24.4.1弧长和扇形面积
一、学习目标：
1. 经历探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的过程;
2. 推导出弧长和扇形面积的公式，并应用这些公式解决相关问题．
二、自学指导：
问题一、回顾1.圆的周长公式是什么？
2.圆的面积公式是什么？
3.什么是弧？
问题二、观察，结合特殊条件下的几个弧长的分析和计算，有什么发现？
（1）已知半径为2，圆的周长是______；
当圆心角为180°时，弧长是________，弧为_________；
当圆心角为360°时，弧长是________，弧为 _________ ；
当圆心角为90°时，弧长是________，弧为圆周的________ ；
当圆心角为60°时，弧长是________，弧为圆周的________ ；
当圆心角为30°时，弧长是________，弧为圆周的________ ；
当圆心角为1°时，弧长是________，弧为圆周的________ ；
（2）你能推导出半径为r，圆心角为n°时，弧长是多少吗？
弧长公式为: l=
问题三、探究扇形面积公式：半径为r，圆心角为n°时，扇形面积是多少吗？
=
扇形的面积计算公式为：S
扇形
问题四、当扇形半径为r，圆心角为n°时，扇形面积S扇形与弧长l之间会有什么关系吗？
三、互动研讨
☆☆1. 将一块含30°角的三角板如图放置，三角板的一个顶点C
落在以AB为直径的半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半
圆交于点D，若AB= 2，则BD的长为__________（结果保留）.
2. ☆☆如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A
2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC ，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？
3. ☆☆已知如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。设弦AB 的长为d ，圆环面积S 与d 之间有怎样的数量关系？
四、当堂训练：
4、☆☆一段长为2的弧所在的圆半径是3 ，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。
5、☆☆☆如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，求阴影部分周长和面积。
6、☆☆☆☆如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形的面积和是多少？
教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:
《弧长和扇形的面积》说课稿 一、说教材分析： （一）、说教材的地位与作用： 本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，人教版九年级上册第24章《圆》中的“弧长和扇形面积”，从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识图形，再到如今的系统学习，学生对圆的认识正在发生着质的变化。这节课是学生在前阶段学习了“圆的认识”“与圆有关的位置、关系”“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸。本课时在中考中占有一定的分值，掌握好这部分内容就是中考制胜的法宝，针对知识的形成过程，本节课创造性的使用教材，本节课的主要内容是在小学阶段学过的圆周长和面积公式的基础上，采用由特殊到一般的方法探索弧长及扇形面积公式，利用小组合作的方式让学生更好的理解弧长和扇形的面积的形成过程，让学生充分体验知识的形成过程，也注重数学方法的渗透。并运用公式解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。对学生以后学习用动态解决数学问题的学习起到了铺垫作用。 （二）说教学目标 1、知识与技能（1）经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； （2）了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。 2、过程与方法（1）经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力。（2）了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 3、情感态度与价值观（1）经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。（2）通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。（三）说教学重、难点 重点：弧长公式，扇形面积的推导及公式的应用。 难点：运用弧长和扇形的面积，计算组合图形的面积。 （四）说教法 针对九年级学生年龄特点和心理特点，以及他们现有的知识水平，通过小组合作与交流尝试练习促进共同进步，并用肯定的语言进行鼓励，激励学生。 引导学生积极思维、热情参与、大胆质疑、勇于实践，具体做法如下：（1）提问法----- 启发诱导、逐渐深入（2）讨论法----- 积极参与、求同化异（3）练习法----- 学生实践、巩固提高 二、说学生分析 （一）、说学生状况分析 九年级学生已经具备较强的逻辑思维能力和很好的表达能力。本班的学生学习能力一般，成绩中等较多。但是班级的学习积极较高，团结性较好，合作能力较好。因此学知识时要循序渐进，巩固基础，在逐步拓展提升。 （二）、说学法 通过小组合作共同探究引导学生借助圆的周长公式、面积公式正确理解弧长、扇形面积公式及推导，巩固应用公式计算，求简单组合图形的扇形面积，培养学生的创新能力和概括表达能力。让学生体验“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想。
弧长与扇形面积 1. （2014?广西贺州）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（） A．B．C．D． 解答：解：连接OC， ∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD， ∵sinA==， ∴∠A=30°， ∴∠COE=60°， ∴=sin∠COE，即=，解得OC=， ∵AE⊥CD， ∴=， ∴===． 故选B． 2．（2014·台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC＝EG，OG＝1，AG＝2，则与两弧长的和为( ) A．πB．4π 3 C． 3π 2 D． 8π 5 解：设AC＝EG＝a，CE＝2﹣2a，CO＝3﹣a，EO＝1＋a， ＋＝2π(3﹣a)×60° 360° ＋2π(1＋a)× 60° 360° ＝ π 6 (3﹣a＋1＋a)＝ 4π 3 ． 故选B． 3. （2014·浙江金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【】 A．5:4 B．5:2 C2 D 【答案】A. 【解析】 故选A.
4.（2014年山东泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（） A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C． 1cm2D．cm2 解：∵扇形OAB的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm2），半圆面积为：×π×12=（cm2），∴S Q+S M=S M+S P=（cm2），∴S Q=S P，连接AB，OD， ∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴S绿色=S△AOD=×2×1=1（cm2）， ∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm2）．故选：A． 5. （2014?海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 解答：解：设此圆锥的底面半径为r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得： 2πr=， r=cm． 故选A． 6. （2014?黑龙江龙东）一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（） A．10πcm B． 10cm C．5πcm D．5cm 解答：解：由题意可得出：OA=OA′=10cm， ==5π， 解得：n=90°， ∴∠AOA′=90°， ∴AA′==10（cm）， 故选：B． 7．（2014?莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（） A．πB．2πC．D．4π 解答：解：∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆 =S扇形ABA′= =2π， 故选B． 8．（2014?浙江绍兴）如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）
《弧长与扇形的面积》教案1 教学目标 【知识与技能】 理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算. 【过程与方法】 经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力. 【情感态度】 调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点 弧长公式及其运用. 教学难点 运用弧长公式解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？ 【教学说明】学生根据AB 是120°是 13 周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础. 二、思考探究，获取新知 问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______. 【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出. 问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____. 问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______. 【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了. 结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为
·2360180 n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量. 三、典例精析，掌握新知 例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803 n R l cm πππ??===≈. 答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm . 【教学说明】此题是直接导用公式. 例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长. 【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可. 解:连接CD . 因为∠B =15°，∠BCA =90°， 所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°. 又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°. 所以∠DCA =180°-2∠A =30°. 所以AD 的长=306180 π?=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角. 例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿 顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？ 解：由题可知∠A ′CB ′=60°. ∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm . ∴AA ′的长=12010201803 ππ?= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为 203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了. 练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.
弧长和扇形面积—知识讲解 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．
A B C ．π D ．3 2 π 图（1） 【答案】A. 【解析】连结OB 、OC ，如图（2） 则0OBA ∠?＝9， ，0A ∠?＝3，0AOB ∠?＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=?＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠?＝6. 则劣弧BC 的弧长为 60=1803 π，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：. 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长(结果精确到0.1mm) 【答案】R=40mm ，n=110 ∴的长==≈76.8(mm) 因此，管道的展直长度约为76.8mm ． 2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
24.4 弧长和扇形面积习题 一、 选择题 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕 点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ） A ．1 B ．π C ．2 D ．2π (1) (2) (3) 3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆 都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm 4．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 5．在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径 为80cm ，母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A ．228° B ．144° C ．72° D ．36° 6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，?从点A 出发 绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ） A ．3 B ． 332 C ．3 D ．3 二、填空题 1．如果一条弧长等于4 πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________． 2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 3．母线长为L ，底面半径为r 的圆锥的表面积=_______． 4．矩形ABCD 的边AB=5cm ，AD=8cm ，以直线AD 为轴旋转一周，?所得圆柱体的表 面积是__________（用含π的代数式表示） 5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部 铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m 2 的油毡．
《弧长及扇形面积的计算》教案 教学目标 一、知识与技能 1．理解弧长公式、扇形面积公式的推导； 2．会运用公式计算弧长、扇形及简单组合图形的面积； 二、过程与方法 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养探索精神与推理能力； 2．通过计算，提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力； 三、情感态度和价值观 1．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心； 2．通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性； 教学重点 掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式； 教学难点 计算圆的弧长、扇形的面积； 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 三角板，圆规，练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 问题一：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗。（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘
长是多少？ 1的等边三角形木板沿水平线翻滚(如图3所示)，那么点B 从开始至结束 ____________。 2C 1 1B 1 二、新课学习 问题（1） 如图,某传送带的一个转动轮的半径为rcm. 1.转动轮转一周,传送带上的物品A 被传送多少厘米? 2.转动轮转1°,传送带上的物品A 被传送多少厘米? 3.转动轮转n °,传送带上的物品A 被传送多少厘米? 在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长的计算公式为 L= n 360 ·2πr=n πr 180 实际应用： 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即 弧AB 的长(结果用含π的式子表示). 问题2 （1）观察与思考： 怎样的图形是扇形？——一条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形． O B A 圆心 弧 半
弧长及扇形的面积 教学目标 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学过程 一．创设问题情境，引入新课 如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗?纸扇面积是多少? 弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． 二．活动与探究 探究一、1、已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）圆周长是多少？ （2）1°圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？ （4）n°圆心角所对弧长是多少？ 如果设⊙O半径为R，圆心角为n°,所对弧长为l，那么l=？ 练习：1、圆弧形状的纸扇，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°,求出纸扇边沿的长度吗? 探究二、已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积? （1）半径为R的圆,面积是多少? （2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少? 如果⊙O半径为R，圆心角为n°,扇形面积为S扇形，则S=？ 三、知识运用： 制作弯形管道时，需要先按中心线计算"展直长度"再下料，试计算下图中管道的展直长度，
即的长(结果精确到0.1mm)． 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40mm，n＝110． ∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．因此，管道的展直长度约为76.8mm． 四、思考： 弧长与扇形面积有什么关系？我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流． 五、随堂练习 1、如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°, 纸扇面积是多少? 2、一个扇形的圆心角为90o，半径为2，cm 则弧长= ，扇形面积= . 3、已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是（） A. 3π B.4π C.5π D.6π 六、课时小结 学了本节课你有哪些收获? 1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． 七、当堂检测 (1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( ) (2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧长为( ) (3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______。 八、课后作业 习题24.4 第4、5题
弧长和扇形面积 1 ?经历弧长和扇形面积公式的探求过程. 2 ?会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高 速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？ 、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长 解析：根据弧长公式I = 喘，这里r = 1, n = 120,将相关数据代入弧长公式求解?即 120 180 n a I =池,要求出弧长关键弄 180 清公式中各项字母的含义. =30。，则劣弧BC 的长为 ___________ c m. 解析：连接 OB OC T AB 是O O 的切线，??? ABL BO v/ A = 30° ,二/ AOB= 60° . BC// AO ?/ OB G / AOB= 60° .在等腰△ OBC 中，/ BOC= 180°— 2/ OBC= 180°— 2X 60 在半径为 1cm 的圆中，圆心角为 120°的扇形的弧长是 _______ cm. 方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为 如图，O O 的半径为 6cm,直线AB 是O O 的切线，切点为点 B,弦 BC// AO 若/ A 、情境导入
=60 ° . ??? BC 的长为 60；；「6 = 2 n . n a 方法总结：根据弧长公式I = ，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径 R 和它所对的圆 180 心角n 的大小. 【类型二】利用弧长求半径或圆心角 B (1)已知扇形的圆心角为 45°,弧长等于右，则该扇形的半径是 n (2)如果一个扇形的半径是 1，弧长是 石，那么此扇形的圆心角的大小为 解析：(1)若设扇形的半径为 R,则根据题意，得 180 n X n X 1 n (2)根据弧长公式得 面 =3，解得n = 60,故扇形圆心角的大小为 60° . 方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径. 【类型三】求动点运行的弧形轨迹 D 如图，Rt △ ABC 的边 BC 位于直线 I 上，AC = ￡，/ ACB= 90°,/ A = 30° .若 Rt △ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第3次落在直线I 上时，点A 所经过的路线 的长为 ________ (结果用含n 的式子表示). 解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为 2,圆心角为120。的扇形弧长与两个半径 120 n X 2 90 n X 、［3 为：3，圆心角为 90°的扇形弧长之和，即 I = 3X —-— + 2X = 4n+ 3 n . y 180 180 * 故填(4 +③n . 方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况， 并以此 推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长. 探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积 一个扇形的圆心角为 120。，半径为3,则这个扇形的面积为 留n ) —r 2 120 X 3? 解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式 S= = = 3 n . 360 360 方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个?扇形面积还 1 有另外一种求法 S = pr ，其中I 是弧长，r 是半径. 45 x n x _ n ，解得 _= 2. 4 \ \ \/ 、 : B 1 .(结果保
弧长和扇形面积（练习2） 第1题. 如图10，扇形O D E 的圆心角为120 ，正三角形ABC 的中心恰好为扇形O D E 的圆心， 且点B 在扇形O D E 内 （１） 请连接O A O B 、，并证明A O F B O G △≌△； （２） 求证：A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等 于A B C △面积的1 3． 答案：（1）连结O A O B 、（如图） O 是正三角形ABC 的中心． O A O B ∴= ． O A F O B ∠=∠． 3601203 AO B ∠= = 又120DOE ∠= A O B D O ∴∠ =∠ A O B B O D D O E ∴∠ -∠=∠-∠ 即A O F B O G ∠=∠ 故AO F BO G △≌△ （2）BO G BO F BG O F S S S =+ △△四边形 而AO F BO G △≌△． 有BOG AOF S S =△△ A O F B O F B G O F S S S S ∴=+=△△△四边形 又O 是正三角形ABC 的中心． 13 A O B A B C S S ∴=△△ B G O F S ∴四边形13 A B C S =△ 即A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13 ． D A E
第2题. 如图，两个半径为1，圆心角是90 的扇形O A B 和扇 形O A B '''叠放在一起，点O '在 AB 上，四边形OPO Q '是正方 形，则阴影部分的面积等于 ． 答案：12-π 第3题. 下图是一纸杯，它的母线A C 和E F 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形 O A B ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长8E F =cm ． 求扇形O A B 的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）． 答案：解：由题意可知： 6AB =π， 4C D =π 设AOB n ∠= ，A O R =，则8C O R =- 由弧长公式得： 6180 n R =ππ， (8)4180 n R -=ππ 解方程组618041808nR nR n ?=?? ?=-? 得45 24n R =??=? 答：扇形O A B 的圆心角是45 ∵24R = 816R -= 1 A A B B ' (第2题图) Ｏ
课题 【教学目标】 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力 (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 【重点难点】 重点：1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 难点：1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 【教学方法】 观察猜想、合作交流、讲练结合 【自主复习、预习】 【教学过程】 一、检查自主复习、预习 请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？ 二、新课导学 请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……
https://www.doczj.com/doc/f83961848.html,.c n ?40mm https://www.doczj.com/doc/f83961848.html,.c B A O 110? 5．n °的圆心角所对的弧长是_______． （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为360 n R π 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ） 分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要 代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110 ∴AB 的长=180n R π=11040180 π?≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ． 问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m?的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示: （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？ （2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？ 学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A （柱子）为圆心，5m 为半径的圆的面积． （2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两个半径的n °圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图: 像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR 2的公式，独立完成下题： 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． …… 5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 老师检察学生练习情况并点评
初中数学弧长和扇形面积教案一 第1课时弧长和扇形面积 1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程． 2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．
一、情境导入 在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？ 二、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长 在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.
解析：根据弧长公式l ＝n πr 180，这里r ＝1，n ＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即 l ＝120·π·1180＝23 π. 方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝n πR 180 ，要求出弧长关键弄清 公式中各项字母的含义． 如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO .若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵ 的长为________cm.
解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵ BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60° ＝60°.∴BC ︵ 的长为60×π×6180 ＝2π. 方法总结：根据弧长公式l ＝n πR 180 ，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆 心角n 的大小． 【类型二】利用弧长求半径或圆心角 (1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等 于π 2 ，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π 3，那么此扇形的圆心角的大小为________． 解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π 2，解得R ＝2. (2)根据弧长公式得 n ×π×1180 ＝π 3 ，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°. 方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．
第1课时弧长和扇形面积的计算 【知识与技能】 理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练地运用两个公式进行相关计算. 【过程与方法】 经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法. 【教学重点】 弧长及扇形面积计算公式. 【教学难点】 应用公式解决问题. 一、情境导入,初步认识 在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索. 【教学说明】教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备. 二、思考探究，获取新知 探究1：弧长的计算公式 （1）已知⊙O半径为2，这个圆的周长是_______，面积是______. 当圆心角为180°时，弧长是_______，弧为圆周的_______分之______； 当圆心角为360°时，弧长是_______，弧为圆周的_______分之______； 当圆心角为90°时，弧长是_______，弧为圆周的_______分之_______； 当圆心角为60°时，弧长是_______，弧为圆周的_______分之_______； 当圆心角为30°时，弧长是_______；弧为圆周的_______分之_______； ……
当圆心角为1°时，弧长是_______；弧为圆周的_______分之_______； （2）你能推导出半径为R ，圆心角为n°时，弧长是多少吗？ 【归纳结论】如果弧长为l,圆心角的度数n,圆的半径为r,那么,弧长为l=360n ·2πr=180 n r π 探究2：扇形面积公式 如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？ （1）圆心角是180°，占整个周角的 180360 ，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的________. （2）圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的________. （3）圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角是45°扇形面积是圆面积的________. （4）圆心角是1°，占整个周角的_________，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的________. （5）圆心角是n°，占整个周角的_________，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的________. 【归纳结论】扇形面积的计算公式为2360n r S π=或12S lr = 【教学说明】学生交流讨论；在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充，自己得出几个公式. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P 61例1 2.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm ）
| 弧长和扇形面积 知识点： 1、 弧长公式：180 n R l π= （牢记） 在半径是R 的圆中，360度的圆心角多对的弧长就是圆的周长C 2、扇形面积公式：2n R =360S π扇形或1 =2 S lR 扇形（牢记） 3、圆锥的侧面积和全面积（难点） 圆锥的侧面展开图形是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长R ，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。 典型例题 ~ 1．已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是 . 【关键词】圆锥侧面积、扇形面积 答案：2000πcm 2 ； 2. （2010年福建省晋江市）已知：如图，有一块含?30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3=AB . (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ，求双曲线的解析式； (2)若把含?30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点A 落在点A '，试求图中阴影部分的面积(结果保留π). ( 【关键词】反比例函数、扇形面积 答案：解：(1) 在OBA Rt ?中，?=∠30AOB ，3=AB ， AB OB AOB = ∠cot ， ∴3330cot =??=AB OB ， ∴点() 33,3A 设双曲线的解析式为()0≠= k x k y ∴3 33k =，39=k ，则双曲线的解析式为x y 39= (2) 在OBA Rt ?中，?=∠30AOB ，3=AB ，
Ｐ : OA AB AOB = ∠sin ，OA 330sin =?， ∴6=OA . 由题意得：?=∠60AOC ， ππ6360 6602' =??=AOA S 扇形 在OCD Rt ?中，?=∠45DOC ，33==OB OC ， ∴2 63223345cos =? =??=OC OD . ∴42726321212 2 =??? ? ??==?OD S ODC . ∴'27 S 64 ODC AOA S S π?-=- 阴扇形＝ | 3.（2010年浙江省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）如果建立直角坐标系，使点B 的坐标为（－5，2），点 C 的坐标为（－2，2），则点A 的坐标为 ▲ ； (2) 画出ABC △绕点Ｐ顺时针旋转90后的△Ａ１Ｂ１Ｃ，并求线段BC 扫过的面积. 关键词：扇形面积公式 ] 答案：（１）Ａ（－４，４） （２）图略 线段BC 扫过的面积＝ 4 π（４２－１２ ）＝415π 4、（2010福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2 ．（结 果保留π） 关键词：圆锥侧面积 答案：π18
弧长与扇形面积中考题汇编(含答案)
1.(2016·四川资阳)在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（） 2.（2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O 的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（） 3.（2016·湖北鄂州）如图，扇形OAB中，∠AOB ＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面积是 .
5.2016年浙江省宁波市）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为． 6.（2016·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB 的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为．
7. (2016·新疆)如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点． （1）求⊙O的半径OA的长； （2）计算阴影部分的面积．
1.【解答】解：∵D为AB的中点， ∴BC=BD=AB， ∴∠A=30°，∠B=60°． ∵AC=2， ∴BC=AC?tan30°=2?=2， ∴S 阴影=S△AB C﹣S扇形CB D=×2×2﹣=2 ﹣π． 2.【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=2， 又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
24.4.1 弧长和扇形面积 后溪中学 庄佳烨 【教学目标】 1.了解扇形的概念、弧长和扇形面积的计算方法。 2. 通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，培养学生抽象、理解、概括、 归纳能力和类比能力。 3.利用弧长和扇形面积解决实际问题，让学生体会数学与实际生活的密切联系， 激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性。 【教学重点】弧长和扇形面积公式的推导和有关的计算。 【教学难点】弧长和扇形面积公式的实际应用。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 多媒体课件，学生观察并思考：计算弯形管道中心线的“展直长度”需要求出哪些长度？ 二、探究新知 归纳结论 （一）弧长公式 推导：①设圆的半径为R ，则圆周长C= , ②圆周长可以看成是 360 度的圆心角所对的弧长 ③10的圆心角所对的弧长是 ；④20的圆心角所对的弧长是 ； ⑤30的圆心角所对的弧长是 ； ……… ⑥n 0的圆心角所对的弧长是 。 归纳：在半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对弧长： 注意：n 表示1°的圆心角所对弧长的倍数，它是不带单位的；三个未知量，知二可求一。 三、应用新知，体验成功 应用：解决本节课开始提出的问题. 四、类比推导，能力拓展 扇形和扇形面积公式 1.扇形的概念： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形； 同时扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形面积越大。 2.问题：已知圆半径为R ，求圆心角为n °的扇形的面积? ①设圆的面积是S= , ②圆的面积可以看成是圆心角为 360 度的扇形面积 ③圆心角为10的扇形面积 ；④圆心角为20的扇形面积 ； ⑤圆心角为30的扇形面积 ； ……… ⑥圆心角为n 0的扇形面积 。 归纳：在半径为R 的圆中，圆心角为n 0 的扇形面积： 注意：n 表示圆心角为1°的扇形面积的倍数，它是不带单位的；三个未知量，知二可求一。 180R n l π=R π21803R π180 R n π180R π1802R πO 36032R π3602 R n π3602 R π36022R π3602R n S π=扇形2R π
扇形的弧长公式和面积公式教案 价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通教学目标知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式 解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识, 提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为: 比较: 与 得到扇形面积 另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确应用理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公式进行计算 【活动四】应用、练习 例1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上 有水部分的面积。(精确到0.01cm)。 例2、如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交,且半径都是2cm,求图中阴影部分的面积。老师展示例题,学生阅读并寻找解题方法使学生能够运用所学的知识解决数学问题 【活动五】探究与拓展 探究2、如图,A是半径为1的圆O外一点,且OA=2,AB是⊙O的切线,BC//OA,连结AC,