布置作业P40 2.（1）（2） 3. (1)
指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A 版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I ）,2.1.2指数函数及其性质 教学目标 1. 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 2. 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 3. 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数)0()2 1 (5730≥=t P t 的解析式与问题1中函数 )20,(073.1* ≤∈=x N x y x 的解析式有什么共同特征？ 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到x a y =的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 3.剖析概念 （1）规定底数a 大于零且不等于1的理由： 如果a =0，?????≤>无意义 时，当； 恒等于时，当x x a x a x 000 如果,2 1 ,41,)4(,0= -= 第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3 y x =，1 y x =，1 2y x =的图像了解它们 的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值1 2 -． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2 ． 【范例解析】 例1.比较各组值的大小： （1）0.2 0.4 ，0.20.2 ，0.2 2 ， 1.6 2； （2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<； （3）131()2，1 21 ()3 ． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1） 0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<． （2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>． （3）111 32 2111()()()223 >>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注 意通过0，1等数进行间接分类． 例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值； 指数函数第3课时指数与指数幂的运算（三） （一）教学目标 1．知识与技能： 能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法： 通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观 （1）培养学生观察、分析问题的能力； （2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. （二）教学重点、难点 1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. （三）教学方法 1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化. 2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程. （四）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意 图 复习引入复习 1.分数指数幂的概念. * (0,,) m n m n a a a m n N =>∈ * 1 (0,,) m n m n a a m n N a - =>∈ 2.分数指数幂的运算性质. (0,,) r s r s a a a a r R s R + ?=>∈∈ ()(0,,) r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,) r r r a b a b a r R ?=>∈ 师：提出问题 生：复习回顾 师：总结完善 复 习旧 知，为 新课作 铺垫. 应用举例 例1．（P56，例4）计算下列各式 （式中字母都是正数） （1） 2115 11 3366 22 (2)(6)(3) a b a b a b -÷- （2） 3 1 8 8 4 () m n- 学生思考，口答，教师板演、点 评． 例 1 （先由学生观察以上两个 式子的特征，然后分析、提问、解答） 分析：四则运算的顺序是先算乘 方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号的.整数幂的运算性质 及运算规律扩充到分数指数幂后，其 运算顺序仍符合我们以前的四则运 算顺序. 我们看到（1）小题是单项式的 乘除运算；（2）小题是乘方形式的 运算，它们应让如何计算呢？ 其实，第（1）小题是单项式的 乘除法，可以用单项式的运算顺序进 行. 第（2）小题是乘方运算，可先 按积的乘方计算，再按幂的乘方进行 计算. 解：（1）原式 = 211115 326236 [2(6)(3)]a b +-+- ?-÷- =0 4ab =4a （2）原式= 3 1 88 8 4 ()() m n- =23 m n- 通 过这二 个例题 的解 答，巩 固所学 的分数 指数幂 与根式 的互 化，以 及分数 指数幂 的求 值，提 高运算 能力． 指数与指数函数080612 一、考题选析： 例1、（07江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时， ()31x f x =-，则有（ ） Ａ．132323f f f ?? ???? << ? ? ??????? Ｂ．231323f f f ?????? << ? ? ??????? Ｃ．213332f f f ?????? << ? ? ??????? Ｄ．321233f f f ?????? << ? ? ??????? 例2、（07上海春）若21,x x 为方程1 1 )2 1(2+-=x x 的两个实数解，则=+21x x ； 例3、（05全国Ⅱ）设函数11 ()2 x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围． 例4、（05江西10）已知实数a , b 满足等式,)3 1()2 1 (b a =下列五个关系式 ①0， 225()()4 x g x a e =+ 。若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－ x , 由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3 －x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－ x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 2. 1.2-1指数函数的概念教案 【教学目标】 1. 理解指数函数的概念, 能画出具体指数函数的图像； 2. 在理解指数函数概念、性质的基础上, 能应用所学知识解决简单的数学问题； 3. 通过类比, 回顾归纳从图象和解析式两个角度研究函数性质的方法； 4. 感受数学思想方法之美, 体会数学思想方法只重要 【教学重难点】 教学重点：指数函数概念、图象和性质 教学难点：对底数的分类, 如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 【教学过程】 1、创设情境、提出问题 师：如果让1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备6粒米, 4号同学准备8粒米, ……, 按这样的规律, 50号同学该准备多少粒米？ 学生：回答粒数 师：如果改成1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备8粒米, 4号同学准备16粒米, ……, 按这样的规律, 51号同学该准备多少粒米？ 师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？ 教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1.2亿吨 师：1.2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！ 以上两个问题中, 每位同学所需准备的米粒数用y 表示, 每位同学的座号数用x 表示, y 与x 之间的关系分别是什么？ 学生很容易得出y=2x 和y =2x （* x N ∈）学生可能漏掉x 的范围, 教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围。 2、新知探究 （1）指数函数的定义 师：在本章开头的问题中, 也有一个与y =2x 类似的关系式 1.073x y =（* x N ∈且x 20≤） 请思考以下问题①y =2x （* x N ∈）和 1.073x y =（* x N ∈且x 20≤）这两个解析式有 什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是, 你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察, 两个函数中底数是常数, 指数是自变量. 师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数, 我们把它称作指数函数. （2）让学生讨论并给出指数函数的的定义。对底数得分类, 可将问题分解为： ①若a<0,会有什么问题？ ②若a=0, 会有什么问题？ ③若a=1, 又会怎样？ 学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识 师：为了避免上述各种情况的发生, 所以规定a>0且a ≠1 §3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时） 一. 教学目标： 1．知识与技能 （1）理解指数函数的概念和意义； （2）2x y =与1()2 x y =的图象和性质； （3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响； （5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 （1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 二．重、难点 重点： （1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响； （3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点： （1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、教法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程 第一课时 讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2 y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤??x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如1 (2),,8 x y x x =-= 1 先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的 形式才能称为指数函数，5 ,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符 合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象. x 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； §1．4指数运算、指数函数 【复习要点】 1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】 1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 * >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2．指数函数的概念, 性质和图象如表： 中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。 5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1］43 的结果为 （ ） A.5 B.5 C.－5 D.－5 2．将3 22-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．21 2- B ．31 2- C ．2 12 - - D ．65 2- 3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2 33 1a a ?=a B ．2 12 1a a ?- =0 C ．(a 3)2=a 9 D ．61 3 12 1a a a =÷ 4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0 =1 ③y x y x +=+34 33 4 ④6 2 3)5(5-=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．化简11111321684 2 1212121212-----?????????? +++++ ? ? ? ? ????? ??????，结果是 （ ） A ．1 1 321122--? ?- ? ?? B ．1 13212--??- ? ?? C ．1 3212-- D ．1 321 122-??- ??? 6 ．4 4 ? ? ? ? 等 于 （ ） A ．16 a B ．8 a C ．4 a D ．2a 【例题选讲】 1．设3 2212 ,-==x x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有 （1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？ 2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）43 1.1，43 4.1，32 1.1 （2）4 316.0- ，2 35 .0- ，8325.6 （3）53 2 )1(+a ，43 2 )1(+a 3．已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 4．设01a <<，解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++-> 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：幂函数、指数函数及其性质
指数函数第3课时指数与指数幂的运算(三)
指数与指数函数(3)
指数函数及其性质
2.1.2-1指数函数的概念
(整理)3 指数函数的概念及图像和性质.
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数运算、指数函数
指数函数知识点汇总