当前位置：文档之家› 浅谈函数的一致连续性

浅谈函数的一致连续性

（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）

摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。使人们能够对它们有个全面的了解。关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。

Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people

to have a comprehensive understanding of their.

Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.

引言

数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。一致连续性函数有着许多性质，而实数的连续性和闭区间的紧致性使得闭区间上的连续函数更有着丰富的性质，以下就简单介绍一下一致连续性的定义、定理、判定、性质以及其延拓。

一、一致连续的概念

定义：设函数)(x f 在区间（有限、无限、开、闭、半开半闭等皆可）I 上有定义，若对任意的0ε>，存在正数()δδε=即（δ与ε有关），使得对I 中的任意两点x ，'x 只要δ'

分析：在区间I 上一致连续与（处处）连续的主要区别在于前者的δ仅与ε有关），只要I 中的距离δ'

是一致的，而后者的δ却不仅与ε有关而且还与点0x 有关)(0,x δε???? 因

此后者可能)(x f 在I 中的各点的连续程度很不一致。

这里可能有人会想：既然对I 中的每一点0x 都能找到相应的)(0,x δε，

那么取这些)(0,x δε最小者或下确界作为正数()δε不就可以使其与点0x 无关了吗？事实上这未必是能办到的，原因是区间I 中有无限多个点，对应着无限多个正数)(0,x δε，这无限多个正数未必有最小的正数，而对应点取下确界就可能是零了。如例题中 )(0,x δε=

1x x εε+

对()00,1x ∈取下确界就是零，而不是正数了。

函数)f(x 在区间I 上一致连续的几何解释是：

对任给的0ε>总存在0δ>，使得以δ为底，ε为高的矩形能从曲线弧一端沿曲线平移到另一端，而不发生曲线弧与矩形上下底相交的情形，这个与点位置无关的公共的正数()δδε=的存在性表明了函数在区间中各点的“连续程度”是一致的，这正是一致连续的缘故。

由定义可以知道：

（1）)(x f 在区间I 上一致连续，必在I 的任一子区间上一致连续。（2）)(x f 在区间I 上一致连续，必在I 上连续。（这只要把一致连续定义中x '看作I 中的任一点就行了）

（3）)(x f 在区间I 上不一致连续的含义应该是：存在某个00ε>对任意0δ>（不论δ有多小）在I 中总可以找到两点1x ，2x 使得

12x x -δ<，而120()()f x f x ε-≥

例题 1.证明：x

x f 1

)(=

在[)+∞,a （其中0>a ）上一致连续，x

x g 1

sin

)(=在()1,0上不一致连续。证明：（1）对0>?ε，取[)+∞∈=,2a a δ，当δ<''-'x x 时，

εδ=≤''-'<''''-''=''-'2

a x x x x x x x x 由一致连续的定义知x 1在[)+∞,a （0>a ）中一致连续。

（2）x

x g 1

sin )(=，在()1,0内取ππ)1(2,1+='=

n x n x n n 取21

0=ε，对

任意0>δ，只要n 充分大总有 δπ

<+='-)1(2

n n x x n

n ，

012

)1(sin 2sin )()(επ

π>=+-='-n n x f x f n

n ∴)(x f 在()1,0上不一致连续。

例题2.证明2()f x x =在有限区间)(,a a -上一致连续，但在)(0,+∞上不一致连续。

证明：（1）设任意的x ，x '∈)(,a a -

因x x x x '''=+-f(x)-f(x )≤2a x x '- 故对任给的0ε>取正数

δ=

，则当δ'

（2）注意到对)(0,+∞中的任何x

，均有22()11f

f x x x -=+-=

x x

要使点x

与的距离小于δ，只需取1

x δ

因此，存在01ε= 对任意的0δ>，取11

x δ

，2

x =

)(0,+∞

便有12x x -δ<而()120()1f x f x ε-==，故2()f x x =在)(0,+∞上不一致连续。

例题3.设0,1

sin 12)(>++=

a x

x x x f 为任一正常数，试证：)(x f 在()a ,0 内非一致连续，在[)+∞,a 上一致连续。证明：（1）证明)(x f 在[)+∞,a 上一致连续。

证明)(x f 在[)+∞,a 满足Lipschitz 条件，[)+∞∈'''?,,a x x ， x x x x x x x x x x x x x f x f '

'+''+''-'+''+''+'+''+''-'+'+'≤

''-'1sin 121sin 121sin 121sin 12)()( 2

1sin 211cos 2121212x x x x x x x x x x ''-

'''+'?+''+''++''+''-+'+'≤

112)111()1)(1(x x x x x x x '

?+''+++''+''-''≤ x x L x x a a a a ''-'≡''-'++++≤))

1(2

)1(1(2

2 从而L

δε=

?>?,0，当L

x x ε

''-'时，ε<''-')()(x f x f 。

（2）证明)(x f 在()a ,0内非一致连续。

取2

21,2

21π

ππ

π-

=''+

='n x n x n

（n =1,2，…），则n 充分大时，),0(,a x x n n

∈'''，且04

22→-

=''-'π

ππ

n x x n n

（当∞→n 时），

但21

2141

214)()(>+-

+-+

++=''-'π

ππππ

πππn n n n x f x f n n

则)(x f 在()a ,0内非一致连续。

例题4.若)(x f 在[)+∞,0上连续，A x f x =+∞

→)(lim

存在，则)(x f 在[)+∞,0 上一致连续。

证明：因为A x f x =+∞

→)(lim ，由柯西准则，0>?ε，存在0>M ，当 M x x >21, 有 ε<-)()(21x f x f ① 又由于)(x f 在[]1,0+M 上连续，从而一致连续。故对上述0>ε，存在01>δ，当[]1,0,43+∈M x x

且143δ<-x x 时，有 ε<-)()(43x f x f ② 取{}1,min 1δδ=，则 [)+∞∈'''?,0,x x 且δ<''-'x x 时，则或者

[]1,0,+∈'''M x x 或者 M x x >''',，由①，②均有

ε<''-')()(x f x f 此即证)(x f 在[)+∞,0上一致连续。

例题5.若函数f 在区间I 上满足利普希茨条件：

2121)()(x x L x f x f -≤-， I x x ∈?21, 则f 在I 上一致连续。

证明：0>?ε，取L

δ<

，则当I x x ∈21,，且δ<-21x x 时

εε

<-≤-L

L x x L x f x f 2121)()(，则f 在I 上一致连续。

在区间上连续的函数未必在该区间上一致连续，在对区间上的函数而言，处处连续与一致连续是等价的。

二、一致连续性定理

一致连续性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则函数()f x 在闭区间[],a b 上一致连续。即若?ε>0，?δ()ε>0，对?1x 、2x ∈[],a b 有：12x x -<δ?()()12f x f x -<ε 则称函数()f x 在闭区间[],a b 上一致连续。

证法一（应用区间套定理证明）

用反证法。倘若连续函数()f x 在闭区间[],a b 上不一致连续，即存在某一正数0ε0>，对任何0δ>，在闭区间[],a b 上恒存在相应两点x '、

x ''，尽管x '-x ''<δ，但有：

()()f x f x '''-≥0ε

下面我们将证明这一论断与函数()f x 在闭区间[],a b 上连续性的假设相矛盾。

现将闭区间[],a b 三等份（如图）：a 1c 2c b

那么在[],a b 的子区间[]2,a c 和[]1,c b 中至少有一个子区间具有如下性质：

()P ：

对这个0ε，无论任何正数δ，在这个子区间上总存在两点x '、

x ''，尽管x '-x ''<δ，但有()()f x f x '''-≥0ε。

如果这两个子区间都不具有性质()P ，那么对这个0ε，分别存在

正数1δ、2δ()1

b a ??

<- ???

。对[]2,a c 中任意两点1x '、1x ''和[]1,c b 中任意两点

2x '、2x ''，只要11x x '''-<1δ，22x x '''-<2δ就有：

()()110f x f x ε'''-< ()()

220f x f x ε'''-< ……（*）

因此，令δ=min {}12,δδ，则对闭区间[],a b 上任意两点x '、x ''，只要

x '-x ''< δ，由()*式便有：

()()0f x f x ε'''-<

而这与最初假设函数()f x 在闭区间[],a b 上不一致连续相矛盾，现把具有性质()P 的子区间记为[]11,a b （若两个子区间都具有性质()P ，则任选其中一个子区间记为[]11,a b ）且有：

[][]11,,a b a b ? ()112

b a b a -=

- 再将[]11,a b 按上述方法分为两个子区间，，同理其中至少有一个子区间具有性质()P ，记这个子区间为[]22,a b ，且有：

[][]2211,,a b a b ? ()()2

224293b a b a b a ??

-=-=- ???

重复上述步骤并无限地进行下去，则可得到一个闭区间列

[]{},n

a b ，在每一个闭区间[],n n a b 上都具有性质()P ，且有：

[][]11,,n n n n a b a b --?，n =２、３…

()203n

n n b a b a ??

-=-→ ???

()n →∞

由区间套定理，存在唯一一点ξ∈[],n n a b ?[],a b ,n =１、２…

由定理的已知条件函数()f x 在点ξ连续，故对上述0ε，存在δ0>，

对一切x ∈(),U ξδ，都有：()()0

f x f εξ-<

。又由区间套定理的推论，

当n 充分大时，有[],n n a b ?(),U ξδ，故对[],n n a b 上任意两点x '、x ''，由于x '、x ''∈(),U ξδ，所以也有：

()()0

f x f εξ'-<

()()02

f x f ε

ξ''

-< 于是有：

()()()()()()0

f x f x f x f f x f εεξξε''''''-≤-+-<

但这与[],n n a b 所具有的性质()P 相矛盾，从而证得在闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必是一致连续的。---证毕。

证法二（应用致密性定理证明）

用反证法，倘若函数()f x 在闭区间[],a b 上不一致连续，则存在某个正数0ε，对任何正数δ，都存在相应的两点x '、x ''∈[],a b ，虽然

x '-x ''<δ，但有：

()()0f x f x ε'''-≥ ……①

现以n 表示自然数，令δ=1

，记与它相应的两点为n

x '、n x ''∈[],a b ，虽然n

n x x '''-<1

，但有： ()()0n

n f x f x ε'''-≥ 当n 取遍自然数时，得数列{}n

x '?[],a b ，由致密性定理（波尔察诺（Bolzano ）定理），存在收敛子列{}k

x '，k

n x '→0x ∈[],a b ()k →∞同时也有：

k k n

n k

x x n '''-< 且：()0k

x x k ''→→∞。由①式有：

()()

0k k n

n f x f x ε'''-≥ ……② 现让②式中的k →∞，再由函数()f x 在闭区间[],a b 上的连续性知：

()()()()

0000lim k k n

n k f x f x f x f x ε→∞

'''=-=-≥ 此式即为这与0ε0≤,这与0ε0>相矛盾，所以连续函数()f x 在闭区间

[],a b 上一致连续。---证毕。

证法三（应用覆盖定理证明）

由函数()f x 在闭区间[],a b 上的连续性，任给正数ε，对每一个x '∈

[],a b ，都存在相应的正数δ'，当x ∈(),U x δ'' [],a b 时，便有：

()()2

f x f x ε

'-<

……（**）

于是，当x '取遍闭区间[],a b 上的各点后，就得到一个开区间集：

[],,2H U x x a b δ'??

??''=∈?? ?????

它覆盖了闭区间[],a b 。现由有限覆盖定理知，存在H 的一个有限子集：

,1,2,...,2i i H U x i k δ*????==?? ?????

覆盖了[],a b ，记1min 02i i k

δδ≤≤??

=>????

，若x '、x ''∈[],a b 且x x δ'''-<，则x '必属于H *中某开区间，设x '∈,

2t t U x δ??

，即： 2

t x x δ'-<

这时也有：

t t t x x x x x x δδδ'''''''-≤-+-<+

再由（**）式，便有：

()()2

t f x f x ε

'-<

和()()2

t f x f x ε

''-<

从而就有：

()()f x f x '''-≤()()()()t t f x f x f x f x '''-+-2

ε<

从而即得证了闭区间[],a b 上的连续函数是一致连续的。---证毕。

证法四（应用归结原则证明）

用反证法。假设不一致连续，则必有点列使n

x '、n x ''∈[],a b ，且1

n x x n

'''-<，但： ()()0n

n f x f x ε'''-≥ 由{}n x '有界，必有收敛子列{}k

n x '，设0l i m k

n k x x →∞'=∈[],a b ，由()l i m n n k x x →∞

'''- 0=有lim k →∞

()k

n n x x '''-0=则： ()

0lim lim k k

k k n

n n n k k x x x x x →∞→∞??''''''=--=?? 由函数()f x 在0x 点连续，则()()0

0lim

x x

f x f x →=，由归结原则知： ()()0lim k n

k f x f x →∞

'=，()

()0lim k n k f x f x →∞

''= 有()()0lim k

n k f x f x ε→∞

'''-≥，即：0ε0≤。因为00ε>，所以矛盾，故假设不成立，因此连续函数()f x 在闭区间

[],a b 上一致连续。---证毕。

当我们考虑的区间不是有界闭区间，而是开区间或者是无界区间时，函数在区间连续性就不一定能转变为区间的一致连续性，这种转变需要条件。这些条件一方面应该是函数在区间端点处或无远点处的性态，另一方面，应该是函数本身的具有的某些性质。

三、一致连续函数的判定及性质 1.一致连续函数的判定

定理1：设函数()f x 在)(,a b 上连续，()f x 在)(,a b 上一致连续的充

要条件是：lim ()x a f x +

→及lim ()x b f x -

→都存在。

证明：作辅助函数

)((0),()(),,(0),f a x a F x f x x a b f b x b

+=??

=∈??

-=?

则lim ()lim ()(0)()x a x a F x f x f a F a +

→→==+= lim ()lim ()(0)()x b x b F x f x f b F b -

→→==-=

又 ()f x 在 )(,a b 上连续，则()F x 在)(,a b 上也连续，于是()F x 在)(,a b 上连续，因此()F x 在],a b ??上一致连续，从而()f x 在 )(,a b 上一致连续。

反之，函数()f x 在区间 )(,a b 上一致连续，0ε?>，0δ?>，

1,2x x ?∈)(,a b ：12x x δ-< 有21()()f x f x ε-< ，于是1,2x x ?∈)(,a b ，当

12,a x x a δ<<+时，就有12x x δ-<，从而有21()()f x f x ε-< 因此，由

柯西收敛准则知lim ()x a f x +

→存在。同理可证lim ()x b f x -

→存在。

定理2：设()f x 在 [),a +∞上连续，()g x 在[),a +∞上一致连续，且

[]lim ()()0x g x f x →+∞

-=，则()f x 在[),a +∞上一致连续。

证明：因为 []lim ()()0x g x f x →+∞

-= ，则对任给的0ε>，存在正数M a ≥，当x M >时，有()()3

g x f x ε

。又因为()g x 在 [),a +∞上一致连

续，则对上述0ε>，存在10δ>，只要1x x δ'''-< ，就有()()g x g x '''-3

<。因此对任意δ<''-'>'''x x M x x ,,有

()()f x f x '''-≤()()f x g x ''-()()g x g x '''+-()()g x f x ε''''+-<，

而()f x 在闭区间],1a M ?+?上一致连续，即对上述0ε>，存在20δ>，只要x '，x ''∈],1a M ?+?，x x δ'''-<时，有()()f x f x ε'''-< 所以()f x 在

[),a +∞上一致连续。

定理3：若函数()f x 在[),a +∞连续，且lim

()x f x A →+∞

=，则函数()f x

在[),a +∞上一致连续。

证明：因为lim ()x f x A →+∞

=，则对任给的0ε>，存在正数M a >，只要x '，x ''M >，就有()()f x f x ε'''-<。又因为()f x 在],1a M ?+?上连续，则()f x 在],1a M ?+?上一致连续，即对上述0ε>，存在0δ>，对任何x '，

x ''∈],1a M ?+?，x x δ'''-<，有()()f x f x ε''-<，所以函数()f x 在[)

,a +∞上一致连续。

定理4：函数()f x 在区间I 上非一致连续的充要条件是在I 上存

在两个数列n x '，n x ''，使的l i m ()0n n

x x x →+∞'''-=，但当n →∞时，[]()()0f x f x '''-→。

证明：（1）必要性：因()f x 在区间I 上非一致连续，则存在 00ε>，取1n n δ=

0>，存在数列n x '、n x ''I ∈。当1

n n x x n

'''-<时，有0()()n

n f x f x ε'''-≥，即当()

lim 0n n x x x →∞

'''-=时，[]()()0n n f x f x '''-→ ()n →∞。（2）充分性：若()f x 在区间I 上非一致连续，则对任给的0ε>，

0δ>，对任意n x '，n x ''I ∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<。又

因为()

lim 0n n x x x →∞

'''-=，则对上述0δ>，存在n N ∈，对于任意的n N >，

有n n x x δ'''-<，所以()()f x f x ε'''-<，即]l im ()()0n f x f x →∞'''?-=?

，与已知矛盾。

所以函数()f x 在区间I 上非一致连续。

定理5：若函数()f x 在)(,a +∞（)(,b -∞）上连续且lim ()x a f x +

→，

lim ()x f x →+∞

，（

l i m ()x b f x

→，lim ()x f x →-∞

）都存在，则函数()f x 在)(,a +∞（)(,b -∞）一致连续。

推论6：若函数()f x 在)(,a +∞（)(,b -∞）上连续，且lim

()x f x →+∞

（lim ()x f x →-∞

）存在，则函数()f x 在)(,a +∞（)(,b -∞）上一致连续。推论7：若函数()f x 在)(,-∞∞上连续且lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞

都存在，则函数()f x 在)(,-∞∞上一致连续。

（反之不一定成立，例如()sin f x x =在)(,-∞∞上一致连续，但lim

()x f x →+∞

，lim ()x f x →-∞

都不存在。）

例题 6. 设)(),(x g x f 都于区间I 一致连续且有界，证明：

)()()(x g x f x F =也于I

一致连续。

证明：由题设)(),(x g x f 有界，从而存在0>M ，

使M x g M x f <<)(,)(，I x ∈?。再由)(),(x g x f 都一致连续，则0,01>?>?δε和02>δ使I x x x x ∈?4321,,,，且243121,δδ<-<-x x x x 时有M

x g x g M x f x f 2)()(,

2)()(4321ε

-，

令{}21,min δδδ=，则I x x ∈?65,，且δ<-65x x 时，

)()()()()()(665565x g x f x g x f x F x F -=-

)()()()()()(656655x f x f x g x g x g x f -?+-?≤ εε

M M

M 22

∴)(x F 在I 上一致连续。

2.一致连续函数的性质

由于闭区间上的连续函数一定是一致连续函数，所以一致连续函数具有有界性、最值性和介值性。它还有下面一些常见的性质。

(1) 函数)(x f 与)(x g 都在],[b a 上一致连续，则)(x f ±)(x g ，

)()(x g x f ?，

)

()

(x g x f (有意义)在],[b a 上一致连续。

证明：因为)(x f 与)(x g 都在],[b a 上一致连续，

所以0,01>?>?δε，],[,21b a x x ∈?，当121||δ<-x x 时，有

ε<-|)()(|21x f x f ；

0,02>?>?δε，[]b a x x ,,21∈?，当221||δ<-x x 时，有

ε<-|)()(|21x g x g 。

又由一致连续函数有最值性知 )(x f 与)(x g 都在],[b a 上有最大值和最小值，分别设为2211,;,m M m M 。

①取},min{

21δδδ= 则|))()(())()((||)]()([)]()([|2121221x g x g x f x f x g x f x g x f -±-=±-±

ε2|)()(||)()(|2121<-+-≤x g x g x f x f ，

即)()(x g x f ±在],[b a 一致连续。

②取},min{

21δδδ=则 |)()()()()()()()(||)()()()(|221212112211x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -+-=- |)(||)()(||)(||))()()((||))()()((|2211212211x f x f x f x g x g x g x f x f x f x g +-?≤-+-≤ εε1221|)()(|M M x g x g +<-?，

即)()(x g x f 在],[b a 一致连续。

③取},min{

21δδδ=则 |)(||)(|1

|)(||)(||)()()()()()()()(|)()()()(2121222212212211x g x g x g x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f ≤?+--=-εεε2

2212221|)()(||)(||)(||)()((|m m M M m m M M x g x g x f x g x f x f +=

+?≤

-?+?-，即

)

()

(x g x f 在],[b a 一致连续。 (2)函数)(x f 与)(x g 在),(b a 上一致连续，则)()(x g x f ±，)()(x g x f ，

)

()

(x g x f 在),(b a 一致连续。证明：因为)(x f 与)(x g 在),.(b a 一致连续，所以，)(x f 与)(x g 在),(b a 连续，且)0(),0(-+b f a f ，)0(+a g ，)0(-b g 都存在。

所以可以延拓)(x f 与)(x g 。令

?????=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x F ),0(),(),(),0()( ??

??=-∈=+=b x b g b a x x g a

x a g x G ),0(),(),(),0()(

)(x F 与)(x G 都在],[b a 连续，所以)(x F 与)(x G 都在],[b a 一致连续。

应用上面结论知)()(x G x F ±，)()(x G x F ，

)

()

(x G x F 都在],[b a 一致连续。又因为在),(b a 上)(x F 就是)(x f ，)(x G 就是)(x g ，所以 )(x f )(x g ±，),

()(x g x f )

()

(x g x f 在),(b a 一致连续。 (3))(x f 在开区间),(b a 一致连续，则)(x f 在),(b a 有界。证明：与上面证法类似作出)(x F 。

因为)(x F 在],[b a 连续，所以)(x F 在],[b a 上有界，即)(x F 在),(b a 内有界。

又因为)(x F 在),(b a 上即是)(x f ，所以)(x f 在),(b a 有界。但是若将),(b a 换成R ，则结论不成立。

例： x x f =)(，,0>?εδ<-∈?||,,2121x x R x x ，取εδ=，则 εδ=<-=-|||)()(|2121x x x f x f ，

所以x x f =)(在R 上一致连续，但是x x f =)(在R 上却无界。下面还有几个常见的错误。

(1)若0>?ε，函数)(x f 在[]εε-+b a ,一致连续，得出)(x f 在()b a ,内

一致连续。

例：x

y 1

=在(0，1)不一致连续，但在[]εε-1,上却一致连续。由此可见，一致连续函数的倾斜程度很平稳，不会无限大。（2）)(),(x g x f 在R 上一致连续，则)()(x g x f 在R 上一致连续。例：x y x x g x x f ===,)(,)(在R 上一致连续，但2x y =在R 上不一致连续。

证明：取10=ε，不论正数δ取的多么小，只要n 充分大，我们就可以使

n x n 1'+

= 与 n x n ='

'，δ<=-n x x n n

1||'''，但 02'

''12|)()(|ε>+=-n

x f x f n n

，故2x y =在R 上不一致连续。四、一致连续函数与连续函数的关系

1.一致连续函数必是连续函数。

2.若函数f 在闭区间],[b a 上连续，则f 在],[b a 上一致连续。证明：（用反证法）假设f 在],[b a 上不一致连续，则?某个正数0ε，对任何正数δ，都?对应的],['','b a x x ∈，虽然δ<-|'''|x x ，但有

0|)''()'(|ε≥-x f x f 。

现以n 表示自然数，令n

=δ，记与它相应的两点为],[,'''b a x x n n ∈，虽然n

x x n n

1||'

''<-，但有 0'

''|)()(|ε≥-n n x f x f (1) 当n 取遍自然数时，得数列],[}{'

b a x n ?。由致密性定理,

?收敛子列}{k

x '，],[0'

b a x x k

n ∈→(∞→k )。同时也有k

n n n x x k

1||'

''<

-，且0'

'x x k

n →(∞→k )。由(1)有

''|)()(|ε≥-k

k n n x f x f (2) 现让(2)式中∞→k ，再由f 在],[b a 连续性知

''00|)()(|lim |)()(|0ε≥-=-=∞

→k n k

n k x f x f x f x f ，这与00>ε矛盾，所以f 在],[b a 一致连续。

3. 函数)(x f 在开区间),(b a 一致连续?函数)(x f 在开区间),(b a 连续，且)0(),0(-+b f a f 都存在。

证明：(必要性) ),(0b a x ∈?，由上面证明已知)(x f 在0x 连续，又由

0x 的任意性知 )(x f 在),(b a 连续。

下面只证)0(+a f 存在，)0(-b f 的证法与之类似。因为)(x f 在),(b a 一致连续，

所以，0>?ε，,0*>?δ*2121|:|,δ<-?x x x x ，有 ε<-|)()(|21x f x f 。取δδ=*，则当),('','δ+∈a a x x 时，必有 δδ=<-|'''|x x *，也有δ<-<|'|0a x ，δ<-<|''|0a x 。

由上式可以推出 ε<-|)''()'(|x f x f ，由极限存在的柯西准则知

)0(+a f 存在。

(充分性) 令 ??

??=-∈=+=b x b f b a x x f a

x a f x F ),0(),(),(),0()(

则由)(x f 在),(b a 连续知，)(x F 在],[b a 连续从而一致连续。 4.若)(x f 在),(b a 连续单调、有界，则函数)(x f 在),(b a 一致连续。证明：由单调有界性知，)0(),0(-+b f a f 存在，由(3)知 )(x f 在),(b a 一致连续。

5.若函数)(x f 在),[+∞a 上连续，且A x f x =+∞

→)(lim

，则)(x f 在),[+∞a 一

致连续。

证明：由A x f x =+∞

→)(lim 知，M x M >?>?>?,0,0ε，有 ε<-|)(|A x f 。所以，M x >?1，M x >2，也有 εε<-<-|)(|,|)(|21A x f A x f 。则ε2|)(||)(||)()(||)()(|212121<-+-≤-+-=-A x f A x f x f A A x f x f x f 。而]1,[+M a 是闭区间，所以)(x f 在]1,[+M a 上一致连续。所以对上述0>ε，]1,['',',01+∈?>>?M a x x δ，且δ<-|'''|x x ，有 ε<-|)''()'(|x f x f ，即 ],['','+∞∈?a x x 。

若,|'''|δ<-x x 或'x ,M x >''或]1,['','+∈M a x x ，一定得出

ε<-|)''()'(|x f x f 。

综上所述，)(x f 在),[+∞a 一致连续。

对于5也可以改为)(x f 在),(+∞-∞上连续，且A x f x =+∞

→)(lim ，B x f x =+∞

→)(lim ，则)(x f 在),(+∞-∞一致连续。

证法类似，分别区间为),(M --∞，]1,1[+--M M ，(M ，+∞)。则1<δ时，'','x x 必同时在三个区间之一，所以)(x f 在),(+∞-∞一致连续。

6.在R 上连续周期函数是一致连续函数。

证明设0>T 是一个周期，因为)(x f 在R 上连续，且)(x f 在[]T 2,0上连续，所以一致连续。

即[]T x x T 2,0,)(0,0∈'''?<>?>?δδε，有 ε<''-')()(x f x f 。

R y y ∈'''?,：T y y <<''-'δ，

存在整数N ，满足NT y +'，[]T NT y 2,0∈+''，因为 δ<+''-+')()(NT y f NT y f ，

所以 ε<+''-+')()(NT y f NT y f ，即 ε<-')''()(y f y f 。所以)(x f 是R 上的一致连续函数。

五、用连续模数描述一致连续性

定义：若)(x f 在区间I 上有定义，则)()(sup )(,x f x f w x x I x x f ''-'=<''-'∈'''δ

称为函数f 的连续模数。可见)(δf w 是关于δ的非负、不减函数。下面我们借助它来描述一致连续性。从定义可以直接看出

x x w x f x f f ''-'≤''-')()()(δ ),(I x x ∈'''

因此Lipschitz 连续?一致连续。这就得到强度依次逆减的三个概念: Lipschitz 连续?一致连续?连续。

例题7. 若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在I 上一致连续的充要条件是0)(lim 0=+

→δδf w 。

证明：（1）必要性。因)(x f 在I 上一致连续，因此0,01>?>?δε，当1,,δ<-'''∈'''x I x x 时有2

)()(π

''-'x f x f 。

从而 2

)()(sup )(1

,1ε

δδ≤''-'=<''-'∈'''x f x f w x x I

x x f ，故10δδ<<时， εε

δδ<≤≤≤2

)()(01f f w w

所以 0)(lim 0=+

→δδf w 。

（2）充分性。由 0)(lim 0=+

→δδf w 知： 0,01>?>?δε

使得 εδ<≤)(01f w ，故当 1,,δ<-'''∈'''x I x x 有

εδδ<=''-'≤''-'<''-'∈''')()()(sup )()(1,1

f x x I x x w x f x f x f x f

所以)(x f 在I 上一致连续。

注意：由此可得一致连续的观察法。因为)(δf w 的值只与f 的图形最陡的地方有关，若f 的图形在某处无限变陡，使得0)(→/δf w （

0→δ时），则f 非一致连续。若f 在某处最陡，但+→0δ时，此处的

变差0)()(→''-'x f x f ，则f 一致连续。

例如：)0(1

)(>=x x

x f ，在0=x 处，图形无限变陡.)(,0+∞=>?δδf w

+→0δ时0)(→/δf w 。因此f 在任何区间)0)(,0(>c c 上都是非一致连续

的。但在区间[)+∞,c 上，x x f 1)(=在点最陡，且01

1)(→+-

=δ

δc c w f （当 +→0δ时）。可见x

x f 1

)(=

在[)+∞,c 上一致连续。六、一致连续函数的延拓问题

前面的例题告诉我们，若)(x f 在),(b a 内一致连续，则f 在端点b a ,处有有限极限，

因此若将极限值分别作为f 在b a ,点的值，那么f 被延拓到闭区间[]b a ,上，且在[]b a ,上一致连续，下面我们将此推广到一般的集合R E ?上。为此，我们首先把一致连续的概念，推广到任意的集合E 上。

定义：设函数)(x f 在集合R I ∈上有定义，若0,0>?>?δε，

21,x x ?I ∈，δ<-21x x ，有 ε<-|)()(|21x f x f ，则称函数)(x f 在集合R

I ∈上一致连续。

例题8.设)(x f 在R 上一致连续，则?常数0,>B A ，使得

B x A x f +≤)( )(R x ∈

证明：对δδε≤->?=210,0,1x x st 时，1)()(21≤-x f x f ，特别，

,1)()2(,1)0()(<-<-δδδf f f f …，1)1()(<--δδn f n f

由三角不等式得

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性

浅谈函数的一致连续性的性质

浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界; Discusses the properties of the uniform continuity function Name：zhang ya nan Number：0707216 College：College of Mathematics and Computer Science Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given. Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。