圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
圆系方程及其应用.doc
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（x，y0 ）的直线系方程：A(x x0) B( y y0) 0（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点P( 1，4) 圆(x 2)2 ( y 3)2 1的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为A(x 1) B(y 4) 0（其中A，B不全为零）， 则整理有Ax By A 4B 0， ∵直线l 与圆相切，∴圆心 C (2，3) 到直线l 的距离等于半径1，故2A 3B A 4B 2 2 A B 1 ， 整理，得A(4 A 3B) 0，即A 0 （这时 B 0 ），或 3 A B 0． 4 故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 ． 点评：对求过定点（x，y0 ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: A(x x0) B(y y0) 0，0 注意的此方程表示的是过点P(x，y ) 的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素 0 0 的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习：过点P( 1，4) 作圆 2 2 (x 2) (y 3) 1的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为A(x 1) B(y 4) 0 （其中A，B不全为零）， 则整理有Ax By A 4B 0， ∵直线l 与圆相切，∴圆心 C (2，3) 到直线l 的距离等于半径1，故2A 3B A 4B 2 2 A B 1， 整理，得A(4 A 3B) 0，即A 0 （这时 B 0 ），或 3 0 A B ． 4 故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 ． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：A1x B1 y C1 0（A1, B1 不同时为0）与m：A2 x B2 y C2 0（A2, B2 不同时为0）交点的直线 系方程为：A x B y C A x B y C （R ，为参数）. 1 1 1 ( 2 2 2 ) 0 例2 求过直线：x 2y 1 0与直线：2x y 1 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：x 2y 1 (2 x y 1) 0 ，
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4．2.3 直线与圆的方程的应用 学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论 . 类型一 直线与圆的方程的应用 例1 某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？ 解 建立如图所示的坐标系． 依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 于是有???? ? (a ＋10)2＋b 2＝r 2， (a －10)2 ＋b 2 ＝r 2 ， a 2 ＋(b －4)2 ＝r 2 . 解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3＜3.1， 所以该船可以从桥下通过． 反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤： (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米． 答案251 解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴， 建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦 的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴ 圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0 ＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米． 类型二坐标法证明几何问题 例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得
人教版必修二数学圆与方程知专题讲义
人教版必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质
涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
圆系方程及其应用 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ） 3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０） 特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
北师大版高三数学选修4-4教案：2.2圆的参数方程及应用
第二课时 圆的参数方程及应用 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为 ，最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为 最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 （五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 2、已知)(sin cos 2为参数θθ θ ?? ?=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+?
直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用 学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 类型一 直线与圆的方程的应用 例1 某圆拱桥的圆拱跨度为20 m ，拱高为4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？ 解 建立如图所示的坐标系．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)， P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 于是有???? ? (a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2， a 2＋( b －4)2＝r 2， 解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)． 把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过． 反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米． 答案251 解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系． 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10， ∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51， ∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)． 类型二坐标法证明几何问题 例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD. 证明以AB所在直线为x轴， O为坐标原点，建立直角坐标系， 如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，
直线与圆的方程的应用理解练习知识题
4.2.3 直线与圆的方程的应用 练习一 一、 选择题 1、ABC ?的顶点A 的坐标为（3，-1），AB 边上的中线所在直线方程为08=-+y x ，直线L ：012=+-y x 是过点B 的一条直线，则AB 的中点D 到直线L 的距离是（ ） A 、 55 2 B 、 55 3 C 、 55 4 D 、5 2、两直线l 1：mx-y+n=0和l 2：nx-y+m=0在同一坐标系中，则正确的图形可能是（ ） A B C D 3、已知点A(-7，1)，B(-5，5)，直线：y=2x-5，P 为上的一点，使|PA |＋|PB |最小时P 的坐标为 ( ) (A) (2，-1) (B) (3，-2) (C) (1，-3) (D) (4，-3) 4、如果点A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)到直线x=my 的距离平方和取最大值，那么m 的值等于 ( ) (A) 0 (B) －1 (C) 1 (D) 2 5、已知直线b x y += 2 1 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，如果△AOB 的面积(O 为原点)小于等于1,那么b 的取值范围是 ( ) (A) b ≥ －1 （B ）b ≤1且0≠b (C) －1 ≤b ≤1 且0≠b (D) b ≤－1或b ≥1 6、通过点M （1，1）的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3，这样的直线共有
( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 7、点P （x,y ）在直线x+2y+1=0上移动，函数f(x,y)=2x +4y 的最小值是 ( ) (A) 2 2 (B) 2 (C)22 (D)42 8、已知两点O(0,0) , A(4,－1)到直线mx+m 2y+6=0的距离相等, 则实数m 可取的不同值共有 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 二、填空题 9、菱形ABCD 的相对两个顶点是B(1,3),D(0,4),如果∠BAD=60o ,那么顶点A 和C 的坐标是________. 10、与直线3x+4y-7=0平行，且和两轴围成的三角形面积等于24的直线方程是_____ 11、如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么A 的坐标是______。 12、已知y 轴上有一点P ，它与点(－3、1)连成的直线的倾斜角为1200，则点P 的坐标为 三、解答题 13、求与直线0534=+-y x 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线的方程． 14、、已知圆0242 2 =++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB 。 求m 的值。 15、已知定点)0,2(A ，点在圆12 2 =+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点， 求Q 点的轨迹方程．
圆的标准方程与一般方程 (1)
圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）：ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程222 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点 (1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分 线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或 CB 。 （教师板书解题过程） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的 标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
直线系圆系方程
直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例1求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1， 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方 程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题 时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习： 过点(1 4)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1， 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆系方程及其应用 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ） 3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为： 22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０） 特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。 解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。 （注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；
聚焦直线系、圆系方程的应用
聚焦直线系、圆系方程的应用 【直线系方程的应用】 一、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆2 2 (2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习： 过点(1 4)P -，作圆22 (2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）. 例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，
