用G 1(s)与G 2 (s) 表示）。 5、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+， 则该系统的传递函数G(s)为 105 0.20.5s s s s + ++。 6、根轨迹起始于 开环极点 ，终止于 开环零点或无穷远 。 7、设某最小相位系统的相频特性为 101 ()()90()tg tg T ?ωτωω--=--，则该系统的开环传递函数为 1) s(Ts s)1(++τP K 8、PI 控制器的输入－输出关系的时域表达式是 0 ()()()t p p i K m t K e t e t dt T =+ ? ， 其相应的传递函数为 ）（s T s i 1 1K )(G p c + = ，由于积分环节的引入，可以改善系统的 稳定 性能。

控制系统的时域分析实验报告

课程名称：控制理论指导老师：成绩： 实验名称：控制系统的时域分析实验类型：冋组学生姓名： 、实验目的和要求 1用计算机辅助分析的办法，掌握系统的时域分析方法。 2. 熟悉SimUlink仿真环境。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 系统仿真实质上就是对系统模型的求解，对控制系统来说，一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示，因此在仿真过程中，一般以某种数值算法从初态出发，逐步计算系统的响应，最后绘制出系统的响应曲线，进而可分析系统的性能。控制系统最常用的时域分析方法是，当输入信号为单位阶跃和单位冲激函数时，求出系统的输出响应，分别称为单位阶跃响应和单位冲激响应。在MATLAB中，提供了求取连 续系统的单位阶跃响应函数step,单位冲激响应函数impulse,零输入响应函数initial等等。 （二）实验内容 二阶系统，其状态方程模型为 U X I y = [1.9691 6.4493] +[0] U X2 1?画出系统的单位阶跃响应曲线； 2. 画出系统的冲激响应曲线； 3. 当系统的初始状态为x0=[1,0]时，画出系统的零输入响应； 4. 当系统的初始状态为零时，画出系统斜坡输入响应； （三）实验要求 1. 编制MATLAB程序，画出单位阶跃响应曲线、冲击响应曲线、系统的零输入响应、斜坡输入响应; 2. 在SimUIink仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察单位阶跃响应曲线并记录之。 三、主要仪器设备 计算机一台以及matlab软件，SimUIink仿真环境 四、操作方法与实验步骤 1、程序解决方案： 在MATLAB 中建立文件shiyu.m ,其程序如下: %时域响应函数 fun ction G1 = shiyu（ A,B,C,D）

时域分析法习题及解答

第 三章 时域分析法习题及解答 3-1. 假设温度计可用 1 1 +Ts 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要min 1时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T = 3-2. 系统在静止平衡状态下，加入输入信号t t t r +=)(1)(，测得响应为 试求系统的传递函数。 解：2210.90.910(s+1)()=10s (s+10) C s s s s =+-+ 3-3. 某惯性环节在单位阶跃作用下各时刻的输出值如下表所示。试求环节的传递函数。 0 1 2 3 4 5 6 7 h (t ) 解： 设()1 s Ts φ=+ 3-4. 已知系统结构图如图3-49所示。试分析参数a 对输出阶跃响应的影响。 解：1()()111 K K Ts s Kas T Ka s Ts φ+==+++ + 当a>0时，系统响应速度变慢； 0T a K -<<时，系统响应速度变快。 3-5. 设控制系统闭环传递函数为 试在［s ］平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根的可能分布的区域。 1. 707.01>>ξ， 2≥n ω

2.05.0>>ξ， 24≥≥n ω 3. 5.0707.0>>ξ， 2≤n ω 解：①0.707<<1, 2n ξω≥ ②0<0.5, 24n ξω≤≤≤ ③0.50.707, 2n ξω≤≤≤ 3-6. 已知某前向通路的传递函数(如图3-50所示) 今欲采用负反馈的办法将阶跃响应的调节时间s t 减小为原来的1.0倍，并保证总放大系数不变。试选择H K 和0K 的值。 解： 解得：00.9 =10H K K = 3-7. 设一单位反馈控制系统的开环传递函数 为 试分别求出当1 10-=s K 和1 20-=s K 时系统的阻尼比ξ，无阻尼自然频率n ω，单位阶跃响应的超调量%σ及峰值时间p t ，并讨论K 的大小对系统性能指标的影响。 解： 22()10()1()0.11010G s K K s G s s s K s s K φ= ==+++++ K 增大使%,p t σ↑↓，但不影响调节时间。 3-8. 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-51所示。如果该系统属于单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。 解： 222 ()2n n n s s s ωφξωω=++ 3-9. 设系统闭环传递函数 试求1．2.0=ξ；s T 08.0=；4.0=ξ；s T 08.0=；0.8ξ=；s T 08.0=时单位阶跃响应的超调量%σ、调节时间s t 及峰值时间p t 。 2．4.0=ξ；s T 04.0=和4.0=ξ；s T 16.0=时单位阶跃响应的超调量%σ、调节时间s t 和峰值时间p t 。 3．根据计算结果，讨论参数ξ、T 对阶跃响应的影响。 题解3-5（1） 题解3-5（2） 题 解

线性系统的时域分析与校正习题及答案

第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应t 25.1e 0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。 解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+? ? 近似描述，其中，1)T (0<τ-<。试求系统的动态性能指标s r d t ,t ,t 。 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 Ts 1 s )s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=?++τ= ∴ T /t e T T 1)t (h )t (c -τ--== T )0(h τ=，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ -=-∞=? 1) 当 d t t = 时 2T T e T T 1)]0(h )(h [5.0)0(h )t (h t /t d τ += τ--=-∞+=- T /t d e 2 1 -= ; 693T .0t d = 2) 求r t （即)t (c 从1.0)(h ∞到9.0)(h ∞所需时间) 当T /t 2e T T 1)0(h )]0(h )(h [9.0)t (h -τ-- =+-∞=; 当T /t 1e T T 1)0(h )]0(h )(h [1.0)t (h -τ--=+-∞=; )T 1(.0T ln T t 2τ+τ-=， τ +τ -=)T 9(.0T ln T t 1 则 2T .29ln T t t t 12r ==-= 3) 求 s t T /t s s e T T 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ-- =+-∞= 3T 05.ln0T t s ==∴ 3-3 一阶系统结构如图所示。要求系统闭环增益2k =Φ，调节时间4.0t s ≤s ，试确定参数21k ,k 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 1k k s k 1k k s k s k k 1s k )s (212211211 +=+=+ =Φ

第3章线性系统的时域分析习题答案

第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 【 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 @ 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。

（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 & （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s ！ 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。