复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.
2.复数的表示
1）
模：z =
2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；
主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x
之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x
=；
当0,arg arctan 0,0,arg arctan y
y z x
x y y z x ππ?
≥=+??
?<=-??
； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算
1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±
2.乘除法：
1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则
()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；
()()()()11221111212
1221
22
22
2222
2222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。 2）若1
2
1122,i i z z e z z e θθ==, 则()1
2
1212i z z z z e θθ+=；
()1211
22
i z z e z z θθ-=
3.乘幂与方根
1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n
n
n in z z n i n z e θθθ=+=。 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则
1
22
cos sin (0,1,21)n
k k z i k n n n θπθπ++?
?=+=- ?
?
? （有n 个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平
面上的一个点集G 的映射.
2．复初等函数
指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±± （多值函数）；
主值：ln ln arg z z i z =+。（单值函数）
Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1
lnz z
'=；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
乘幂与幂函数：(0)b bLna a e a =≠；(0)b bLnz z e z =≠
注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z
z z gz ctgz i z z
---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-
注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）
双曲函数 ,22
z z z z
e e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。,shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：()0f z '=()()
000
lim z f z z f z z
?→+?-?；
2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）
仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导
?(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：
,u v u v
x y
y x
????==-???? 此时， 有()u v f z i x x ??'=
+??。 2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析
?(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：
,u v
u v
x y
y x ????==-????； 此时()u v
f z i x x
??'=
+??。 注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区
域D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1．
复变函数积分的概念：
()()1
lim n
k
k c
n k f z dz f z
ξ→∞
==?∑?，
c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质
1）()()1c
c
f z dz f z dz -=-?? （1c -与c 的方向相反）；
2）()()()()[],,c
c
c
f z
g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+???是常数；
3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()1
2
c
c c f z dz f z dz f z dz =+???。
3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：()c
c
c
f z dz udx vdy i vdx udy =-++???；（常用于理论证明）
2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c
f z dz f z t z t dt β
α
'=??。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：
设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则 ()0c
f z dz =?
2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭
曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以
12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则
① ()c
f z dz ? ()1,k
n
k c f z dz ==∑? 其中c 与k c 均取正向；
② ()0f z dz Γ
=?
，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -= 所组成的复合闭路。 3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，
不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()
f z 在B 内的一个原函数，则()()()
2
12112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈?
说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5. 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，
c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()
()00
2c f z dz if z z z π=-?
6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为
()()
()010
2(1,2)()!n n c f z i dz f z n z z n π+==-?
其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。
7．重要结论：
12,01
0,0
()n c
i n dz n z a π+=?=?≠-?? 。 （c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）
8．复变函数积分的计算方法
1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]c f z dz f z t z t dt β
α'=?? 2）设()f z 在区域D 内解析，
● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =? ● c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有
()()()()21
21z c
z f z dz f z dz F z F z ==-?
?
3）设()f z 在区域D 内不解析
● 曲线c 内仅有一个奇点：()
()()()()00
01022()!c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+?=?-???=?-?
?? （()f z 在c 内解析）
● 曲线c 内有多于一个奇点：
()c
f z dz ? ()1k
n
k c f z dz ==∑? （i
c 内只有一个奇点k
z
）
或：()1
2Re [(),]n
k k c
f z dz i s f z z π==∑? （留数基本定理）
● 若被积函数不能表示成
()
1
()
n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。 （八）解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ?在D 内有二阶连续偏导数且
满足22220x y
??
??+=??，(,)x y ?为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v
为实部u 的共轭调和函数。
● 两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足柯西—黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。 3．已知解析函数()f z 的实部或虚部，求解析函数()f z u iv =+的方法。 1）偏微分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件，得
,v v
x y
????；
对
v u
y x
??=??两边积分，得()u v dy g x x ?=+?? （*）
再对（*）式两边对x 求偏导，得
()v u dy g x x x x ?????
'=+ ??????
? （**） 由C R -条件，
u v y x ??=-??，得()u u dy g x y x x ?????'=-+ ??????
?，可求出 ()g x ； 代入（*）式，可求得虚部()u
v dy g x x
?=+??
。 2）线积分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件可得
v v u
u d v d x
d y d x d y x y
y
x ????=+=-
+????，故虚部为()()00,,x y x y u u
v dx dy c y x
??=-++???；
由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,x y 与(),x y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部(),u u x y =，根据解析函数的导数公式和C R -条
件得知， ()u v u u
f z i i x y x y
????'=
+=-???? 将此式右端表示成z 的函数()U z ，由于()f z '仍为解析函数，()()f z U z dz c =+? 注：若已知虚部v 也可用类似方法求出实部.u
（九）复数项级数
1．复数列的极限
1）复数列{}{}n n n a ib α=+（1,2n = ）收敛于复数a bi α=+的充要条件为
lim ,
lim n n n n a a b b →∞
→∞
== （同时成立）
2）复数列{}n α收敛?实数列{},{}n n a b 同时收敛。
2．复数项级数
1）复数项级数0
()n n n n n a ib αα∞
==+∑收敛的充要条件是级数0
n n a ∞
=∑与0
n n b ∞
=∑同时收敛；
2）级数收敛的必要条件是lim 0n n α→∞
=。
注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
（十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式00
()n
n n c z z ∞
=-∑或0
n n n c z ∞
=∑为幂级数。
2．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：
如果幂级数0n n n c z ∞
=∑在00z ≠处收敛，那么对满足0z z <的一切z ，该数绝对收敛；
如果在0z 处发散，那么对满足0z z >的一切z ，级数必发散。 2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散； 在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 ● 比值法 如果1
lim
0n n n
c c λ+→∞
=≠，则收敛半径1R λ=；
● 根值法
0n λ=≠，则收敛半径1
R λ
=
；
● 如果0λ=，则R =∞；说明在整个复平面上处处收敛； 如果λ=∞，则0R =；说明仅在0z z =或0z =点收敛；
注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如20n n n c z ∞
=∑）
3．幂级数的性质 1）代数性质：
设0
,n
n n n n n a z b z ∞
∞
==∑∑的收敛半径分别为1R 与2R ，记()12min ,R R R =，
则当z R <时， 0
()n
n
n n n n n n n n a b z a z b z αβαβ∞∞∞
===+=+∑∑∑ （线性运算）
01100
()()()n
n
n n n n n n n n n a z b z a b a b a b z ∞∞∞
-====+++∑∑∑ （乘积运算）
2） 复合性质：设当r ξ<时，()0
n n n f a ξξ∞
==∑，当z R <时，()g z ξ=解
析且()g z r <，则当z R <时，()()0
[][]n n n f g z a g z ∞
==∑。
3） 分析运算性质：设幂级数0
n n n a z ∞
=∑的收敛半径为0R ≠，则
● 其和函数()0
n n n f z a z ∞
==∑是收敛圆内的解析函数；
● 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且()10
n n n f z na z ∞
-='=∑ z R <
● 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；()1
01
z
n n n a f z dz z n ∞
+==+∑
? z R <
（十一）幂函数的泰勒展开
1. 泰勒展开：设函数()f z 在圆域0z z R -<内解析，则在此圆域内()f z 可以
展开成幂级数 ()(
)
()
()
000!
n n
n f z f z z z n ∞
==-∑
；并且此展开式是唯一的。
注：若()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径
0R z a =-；其中R 为从0z 到()f z 的距0z 最近一个奇点a 之间的距离。
2．常用函数在00z =的泰勒展开式
1）23011!
2!3!!n
z
n n z z z e z z n n ∞
===++++++∑ z <∞
2）20
111n n n z z z z z ∞
===+++++-∑ 1z <
3）352121
0(1)(1)sin (21)!
3!5!(21)!n n n n n z z z z z z n n ∞
++=--==-+-++++∑ z <∞
4）24220(1)(1)cos 1(2)!
2!4!(2)!n n n n
n z z z z z n n ∞
=--==-+-++∑ z <∞
3．解析函数展开成泰勒级数的方法
1）直接法：直接求出()()01!n n c f z n =，于是()()00
n
n n f z c z z ∞==-∑。
2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项
求导、逐项求积等方法将函数展开。
（十二）幂函数的洛朗展开
1. 洛朗级数的概念：
()0n
n n c z z ∞
=-∞
-∑，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数()f z 在圆环域102R z z R <-<内处处解析，c 为圆环
域内绕0z 的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有
()()0n
n n f z c z z ∞
=-∞
=
-∑ ，且展开式唯一。
3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。
* 4．利用洛朗级数求围线积分：设()f z 在0r z z R <-<内解析，c 为
0r z z R <-<内的任何一条正向简单闭曲线，则 ()12c f z dz ic π-=? 。其中1c -为
()f z 在0r z z R <-<内洛朗展开式中
1
z z -的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()z z --的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类
1．孤立奇点的定义 ：()f z 在0z 点不解析,但在0z 的00z z δ<-<内解析。 2．孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含0z z -的负幂项；()()()2
01020f z c c z z c z z =+-+-+ 2）极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；
()(1)2
101020
1000()()()()()
m m m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=
+++++-+-+--- ()0,()m g z z z =-
其中()1(1)01000()()()m m m m g z c c z z c z z c z z -----=+-++-+-+ 在0z 解析， 且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；
3）本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项；
()1
010000()()()()
m m m m
c c f z c c z z c z z z z z z --=+
++++-++-+-- （十四）孤立奇点的判别方法
1．可去奇点：()0
0lim z z f z c →=常数；
2．极点：()0
lim z z f z →=∞
3．本性奇点：()0
lim z z f z →不存在且不为∞。
4．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数()f z ，如果能表示成()()0()m f z z z z ?=-， 其中()z ?在0z 解析，()00,z m ?≠为正整数，称0z 为()f z 的m 级零点； 2）零点级数判别的充要条件：
0z 是()f z 的m 级零点?()()()()000,(1,2,1)
n m
f z n m f z ?==-?
?≠??
3）零点与极点的关系：0z 是()f z 的m 级零点?0z 是()
1
f z 的m 级极点； 4）重要结论:
若z a =分别是()z ?与()z ψ的m 级与n 级零点，则 ● z a =是()z ? ()z ψ的m n +级零点；
● 当m n >时，z a =是()
()
z z ?ψ的m n -级零点；
当m n <时，z a =是
()
()
z z ?ψ的n m -级极点； 当m n =时，z a =是
()
()
z z ?ψ的可去奇点； ● 当m n ≠时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，min(,)l m n =
当m n =时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，其中()l m n ≥
（十五）留数的概念
1．留数的定义：设0z 为()f z 的孤立奇点，()f z 在0z 的去心邻域00z z δ<-<内解析，c 为该域内包含0z 的任一正向简单闭曲线，则称积分()1
2c f z dz i π?
为()f z 在0z 的留数（或残留），记作 ()0Re [,]s f z z =()1
2c f z dz i
π? 2．留数的计算方法
若0z 是()f z 的孤立奇点，则()0Re [,]s f z z =1c -，其中1c -为()f z 在0z 的
去心邻域内洛朗展开式中10()z z --的系数。
1）可去奇点处的留数：若0z 是()f z 的可去奇点，则()0Re [,]s f z z =0 2）m 级极点处的留数
法则I
若0z 是()f z 的m 级极点，则()0Re [,]s f z z =()01
011lim [()](1)!m m m z z d z z f z m dz --→--
特别地，若0z 是()f z 的一级极点，则 ()0Re [,]s f z z =()0
0lim()z z z z f z →-
注：如果极点的实际级数比m 低，上述规则仍然有效。
法则II 设()()
()
P z f z Q z =，()(),P z Q z 在0z 解析，()00,P z ≠()()000,0Q z Q z '=≠，
则()()()
()
000Re [
,]P z P z s z Q z Q z =
' （十六）留数基本定理
设()f z 在区域D 内除有限个孤立奇点12,,n z z z 外处处解析，c 为D 内包围
诸
奇
点
的
一条正向简单闭曲线，则
()()1
2Re [,]n
c
n f z dz i s f z z π∞
==∑?
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数()
f z 在c 内各孤立奇点处留数的局部问题。
小结在MCS-51单片机内部含有两个16位定时/计数器：T0和T1，它们由振荡器分频输入电路、外部计数脉冲输入电路、计数脉冲选择电路、计数启停电路、加1计数器和中断标志等组成。其核心是一个加1计数器，每输入一个脉冲，计数值加1，当计数到计数器全为1时，再输入一个脉冲就使计数值回零，同时从最高位溢出一个脉冲使控制寄存器TCON的TFX(X=0或1)位置1，作为计数器的溢出中断标志。T0和T1的启动和停止由方式寄存器TMOD的GATE位控制：GATE为0时，由寄存器TCON的TRX(X=0或1)
位启动(这时TRX=1)或停止(这时TRX=0)；GATE位为1，且TRX(X=0或1)为1时，由中断引脚INTX(X=0或1)的外部信号电平启动(这时INTX=1)或停止(这时INTX=0)。
通过方式寄存器TMOD的C/T位来选择加1计数器计数脉冲的来源：当C/T=1时，计数脉冲来自系统外部的脉冲源，这时定时/计数器成为外部事件计数器，工作于计数器状态；当C/T=0时，计数脉冲来自系统的时钟振荡器的12分频，由于这时的计数脉冲为一时间基准，脉冲数乘以脉冲间隔时间就是定时时间，这时定时/计数器工作于定时器状态。
通过方式寄存器TMOD的M1M0位来设定T0和T1的工作方式：
当M1M0两位为00时，定时/计数器被选为工作方式0，16位寄存器(TH0和TL0)只用13位，由TH0的8位和TL0的低5位构成，因此方式0是一个13位的定时/计数器；
当M1M0两位为01时，定时/计数器被选为工作方式1，它与方式0基本相同，只是方式1改用了16位寄存器(TH0和TL0)的全部16位；
当M1M0两位为10时，定时/计数器被选为工作方式2，16位计数器分作两个8位计数器，TL0作为8位计数器，TH0用作保存计数初值，一旦TL0计数溢出，便置位TF0，并将TH0的内容重新装入TL0中进行新的一轮计数，如此循环重复不止，常将T1设定为方式2用作串行接口的波特率发生器；
当M1M0两位为11时，定时/计数器被选为工作方式3，定时器T0在方式3下分成两个独立的计数器TL0和TH0，其中，TL0可用作定时或计数器，并占用定时器T0的所有控制位
（GATE,C/T,TR0,INT0和TF0），而TH0固定作为定时器用，并借用定时器T1的TR1和TF1，这时TH0控制着定时器的T1中断，在方式3下，定时器T1将停止计数，只是保持其计数值，与置TR1为0等效。
一、选择题 1.下列复数中，位于第三象限的复数是（ B ） A ． 12i + B ．12i -- C ． 12i - D ．12i -+ 2.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面 C ．0arg 4 z π << 表示角形区域 D ．Im()0z <表示上半平面 3.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ） A ． z z e + B ．2 sin 1 z z + C ．tan z z e + D.sin z z e + 4.已知3 1z i =+，则下列正确的是（ B ） A ．3 12 2i z e π= B ．36 4 2i z e π= C ．73 12 2i z e π= D ．6 32i z e π= 5.积分 ||34 2z dz z =-?的值为（ A ） A ． 8i π B ．2 C ． 2i π D ．4i π 6.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ D ） A ． 可去奇点 B ．一级极点 C ．二级极点 D ． 三级极点 7． 1 (2) z z -在点 z =∞ 处的留数为（ C ） A ．0 B ．1 C ． 12 D ．12 - 8.复数i z +=3的幅角主值为 （ A ） A. 6π B ． 3π C ． 65π D ． 3 2π 9.函数)(z f w =在点0z 处解析的特征为 （ A ） A. 在0z 的邻域内可导 B ．在0z 可导 C ． 在0z 连续 D ． 在0z 有界 10.复积分 ?c dz z f )(与路径无关的充分必要条件为 （ C ） A. )(z f 连续 B ．)(z f 有界 C ． )(z f 解析 D ． )(z f 可积分 11.复变函数z z z f cos )(=的原函数为 （ B ） A. z z z sin cos + B ．z z z cos sin + C ． )1(cos +z z D ． z z cos 12.下列函数中那一个为调和函数 （A ） A. 22y x - B ．)sin(xy C ．)cos(y x + D ．xy x 22 +
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1） 模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）； 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
第1次 复变函数（1） 一、填空题。 1. 设(1)(2)(3) (3)(2) i i i z i i +--= ++，则z =__________ 2. 设z =, 3arg()4 z i π -= ,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。 4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。 三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212 2212 21z z z z z z ++=+ 四、下列坐标变换公式写成复数形式； 1） 平移公式：11 11 x x a y y b =+??=+?，
2）旋转公式：1111 cos sin sin cos x x y y x y αα αα=-??=+? 五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。 1）56z -=； 2）21z i +≥； 3)314z z +++=。 4) 3 12 z z -≥- 六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数) 3）2 2i z t t =+ 。 4) it it z ae be -=+
第2次 复变函数（2） 一、填空题 1. 2 4 1lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2 )(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数z z z f = )( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3 z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11 ()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。 三、函数1 w z = 把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）2 2 4x y +=； 2） y x =。 3) 1x =。 4) 2 2 (1)1x y -+=.
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 (主编:王忠仁 张静) 高等教育出版社 习题一(P12) 1、1 对任何z ,2 2z z =就是否成立？如果就是,就给出证明。如果不就是,对哪些z 值才成立？ 解:设z x iy =+,则2222z x y xyi =-+,2 22z x y =+; 若2 2z z =成立,则有2222 2x y xyi x y -+=+,即222220 x y x y xy ?-=+?=?,解得0y =, 即z x =。 所以,对任何z ,2 2z z =不成立,只对z 为实数时才成立。 1、2 求下列各式的值: (1)5 )i ; (2)6(1)i +; ; (4)13 (1)i -。 解:(1)因为6 2i i e π- -=,所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? (2)因为4 1i i e π+=,所以 6 36634 42(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? (3)因为1cos sin i ππ-=+,所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+,其中 0,1,2,3,4,5k =; 即01cos sin 6 6 2w i i π π =+= +,1cos sin 22 w i i ππ =+=, 2551cos sin 6622w i i ππ=+=-+,3771 cos sin 6622 w i i ππ=+=--,
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静） 高等教育出版社 习题一（P12） 对任何z ，2 2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立 解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2 22z x y =+； 若2 2z z =成立，则有2222 2x y xyi x y -+=+，即222220 x y x y xy ?-=+?=?，解得 0y =，即z x =。 所以，对任何z ，2 2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值： （1）5 )i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1 3 (1)i -。 解：（16 2i i e π- =，所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? （2）因为41i i e π +=，所以 6 3663 442(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? （3）因为1cos sin i ππ-=+，所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+，其中 0,1,2,3,4,5k =； 即01cos sin 6 6 22w i i π π =+= +，1cos sin 22 w i i ππ =+=， 2551cos sin 662w i i ππ=+=+，3771 cos sin 662 w i i ππ=+=-，
433cos sin 22 w i i ππ =+=- ，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4 ）因为1cos()sin()44i i ππ?-=-+-??，所以 1 13 6 2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ??-+-+?? =-=+???? ?? ，其中0,1,2k =； 即 16 02cos()sin()1212w i ππ? ?=-+-?? ? ?， 1 6 1772cos sin 1212w i ππ? ?=+???? ， 1 6 2552cos sin 44w i ππ? ?=+???? 。 求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。 因为 33322 82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ??+=+=+-+=+-++?? 22 (2)(1)((2)(11z z z z z ??=+-+=+-+--?? 所以由380z += ，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =- ，21z =- 31z =+ 故方程380z +=的所有根为12z =- ，21z =+ 31z =+ 解法二：用复数的方根的方法求解。 由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以 2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++?? ?==+=+??????，其中0,1,2k =； 即02cos sin 133z i ππ? ?=+=+ ?? ?12(cos sin )2z i ππ=+=， 2552cos sin 133z i ππ? ? =+=- ?? ?
《复变函数》（工程数学）教学大纲 一、《复变函数》课程说明 （一）课程代码：08138013 （二）课程英文名称：Complex Function （三）开课对象：通信工程专业本科生 （四）课程性质： 《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。。 （五）教学目的： 本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。 （六）教学内容： 本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。 （七）学时数、学分数及学时数具体分配 学时数：54 学时 分数： 3 学分 学时数具体分配： （八）教学方式 教师课堂讲授为主。 （九）考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。 二、讲授大纲与各章的基本要求
第一章复数与复变函数 教学要点： 1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算 2、了解区域的概念 3、理解复变函数的概念 4、理解复变函数的极限和连续的概念 教学时数：6学时 教学内容： 第一节复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 第二节复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 第三节复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 第四节区域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 第五节复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 第六节复变函数的极限和连续性 1、函数的极限 2、函数的连续性 考核要求： 1、复数及其代数运算 1.1 复数的概念（识记） 2、复数的乘幂与方根 2.1 复数的乘积、商（应用） 2.2 复数的幂与根（应用） 3、区域（识记） 4、复变函数的极限、连续（领会） 第二章解析函数 教学要点：
工程数学（复变函数）习题课 [例1] [例3] 计算下列各式的值 （1） [例4] 求满足下列条件的所有复数z ： （1） z z 13+ 是实数，且613 1≤+ )13()13(13 132 222y x y y i y x x x iy x iy x z z +-+++=+++=+ 由条件（1）得：y =0 或： 1322=+y x 当 0=y ，由61313122≤+=++ 复变函数(工程数学)教学大纲 《复变函数》（工程数学）教学大纲一、《复变函数》课程说明 08138013 Complex Function 通信工程专业本科生 《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。它的理论和方法 广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、 天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。本课程以高等 数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。。 本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进 一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。 本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数 的积分，级数、留数，共形映射等。 学时数： 54 学时 分数： 3 学分 学时数具体分配： 教学内容讲授习题课合计 第一章复数与复变函数 6 6 第二章解析函数 8 8 第三章复变函数的积分 10 10 第四章级数 10 2 12 第五章留数 10 10 第六章共形映射 6 2 8 合计 50 4 54 教师课堂讲授为主。 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资 格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。二、讲授大纲与各章的基本要求 第一章复数与复变函数 1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算 2、了解区域的概念 3、理解复变函数的概念 4、理解复变函数的极限和连续的概念 6学时 第一节复数及其代数运算一、复数的概念 二、复数的代数运算 第二节复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 第三节复数的乘幂与方根 一、乘积与商复变函数(工程数学)教学大纲
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