指数与对数的运算
【课标要求】
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
1（1(2)n
∴m
a a ÷2、根式：（1（2 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0
名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数
（3）公式： a a n n =)( ；当n 为奇数时 a a n n =； 当n 为偶数时 ??
?<-≥==)
0()
0(a a a a a a n n
3、分数指数幂
（1）有关规定： 事实上，kn
n
k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n
m
k ∈>= ，m n n m
n k a a a ==)()(由n 次根式
定义, n a a m
n
m 的是次方根，即：n m n
m a a
=
（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=
-n N n m a a
a n
m n
m 且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。
)
,0,0()(),,0()()
,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r r s s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+
4（1）记作,log b N a =其中a ①以（2③（3①②log （4两个非常有用的结论①1log log =?a b b a ；②b m
n
b a n
a m log log =。 【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
(1) a f(x)
=b ?f(x)=log a b, log a f(x)=b ?f(x)=a b
; （定义法） (2) a f(x)
=a g(x)
?f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)?f(x)=g(x)>0（转化法）
(3) a
f(x)=b
g(x)
?f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法)
(4) log a f(x)=log b g(x)?log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法)
【典例解析】
题型1：指数运算
例1．（1）计算：25.021
21
3
2
5
.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()9
45()833[(÷?÷+---；
（2）化简
3
2233--+ （3）化简：
5332
33
23
233
2
3
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b a a ???
-÷++--
。 （4
例2
题型2：对数运算 例3．计算
（1）2
(lg 2)lg 2lg50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；
（3）1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2
3--+?。
例4．设a 、b 、c 为正数，且满足2
2
2
a b c +=
（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c
a b +-+++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82
log ()3
a b c +-=，求a 、b 、c 的值。
例5。（1（2）设
题型4：指数、对数方程
例6：解方程（1）()()
1123log 2122
=-+-x x x （2）()[]0log log log 432=x
例7．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），
（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 .
1..若log 2A ．）
2.若9
--x
3.已知=y A.4若10=x 5.已知12
a 6.（1）7. 若(lg x y
8.解下列指数方程： (1)12882=x
(2)25
92
162
-+=x x
(3)4
8281
27+=x x
(4)0505235
2=-?-x x
9.解下列对数方程
(1)log
(3)
10.
11.设3
421lg )(a
x f x x ?++=若]1,(-∞∈x 时)(x f 有意义，求实数a 的范围。
【思维总结】
1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较
方便，而对数式一般应化为同应化为同底；
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；
3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；
【课后作业】
1.计算。
1
2.（
3.（
4.已知71
=+-a
a ，求下列各式的值：
（1）2
12
1-
+a a ； （2）2
2
-+a a ； （3）3
3
-+a
a ；
（1）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 22
2
+-+?+； （2）5log 2333338log 9
32
log 2log 2+-+-；（3）40lg 5lg 250lg 2lg 22?+?
6.（1（2
7.设1x >
8.（1）已知3643==y x
，求
xy
y
x 2+的值。
题型1：指数运算
例1． 解：（1）原式=4
1
322132)10000
625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+-
92
2)2917(21]10
24251253794[=?+-=÷??+-=；
对化例2． 解：∵112
2
3x x
-+=，∴112
2
2()9x x -
+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，
∴12
()49x x -+=，∴2
2
47x x
-+=，
又∵33111
2
2
2
2
()(1)3(71)18x x
x x x x -
-
-+=+?-+=?-=，∴
22332
2
2472
3183
3
x x x x
--+--=
=-+-。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算
例3解：（1）原式2
2
(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++
(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；
（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3
(
)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2
=+?+=+?+ 3lg 25lg352lg36lg 24=
?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；
分母=4100
6
lg 26lg 101100036lg
)26(lg =-+=?-+；∴原式=43。
2log =由log 由①+由①∵a >由③ 题型例5 b = 5 ∴ log 18 5 = b （2） 证：∵1643>===t z
y
x ∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t
z t y t x ===
，， ∴
y
t t t t x z 21
lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 题型4：指数、对数方程
例6： 解（1）2,00212123222-==?=+?-=-+x x x x x x x
但必须：???
?
???>-+≠->-0123112012222x x x x ∴0=x 舍去 2-=x
（2）()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x 例7． 解：（1）原方程为1
2
4+-=x x
b ，11)12(22)2(24221-≥--=?-=-+x x x x x ，
),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；
（2）①当1-=b 时，12=x
，∴方程有唯一解0=x ；
②当
令1)11(log 2b +-=； 123 1. 4、
3
6
2 5、35-=（舍去），
（2）当10< t a ≤≤，二次函数2)1(2 -+=t y 在],[a a 上单调递增， ∴142)11(2 max =-+=a y ，∴5131-==a a 或（舍去），综上313或=a 。 评析：换元之后，函数解析式变了，函数定义域也变了，二次函数最值问题，一般先讨论开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。 7、解：由已知得，当(]1,∞-∈x 时 03 421>?++x x a ，∴0124>++?x x a ∴x x a 214-->? ∴() ????????-??? ??+-=??? ? ?? ??+-=-->412121212 121 4122 x x x x x a (]1,∞-∈x ，∴?? ? ???+∞∈??? ??,2121x ， ∴432141-=-->a 。 指数和对数运算 一、选择题 1.log ( )． A ．－12 D ．12 2.已知 3log 2 a =，那么 33log 82log 6 -用a 表示是（ ） A ．52a - B ．2a - C ．2 3(1)a a -+ D ． 2 31a a -- 3.1 2lg 2lg 25 -的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.已知4213 5 3 2,4,25a b c ===，则( ) A. c a b << B. a b c << C.b a c << D. b c a << 5.设3 .02.03.03.0,3.0,2.0===z y x ，则z y x ,,的大小关系为( ) A.x z y << B. y x z << C. y z x << D. z y x << 6.设0.2 1.6 0.2 2,2,0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A c a b <<． B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题 7.7 33log 8lg 125lg ++= . 8.2 log 510＋log 50.25＝_________. 9.22log 12log 3-= ． 10.若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． 11.若2log 31x =，则3x 的值为 。 12.化简2 log 2 lg5lg2lg2+-的结果为__________. 13.计算=÷--21 100)25lg 41 (lg _______． 三、解答题 14.(本小题满分12分)计算 （Ⅰ）2 221 log log 6log 282 -； （Ⅱ）213 4 270.00818-?? -+ ? ?? 15. lg(x 2 +1)－2lg(x+3)+lg2=0 指数与对数运算 指数运算 教学目标： 1.掌握根式与分数指数幂的互化； 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 知识梳理 指数幂 1、根式：如果x n ＝a,，则x 叫做__________其中n>1, 且n ∈N*. 式子n a 叫做______,这里n 叫做______,a 叫做_______. 2、根式性质：①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个_____, 负数的n 次方根是一个______.这时n 次方根用符号n a 表示; ②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为_____数,分别用____________表示. ③当n 为奇数时 ( n a)n =____; ④当n 为偶数时， n a n =_______________.⑤负数没有____次方根; 零的任何次方根都是零. 3、分数指数幂的意义：a m n =________; a -m n =_______ (a>0,m,n ∈N*,且n>1). 4、有理数指数幂运算性质：a r a s =______; (a r )s =_______; (ab)r =___________;(a>0,b>0,r,s ∈Q). 5、无理数指数幂:a α (a>0,α是无理数) 是一个确定的实数.适合有理数指数幂运算性质。 例1：计算或化简 (1) 3 (-6)3 + 4 (5-4)4 +3 (5-4)3 ; (2) ()[] 2 175 .03 4 30 3 101.016 222364 ++-+??? ? ??- ----; 解：(1) 3 (-6)3 + 4(5-4)4 +3 (5-4)3 =6446-+ +=- （2） ()[] 2 175 .03 4 30 3 101.016 222364 ++-+??? ? ??- ---- =134 3 4 13 4(110 (2)) ()42- - --+++ -=3780- 例2计算已知（1）,32 1 2 1=+- a a 求221,--++a a a a 的值 高中数学指数、对数的运算 一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og62 B．2C．l og63 D．3 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10 B．l g8+lg2=lg6 C．l g8+lg2=lg16 D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15 C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（） A．9B．﹣9 C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2 C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2 B．2C．﹣4 D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（） A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15 D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10 D．20 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4 y x = （2）)0(2>=m m m （3 = （4 = ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 416()81 - = （5）12 2 [(]- = （6）(12 2 1??-???? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74331a a a （2）=÷?654323 a a a （3）=÷-?a a a 9)(34 323 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = （7）()0,053542 15 65 8≠≠÷???? ? ? ?- -b a b a b a = 5.计算 （1） 43 512525÷ - (2) （3）21 0319)41 ()2(4)21(----+-?- ()5.02 1 20 01.04122432-?? ? ???+??? ??-- （5）48 37 3271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ?? ??- -π （6）241 30.75 3323(3)0.04[(2)]168 ----++-+ （7）( ) 3 263 425.00 3 1323228765 .1?? ? ??--?+?+?? ? ??-?- 6.解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x （3）1321(0.5)4x x --= 7.(1).已知112 2 3a a -+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22 a a -+= （2）.若1 3a a -+=，求下列各式的值：（1）112 2 a a - += ； （2）22 a a -+= ； (3).使式子34 (12) x --有意义的x 的取值范围是 _. (4).若32a =，1 35b -=,则323 a b -的值= . 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 2016-2017学年度???学校9月月考卷 1．计算：________． 2．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________. 3．已知3log 21x =,则42x x -=________. 4．lg83lg5+的值是 ． 5．lg0.01＋log 216＝_____________. 6= ． 7．已知,53m b a ==且，则m 的值为 . 8．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 9，0a b c <<<，0)()()( 参考答案 1．1 【解析】＝lg10＝1. 2．111 【解析】 试题分析：66666log log log log 6,6a b c abc abc ++===， 2b ac =，所以366,36b b ==.46ac =，因为b a -为一完全平方数，所以27,48,111a c a b c ==++=. 考点：1.对数运算；2.数列. 【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式 log log log a a a b c bc +=.然后,,a b c 是递增的等比数列，可得2b ac =，接下来因为b a -为一完全平方数，比36小的完全平方数只有25,16,9，故可以猜想27a =，通过计算可得27,48,111a c a b c ==++=.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可. 3．6 【解析】 试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=. 考点：对数运算的基本性质. 4．3 【解析】 试题分析：3lg83lg5lg8lg5lg10003+=+==。 考点：对数运算法则的应用。 5．2 【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. 6【解析】 考点：指数和对数的运算法则。 7【解析】略 8．2 【解析】略 指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?. 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数对数运算 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是 （ ） A ． 3 2 B ．1 C ． 2 3 D ．2 2．设a,b,c 都是正数，且3a =4b =6，那么 （ ） A ． b a c 1 11+= B ． b a c 122+= C ． b a c 2 21+= D ． b a c 212+= 3．已知==)5(,)10(f x f x 则 （ ） A ．5 10 B . 10 5 C. 10log 5 D. 5lg 4．若a>1,b>1，a a p b b b log )(log log =，则a p 等于 （ ） A ．1 B ．b C ．log b a D ．a b a log 5．设15 112 1)3 1 (log )3 1 (log --+=x ，则x 属于区间 （ ） A ．（－2，－1） B ．（1，2） C ．（－3，－2） D ．（2，3） 6．若32x +9=10·3x ，那么x 2 +1的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．1或5 7．已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ． 4 1 或4 8．方程log 2(x+4)=2x 的根的情况是 （ ） A ．仅一个正根 B ．有两正根 C ．有两负根 D ．有一正根和一负根 9．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．7177)(m n m n = B. 3124 3)3(-=- C. 43 433)(y x y x +=+ D. 33 39= 10. 化简??? ? ??÷???? ??-???? ??656131 21213231 3b a b a b a 的结果是 （ ） A ．a 6 B. a - C. a 9- D. 2 9a 11．若x x 则,0)](log [log log 25.02=等于 （ ） A ．2 B. 2 C. 2 1 D. 1 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数与对数运算（习题） 1. 若log x z =，则（ ） A ．7z y x = B ．7z y x = C ．7z y x = D ．7x y z = 2. 若a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．log log log a c c b b a ?= B ．log log log a c c b a b ?= C ．log ()log log a a a bc b c =? D ．log ()log log a a a b c b c +=+ 3. 已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（ ） A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=? C ．lg()lg lg 222x y x y ?=? D ．lg lg lg lg 222x y x y ?=+ 4. 若235log [log (log )]0x =，则x 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．125 5. 已知3log 2a =，那么33log 22log 6-可用a 表示为（ ） A ．5a -2 B ．-a -2 C ．3a -(1+a )2 D ．3-a 2-1 6. 若25a b m ==，且112a b +=，则m 的值为（ ） A ． B ． 10 C ．20 D ．100 7. 若3log 41x =，则44x x -+的值为（ ） A ．1 B ．83 C ．103 D ．2 8. 求下列各式的值： ； ； 2 3278?? ??? =____________； 1 236-=_________________； 3 481625-?? ??? =______________． 9. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）： 2 ； ； ； =____________． 10. 化简下列各式（其中各式字母均为正数）： 11. 已知8112()log 1x x f x x x -?=?>?≤）） （（，若1()4f x =，则x =_________． 12. 计算下列各式： 指数运算与对数运算练习题 基础题 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4 y x = （2）)0(2>=m m m （3= （4= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 4 16()81 -= （5）12 2 [(]- = （6）(12 2 1?????? = （7）=3 264 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1 log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、 51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、 2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ） A 、 a >5或a <2 B 、 25< 指数运算练习题 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）34 a = （3）35 a -= （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）34 y x = （2） )0(2>=m m m （3 = （4 = ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）12 2 [(]- = （6）(1 2 2 1?????? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74331a a a （2）=÷?654323 a a a （3）=÷-?a a a 9)(34 323 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = （7）()0,053542 15 658≠≠÷???? ? ? ? - -b a b a b a = 5.计算 （1） 43 512525÷ - (2) （3）21 0319)4 1 ()2(4)21(----+-?- ()5 .02 1 2001.04122432-?? ? ???+??? ??- - （5）48 37 3271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ? ? ??- -π （6）241 30.75 3323(3)0.04[(2)]168 ----++-+ （7）( ) 3 263 425.00 3 1323228765 .1?? ? ??--?+?+?? ? ??-?- 6.解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x （3）1321(0.5)4x x --= 7.(1).已知112 2 3a a -+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22 a a -+= （2）.若1 3a a -+=，求下列各式的值：（1）1 12 2 a a - += ； （2）22 a a -+= ； (3).使式子34 (12) x --有意义的x 的取值范围是 _. (4).若32a =，1 35b -=,则323 a b -的值= . 对数运算练习题 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1 log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、 51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、 2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ） A 、 a >5或a <2 B 、 25< 高中数学指数、对数的运算一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2B．﹣1C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og 2B．2C．l og63D．3 6 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10B．l g8+lg2=lg6C．l g8+lg2=lg16D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A．9B．﹣9C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10D．20 第1节 实数指数幂的运算（2课时） 考试要求 2.会进行有理指数幂的计算。 知识精讲 1.有理指数幂的有关概念。 （1）零指数幂：0 a = （0≠a ）。 （2）负整数指数幂：n a -= （0,≠∈+a N n ）。 （3）分数指数幂： n m a = （n m a ,,0>互质+∈N n m ,）。 n m a - = （n m a ,,0>互质+∈N n m ,）。 2.幂的运算性质：（R n m b a ∈>>,,0,0） （1）n m a a = ， （2）n m a a = ， （3）n m a )(= ， （4）m ab )(= ， （5）n b a )(= 。 3.根式的概念 （1）式子n a 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 。 （2）n n a )(= （N n n ∈>,1）。 （3）当n 为奇数时，n n a = ，当n 为偶数时， n n a =||a =) 0() 0(__________________<≥?? ?a a 。 基础训练 1.有下列运算结果（1）1)1(0 -=-；（2）a a =2；（3）a a =-22 1 )(； （4）3 13 13 2 a a a =÷；（5）3333 55 3=?，则其中正确的个数是（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 2.把下列各式化成分数指数幂的形式 （1）32a = ， （2） 3 1a = ， （3）b a 3 = ， （4）332b a += ， （5）5 3151)(-?b a = ， （6）432b a = 。 3.比较下列各题中的两个数值的大小（用“>”“<”“=”填空） （1）0 )100(- 2 12 （2）3 227- 23- （3）31 )8 1(- 31 )27 1(- （4）4116 4 181- 典型例题 1】化简计算 （1）43 )81 16(- （2）03 31)5(])4 3[(--- （3）633333?? （4）40242)()32()2(--?÷a b a b a b 变式训练 计算：1. 21 21 1 001.0)4 9(4)817(-?+-- 2. 443 2733?? 3. 03 23 11 )53(2764 2+++?- 4. 7 77? 对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(65312121132 b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案： 1.（1）原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a （2）原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ； (2) 3311b a +； 3.(1) 5132；(2) a a 1 ； 4. (1) 0；(2) 25；(3) 23；(4) 1；(5) 2 ； 指数对数运算 一、选择题 1． 3 log 9 log 28的值是 （ ） A ． 3 2 B ．1 C ． 2 3 D ．2 2．设a,b,c 都是正数，且3a =4b =6，那么 （ ） A ． b a c 1 11+= B ． b a c 122+= C ． b a c 2 21+= D ． b a c 212+= 3．已知==)5(,)10(f x f x 则 （ ） A ．5 10 B . 10 5 C. 10log 5 D. 5lg 4．若a>1,b>1，a a p b b b log )(log log =，则a p 等于 （ ） A ．1 B ．b C ．log b a D ．a b a log 5．设15 112 1)3 1 (log )3 1 (log --+=x ，则x 属于区间 （ ） A ．（－2，－1） B ．（1，2） C ．（－3，－2） D ．（2，3） 6．若32x +9=10·3x ，那么x 2 +1的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．1或5 7．已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ． 4 1 或4 8．方程log 2(x+4)=2x 的根的情况是 （ ） A ．仅一个正根 B ．有两正根 C ．有两负根 D ．有一正根和一负根 9．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．717 7)(m n m n = B. 31243)3(-=- C. 43 433)(y x y x +=+ D. 33 39= 10. 化简??? ? ??÷???? ??-???? ??656131 21213231 3b a b a b a 的结果是 （ ） A ．a 6 B. a - C. a 9- D. 2 9a 11．若x x 则,0)](log [log log 25.02=等于 （ ） A ．2 B. 2 C. 2 1 D. 1 幂与对数运算 一．知识点。 1． 幂。 ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=?? ?<-≥) 0() 0(a a a a . ③整数指数幂的运算性质： ) ()(),()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 2． 对数与幂的转化：log N b a a b N =?=。 3． 对数的运算性质。 ①log log log M N MN a a a +=；②log log log M M N N a a a -=；③log log N b b a a N =； ④1log log M b b a a M =；⑤log log N M b b a a N M =；⑥1 log 1;log 0a a a ==。 二．例题。 1．求下列各式的值： （1）()338- （2）()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2 2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 3．求值： 238， 12 100- ， 314-?? ??? ， 34 1681- ?? ???． 4．用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：2a 3a 5．计算下列各式的值（式中字母都是正数）． （1）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? ； （2）8 3184 m n -?? ???； 6．计算下列各式： 指数运算练习题 1、用根式的形式表示下列各式(a 0) 1 3 3 3 （1） a 5 = （ 2） a 4 = （ 3） a 5 = （4） a 2 = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1） x 4 y 3 = （ 2） m 2 (m 0) m （3） 3 ab 2 3 （ 4） 3 a ? 4 a = ； （ 5） a a a = ab = 3、求下列各式的值 2 1 1 3 = 16 3 （1） 83 = ；（ 2） 100 2 = ； （ 3） ( ) ；（ 4） ( ) 4 = 1 1 4 2 81 2 （5） [( 2) 2 ] 2 = （ 6） 2 （ 7） 64 3 1 3 = 4. 化简 1 3 7 3 3 5 3 3 （1）a 3 ? a 4 ? a 12 （ 2）a 2 ? a 4 a 6 （ 3）3a 2 ? ( a 4 ) 9 a 1 （4） a 2 = （ 5） ( 8a 3 ) 3 = a ? 3 a 2 27b 6 8 6 1 2 （7） a 5b 5 5 a 4 5 b 3 a 0,b 0 = 5. 计算 （ 1 ） 3 25 125 4 5 (2) 2 3 3 1.5 6 12 （ 3 ） ( 1 ) 1 4 ( 2) 3 ( 1 )0 9 1 2 2 4 0.5 2 3 2 1 2 0.01 （ 5） 2 7 0.1 2 2 10 3 0 37 0.5 3 4 4 9 27 48 2 1 4 （6） ( 33 ) 3 0.04 2 [( 2) 3 ] 3 16 0.75 8 1 2 6 6 2 3 （7） 1.5 3 80.25 4 2 3 2 7 3 3 6. 解下列方程 1 1 3 （3） (0.5)1 3 x 42 x 1 （1） x 3 （ 2） 2x 4 1 15 8 1 1 7.(1). 已知 a 2 a 2 3 ，求下列各式的值（ 1） a a 1 = ；（ 2） a 2 a 2 = a 1 1 1 （ 2） . 若 a 3 ，求下列各式的值： （ 1） a 2 a 2 = ； （ 2） a 2 a 2 = ； 3 (3). 使式子 (1 2x) 4 有意义的 x 的取值范围是 _. (4). 若 3a 2 ， 3b 5 1 , 则 33 a 2 b 的值 = . 对数运算练习题 一、选择题 ； 1 2100道指数和对数运算
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