第四章 4.1实数指数幂与4.2指数函数的练习题规定当0
a≠时，0a=；n
a-=；
分数指数幂：
m
n
a=；0
a≠时，
m
n
a-=．
整数指数幂的运算法则为：
(1) m n
a a?=；(2)()n m a=；
(3) ()n
ab=．
1将下列各分数指数幂写成根式的形式：
（1）
4
7
a= （2）
3
5
a=
（3）
3
2
a-=
2、将下列各根式写成分数指数幂的形式：
（1
= （2
（3
= .
3、将下列各根式写成分数指数幂的形式：
=
=
=
= .
4、计算下列各式的值：
（1）
1
3
0.125；（2
．
5、化简下列各式：
(1)
()
()
4
43
2
3
2
3
a b
a b
；(2)
1111
2222
a b a b
????
???
+-
???
????
；（3）53
52
52
3b
a
b
a÷
÷
-．
6、计算下列各式:
（2）
25
11
34
38
22
(24)(24)
-
．
(3)1220
3
3
a a
a a -
???； (4)3
4
251138222a b a b -????
?
?? ? ???
??
；
（6）
7、指出幂函数2-x y =的定义域，并作出函数图像。
8、求下列函数的定义域：
（1） 123+=x y （2）x y 1
)2
1
(=
9、填空
(1)函数x a y =中，无论10,0<<>a a 还是,都经过______________.
(2)指数函数x a y =中，x a 和的取值范围分别是_________________________. (3)若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________. 10、求下列函数的定义域：
（1）x
y -=32
（2）1
23
+=x y （3）x y 5)2
1
(= （4）x y 1
7.0=
11、比较下列各题中两个数的大小： (1) 7.08.03 ,3 (2) 1.01.075.0 ,75.0-
12、现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口的年自然增长率为1.2%，按这个增长率计算：
(1) 10年后这个城市的人口预计有多少万？ (2) 20年后这个城市的人口预计有多少万？
(3) 在今后20年内，前10年与后10年分别增加了多少万人？
()()()
6
153
122
2
133ab b
a
b a ??--
实数指数幂及运算 教学目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。 掌握根式和有理数指数幂的意义 注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 教学重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 教学难点：实数指数幂的运算 教学过程： 一、正整数指数幂（复习）： 1．()n a n N +∈的意义： n n a a a a =? 2．()n a n N +∈的运算： （1）m n m n a a a +?= （2）()m n m n a a ?= （3）(,0)m m n n a a m n a a -=>≠ （4）()m m m a b a b ?=? 二、负整数指数幂（拓展）： 规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a -=≠ 三、分数指数： 1．复习： 问题： 2x a = 3 x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展： 如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。 n 叫做根指数。 3．根式性质： (1) (1,)n a n n N +=>∈ (2) a n a n ?=?-?，当为正奇数时，当为正偶数时 4．分数指数幂（有理指数幂）： （1）正分数指数幂： 1 0)n a a => 0,,,)m n m a a n m N n +=>∈且为既约分数
（2）负分数指数幂：1 (0,,,)m n m n m a a n m N n a -+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 四、无理指数幂： 1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 五、典型例题： 例1、（整数指数幂）化简下列各式： （1）()03.14π- （2）512-??- ??? （3）()42x - （4 ） ))109 22 （5）()32212339a b a b a b -----??- （6）()()()()33334411a a a a a a a a ----+-++- 练习： 一组： （1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13 ()()a ab b - （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷- 二组： （1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b =，则25m n -= . （2 ）已知21n a =，* ()n N ∈，则33n n n n a a a a ---=- （3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值： （1 （2 （3 2 （4 )a b <
高中数学-实数指数幂及其运算练习课时过关·能力提升 1根式等于() A.B.C.D.- 解析原式=(a-2. 答案A 2化简的结果是() A. B. C.3 D.5 解析原式=. 答案B 3()4()4等于() A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 解析原式==a2a2=a2+2=a4. 答案C 4若xy≠0,则等式=-2xy成立的条件是() A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0, y<0 解析因为=2=2|x|·|y|·=-2xy,所以y>0,且x<0.答案C
5若a b+a-b=2,则a b-a-b的值等于() A. B.±2 C.-2 D.2 解析∵(a b-a-b)2=(a b+a-b)2-4, ∴(a b-a-b)2=8-4=4,∴a b-a-b=±2. 答案B 6有下列结论: ①当a<0时,(a2=a3;②=|a|;③在代数式y=(x-2-(3x-7)0中x的取值范围为(2,+∞);④若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1.其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 解析只有④正确,由100a=102a=5,10b=2,得102a+b=5×2=10,故2a+b=1. 而①中(a2应为-a3,②中③中x的取值范围由确定, 得x∈. 答案B 7计算的值等于() A.1+ B.1- C.2+ D.2- 解析∵ =
= ==1-. ∴原式=×2=2-. 答案D 8+3的值等于. 解析+3=2+. 答案 9若x>0,则(2)(2)-4·(x-)=. 解析原式=4-33-4+4=-27+4=-23. 答案-23 10已知=0,则y x=. 解析∵=|x-1|+|y+3|=0, ∴|x-1|=|y+3|=0,∴x=1,y=-3. ∴y x=(-3)1=-3. 答案-3 11若m-=5,则m2+m-2=. 解析由m-=5可得=25,即m2+m-2-2=25,故m2+m-2=27. 答案27
实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)2 1(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （1 （2；
（3）)0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12 2 31111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)4964(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 643 3)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(--b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ）
2.1.1 指数与指数幂的运算（二） （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解分数指数幂的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力 2．过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. （二）教学重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解 （三）教学方法 发现教学法 1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. （四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质 ,1(0) n a a a a a a a =?????=≠, 0无意义 老师提问，学生回答. 学习 新知前的 简单复
1(0) n n a a a -= ≠;()m n m n m n mn a a a a a +?==(),()n m mn n n n a a a b a b ==什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 习，不仅 能唤起学生的记 忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 105 10 252 55 ()a a a a === ② 884242 ()a a a a === ③ 12 12 34 3 44 4 ()a a a a === ④5 10510 252 5 ()a a a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 23 2 3 (0)a a a ==> 1 2 (0) b b b ==>55 4 4 (0) c c c ==>即：*(0,,1) m n m n a a a n N n =>∈> 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根 式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形 式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义 数学中引进一 个新的概 念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的 形成概念 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： 学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导 让学生经历从“特殊一
基础练习题 1.化简27125 -13的结果是( ) A.35 B.53 C.3 D.5 2.(√√a 9634·(√√a 9364等于( ) A.a 16 B.a 8 C.a 4 D.a 2 3.已知a+1 a =3,则a 12+a -12等于( ) A.2 B.√5 C.-√5 D.±√5 4.如果x=1+2b ,y=1+2-b ,那么y 等于( ) A.x+1x -1 B.x -1 x C.x+1x -1 D.x x -1 5.(多选)有下列结论: ①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√a n n =|a|;③函数y=(x-2)12-(3x-7)0的定义域为(2,+∞);④若100a =5,10b =2,则 2a+b=1.其中错误的为( ) A.① B.② C.③ D.④ 6.若a>0,将 2√a √a 2表示成分数指数幂,其结果是 ( ) A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32 7.设α,β是方程5x 2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= . 8.已知n ∈N +,化简(1+√2)-1+(√2+√3)-1+(√3+2)-1+…+(√n +√n +1)-1= . 9.若√4a 2-4a +16=√1-2a 3,则实数a 的取值范围是 . 10.求下列各式的值: (1)(√253?√125)÷√54; (2)4 -12-(π+1)0+6427 23.
提高练习题 1.写出使下列等式成立的x 的取值范围: (1)(√1x -33)3 =1 x -3; (2)√(x -5)(x 2-25)=(5-x )√x +5. 2.已知a 12+a -12= 3.求下列各式的值: (1)a+a -1; (2)a 2+a -2; (3)a 32-a -32a 12-a -12 .
实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0 ___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0 )1(______ ; =-3 ) x 2(_______; 3 )2 1(--=_______ ; =-223)y x (_____
课内探究案 例:化简下列各式 （12 ()a b -； （224 3 819?； （3）)0(32 2>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5） 12 23 1 1 11362 515()()46 x y x y x y - ---- （6）11122 2 m m m m -- +++.
当堂检测： 1. (C 级)化简4 4)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 3 2x =_________；3 1a =_________；43)(b a +=_________； 3 22n m +=_________； 3 2 y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)49 64(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1. (C 级)计算： (1) 2 16 53 1-÷a a a (2) )3 2(43 1 313 13 2--- -÷b a b a (3) 3 443327
4.1分数指数幕习题、选择题: _______ 3 1、化简］3（ 5）2］习的结果为（）
A. 5 B . .5 C . —. 5 D . —5 2、将32 2化为分数指数幕的形式为（） 1 A.卫1 B . 23 1 C . 2色 5 D .壬 3.在函数y 1 x 2 2 ,y 3x ,y x x, y x0中，幕函数的个数为（） A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 4、幕函数的图象都经过点（) A . (1, 1) B . (0, 1) C. (0, 0) D.(1, 0) 5、幕函数y5 x 2的定义域为( ) A . (0,+ ) B . [0,+ ) C . R D .(-,0)U (0,+ ) 6.若幕函数f x x a在0,上是增函数，则() A. a>0 B . a<0 C . a=0 D . 不能确定 1 7.若 a 1.12,b 1 0.9 2，那么下列不等式成立的是() A. a v|
9、若四个幕函数y = x a , y = x b , y = x c , y = x d 在同一坐标系 中的图象如右图，贝S a 、b 、c 、d 的大小关系是 ( ) A 、 d >c >b >a B 、 a >b >c >d C 、 d >c >a >b D 、 a >b >d >c 1 10、函数y x n n N,n 2的图象只可能是() 11. 4 — 25 2= ____________ . 12 .根式嘉的分数指数幕形式为 _____________ . —1 — 1 13. 若(a + 1「2 V (3a —2「仓，则a 的取值范围是 __ 14. _____________________________________ 下列命题中，正确命题的个数是 _______________________________ . ① 口云二 a ②若 a € R ，则(a 2 — a)0= 1 ③引x 4 + y 3 = x 3 + y ④ 5 = 6 — 5 2 、填空题:
4.1 分数指数幂习题 一、选择题： 1、化简［32 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．2 12- B ．3 12- C ．212- - D ．6 52- 3．在函数2203 1 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、幂函数的图象都经过点（ ） A ．（1，1） B ．（0，1） C ．（0，0） D ．（1，0） 5、幂函数2 5-=x y 的定义域为（ ） A ．(0,+∞) B ．[0,+∞) C ．R D ．(-∞，0)U (0,+∞) 6．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a =0 D ．不能确定 7．若1 12 2 1.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是 ( ) A ．a 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 在同一坐标系 中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c 10、函数()1,2n y x n N n =∈>的图象只可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题： 11. 4 (－25)2＝__________. 12．根式a a 的分数指数幂形式为__________． 13. 若2 1)1(－＋a ＜2 1)23(－－a ，则a 的取值范围是____； 14．下列命题中，正确命题的个数是__________． ①n a n ＝a ②若a ∈R ，则(a 2－a)0＝1 ③3 x 4 ＋y 3 ＝x 4 3＋y ④3－5＝6 (－5)2 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计 首都师范大学附属中学 姚璐 课程名称： 教材分析： 1. 数系的扩充 众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。 数系扩充的动力主要包括两个方面： （1）生产生活的推动 就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。 （2）数学本身的推动 许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。 事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质： （1）m n m n a a a +=?（0a >，,m n ∈R ） （2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ） 当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ） 当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ） 则指数n a 的定义是唯一的 2. Cauchy 法 从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+?>Q 是,,<+?>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。 这种方法即为Cauchy 法. 事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如： （1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （3）()f x 是对数函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ??=+?> 3.1.1 实数指数幂及其运算 1．整数指数 (1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =????个 叫 做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a . (2)正整指数幂 在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则： ①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③a m a n ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m ＝a m b m .其中m ，n ∈N ＋. (3)整数指数幂 在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整 指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1 a n (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a b )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数． 0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”． 【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2. 解：原式＝2232464232 86()()1=()()a b a b a b a b ----??? ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6) ＝a －12b －12. 2．根式 如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算． 当n a 有意义时，式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零． 高中数学实数指数幂及其运算测试题（有答案）第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 【目标要求】 1．理解根式的概念。 2．理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。3．掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。 4．掌握用计算器计算有理指数幂的值。 【巩固教材稳扎马步】 1．下列说法中正确的是() A.-2是16的四次方根 B.正数的次方根有两个 C. 的次方根就是 D. 2．下列等式一定成立的是() A． =a B． =0C．（a3）2=a9D. 3. 的值是（） A. B. C. D. 4.将化为分数指数幂的形式为( )[ A． B． C． D. 【重难突破重拳出击】 5.下列各式中，正确的是（） A． B． C ． D． 6.设b 0,化简式子的结果是（） A.a B. C. D. 7.化简［3 ］的结果为 () A．5 B． C．－ D.－5 8.若，则等于 ( ) A．2 －1 B．2－2 C．2 +1 D. +1 9. 成立的充要条件是（） A. 1C.x＜1 D.x2 10.式子经过计算可得到() A. B. C. D. 11.化简 (a＞0，c＜0 的结果为() A. B．－ C．－ D. 12.设x0, 等于（） A． B．2或-2C．2D．-2 【巩固提高登峰揽月】 13.计算0．027 －（－）－2+256 －3－1+（－1）0=__________． 14.化简 =__________． 【课外拓展超越自我】 15.已知求的值． 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10[ 11 12 答案 D D A A D A B A D D B C 13.1914. 15.解：由可得x+x－1=7 =27 =18， 故原式=2 3.1.1 实数指数幂及其运算(二) 【学习要求】 1.理解规定分数指数幂的意义. 2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 3.理解有理指数幂的含义及其运算性质. 4.了解无理指数幂的意义. 【学法指导】 通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.正数的正分数指数幂:a m n ＝ (n a)m ＝∈N ＋,且m n 为既约分数). 2.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即 a -m n ＝ (a>0,m,n ∈N ＋,且m n 为既约分数). 3.a r ·a s ＝a r ＋s (a>0,r,s ∈Q). 4.(a r )s ＝ a rs _ (a>0,r,s ∈Q). 5.(ab)t ＝ a t b t (a>0,b>0,t ∈Q). 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 我们知道12,(12)2,(12)3,…,它们的值分别为12,14,1 8 ….那么,2 ,2 ,2 ,2 ……的意义是什么呢？ 这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数. 探究点一 分数指数幂 问题1 什么叫实数？ 问题2 根据n 次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律？ ① 5 a 10 ＝5 (a 2)5＝a 2＝a 105(a>0); ②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a (a>0); ③4 a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a(a>0). 问题3 当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式？ 小结：正分数指数幂的定义为:a 1 n ＝ n a (a>0);a m n ＝(n a)m ＝n a m (a>0,n,m∈N ＋,且m n 为既约分数).负分数指 数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,即:a － m n ＝ (a>0,m,n∈N ＋).定义了分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法. 问题4 定义了分数指数幂的意义后,指数幂的概念就从整数指数幂推广到有理指数幂,那么整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否还适用？ 例1 求下列各式的值: 823 ; 25－1 2 ; ? ????12－5 ; ? ?? ??1681 －3 4. 小结：在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的数的指数幂的形式,还要熟练掌握分数指数幂的运算性质, 化负指数为正指数,同时还要注意运算的顺序问题. 1 m n a 1 m n a 实数指数幂及其运算 日期： 姓名： 指导教师： 陈婷婷 知识点1：整数指数幂 1. 计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（a,b 均不为0）. （1） 4322-? ； （2） ()()4 3 22? - ； （3） ()()3 4 3 a a a -?-÷ ； （4） ()0 12+a ， ?? ? ??-≠21a ； (5) ( ) 3 13 32-ab b a ； (6) () 3 21 22393------b a b a b a ； (7) ()()()()3 0243? ? ????+--+--b a b a b a b a ，（0,0≠-≠+b a b a ） . 知识点2：根式 1. 计算： （1） ()33 2- ； （2） ()4 4 3π- ； （3） () 3 222 3 421032327622---?? ? ??-+- . 2. 下列说法中正确的有： . ① 3273=- ； ② 16的4次方根是2± ； ③ 3814±= ； ④ ()y x y x +=+2 . 3. 若 a a a 211442-=+-，则实数a 的取值范围是 . 4. 若2 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2 1的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂. 1.问题设计：同学们想一下，这个张纸将它不限次的对折下去会出现什么情况啊？ 2.问题设计：n 个a 相加能够写作什么？n 个a 相乘呢？ n 个a （a ≠0）相乘能够写作n n a a a a a ??? ?=个 ，a n 叫做a 的n 次幂，其中a 叫底数，n 叫指数 3.规定10=a (a ≠0)，n n a a 1 = - (a ≠0，n 为正整数) 问题设计：0 0有意义吗？3 0呢？ 教学情境二 根式的概念 如果a x n =（1n n >∈N ，），那么x 叫做a 的n 次方根.正数的偶次方根（n 为偶数时）有两个，分别表示为n a 和n a -，其中n a 叫做a 的n 次算术根，负数的偶次方根没有意义．任意实数a 的奇次方根只有一个，表示为n a ．形如n a （1n >且n ∈N ）的式子叫做n 次根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 问题设计：同学们来判断下面的等式一定成立吗，你认为它在什么情况会成立？能不能举些实例？ （1）a a n n =)(，（2）=n n a a 师生互动，分析归纳出根式的意义。 （1）a a n n =)(，R a ? （2）=n n a ? ??为偶数时为奇数时n a n a |,|, 教学情境三 分数指数幂的意义，以及与根式之间的相互转化 我们规定：n m n m a a = （m 、n 为正整数且2≥n ）． 问题设计：上面等式中，字母m 、n 在位置有什么样的变化，a 的取值范围跟m 、n 有什么样的关系呢？ 当n 为偶数时，2≥a ；当n 为奇数时，a ∈R 零除外. 问题设计：当m 为偶数时，有什么情况发生呢？ 扩展同学们对m 、n 、a 的有意义情况的思考。 教学情境四 实数指数幂的含义及其运算性质 将正整数指数幂推广到实数指数幂，其运算法则为： n m n m a a a +=?，mn n m a a =)(， n n n b a ab =)(． 上述运算法则成立的条件是：出现的每个实数指数幂都有意义的情况下. 问题设计：大家知道n m a a 的算法吗？ 加深同学们对负指数幂的运算理解使用。 教学情境五 例题讲解 (1) 1 3 0.125； (2) 解：(1) 1 1 1 1 (3)313 333110.125()(2)2 282 -?--=====； (2) 11 1111133 33 22211112123 3 33 3 3 363(32)33292(3) 232?????== = ???1121111023333 6 6 32323+--= ?= ?= 教学情境六 课堂练习 = ； 123 3 a a ?= ； 教学情境七 课堂小结 问题设计：同学想下，本节内容主要讲了哪些知识呢？ 1.根式的概念； 2.根式与分数指数幂之间的相互转化； 3.实数指数幂的含义及其运算性质等。 习题设计 (1)434330(2)(3)()2b a b a b a -?? (2)11112222()()a b a b +- (3)5 352523b a b a ÷÷- = 指数与指数幂的运算 习题（含答案） 一、单选题 1．已知x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx ?2lny C ． 2lnx?lny =2lnx +2lny D ． 2ln （xy ）=2lnx ?2lny 2．化简 的结果为 A ． ?9 B ． 7 C ． ?10 D ． 9 3．若，且，为整数，则下列各式中正确的是 A ． B ． C ． D ． 4．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝2，则a b －a －b 的值为( ) A ． B ． 2或－2 C ． －2 D ． 2 5． 的值为（ ）． A ． B ． C ． D ． 6．若，则 等于 A ． B ． C ． D ． 7．已知函数()3log ,0 { 2,0 x x x f x x >=≤，则 19f f ?? ?? ? ????? 等于（ ） A ． 4 B ． 14- C ． -4 D ． 14 8．设0.321 log 3,2,log 3 a b c π===，则（ ） A ． a b c >> B ． a c b >> C ． c a b >> D ． b a c >> 9．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ －1.5 ，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式： ①n n a a =；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③44 3 3 3 x y x y +=+；④() 2 36 55= -. 其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 11．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1 B ． －1 C ． 2211a a -+ D ． 221 1 a a +- 12．下列各式计算正确的是( ) A ． (－1)0＝1 B ． 12 2 · a a a ＝ C ． 2348＝ D ． 213 31 3 a a a ÷=－ 13．已知a m ＝4，a n ＝3，则 的值为( ) A ． B ． 6 C ． D ． 2 二、填空题 1432 60)x x x x x ?>?的结果是________. 15．设函数2()(1)x x f x a k a k -=+-+（0,1a a >≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求k 值； （2）若(1)0f >，求使不等式2 ()(2)0f x x f t x ++->恒成立的t 的取值范围； （3）若3(1)2 f =，设22()2()x x g x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m 的值. 16．计算：122 3 184- ?? ÷ ??? =________. 17．10 3 3 483log 27161255-????--+= ? ????? __________．实数指数幂及其运算教案
§3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算(一) 【学习要求】 1.了解根式与方根的概念及关系; 2.理解分数指数幂的概念; 3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算. 【学法指导】 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般 的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.相同因数相乘
记作 an,an 叫做 a 的 n 次幂 ,a 叫做幂的 底数 ,n 叫做幂的 指数
2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;(3)aamn ＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(ab)m＝ambm.
3.如果存在实数 x,使得 xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则 x 叫做 a 的 n 次方根 求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作
开方 运算.正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次 算术根 当n a有意义的时候,n a叫做 根式 ,n 叫做根指数.当 n 为
奇数时,正数的 n 次方根是一个 正数 ,负数的 n 次方根是一个 负数 ,此时 a 的 n 次实数方根只有一个,记为n a;当 n
为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为
相反数 ,它们可以合并写成
n ±a
(a>0)形式.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n 次方根呢？答案是肯定的,
这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.
探究点一 整数指数及其运算
问题 1 整数指数幂 an (n∈N＋)的意义是什么？an、a、n 分别叫做什么？
答: an (n∈N＋)的意义为:an ＝,an 叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数.
问题 2 正整指数幂有哪些运算法则？ 答: (1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;
(3)aamn＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(a·b)m＝am·bm.
问题 3 零和负整指数幂是如何规定的？
答: 规定:a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n (a≠0,n∈N＋).
例 1 计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的 a,b≠0).
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403(a＋b≠0,a－b≠0).
解
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
＝－3a－39＋2b－2－1a2b3＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.
小结: 当我们规定了 a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n
(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.
跟踪训练 1 化简下列各式:
(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);
(2)10－3＝______;－21－6＝______.
答案： (1)1 1 1
(2)0.001 64
探究点二 根式的概念与性质
问题 1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？实数指数幂及其运算教学设计姚璐
实数指数幂及其运算教案
高中数学实数指数幂及其运算测试题(有答案)-word文档
3.1.1(二)实数指数幂及其运算教案学生版
(完整版)1实数指数幂及其运算--练习题
示范教案(11指数与指数幂的运算第1课时)
实数指数幂教案 (1)
指数与指数幂的运算习题含复习资料
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