【创新方案】2013版高中数学第三章 3.1.1 方程的根与函数
的零点课下检测新人教A版必修1
一、选择题
1．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)＜0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B，可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)＜0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)＞0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．
答案：D
2．(2011·天津高考)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( ) A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：由题意可知f(－2)＝1
4
－6<0，f(－1)＝
1
2
－3<0，f(0)＝1>0，f(2)>0，f(－
1)·f(0)<0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．
答案：B
3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1 003 B．1 004
C．2 006 D．2 007
解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 003个零点，∴在(－∞，0)上也有1 003个零点，又∵f(0)＝0，
∴共有2 006＋1＝2 007个．
答案：D
4．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解有 ( ) A．3个 B．2个
C．至少一个 D．0个
解析：令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.
答案：C
二、填空题
5．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为________.
解析：令f(x)
由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，
f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，
f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，
f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，
由于f(1)·f(2)＜0，所以一个根所在的区间为(1,2)．
答案：(1,2)
6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．
答案：①②③
7．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．
解析：取g(x)＝ln x h(x)＝x－2
则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点如下图：
答案：2
8．若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像可知a＞1时两函数图像有两个交点，0＜a＜1时两函数图像有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞) 三、解答题
9．讨论函数f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R)的零点． 解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(1
2x －1)(x －2)＝0，
解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.
当a ≠0且a ≠1
2时，则由(ax －1)(x －2)＝0，
解得x ＝1a 或x ＝2，综上所述其零点为x ＝1
a
或x ＝2.
10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1) (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的零点；
解：(1)要使函数有意义：则有?
??
??
1－x ＞0，
x ＋3＞0
解之得：－3＜x ＜1， 所以函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3) ＝log a (－x 2
－2x ＋3)，
由f (x )＝0，得－x 2
－2x ＋3＝1， 即x 2
＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.
∵－1±3∈(－3,1)，∴f (x )的零点是－1± 3.