不 等 式
第1时 算术平均数与几何平均数
1．a>0
，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）
3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么
2
b
a +≥ （当且仅当a ＝
b 时取“＝”号） 4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：
(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．x ＝y 时，xy 有最大值 ．例1．设a 、b ∈R +
，试比较2
b
a +，
ab ，
22
2b a +，b
a 2+的大小． 变式训练1：（1）设,a R ∈
b ，已知命题:p a b =；命题2
22:22a b a b q ++??
≤
???
，则p 是q 成立的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且2
2
2
,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤< （3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=
1, y
y
x x b ++
+=11， a 与b 的大小关系（ ） A ．a >b B ．a
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .
例2. 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+
y
b
x
a ，求x ＋y 的最小值. 变式训练2：已知a ，
b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y
b
x a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 值．
例3. 已知a, b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
变式训练3：比较下列两个数的大小：（1）；与3212-- （2）5632--与； （3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明
第2时 不等式证明（一）
1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，(2) 作商比较法，
2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，
“由果索因”，
例1.已知0
,0>
>b
a，求证：b
a
a
b
b
a
+
≥
+
变式训练1：已知a、b、x、y∈R+且
a
1＞
b
1，x＞y. ：
a
x
x
+
＞
b
y
y
+
．
例2. 已知△ABC的外接圆半径R＝1，
4
1
=
?ABC
S，a、b、c是三角形的三边，令c
b
a
s+
+
=，
c
b
a
t
1
1
1
+
+
=．求证：s
t>
变式训练2若,,
a b c为△ABC的三条边，且222,
S a b c p ab bc ac
=++=++，则（）
A．2
S p
≥B．2
p S p
< >D．2 p S p ≤< 第3时不等式证明（二） 证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等． 例1.已知f(x)＝x2＋px＋q，(1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于 2 1． 变式训练1：设∈ c b a、 、+ R，那么三个数 b a 1 +、 c b 1 +、 a c 1 +（） A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 例2. （1）已知x2＋y2＝1，求证:2 21 1a ax y a+ ≤ - ≤ + -. （2）已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:2 22 2≤ - +b ab a. 变式训练2：设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（） A.) 1 2 [∞ + -，， B. ]1 2 (- -∞，， C.) 1 2 [∞ + +，， D.]1 2 (+ -∞，， 例3. 若2 ≥ ∈n N n，且，求证：1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 < +???+ + < + - n n 变式训练3：若f(n)＝1 2+ n－n，g(n)＝n－1 2- n，?(n)＝ n2 1，则f (n)，g (n)， ?(n)的大小顺序为____________． 例4. 证明： 2 3 1 1 2 1 2 2 ≤ + + + ≤ x x x． 变式训练4：设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点． (1) 求证：142>-b ac (2) 求证：对于一切实数x 恒有| |41 ||2a c bx ax > ++ 不等式章节测试题 一、选择题 1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ） A ．m ＜0 B ．m ≤－1 C ．m ≤0 D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则 （ ） A ．22b a > B ．1 b C ．0)lg(>-b a D ．b a )2 1()2 1(< 3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ） A ．h y x <- B ．h y x 2<- C ．h y x >- D ．h y x 2>- 4． 欲证7632-<-，只需证 （ ） A ．22)76()32(-<- B ．22)73()62(-<- C ．22)63()72(+<+ D ．22)7()632(-<-- 5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝1 6. 对一切正整数n ，不等式2 1 1++< -n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ） A ．(0, 3 2) B ．(3 2, 0] C ．(52 ,∞-)),1(∞+? D ．(52, 1) 7. 已知函数f (x)＝ ?? ???<--≥+-)0() 0(2 2 x x x x x x ，则不等式f(x)＋2>0的解区间是 （ ） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算?．(1)x y x y ?=-若不等式()()1x a x a -?+<对任意实数x 恒成立，则（ ） A ．11a -<< B ．02a << C ．312 2 a -<< D ．1322 a -<< 9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．15 10.集合1{|0}1 x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠?B A 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 二、填空题 11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32< 14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ． 15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ?? ?<≥b a b b a a ，函数f(x)＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R)的最小值是 ． 三、解答题 16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc ． 17．已知函数f(x)＝ x a x x ++22，x ∈[)∞+,1． (1) 当a ＝2 1时，求函数f(x)的最小值； (2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 18．解关于x 的不等式2 22(1)21x a x x ax +--≥+ 19．设函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y ∈R ＋ ，f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(8)＝3，且当x ＞1时，f(x)＞0． (1)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)对一个各项均正的数列{a n }满足f(S n )＝f(a n )＋f(a n ＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (3)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(21112 1 -+>+ ++ q pn a a a n 对n ∈N * 恒成立，求p 、q 的值． 20. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01 321 : 2 >+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、 B 构造命题：“若A 则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 第1时 算术平均数与几何平均数 1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号） 3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么 2 b a +≥ （当且仅当a ＝ b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 例1．设a 、b ∈R + ，试比较2 b a +， ab ， 22 2b a +，b a 2+的大小． 变式训练1：（1）设,a R ∈ b ，已知命题:p a b =；命题2 22:22a b a b q ++?? ≤ ??? ，则p 是q 成立的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且2 2 2 ,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤< （3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++= 1, y y x x b ++ +=11， a 与b 的大小关系（ ） A ．a >b B ．a （4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 . 例2. 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+ y b x a ，求x ＋y 的最小值. 变式训练2：已知a ， b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y b x a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 值． 例3. 已知a, b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 变式训练3：比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与； （3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 第2时 不等式证明（一） 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式． (1)作差比较法，(2) 作商比较法， 2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论． 3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立． 例1. 已知0,0>>b a ，求证： b a a b b a +≥+ 变式训练1：已知a 、b 、x 、y ∈R +且 a 1 ＞b 1，x ＞y. ：a x x +＞b y y +． 例2. 已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++ 变式训练2：已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++ 证明：左边－右边 ＝c b ab c b a 234222---+++ )812416444(4 1 222c b ab c b a ---+++= 0])1(4)2(3)2[(4 1 222≥-+-+-= c b b a ∴ c b ab c b a 234222++≥+++ 例3. 已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=?ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，c b a t 1 11++=．求证：s t > 证明：R abc R c ab C ab S ABC 422 1sin 2 1= ?==? 又∵ R ＝1，4 1 =?ABC S ∴ 1=abc ∴ ab ca bc c b a s 1 11+ += ++= =++ +++≤2 1 1211211b a a c c b t c b a =++111 ∴ t s ≤ 但s t =的条件是1===c b a ，此时4 3 =?ABC S 与已知矛盾． ∴ s t > 变式训练3：若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222 ,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤< 答案:D ．解析：2222221 ()[()()()]0,2 S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2 2 2 2(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。 例4. 设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足a x x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x (2) 设函数f (x)的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0< 2 1x ． 证明：(1)由于1x 、2x 是方程0)(=-x x f 的两个根，则))(()(21x x x x a x x f --=- 当),0(1x x ∈时，有210x x x <<< ∴ 0,021<-<-x x x x 又 0>a ∴ 0)(>-x x f 即x x f >)( 又由x x x x x a x f +--=))(()(21 得1211))(()(x x x x x x a x x f -+--=- )1)((21ax ax x x -+-= ∵ a x x x 1 021< <<< 又 0>a ∴ 01<-x x ，01122>->-+ax ax ax ∴ 0)(1<-x x f 即1)(x x f < 综上所述，1)(x x f x <<． (2) ∵ x x x x x a x f +--=))(()(21 21212)1(x ax x ax ax ax +-+-= ∴ 2 2211 1210x a ax a ax ax x = <-+= 变式训练4：设f(x)=3ax 22.0bx c a b c ++++=若,f(0)＞0，f(1)＞0， 求证：(1)a ＞0且-2＜ b a ＜-1； (2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 证明：（1）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>； 由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21b a -< <-. （2）抛物线2 ()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2 3(,)33b ac b a a --， 在21b a -< <-的两边乘以13-，得12 333 b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c ac f a a +--=-< 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a - 与(,1)3b a -内分别有一实根。 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方． 2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口． 3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范． 4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想． 第3课时 不等式证明（二） 证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等． 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法． 换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法． 放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法． 判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立． 例1. 已知f(x)＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于2 1． 证明: (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p ＋q)＋(9＋3p ＋q)－2(4＋2p ＋q)＝2 (2)用反证法。假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于2 1，则｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜＜2，而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，出现矛盾. ∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于21 . 变式训练1：设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+ 、c b 1+、a c 1 + （ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2 解:D 例2. （1） 已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证:2222≤-+b ab a . 变式训练2： 设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c≥0时，c 的取值范围是（ ） A.)12[∞+-，， B. ]12(--∞，， C.)12[∞++，， D.]12(+-∞，， 例3. 若2≥∈n N n ，且，求证： 11312111212 22<+???++<+-n n 证明：当2≥n 时 )1()1(2+<<-n n n n n 即n n n n n 1111111 2--<<+- 变式训练3：若f(n)＝12+n －n ，g(n)＝n －12-n ，?(n)＝ n 21 ，则f (n)，g (n)，?(n)的大小顺序为____________． 例4. 证明：2 3 112122≤+++≤x x x ． 变式训练4：设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点． (1) 求证：142>-b ac (2) 求证：对于一切实数x 恒有| |41 ||2a c bx ax > ++ 证明：(1)由ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0无实根，得Δ1＝(b －1)2－4ac<0 由ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0无实根 得Δ2＝(b ＋1)2－4ac<0 两式相加得：4ac －b 2>1 (2)∵4ac －b 2>1>0，∴a(x ＋ a b 2)2 与a b ac 442-同号， ∴｜ax ＋bx ＋c ｜＝｜ a(x ＋a b 2)2＋a b ac 442 -｜ ＝｜a ｜(x ＋a b 2)2 ＋a b ac 442-≥a b ac 442->a 41 不等式章节测试题 一、选择题 1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ） A ．m ＜0 B ．m ≤－1 C ．m ≤0 D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则 （ ） A ．22b a > B ．1 b C ．0)lg(>-b a D ．b a )2 1()2 1(< 3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ） A ．h y x <- B ．h y x 2<- C ．h y x >- D ．h y x 2>- 4． 欲证7632-<-，只需证 （ ） A ．22)76()32(-<- B ．22)73()62(-<- C ．22)63()72(+<+ D ．22)7()632(-<-- 5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝1 6. 对一切正整数n ，不等式2 1 1++< -n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ） A ．(0, 3 2) B ．(3 2, 0] C ．(52 ,∞-)),1(∞+? D ．(52, 1) 7. 已知函数f (x)＝ ?? ???<--≥+-)0() 0(2 2 x x x x x x ，则不等式f(x)＋2>0的解区间是 （ ） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算?．(1)x y x y ?=-若不等式()()1x a x a -?+<对任意实数x 恒成立，则（ ） A ．11a -<< B ．02a << C ．312 2 a -<< D ．1322 a -<< 9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．15 10.集合1{|0}1 x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠?B A 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 二、填空题 11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32< 14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ． 15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ?? ?<≥b a b b a a ，函数f(x)＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R)的最小值是 ． 三、解答题 16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc ． 17．已知函数f(x)＝x a x x ++22，x ∈[)∞+,1． (1) 当a ＝2 1时，求函数f(x)的最小值； (2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 18．解关于x 的不等式2 22(1)21x a x x ax +--≥+ 19．设函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y ∈R ＋ ，f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(8)＝3，且当x ＞1时，f(x)＞0． (1)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)对一个各项均正的数列{a n }满足f(S n )＝f(a n )＋f(a n ＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (3)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(21112 1 -+>+ ++ q pn a a a n 对n ∈N * 恒成立，求p 、q 的值． 20. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01 321 : 2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、 B 构造命题：“若A 则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 不等式章节测试题参考答案 1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 9.C 10. A 11. )10,18(- 12. －1 13. 8 14.4 15. 2 3 16. 证明：因为a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以))()(()1)(1)(1(b a c a c b c b a +++=--- abc ab ac bc 8222=??≥． 17. 解：(1)当a ＝21时，221 )(++=x x x f ，易证f(x)在[1，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝1时，[f(x)]min ＝f(1)＝2 7 (2)由f(x)＞0得 022>++x a x x ∵x ∈[1，＋∞) ∴x 2＋2x ＋a ＞0 ∴a ＞－(x 2＋2x)，令t ＝－(x 2＋2x)，x ∈[1，＋∞) 则t ＝－(x 2＋2x)＝1－(x ＋1)2 ∴当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1)2＝－3 ∴a ＞－3 18.(理)原不等式可化为：(1)(2) 0()x x x x a +-≥+ ① 当a>1时，原不等式的解集为 {}102x x a x x <--≤<≥或或 ② 当01a <<时，原不等式的解集为 {}102x x a x x ≤--<<≥或或 ③ 当a ＝1时，原不等式的解集为{}02x x x <≥或 ④ 当20a -<<时，原不等式的解集为 {}12x x x a x ≤-<-≥或0<或 ⑤ 当a ＝0时，原不等式的解集为{}12x x x ≤-≥或 ⑥ 当2a ≤-时，原不等式的解集为 {}12x x x x a ≤-≤>-或0<或 (文)原不等式可化为：(1)(1)0,(0)ax x a --<> ① 当01a <<时，原不等式的解集为11x x a ??< ? ? ② 当1a >时，原不等式的解集为11x x a ??< ?? ③ 当1a =时，原不等式的解集为φ. 19. (Ⅰ)设0＜x 1＜x 2，则 011 21 2 >??? ? ???>x x f x x ，从而有)()()(11 211212x f x x f x f x x x f x f >??? ? ??+=??? ? ? ??=，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (Ⅱ)因为f(8)＝3f(2)＝3?f(2)＝1，所以有=)(n S f )1()()2()(1)1()(++=+?-++n n n n n a f a f f S f a f a f )()2(2n n n a a f S f +=?，由此及函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增得n n n a a S +=2 2． 当n ＝1时，122112111=?+==a a a S a ； 当n ≥2时，12121)(22-----+=-=n n n n n n n a a a a S S a 11=-?-n n a a ，即数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等并非数列，故a n ＝n ； (Ⅲ)设存在满足条件的正整数p 、q ，则当n ＝1时，有 149 )1(211 ==?< +?-+>q p q p q p a ． 下面证明不等式)11(211121-+>+ ++n a a a n 对n ∈N * 恒成立． 事实上，因为 1 211++> =n n n a n =)1(2n n -+ (n ∈N *)， 所以 n a a a 1112 1 + ++ )]1()23()12[(2n n -+++-+-> )11(2-+=n . 20. (1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有 99.01 8 .0=++x x ，解得x ＝19． 由c ＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程： 99.095.0=++a y a y ，解得y ＝4a ，故z ＝4a ＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a ＋3．因为当1≤a ≤3时，x －z ＝4(4－a)＞0，即x ＞z ，故方案乙的用水量较少． (2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似(Ⅰ)得)*()10099(,) 1(54 5c a y c c x -=--= 于是x ＋y ＝ )10099() 1(54 5c a c c -+-- +-= ) 1(51 c 1)1(100---a c a 当a 为定值时， x ＋y ≥1)1(100) 1(51 2 ---?-a c a c a -=154-+a 当且仅当 )1(100) 1(51 c a c -=-时等号成立．此时 )99.0,8.0(51011),(5101 1∈- =+ =a c a c 或舍去不合题意将a c 51011+ =代入（*）式得,1152->-=a a x a a y -=52． 故a c 51011- =时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-a 与a a -52，最少总用水量 是．T(a)＝－a ＋154-a ． 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-> 2002-2003学年度高三数学高考专题复习（四） 不等式问题 1 高考不等式问题专题复习 一、不等式基础题 1、不等式x 2+1＞2x 的解集是 ( ) A.{x|x ≠1,x ∈R} B.{x|x ＞1,x ∈R} C.{x|x ≠-1 ,x ∈R } D. {x|x ≠0,x ∈R} (00年成人) 2、不等式|x+3|＞5的解集为 ( ) A.{x|x ＞2|} B.｛x|x ＜-8或x ＞2｝ C.{x|x ＞0} D.{x|x ＞3} (01年成人) 3、二次不等式x 2 -3x+2<0的解集为 ( ) A.{x ︱x ≠0} B.{x ︱1 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 3.4.2利用重要不等式、基本不等式证明问题 授课类型：专题课 一、课前复习（温故知新） 1、重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ ,（当且仅当b a =时取“=”） 变形： 若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤,（当且仅当b a =时取“=”） 2．基本不等式：若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取“=”） 变形： (1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (2)若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 二、专题演练（探究引领） 1．(1)已知c b a ,,为两两不相等的实数，证：ca bc ab c b a ++>++2 22；(2)证：a 4＋b 4＋c 4＋d 4≥4abcd. 2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 3．已知a ，b ，c 均为正数．（Ⅰ）求证：a 2+b 2+（ ）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100． 三、笔记作业（巩固延伸） 1．若a ，b ，c ∈R +，且a+b+c=12，求证： ++≥9． 2．已知a ，b ＞0，且a+b=1，求证：（Ⅰ） +≥8；（Ⅱ）++≥8． 3．若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2+y 2+z 2=a 2+b 2+c 2=1，求证：ax+by+cz ≤1． 4．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ） （Ⅱ）． 5.【选做】已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6．【选做】已知a ，b 均为正数，且a+b=1，证明： （1）（ax+by ）2≤ax 2+by 2 （2）（a+）2+（b+）2≥ ． 7．【选做】已知a ，b ，c 均为正实数，且ab+bc+ca=1． 求证：（Ⅰ）a+b+c ≥ ；（Ⅱ）++≥（++）． 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立． 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可 记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编 第10讲不等式 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 一、知识整合 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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