利率期限结构的马尔科夫区制转移模型
与实证分析3
刘金全 郑挺国
内容提要:本文在利率期限结构中通过纳入马尔科夫(Markov)区制转移,将传统CK LS模型推广到更为一般的状态相依的CK LS模型,并将之应用于对我国1996年1月至2006年3月银行间同业拆借市场六组不同到期日之月度加权平均利率的研究。通过模型估计和检验分析,我们发现在不同区制下不同到期日利率漂移函数和扩散函数均呈现非线性,其中漂移函数表现为强烈的随机游走过程或均值回归过程,而扩散函数表现为低波动状态或高波动状态。此外,结果表明不同到期日利率期限结构可由缩压的马尔科夫区制转移CK LS模型获得。
关键词:利率期限结构 马尔科夫区制转移 非线性 CK LS模型
一、引 言
在金融研究中,利率期限结构的估计是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理的基准,所以它一直是研究者讨论的热点问题。自Merton(1973)以来,建立在期限结构变化完全由单一潜在随机因子变化驱动的简单假设上,Vasicek(1977)、C ox et al(1985)、Chan et al(1992)、Ait2Sahalia(1996)和Stanton(1997)等依次提出了多种利率期限结构模型,这些模型被称为“单因子模型”。尽管许多研究发现至少需要三个因子才能完全捕捉利率的变化,但是由于第一个因子(对应利率的水平变化)基本上能够解释利率的变化,①所以大多数研究都将注意力放在第一个因子上。
关于利率期限结构的传统研究一般都假设利差与利率水平之间的关系是服从线性结构,但同许多其他宏观经济变量或金融时间序列一样,研究者发现利率期限结构也可能呈现非线性。例如Chan et al(1992)提出的著名CK LS模型假设利差是利率水平的线性函数,而波动是利率水平的非线性函数,Ait2Sahalia(1996)和Stanton(1997)则使用非参数方法进一步发现短期利率的漂移是利率水平的非线性函数。这些经验研究在离散时间过程的飘移率和扩散率中都引入了非线性的假设。
在某种意义上,马尔科夫区制转移模型可被视为传统线性模型进行非线性推广的自然模式之一,并且在一些研究中已经得到了应用。这种非线性形式借助于Hamiltion(1989)提出的Markov区制转移模型,可以在利率期限结构模型中假设某一内生性的结构性转变,捕捉经济或金融的时变状态变化。G ray(1996)应用推广的马尔科夫区制转移G ARCH模型②,研究在飘移率和由G ARCH过
3 刘金全、郑挺国,吉林大学数量经济研究中心,邮政编码:130012,电子信箱:jqliu1964@https://www.doczj.com/doc/f38930557.html,,jluztg@https://www.doczj.com/doc/f38930557.html,. cn。本研究得到吉林大学“985工程”项目“中国宏观经济分析与预测”创新基地、国家自然科学基金项目(70471016)、国家社会科学基金项目(05B JL019)和教育部人文社会科学重点研究基地2005年度重大研究项目(05JJD790078)资助。最后,作者衷心感谢匿名审稿人的有益评论和宝贵意见。
① 如Litterman和Scheinkman(1991)发现美国国库券利率的大约90%变化可由第一个因子解释;Chapman和Pears on(2001)发现99%的收益率变化可由三个因子解释,且(大约)88%变化单独是第一个因子的结果。
② 简称为G RS模型,这类模型是对Ham ilton和Susmel(1994)的SW ARCH模型的推广。
程刻画的扩散率同时状态相依下短期利率的行为;Cam pbell et al(1997)认为在利率数据中可能存在某种区制变化,并表明一个区制转移的CIR模型可以更好地拟合短期利率数据。不同于传统模型唯一依赖于其利率水平,区制转移模型引入了一个状态变量,其同时允许波动为低而利率为高和波动为高而利率为低的情形。这样一来,通过允许模型参数依赖于利率Π经济的潜在状态就可以将线性利率期限结构推广到非线性形式。
近年来,许多国内学者广泛关注我国的利率期限结构,并开始考虑将非线性纳入到应用研究中,获得了一些重要的经验结论。例如李和金等(2003)利用非参数的利率期限结构模型研究上海证券交易所国债回购利率,发现短期利率扩散过程的漂移函数和扩散函数都是非线性的,短期利率的概率分布不服从参数模型所假设的分布;洪永淼和林海(2006)利用各种短期利率模型(其中包括单因子扩散模型、G ARCH模型、马尔科夫区制转移模型以及跳跃-扩散模型)对上海证券交易所7天国债回购利率进行了实证分析和检验,发现非线性漂移对减少模型的设定误差大都是不可忽略的,但是它在减少模型误差、改善模型表现中所起的作用远远小于线性漂移;马晓兰、潘冠中(2006)在几个著名利率期限结构的基础上,提出了一个新的一般模型,发现它能反映出中国货币市场利率存在着显著的非线性的均值回复效应,也能反映出其波动性对利率水平非常敏感。
本文利用马尔科夫区制转移对传统线性的CK LS模型进行推广,并同时考虑在漂移函数和扩散函数或均值回归过程和条件方差过程中引入具有状态相依参数①。选取我国1996年1月至2006年3月1d、7d、30d、60d、90d、120d六组不同到期日的银行间同业拆借市场利率,分析了不同期限利率的马尔科夫区制转移CK LS模型估计结果。在文中,将对非线性利率期限结构模型给出模型设定和检验,其中使用了Hansen(1992)的区制转移模型检验和Hamilton(1996)的参数稳定性Wald 检验。
在第二部分我们将给出基于马尔科夫区制转移CK LS模型的研究方法,详细介绍模型设定和检验方法。第三部分对我国银行同业拆借市场利率进行实证分析,包括数据描述、模型估计和分析。最后部分是本文的基本结论。
二、研究方法
11短期利率动态
模拟短期利率动态是资产定价理论中最为重要的一个主题,也是研究利率期限结构的重要工具。在金融理论中,短期利率一般可以被模拟为一个时齐的离散过程:
d r t=m(r t;q)d t+s(r t;q)d W t(1)
其中{W
t
,t3,0}为标准的维纳过程,表示对短期利率的随机冲击,q为模型参数。漂移函数m(×)和扩散函数s(×)基本决定了短期利率的动态。大多数的存在模型假设利率呈现均值回归,并且漂移是利率水平的线性函数。
在短期利率的离散假设下,Chan et al(1992)提出了著名的CK LS模型,其可将之前的许多著名短期利率单因子模型缩压为一个“未约束”随机差分方程(S DE),即可以对CK LS模型施加一定约束得到其他相关的短期利率单因子模型。CK LS随机差分方程为:
d r t=(a+br t)d t+sr g t d W t(2)
其中a和b是刻画利率变化条件均值的参数,s为利率波动,g度量利率波动对利率水平的敏感度
(或称为弹性参数)。随机过程表明利率变化具有(a+br
t )的漂移率和s2r2g
t的扩散率。因此,我们
①这些参数的状态相依性使得我们可以捕捉到利率期限结构的数据生成过程和利率水平均值回归及其波动的非对称性。
可以看出短期利率变化的条件均值和方差都依赖于r t 水平。模型表明利率的长期均值为-a Πb ,且向长期均值的均值回归速度由-b 给出,-b 值越大,对应偏离长期均值r 的回归速度越快。 表1CK LS 模型经参数约束后的各种短期利率模型模型名称模型指定a b s g Merton (1973)d r =a d t +s d W 00Vasicek (1977)d r =(a +br )d t +s d W 0
C ox 等(1985)
d r =(a +br )d t +sr 015d W 015Brennan 2Schwartz (1979)
d r =(a +br )d t +sr d W 1C ox (1975)
d r =br d t +sr g
d W
对于模型(2),如果我们对参数施加一定约束,就可以得到其他一些著名的短期利率期限结构模型。例如Merton (1973)和Vasicek (1977)的模型中假设g =0,即波动与利率水平不相关,
且利率有一个固定波动,模
型为同方差模型;C ox et al (1985,简称为CIR 2SR )假设利率波动与其水平的平方根(g =015)成比例;Brennan 和Schwartz (1979)表明波动直接对应于利率水平(g =1);最后,C ox (1975)方差模型(简称CE V )的固定弹性未对g 施加任何约束。详细见表1。
21区制转移的利率期限结构模型
在本文中,我们从马尔科夫区制转移模型的角度研究短期利率动态,以便捕捉利率期限结构中潜在不可见的经济状态变化。因此如果假设上述CK LS 模型(2)中的参数均是状态相依的,并考虑离散时间模型,那么我们就得到:
D r t =a (S t )+b (S t )r t -1+s (S t )r g (S t )
t -1òt (3) 其中òt :i .i .d .N (0,1),且模型参数a 、b 、s 和g 都依赖于未观测状态变量S t ,即漂移函数和扩散函数均是状态相依的,状态变量S t 服从具有有限状态个数的一阶马尔科夫链。我们将此模型称为推广的CK LS 离散多区制模型,其主要特点就是允许利率在不同区制具有不同漂移和扩散,同
时允许波动为低而利率为高和波动为高而利率为低的情形,而在每个单独区制中仍保留最初的CK LS 模型函数形式。
如果S t 取两个不同值1和2,那么表示利率可能处于两个不同的(未可观测)状态或区制。此时,模型又可表示为分段函数形式,即:
D r t =
a 0+
b 0r t -1+s 0r g
0t -1òt if S t =1a 1+b 1r t -1+s 1r
g
1t -1òt
if S t =2(4)
一般地,假定S t 服从1阶马尔科夫链,则其转移概率为:
P (S t =1|S t -1=1)=p ,P (S t =2|S t -1=1)=1-p ,P (S t =2|S t -1=2)=q ,P (S t =1|S t -1=2)=1-q
(5)
为初始化利率的数据生成过程,我们假设r 0已知,I t 表示t 时刻信息集,并且Markov 链S t 在t =0时刻以稳态概率开始,也就是:
Pr (S 0=1|I 0)=
1-q 2-p -q ;Pr (S 0=2|I 0)=
1-p
2-p -q
(6)
于是,各个时刻的利率生成过程可形象化为下述示意图:
r 0R ○r 1
R ○r 2
R ○r 3
R ○L R ○r t -1
R ○r t
R ○
|||M ||S 0
R ○S 1
R ○S 2
R ○S 3
R ○L
R ○S t -1
R ○S t
R ○(7) 在t =0时刻,经济状态S 0通过根据二项分布(6)确定。当获得S 0时,在t =1时刻的经济状态根据转移概率(5)获得,然后继续根据方程(4)获得利率r 0。为获得r 2,我们同样再次根据转移
概率(5)得到S
2
,并使用方程(4)得到r2。将这个过程重复迭代便可获得所有利率序列。
根据利率期限结构的马尔科夫区制转移模型及其数据生成过程,我们可以采用Hamilton (1989)方法获得模型参数的极大似然估计,并可根据K im et al(1998)的平滑滤波获得模型处于各个状态的平滑概率。
31模型设定与检验
在前述马尔科夫区制转移CK LS模型中,转移概率参数p和q是不可识别的噪声参数,模型是否表现为非线性需要作进一步检验。这里我们主要介绍两种检验方法,一种是检验马尔科夫区制转移模型是否非线性的Hansen(1992)的似然比检验,另一种是检验状态参数是否显著不同,即参数稳定性的Wald检验。
首先,Hansen(1992)的似然比检验。Hansen(1992)表明在研究马尔科夫区制转移模型时,由于引入了噪声参数,传统的似然比检验统计量不能适用于模型的有效性检验,此时似然比统计量渐近有偏于传统的经典分布。按照Hansen(1992)的思想,我们考虑对马尔科夫区制转移CK LS模型的假设检验为:
H0:CK LS模型;H a:马尔科夫转移CK LS模型
对该假设检验的检验统计量为:
L R=L a(q a)-L0(q0):c(k)
其中k为两个模型的参数个数之差,L
a (q
a
)表示给定参数估计值q
a下马尔科夫区制转移
CK LS模型的对数似然值,L0(q0)表示给定参数估计值q0下CK LS模型的对数似然值。在原假设成立下,似然比统计量LR渐近服从自由度为k的卡方分布。
其次,参数稳定性的Wald检验。基于Hamiltion(1996),我们关注马尔科夫转移模型参数的稳定性检验,考虑的五个假设检验,给出如下:
H10:p=1-q;H20:q1=q2;H30:b1=b2;H40:s1=s2;H50:g1=g2
其中等式两边的量均为参数估计值。后四个假设是显然的,而第一个是检验转移概率。对上述假设检验的Wald检验统计量分别为:
t1(p=1-q)=
(p-(1-q))2
Var(p)+Var(q)-2C ov(p,q)
:c2(1)
t2(q1=q2)=
(q
1
-q2)2
Var(q1)+Var(q2)-2C ov(q1,q2)
:c2(1)
t3(b1=b2)=
(b
1
-b2)2
Var(b1)+Var(b2)-2C ov(b1,b2)
:c2(1)
t4(s1=s2)=
(s
1
-s2)2
Var(s1)+Var(s2)-2C ov(s1,s2)
:c2(1)
t5(g1=g2)=
(g
1
-g2)2
Var(g1)+Var(g2)-2C ov(g1,g2)
:c2(1)
其中Var(q)为估计量q的方差函数,C ov(q
1
,q2)为估计量q1和q2的协方差函数。若拒绝原
假设H k
,k=1,K,5,则表明两个估计量在一定显著性水平下不相等,或不同区制下的参数估计量具有显著性;否则表明参数是没有明显差异的,模型参数被误设,两个参数可以合并为一个参数。
三、数据描述与实证分析
11数据描述和基本性质
本文选取我国银行间同业拆借市场1d、7d、30d、60d、90d和120d的六组月度加权平均利率数
据,样本区间为1996年1月至2006年3月,样本个数为123个观察值。所有数据来自中经网(http:ΠΠdb.cei.g https://www.doczj.com/doc/f38930557.html,)宏观经济数据库,缺失值采用插值法进行补充。
图1给出了我国银行间同业拆借利率的时间序列图。从该图可以看出,我国银行间同业拆借利率在样本区间内呈逐步下降趋势,均从1996年初的12%左右下降到目前的118%左右;随着到期日时间变长,利率波动性变大,平滑度逐渐变弱。图2进一步给出了这些利率序列的一阶差分序列图。从图2还可以看出随着亚洲金融风暴发生之后,银行间同业拆借利率波动变大,特别是1997年7月到2000年初这段时间内的波动最大。
图1 银行间同业拆借利率图2 不同期限的利率差分
表2单位根检验
利率期限
利率序列利差序列
ADF ADF c ADFτADF ADF c ADFτ1d-315027-213188-111298-1016259-11116123-815133 7d-410831-217604-110850-615386-1212545-1219651 30d-410646-218809-112855-812354-819322-915155 60d-216247-211296-119162-1812244-1814426-817620 90d-217494-210322-119385-1317582-1410583-1411528 170d-215845-119093-216189-1717325-1718961-917304
5%临界值-11943-21877-31434-11943-21877-31434
注:ADF表示不含截距和趋势项,ADF
c
表示只含截距,ADFτ表示含截距和趋势项。
在估计利率期限结构模型之前,我们先对所有序列进行平稳性分析,即单位根检验,采取一般常用的ADF单位根检验方法。6个序列的单位根检验结果由表1给出,粗体表示在5%水平下拒绝存在单位根原假设。对于利率水平,我们发现在不含截距项和趋势项时,所有利率序列不存在单位根,而在含截距项或趋势项时,除30d期限利率外,所有其他期限利率都存在单位根。对于利率差分序列,我们发现所有期限利率均不存在单位根,即利差序列是平稳的。
21模型估计与模型设定
对于CK LS模型和马尔科夫区制转移CK LS模型估计,我们采用极大似然方法进行估计,其中后者针对状态相依利率期限结构模型运用Hamilton(1989)的递归算法。
表2给出关于各种利率的CK LS模型参数估计值。如表所示,所有参数估计值在5%水平下都是显著的。从表中可以看出:均值回归参数b随利率到期日时间变长具有明显负值变大趋势,这表明随利率期限增加,利率的均值回归速度变快;同样波动性参数随利率到期日时间变长而呈现变大趋势,利率波动对利率水平的敏感度(即弹性参数g)则呈相反变动。
表3
CK LS 模型估计结果
估计量
1d 7d 30d 60d 90d 120d a 010636
33
(01040)01081733
(01018)01168233
(01046)01292133
(01030)015451333
(01002)01376833
(01015)b -010367333(01006)-010422333(01004)-01052033(01015)-010749333(01009)-011120333(01003)-010763333
(01006)s 010882333(01000)010558333(01000)013562333(01000)016505333(01000)014870333(01000)015537333
(01000)g
019115333(01000)
111522333(01000)014466333(01001)
01270333(01036)
015583333(01000)
013511333
(01002)
Log L -1111178217845
-1211328-1671192-1911864-1711226
注:333表示在1%水平下显著,33表示在5%水平下显著,3表示在10%水平下显著。括弧内为对应参数的p 值。
表3给出了马尔科夫区制转移CK LS 模型参数未约束时的估计结果以及相应的一些检验统计量。在表3中,大多数参数估计值都在5%水平下是显著的,这就表明这些利率期限结构模型均可能存在非线性,进而通过Hansen 检验证实了这一点。从表3中我们可以看出:两种区制下均值回归表现出显著非对称性,即在第一个区制时利率大多表现为未含趋势的随机游走过程,①而在另一个区制利率则表现快速的均值回归过程,并且该区制下均值回归速度随利率到期日时间变长而有变快趋势;对于波动性参数s ,除90d 利率之外,其他所有期限利率结果显示第一个区制为低波动状态,第二个区制为高波动状态,而且低波动状态对应了期限利率的随机游走特征,而高波动状态则对应了期限利率的快速均值回归特征;同样,对于敏感度参数g ,我们发现在不同区制下该参数对应各自均值过程也呈现不同程度的非对称性。
但是,每个区制的参数是否显著不同是一个重要问题,因为很可能存在模型误设并导致参数估计失实,例如表3中90d 的波动性参数估计值非常接近,这意味着一个参数可能被强制区分为两个参数。因此,在表3中,我们继续给出模型的稳定性检验,检验方法详见第二部分。表中检验统计量的相应结果表明在5%水平下,各种利率期限结构模型大都存在参数误设,包括1d 利率的截距项与弹性系数、30d 利率除转移概率外的所有参数、60d 的波动性参数与弹性系数、90d 的波动性参数和120d 的弹性系数。通过这些检验结果,我们相应地获得了马尔科夫区制转移CK LS 模型的约束条件,即对未约束模型(4)施加约束q i 1=q i 2,其中q i ^I {a ,b ,s ,g }。另外,我们可以注意到7d 利率期限结构模型为一完全的马尔科夫区制转移CK LS 模型,其在各检验统计量下是充分的。由以上结果,我们同样利用极大似然方法估计施加约束后的马尔科夫区制转移CK LS 模型,对各种期限利率的估计结果如表4所示。表4结果表明除参数q 1、90的g 1和120d 的b 1在10%水平下不显著之外,所有其他参数和检验统计量都是显著的,因此相对未约束马尔科夫区制转移CK LS 模型来说,约束模型的参数估计变得更加稳健。通过与表3的估计结果比较,我们可以看出参数估计值变化不大,模型的对数似然值基本不变,Hansen 似然比检验结果同样表明利率期限结构是非线性的,这些结果也暗含了模型施加参数约束是适合的。同样可以说明,在各种利率期限结构模型中,非对称形式是显著存在的。
在表4中,我们还注意到相对于未约束的马尔科夫区制转移CK LS 模型来说,不同到期日利率的约束模型中波动对利率水平的敏感性参数差异性较大,主要表现在:1d 和120d 利率分别可由单个g 值表示;30d 和60d 利率的g 值均不显著,此时模型就简化为两区制的Vasicek 模型;而90d 利率同7d 利率一样,也可由两个不同的g 值来刻画,其中第一个区制下可简化为Vasicek 模型。
①参数a 和b 在第一个区制时都比较接近于零值,这说明该区制是未含趋势的随机游走过程。
表4马尔科夫转移CK LS模型参数未约束的估计结果
估计量1d7d30d60d90d120d
p 019047333
(01000)
018921333
(01000)
018574333
(01000)
018824333
(01000)
019507333
(01000)
018089333
(01000)
q 018560333
(01000)
018829333
(01000)
016518333
(01007)
017095333
(01000)
019642333
(01000)
019236333
(01000)
q1010102
(01275)
-01025633
(01013)
0107433
(01040)
010224
(01348)
010045
(01478)
-010098
(01452)
q201166333
(01038)
011715333
(01010)
013945
(01192)
118567333
(01002)
113870333
(01001)
017696333
(01001)
b1-01011133
(01026)
-010041
(01124)
-01015933
(01010)
-0101223
(01064)
-0101393
(01065)
-010088
(01158)
b2-01085133
(01014)
-010737333
(01007)
-0113273
(01058)
-014661333
(01001)
-013371333
(01002)
-011737333
(01002)
s1010420333
(01000)
010208333
(01000)
012328333
(01005)
012637333
(01000)
01306933
(01004)
01091933
(01040)
s2011203333
(01000)
010699333
(01000)
0198363
(01087)
01959133
(01027)
012788333
(01001)
014132333
(01000)
g1017089333
(01000)
017193333
(01000)
010000
(01500)
010000
(01500)
010012
(01497)
0134593
(01092)
g2019841333
(01000)
111982333
(01000)
011027
(01404)
013131
(01183)
110314333
(01000)
016214333
(01000)
Log L21125304013582-8212413-10410125-15217155-14514874
Hansen 检验3213708333
(01000)
3715737333
(01000)
3910867333
(01000)
6311795333
(01000)
3911485333
(01000)
2517386333
(01000)
p112415338333
(01000)
6713940333
(01000)
1611389333
(010001)
3816523333
(01000)
55917296333
(01000)
8315997333
(01000)
p2217171
(01010)
711845333
(01007)
014983
(01480)
818537333
(01003)
1012112333
(01001)
910866333
(01003)
p3*******
(01056)
51507433
(01019)
119506
(01163)
918480333
(01002)
810858333
(01005)
810717333
(01005)
p461248633
(010124)
61531633
(01011)
112297
(01268)
211343
(01144)
010401
(01841)
811625333
(01004)
p5114069
(01236)
31979133
(01046)
010643
(01800)
018096
(01368)
1417735333
(01000)
018512
(01356)
注:333表示在1%水平下显著,33表示在5%水平下显著,3表示在10%水平下显著。括弧内为对应参数的p值。
因此,我们可最终获得不同到期日下利率期限结构的非线性模型,分别表述为:1d利率期限结构模型为单截距-单弹性系数的马尔科夫转移CK LS模型,7d利率期限结构模型为标准的Markov 转移CK LS模型,30d利率期限结构模型为单截距的马尔科夫转移Vasicek模型,60d利率期限结构模型为标准的马尔科夫转移Vasicek模型,90d利率期限结构模型为单波动参数的马尔科夫转移CK LS模型,以及120d利率期限结构模型为单弹性系数的马尔科夫转移CK LS模型。在表4中,相应的稳定性检验结果都表明各参数的检验统计量都在10%下是显著的,所以佐证了各种利率期限结构模型设定的稳健性。
通过对上述马尔科夫区制转移CK LS模型的估计,我们同时还可以获得各种利率在不同时刻的滤子概率值和平滑概率值,主要用以解释利率模型的区制划分情况。图3给出了各种利率期限
表5
马尔科夫转移CK LS 模型参数约束的估计结果
参数
1d 30d 60d 90d 120d p 019078
333
(01000)018621333
(01000)018890333
(01000)019510333
(01000)018184333
(01000)q 018530333(01000)016409333(01007)017069333(01000)019646333(01000)019295333
(01000)
q 1010169(01159)
01078433
(01040)
010303(01293)010116(01452)-010156(01417)q 2117412333(01004)
113736333(01000)
017461333
(01001)
b 1-01013033
(01018)-010164333
(01010)-0101303
(01052)-0101463
(01083)-010086(01160)b 2-01037333(01031)-01083433(01011)-014402333(01001)-013341333
(01001)-011682333
(01002)s 1010393333(01000)012365333(01000)012703333(01000)012866333(01000)
010607333
(01001)s 2011607333(01000)111819333(01000)
115224333(01000)
014623333
(01000)
g 1017768333
(01000)
010318(01403)015439333
(01000)
g 2
110128333
(01000)
Log L 1913035-8214647-10414164-15217303-1451487Hansen 检验
3014213333
(010000)3818633333
(010000)6217756333
(010000)3911337333
(010000)2517390333
(010001)p 11191690333(01000)
181430333(01000)
391232333(01000)5631609333(01000)881153333
(01000)p 2618428333(01009)
1014135333(01001)818057333
(01003)p 328331543
(01099)959194333
(01000)917843333(01002)814184333(01004)
81059333
(01005)p 4775126333(01000)
61513933(01011)
3819936333(01000)
221146333
(01000)
p 5
106128333
(01000)
注:333表示在1%水平下显著,33表示在5%水平下显著,3表示在10%水平下显著。括弧内为对应参数的p 值。
结构模型的平滑概率估计,此图表明:1d 利率与7d 利率、30d 利率与60d 利率和90d 利率与120d 利率的区制转移情形分别比较相似,均能刻画比较一致的结构性变化,即随机游走过程与快速均值回归过程之间的转换,或低波动状态与高波动状态之间的转换;随着利率到期日的增加,利率期限结构从较频繁的随机游走过程变为频繁的均值回归过程,从频繁的低不确定性(波动)变为频繁的高不确定性(波动),这个结果与我们在数据描述部分中获得的结果一致;另外该图解释了可能存在的高利率水平时存在低波动或低利率水平时存在高波动的情形,例如从1996年1月至1997年6月,我国利率水平处于10%以上的高位(见图1),但此时利率波动明显较低,图3中不同到期日利率在该时期均主要显示出低波动的状态。
四、基本结论
本文的主旨在于探寻我国利率期限结构的非线性及其短期利率的基本特征,进而检验非线性
=1|I T)
t
的成立性,从而为我国利率期限结构度量提供新的研究方法。通过在利率期限结构中纳入Markov 区制转移模型,我们将传统CK LS模型推广到更为一般状态相依的CK LS模型,即马尔科夫区制转移CK LS模型,实证研究主要针对我国1996年1月至2006年3月银行间同业拆借市场的六组不同到期日月度加权平均利率。总结本文上述分析,我们获得以下基本结论:
首先,不同到期日利率期限结构均为非线性,在不同区制下其漂移函数和扩散函数均呈现非对称性。在漂移函数中,我们发现第一个区制时利率明显表现为未含趋势的随机游走过程,而在另一个区制利率则表现快速的均值回归过程。在扩散函数中,我们发现大多数不同到期日利率在第一个区制时为低波动状态,第二个区制为高波动状态。
其次,不同到期日利率期限结构可由压缩的马尔科夫区制转移CK LS模型获得,具体如下:1d 利率对应单截距-单弹性系数的区制转移CK LS模型,7d利率对应标准的区制转移CK LS模型,30d 利率对应单截距的区制转移Vasicek模型,60d利率对应标准的区制转移Vasicek模型,90d利率对应单波动的区制转移CK LS模型,以及120d利率对应单弹性系数的区制转移CK LS模型。
最后,从区制转移的结果来看,1d利率与7d利率、30d利率与60d利率和90d利率与120d利率的结果分别比较一致,并且随着利率到期日的增加,利率期限结构从较频繁的随机游走过程变为较频繁的均值回归过程,从较频繁的低不确定性(波动)变为较频繁的高不确定性(波动)。
概括来说,本文提出的马尔科夫区制转移CK LS模型为研究短期利率动态,尤其是非线性情形提供了新的证据。尽管本文在方法研究上获得一定进步,但不乏存在许多不足,如从理论的角度阐
明利率期限结构的非线性形成机理、马尔科夫区制个数的设定检验以及利率期限结构是否存在其
它诸如门限模型的非线性形式等,因此这些不足方面也将成为笔者有待深入研究的课题。
参考文献
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Markov R egime Switching Model and Empirical Analysis of
the Term Structure of I nterest R ates
Liu Jinquan and Zheng T ingguo
(Quantitative Research Center of Economics,Jilin University)
Abstract:By introducing Markov regime s witching into the term structure of interest rates,this paper extends traditional CK LS m odel to a m ore comm only state2dependent CK LS m odel,which is applied to study on six different groups of maturities of China inter2bank offered rates(CHI BOR)using m onthly data spanning1996:01-2006:031On the analysis of estimating and examining,we find that both the drift and diffusion function of different maturities are nonlinear under regimes,where the drift function appears to be a process of strong random walk or mean reversion,and the diffusion function appears to be a state of low v olatility or high v olatility.Additionally,the results show that the term structure of interest rates of different maturities can be obtained with the nested Markov regime s witching CK LS m odel.
K ey Words:T erm S tructure of Interest Rates;Markov Regime S witching;N onlinearity;CK LS M odel
JE L Classification:C390,E430
(责任编辑:王 诚)(校对:子 璇)
中国宏观经济区制转移特征研究 自改革开放以来,我国的经济实现了高速发展,同时,面临的经济形势日趋复杂。1992年至今,虽然我国季度平均GDP增长率达到9.96%,远高于同期其他国家的增长水平,但是期间的经济增长率和通货膨胀也经历了大幅波动。 为了有效调控经济波动,我国货币政策执行框架和操作工具日益完善,央行根据实时的经济状态调整货币政策立场,并且,中央银行不断丰富货币政策操作工具。当前,我国面临的内外经济环境越来越复杂,经济增长环境具有较大不确定性。 因而,政府不断强调要提高货币政策的有效性,提高央行对宏观经济的调控能力。有鉴于此,定量分析我国菲利普斯曲线、货币政策的宏观经济效应以及研究其有效性具有一定的现实意义,不仅有助于理解中央银行货币政策执行的机制,而且可以为中央银行提高货币政策执行效率提供有益的参考依据。 针对我国当前的经济现实,在广泛追踪和梳理既有相关文献的基础上,本文构建和拓展了 MS-DSGE模型,进一步地,基于MS-DSGE模型及其拓展形式,重点考察了菲利普斯曲线的区制转移特征、公众预期变动对货币政策执行的影响以及货币政策目标选择等问题。首先,研究了菲利普斯曲线的区制转移特征。 菲利普斯曲线刻画了通货膨胀与产出之间的动态关系,其为货币当局判断当前经济态势提供重要参考依据。本文构建了一个国内产品菲利普斯曲线和进口产品菲利普斯曲线具有区制转移特征的新凯恩斯开放经济MS-DSGE模型,探讨了新凯恩斯菲利普斯曲线的非线性特征。 研究表明:新凯恩斯菲利普斯曲线呈现明显的区制转移特征,此外,根据对不同区制脉冲响应的比较分析,可以发现,随着价格粘性的增加,外生冲击对经济变
The R User Conference 2009 July 8-10, Agrocampus-Ouest, Rennes, France
Estimating Markovian Switching Regression Models in An application to model energy price in Spain
S. Fontdecaba, M. P. Mu?oz , J. A. Sànchez*
Department of Statistics and Operations Research Universitat Politècnica de Catalunya - UPC
* josep.a.sanchez@https://www.doczj.com/doc/f38930557.html,
Markovian Switching Models. An application to model energy price in Spain
1 Introduction & Objectives 2 Methodology 3 Data 4 Results 5 Conclusions
Outline
1. Introduction & Objectives 2. Methodology 3. Application to energy price 4. Results 5. Conclusions
2
Markovian Switching Models. An application to model energy price in Spain
1 Introduction & Objectives 2 Methodology 3 Data 4 Results 5 Conclusions
1. Introduction
The model we consider is of the MARKOVIAN SWITCHING (MS) type, originally defined by Hamilton (1989).
?MSVAR library - Krolszing (1998) (not available free acces: OX) ?MSVARlib - Bellone (2005) (Less user friendly) ?MSRegression - Perlin (2007) (Libraries in Matlab)
3
马尔可夫模型介绍（从零开始） （一）：定义及简介： 介绍（introduction） 通常我们总是对寻找某一段时间上的模式感兴趣，这些模式可能出现在很多领域：一个人在使用电脑的时候使用的命令的序列模式；一句话中的单词的序列；口语中的音素序列。总之能产生一系列事件的地方都能产生有用的模式。 考虑一个最简单的情况：有人(柯南？)试图从一块海藻来推断天气的情况。一些民间的传说认为“soggy”的海藻意味着潮湿（wet）的天气，“dry”的海藻预示着晴朗（sun）。如果海藻处于中间状态“damp”，那就无法确定了。但是，天气的情况不可能严格的按照海藻的状态来变化，所以我们可以说在一定程度上可能是雨天或是晴天。另一个有价值的信息是之前某些天的天气情况，结合昨天的天气和可以观察到的海藻的状态，我们就可以为今天的天气做一个较好的预报。 这是在我们这个系列的介绍中一个非常典型的系统。 ?首先我们介绍一个可以随时间产生概率性模型的系统，例如天气在晴天或者雨天之间变动。?接下来我们试图去预言我们所不能观察到的"隐形"的系统状态，在上面的例子中，能被观察到的序列就是海藻的状态吗，隐形的系统就是天气情况 ?然后我们看一下关于我们这个模型的一些问题，在上面那个例子中，也许我们想知道 1. 如果我们观察一个星期每一天的海藻的状态，我们是否能知相应的其天气情况 2. 如果给出一个海藻状态的序列，我们是否能判断是冬天还是夏天？我们假设，如果海藻干（d ry）了一段时间，那就意味着是夏天如果海藻潮湿（soggy）了一段时间，那可能就是冬天。 （二）：生成模式（Generating Patterns） ?确定的模式（Deterministic Patterns） 考虑交通灯的例子，一个序列可能是红-红/橙-绿-橙-红。这个序列可以画成一个状态机，不同的状态按照这个状态机互相交替
马尔可夫状态转移组别动态因子模型的估计与应用 林建浩 中山大学岭南学院 （详细摘要） 结合马尔可夫状态转移（Hamilton，1989）、动态因子（Stock and Watson，1989，1991，1993）以及组别因子（Goyal et al., 2008；Hallin and Liska，2011）三种建模思想，本文提出一种马尔可夫组别动态因子（MS-GS-DF）模型。该模型以动态共同因子刻画经济变量的协动性，同时区分了不同类型经济体共同因子的组别覆盖性，并通过马尔可夫状态转移刻画经济变量在不同状态下的非对称转换。不同于Goyal et al.（2008）与Hallin and Liska（2011）假定组别因子之间相互独立，本文模型设定两种途径以刻画组别因子之间的相关关系：一是在组别因子的V AR形式中允许一种类似于Granger因果关系的存在；二是通过假定组别因子的均值和（或）方差由相同的状态变量驱动而存在相关。该模型具有较高的灵活性，可以刻画原有模型不能刻画的许多经济现象，在宏观经济分析以及证券市场研究中有重要的应用价值。例如，可用于研究经济变量在跨地区、分组别的非线性协动关系；也可用于分析一致指数、滞后指数以及领先指数等三大宏观景气指标的协同运动。 MS-GS-DF模型可以写成包含马尔可夫区制转移参数的状态空间模型形式。此时，参数的非线性性质使得标准的Kalman滤波不再适用；Lam算法通过将部分状态向量的初始成分视为待估参数，可以精确地得到极大似然估计，但这一方法需要很高的计算成本与较大的数据量。针对这些局限性，本文尝试结合Kim算法的基本框架进行不可观测成分与模型参数的估计，具体过程为：首先，假定参数已知，利用Kalman滤波获得不可观测成分（包括分组因子与特定误差项）的滤波推断；其次，利用Hamilton滤波获得马尔可夫状态转移概率的滤波推断；再次，根据Kim（1994，1999）的近似方法，对各种可能状态的条件信息近似化简为M种状态的非条件信息，同时得到近似似然函数；最后，通过非线性数值优化方法获得参数的近似极大似然估计。 最后，基于上述MS-GS-DF模型，本文研究了通货膨胀的国际协动性现象。在对1995M1至2011M2通货膨胀数据的实证研究中，以美国、欧元区、日本以及加拿大等发达经济体构造第一组别通胀因子，以金砖四国作为新兴经济体构造第二组别通胀因子，得到以下发现：第一，金砖四国通货膨胀共同因子的均值和方差都大于发达经济体；第二，平滑概率显示全球经济在样本期大部分时间处于通胀状态，只是在2001年网络泡沫破灭以及2008年金融危机等个别月份出现通缩状态；第三，通过计算国别通货膨胀序列与通胀共同因子的相关系数以及方差贡献比例，发现发达经济体通货膨胀具有较高的国际协动性，而金砖四国则明显以国别特殊性为主。上述发现为不同类型经济合作组织的货币政策国际协作提供了依据。
数学模型-MATLAB工具箱-马尔可夫决策过程-MDPs 前言： MDPs提供了一个数学框架来进行建模，适用于结果部分随机部分由决策者控制的决策情景。由于其在数学建模或学术发表中经常被用到，这里我们从实用的角度对其做一些归纳整理，案例涉及到大数据应用方面的最新研究成果，包括基本概念、模型、能解决的问题、基本算法（基于MATLAB或R工具箱）和应用场景。最后简单介绍了部分可观察马尔可夫决策过程(POMDP)。 由于相关的理论和应用研究非常多，这里我们只介绍最基本的东西（但是提供了必要而丰富的展开），并提供相应的参考文献和工具箱链接，以期帮助读者更快上手，至于更加深入的研究和更加细致的应用，则需要参照相关研究领域的学术文献。 一、基本概念 （1）序贯决策（Sequential Decision）[1]： 用于随机性或不确定性动态系统的最优化决策方法。 （2）序贯决策的过程是： 从初始状态开始，每个时刻作出最优决策后，接着观察下一时刻实际出现的状态，即收集新的信息，然后再作出新的最优决策，反复进行直至最后。 （3）无后效性 无后效性是一个问题可以用动态规划求解的标志之一。 某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响，简单的说，就是“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。 （4）马尔可夫决策过程 系统在每次作出决策后下一时刻可能出现的状态是不能确切预知的，存在两种情况： ①系统下一步可能出现的状态的概率分布是已知的，可用客观概率的条件分布来描述。对于这类系统的序贯决策研究得较完满的是状态转移律具有无后效性的系统，相应的序贯决策称为马尔可夫决策过程，它是将马尔可夫过程理论与决定性动态规划相结合的产物。 ②系统下一步可能出现的状态的概率分布不知道，只能用主观概率的条件分布来描述。用于这类系统的序贯决策属于决策分析的内容。 注：在现实中，既无纯客观概率，又无纯主观概率。 客观概率是根据事件发展的客观性统计出来的一种概率。主观概率与客观概率的主要区别是，主观概率无法用试验或统计的方法来检验其正确性。 客观概率可以根据历史统计数据或是大量的试验来推定。 客观概率只能用于完全可重复事件，因而并不适用于大部分现实事件。 为什么引入主观概率：有的自然状态无法重复试验。如：明天是否下雨，新产品销路如何。 主观概率以概率估计人的个人信念为基础。主观概率可以定义为根据确凿有效的证据对个别事件设计的概率。这里所说的证据，可以是事件过去的相对频率的形式，也可以是根据丰富的经验进行的推测。比如有人说:“阴云密布,可能要下一场大雨!”这就是关于下雨的可能性的主观概率。主观概率具有最大的灵活性，决策者可以根据任何有效的证据并结合自己对情况的感觉对概率进行调整。 二、和马尔可夫链的联系
马尔柯夫转移矩阵法 马尔柯夫转移矩阵法-马尔柯夫过程和风险估计 由于风险过程常常伴随一定的随机过程，而在随机过程理论中的一种重要模型就是马尔柯夫过程模型。 马尔柯夫转移矩阵法-马尔柯夫预测法 马尔柯夫预测以俄国数学家A.A.Markov名字命名，是利用状态之间转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势，也是一种随时间序列分析法。它基于马尔柯夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）的变动状况。 1.马尔柯夫链。状态是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔柯夫过程。马尔柯夫链是参数t只取离散值的马尔柯夫过程。 2.状态转移概率矩阵。在事件发展变化的过程中，从某一种状态出发，下以时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率，只用统计特性描述随机过程的状态转移概率。 若事物有n中状态，则从一种状态开始相应就有n个状态转移概率，即。 将事物n个状态的转移概率一次排列，可以得到一个n行n列的矩阵： 3.马尔柯夫预测模型。一次转移概率的预测方程为： 式中：K——第K个时刻； S（K）——第K个时刻的状态预测； S（0）——对象的初始状态； P——一步转移概率矩阵。 应用马尔柯夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性
马尔柯夫转移矩阵法-4.1马尔柯夫过程 在一个随机过程中，对于每一t0时刻，系统的下一时刻状态概率仅与t0时刻的状态有关，而与系统是怎样和何时进入这种状态以及t0时刻以前的状态无关（即所谓无后效性），这种随机过程称为马尔柯夫随机过程。 对随机过程X（t）取确定的n＋1个时刻t0＜t1＜t2＜…＜tn，对应实数x0，x1，x2，…，xn，如果条件分布函数满足： 则随机过程X（t）即为马尔柯夫过程的数学描述。 依过程参数集和状态集的离散与连续性，马尔柯夫过程可分为马尔柯夫链－时间和状态均离散的过程、连续马尔柯夫链－时间连续和状态离散、连续马尔柯夫过程－时间连续和状态连续。 马尔柯夫转移矩阵法-4.2马尔柯夫过程与风险估计 从定义中可知，确定某一时刻的风险状态后，该风险转移的下一个状态所服从的概率规律，可以用马尔柯夫过程的数学描述估计出来。马尔柯夫风险过程的重要假定是在一定时间和客观条件下，风险状态的转移概率固定不变。转移概率是在给定时刻风险状态相关之下的下一时刻条件概率；转移概率构成的矩阵称为转移矩阵，矩阵中各元素具有非负性，而且行的和值为1。 例如某雷达每次开机状态记录如表4所示。由于雷达下一次开机状态只与现在的开机状态有关，而与以前的状态无关，所以它就形成了一个典型的马尔柯夫链。 取P11—开机连续正常状态的概率，P12—由正常状态转不正常的概率，P21—由不正常状态转正常的概率，P22—开机连续不正常状态的概率。由表4可知，在23次开机状态统计中，11次开机正常，3次连续正常，7次由正常转不正常；12次开机不正常，4次连续不正常，8次由不正常转正常；由于最后一次统计状态是开机正常状态，没有后继状态，所以P11＝3／（11－1）＝0.3，P12＝7／（11－1）＝0.7，P21＝8／12＝0.67，P22＝4／12＝0.33因为最后一次统计是正常状态，所以不正常状态的总数不减一。 表4某雷达每次开机状态记录表 类别开机次序 1234567891011121314151617181920212223
马尔科夫转移矩阵法 1.工具名称 马尔科夫转移矩阵法是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。 2.工具使用场合/范围 单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法 3.工具运用说明： 在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。 马尔科夫分析法的一般步骤为： ①调查目前的市场占有率情况； ②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型； ④预测未来市场的占有率。 二、马尔科夫分析模型 实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。 马尔科夫分析法的基本模型为： X(k+1)=X(k)×P 式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。 必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一
马尔科夫转移矩阵法(一) 专业培训解决方案与企业管理咨询服务商地址:廣州市花城大道5號南天廣場龍庭閣2006室电话：862022223190；2222319122223192；22223193传真：862022223196網址：xxxxxx邮件:xxxxxx一、马尔科夫转移矩阵法的涵义单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。，在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。马尔科夫分析法的一般步骤为：①调查目前的市场占有率情况；②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型；④预测未来市场的占有率。二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科
夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。
马尔科夫过程 马尔科夫过程可以看做是一个自动机，以一定的概率在各个状态之间跳转。 考虑一个系统，在每个时刻都可能处于N个状态中的一个，N个状态集合是{S1,S2,S3,...S N}。我们现在用q1,q2,q3,…q n来表示系统在t=1,2,3,…n时刻下的状态。在t=1时，系统所在的状态q取决于一个初始概率分布PI，PI(S N)表示t=1时系统状态为S N的概率。 马尔科夫模型有两个假设： 1. 系统在时刻t的状态只与时刻t-1处的状态相关；（也称为无后效性） 2. 状态转移概率与时间无关；（也称为齐次性或时齐性） 第一条具体可以用如下公式表示： P(q t=S j|q t-1=S i,q t-2=S k,…)= P(q t=S j|q t-1=S i) 其中，t为大于1的任意数值，S k为任意状态 第二个假设则可以用如下公式表示： P(q t=S j|q t-1=S i)= P(q k=S j|q k-1=S i) 其中，k为任意时刻。 下图是一个马尔科夫过程的样例图： 可以把状态转移概率用矩阵A表示，矩阵的行列长度均为状态数目，a ij表示P(S i|S i-1)。
隐马尔科夫过程 与马尔科夫相比，隐马尔科夫模型则是双重随机过程，不仅状态转移之间是个随机事件，状态和输出之间也是一个随机过程，如下图所示： 此图是从别处找来的，可能符号与我之前描述马尔科夫时不同，相信大家也能理解。 该图分为上下两行，上面那行就是一个马尔科夫转移过程，下面这一行则是输出，即我们可以观察到的值，现在，我们将上面那行的马尔科夫转移过程中的状态称为隐藏状态，下面的观察到的值称为观察状态，观察状态的集合表示为 O={O1,O2,O3,…O M}。 相应的，隐马尔科夫也比马尔科夫多了一个假设，即输出仅与当前状态有关，可以用如下公式表示： P(O1,O2,…,O t|S1,S2,…,S t)=P(O1|S1)*P(O2|S2)*...*P(O t|S t) 其中，O1,O2,…,O t为从时刻1到时刻t的观测状态序列，S1,S2,…,S t则为隐藏状态序列。 另外，该假设又称为输出独立性假设。 举个例子 举个常见的例子来引出下文，同时方便大家理解！比如我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，天气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，事情集合为{宅着，自习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B)和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么则有几个问题要问（注意，假设一天我那几件事情中的一件）， 1. 假如一周内的天气变化是下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那么我这一周自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概率是多大？ 2. 假如我这一周做事序列是自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，
马尔科夫预测与决策法
马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。 池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。在初始时刻t ，它在第二张荷叶上。在时 ，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t 1 地不动。我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。 2010年6月6日Sunday2
马尔可夫性与转移概率矩阵 一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。 2010年6月6日Sunday3
设随机变量序列，{X ,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为 1 S= {s1,s2 , ···, s n, ···} 若对任意的k和任意的正整数i , i2 , ···,i k, i k+1,有下式成 1 立： P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik} = P{X k+1= s ik+1| X k= s ik} ,X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X 1 链（Markov chains）。 2010年6月6日Sunday4
基于马尔科夫过程的排队论的研究 摘要：排队问题[1]仿真的目的是要寻找服务对象与服务设置之间的最佳配置，保证系统具有最佳的服务效率与最合理的配置，而马尔科夫链是研究排队系统的主要方法。本文研究了将一般的排队系统转化为马尔科夫[2]排队过程,因而可以利用马尔科夫决策规划的求值运算来求解。本文着重介绍了顾客逐一的接受服务和顾客成批的接受服务两种最主要类型,并计算给出相应的结果。 关键词:排队论，马尔科夫链,马尔科夫过程化,Matlab仿真 一、引言 排队是日常生活中经常遇到的现象，例如：出行坐火车，等待检票进站的排队；到食堂打饭所形成的排队；学校打预防针、体检所形成的排队；看电影、旅
游时，前往售票处购票形成的排队等；另一种排队是物的排队，例如：使用FTP 或P2P 下载传递文件；流水线上生产的产品等待接受检验；维修室的故障仪器等待维修等。排队现象的要素包括两个方面的内容：一是需要接受服务的顾客；二是提供服务的服务台。最近几十年来，排队理论在计算机网络、通信、交通以及其它公共事业领域的应用越来越广泛， 已成为分析和设计这些系统的一个不可或缺的工具。 排队论[3]的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家 D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。本文基于马尔科夫链研究分析了排队系统的方法。 二、 马尔科夫及排队论基础知识 2.1马尔科夫过程 马尔科夫过程一种典型的随机过程。该过程是研究一个系统（如一个地区、一个工厂）的状况及其转移的理论。它是通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究，来确定状态的变化趋势，从而达到对未来进行预测的目的。 马尔科夫过程有两个基本特征：一是“无后效性”，即事物将来的状态及其出现的概率的大小，只取决于该事物现在所处的状态，而与以前时间的状态无关；二是“遍历性”，是指不管事物现在出于什么状态，在较长时间内，马尔科夫过程逐渐趋于稳定状况，而且与初始状况无关。 用数学语言描述马尔科夫[2]过程就是： 设(),X t t T ∈为随机过程，若在121121,, ,,()n n n n t t t t t t t t T --<< <<∈时