数值分析第七章非线性方程求根习题答案

第七章非线性方程求根

（一）问题简介 求单变量函数方程

()0f x = (7.1)

的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()

f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)(m

f x x

x g x

=- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)

()

(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f

x f

x -====≠

若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法

设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内

仅有一个根.令00,a a b b

==,计算0001()

2

x a b =

+和

0()

f x .若

0()0

f x =则*x x =,结束计

算;若

00()()0

f a f x >,则令

10,1a x b b

==,得新的有根区间

11[,]

a b ;若

00()()0

f a f x <,则令

10,10

a a

b x ==,得新的有根区间

11[,]

a b .

0011[,][,]

a b a b ?,

11001()

2

b a b a -=-.再令

111

1()2

x a b =

+计算

1()

f x ,同上法得出新的有根区间

22[,]

a b ,如此反复进行,可得一有根区

间套

1100...[,][,]...[,]

n n n n a b a b a b --????

且

110011*,0,1,2,...,()...()

2

2

n n n n n n

a x

b n b a b a b a --<<=-=-==-.

故

1lim ()0,lim lim

()*

2

n n n n n n n n b a x a b x →∞

→∞

→∞

-==+=

因此,

1()

2

n n n x a b =

+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计

1

1|*|()

2

n n x x b a +-≤

- (7.2)

2.迭代法

将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ?= (7.3)

若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ?=;反之亦然.称*x 为函数()x ?的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ?的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为

1(),0,1,2...

k k x x k ?+==

(7.4)

函数()x ?称为迭代函数.如果对任意1(),0,1,2...

k k x x k ?+==,由式(7.4)产生的序列

{}k x 有

极限

lim *

k k x x →∞

=

则称不动点迭代法(7.4)收敛.

定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ?∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ?≤≤

2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ??-≤- (7.5) 则()x ?在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .

定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ?∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意

0[,]

x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列

{}k x 收敛.到()x ?的不动点,并有误差估计式

1|*|||

1k k k L

x x x x L --≤

-- (7.6)

和

1|*|||

1k

k k k L

x x x x L

--≤

-- (7.7)

定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ?的不动点,'()x ?在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ?<,则迭代法(7.4)局部收敛.

收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ?=的根*x ,如果迭代误差

*

k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式

1

(0)

k k

e C C e +→≠常数 (7.8)

则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.

定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果()

()K x ?在所求根*x 的邻近连续,并且

(1)

()

'(*)''(*)...(*)0

(*)0

p p x x x x ????

-====≠ (7.9)

则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有

()

11lim

(*)

!

p k p k k

e x e

p ?

+→∞

=

(7.10)

斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为

2

1(),()()

20,1,2,...k k k k k k k k k k k

y x z y y x x x z y x k ??+==-=-

-+= (7.11)

此法也可写成如下不动点迭代式

12

(),0,1,2,...

(())

()(())2()k k x x k x x x x x x x ψ?ψ???+==-=-

-+ (7.12)

定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中()

x ψ的不动点,则*x 是()x ?的不动点;设''()x ?存在,'(*)1x ?≠,则*x 是()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的.

3.牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为

其迭代函数为

1(),0,1,2,...

'()

k k k k f x x x k f x +=-

= (7.13)

()()'()

f x x x f x ?=-

牛顿迭代法的收敛速度 当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证

明,'(*)0f x ≠,

''(*)''(*)0

'(*)

f x x f x ?=

≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且

12

''(*)

lim

2'(*)

k k k

e f x e f x +→∞

=

(7.14)

重根情形的牛顿迭代法 当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数

()()'()

f x x x f x ?=-

在*x 处的导数

1'(*)10

x m ?=-

≠,且|'(*)|1x ?<.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若

*x 的重数m 知道,则迭代式

1(),0,1,2,...

'()

k k k k f x x x m

k f x +==-= (7.15)

求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数

()

()'()f x x f x μ=

的单重零点,此时迭代式

1()()'()'()

['()]()''()

0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-

=-

-= (7.16)

也是二阶收敛的.

简化牛顿法 如下迭代法10(),0,1,2,...

'()

k k k f x x x k f x +=-

=

称为简化牛顿法或平行弦法.

牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法

将牛顿迭代法(7.13)中的

'()

k f x 用()f x 在1k x -,k x

处的一阶差商来代替,即可得弦截法

111()()

()()

k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=-

-- (7.17)

定理7.6假设

()

f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ?-≤内具有二阶连续导数,且对任意x ∈?

有'()0f x ≠,又初值

01,x x ∈?

,,则当邻域?充分小时,弦截法(7.17)将按阶

15 1.618

2p +=

≈收敛到*x .这里p 是方程2

10λλ--=的正根.

5.抛物线法

弦截法可以理解为用过11(,()),(())

k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0f x =的

根.若已知

()

f x =的三个近似根

k

x ,

1

k x -,

2

k x -用过

1

1

2

(,()

),

(,

()),(,())k

k

k

k

k k x f

x

x f x x f x ----

的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根,所得

的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当

()

f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为

1.839 1.84p =≈.

二、知识结构图

10[1,2]1x x --=≤≤--∈3

-3

-6

k k 3

2

三、常考题型及典型题精解

例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?

解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.

表7-1

k k

a

k

b

k

x

()k f x 的符号

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.3243

2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.13438 1.3282 1.3282 1.3282 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.324

3 1.3263 + - + - + + - - +

9 1.3243 1.3263 1.3253 +

6

10x

e -≤≤?≤≤≤

≤≥∈-3

-3

9910

-6

k k k+1

01此时x =1.3253满足|x -x*|0.97710

10,可以作为x*的近

2

似值.

1 若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,

2

即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.

例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],3

1|10.

k x ---

1

lim lim x

x

x

x x e e e e →+∞

→-∞

∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,

f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].

2

'k

k

x

x

x

x

x x e e

e e e e

e

???-----∈∈≤≤≤?∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当

x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.

表7-2

k k

x

1||

k k x x --

0 1 2 3 4

2.5 2.082084999 2.124670004 2.119472387 2.120094976

0.417915001 0.042585005 0.0005197617 0.000622589

4 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ?≈=--+=∈≤4k+10-3

0k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例 考虑求解方程2的迭代公式2 x =4+

,k=0,1,2,...

3

(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?

2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,

(,).|'sin |1

(,)x x x ???∈-∞+∞≤

<-∞+∞?∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+

)之间,且

3

3

22(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.

表7-3

k k

x 1||

k k x x --

0 1 2 3 4 5

4

3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.347529903

0.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481

此时

5

x 已满足误差要求，即

5* 3.347529903

x x ≈=

（3）由于'(*)0.1363231290x ?≈≠，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有

1lim

'(*)

k k k

e x e ?+→∞

=。

例7-4 对于迭代函数2

()(2)x x C x ?=+-，试讨论： （1）当C 为何值时，

1()(0,1,2,...)

k k x x k ?+==产生的序列

{}k x 收敛于

2；

（2）C 为何值时收敛最快？

（3）分别取

12C =-

，

1

22-

，计算()x ?的不动点2，要求

5

1||10

k k x x -+-<

解： （1）2

()(2)x x C x ?=+-，'()12x Cx ?=+，根据定理7.3，当

|'(2)||122|1C ?=+<，亦即

10

2

C -<<时迭代收敛。

（2）由定理7.4知，当'(2)1220C ?=+=，即1

22C =-

时迭代至少是二阶收敛的，

收敛最快。

（3）分别取

11

,222C =

-

，并取0 1.2x =，迭代计算结果如表7-4所示。

表7-4

k

1

()

2C =-

k x

k

1

()

22C =-

k x

0 1 6 12 13 1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327 0 1 2 3 4 1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562

此时都达到

5

1||10

k k x x -+-<.事实上2 1.414213562...=,

例7-5 给定初值02

0,

x a ≠以及迭代公式

1(2),0,1,2,...

k k k x x ax k +=-=,常数0a ≠

证明: (1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列

{}k x 收敛的充要条件是

0|1|1

ax -<．

解: (1) 显然,迭代函数为()(2)x x ax ?=-,且

1

1

()a a ?=

,即1

a 是()x ?的不动点.又

'()2(1),''()2x ax x a ??=-=-,所以1

'()0a ?=,1

''()20

a a ?=-≠，由定理7.4知，

迭代是二阶收敛的，且

12

11

lim

''()2

k k k

e a

e a

?+→∞

=

=-．

（２）因

11(1)

k k k e x ax a

a =-

=-，令

1

k k r ax =-，则

11(1),k k k k k

x x r e r a

+=-=

然而

112

111

1(1)1

(1)(1)1k k k k k k k r ax ax r r r r -----=-=--=+--=-

故 24

21

20

...k

k k k r r

r r

--=-=-==-

2

11k

k k e r r a

a

=

=-

由此可知

lim 0

k k e →∞

=等价于lim 0

k k r →∞

=，而lim 0

k k r →∞

=又等价于

0||1

r <，即

0|1|1

ax -<．

注 （１）的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明．另外，本题迭代式实际上

是对1

()f x a x =-

使用牛顿迭代法而得．

例7-6 对

3

(),0x x x x ?=+=为()x ?的一个不动点,验证迭代1()k k x x ?+=对任意00x ≠不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并说明斯蒂芬森迭代计算()x ?的不动点0x =时的收敛阶.

解 由于2

'()13x x ?=+,当0x ≠时|'()|1x ?>,且有

1|0||()0||'()(0)|k k k x x x ??ξ+-=-=-,ξ介于k x 与0之间,若00,1

x L ≠>,迭代不收敛.

若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得 14

2

(),()33k k x x x x x x x ψψ+==-

++

2

'(0)3ψ=

,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.

由于2

'(0)0

3ψ=≠,故用斯蒂芬森迭代计算不动点0x =时,收敛阶1p =.(请读者注意,这一

结论与定理7.5的结论是否矛盾?) 例7-7 当R 取适当值时,曲线

2

y x

=与

222

(8)y x R

+-=相切,试用迭法求切点横坐标的近

似值,要求不少于四位有效数字,且不必求R. 解

2

y x

=的导数'2y x =,由222

(8)y x R +-=确定的函数y 的导数满足

2'2(8)0yy x +-=,由两曲线相切的条件,可得

2

222(8)0x x x ??+-=

即 3

280x x --=

令3

()28f x x x =--,则(1)0,(2)0,()0f f f x <>=在(1,2)内有实根.又

2

'()610f x x =+>,故()0f x =仅有一个根,构造迭代公式 1

318(),()(

),(1,2)

2

k k x x x x x ??+-==∈,

则当[1,2]x ∈时,1()2x ?≤≤.

2

2

331811

|'()||()|()1

6263x x L ?--=-≤=<

故迭代收敛.取

0 1.5

x =,计算结果如表7-5所示.

表7-5

k

k

x

1||

k k x x --

k

k

x

1||

k k x x --

1 1.5 1.481248

0.018752

2 3 1.482671

1.482563

0.001423

由于

3

3321|*|||10

12

L x x x x L

--≤

-<

?-,故可取

3* 1.483

x x ≈=,即可保证两曲线切点的横

坐标的近似值具有四位有效数字.

例7-8 曲线3

0.511y x x =-+与2

2.4 1.89y x =-在点(1.6,1)附近相切,试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值

1

k x +,使

5

1||10

k k x x -+-≤.

解 两曲线的导数分别为

2

'30.51

y x =-和' 4.8y x =,两曲线相切,导数相等,故有

2

3 4.80.510x x --= 令

2

()3 4.80.51

f x x x =--,则(1)0,(2)0f f <>,故区间[1,2]是()0f x =的有根区间.又

当[1,2]x ∈时,'()6 4.80f x x =->,因此()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x .对()f x 应用牛顿迭代法,得计算公式

3

10.00010810

2-<

?

2

13 4.80.51

,0,1,2,...

6 4.8

k k k k k x x x x k x +--=-

=-

由于''()60f x =>,故取02

x =迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示.

表7-6

k

k

x

k

k

x

1 2

2.0 2.293055556 1.817783592 3 4 5 1.706815287 1.700025611

1.7

继续计算仍得

6 1.7

x =,故* 1.7x =.

注 本题也可令3

2

0.511 2.4 1.89x x x -+=-,解得切点横坐标满足方程

3

2

() 2.451 2.890f x x x x =--+=,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时2m =.仍

取

02

x =,经四步可得* 1.7x =.

例7-9(牛顿迭代法收敛定理)设()f x 在[,]a b 上具有二阶连续导数,且满足条件 (1)()()0;f a f b <

(2)在[,]a b 上'()0,''()0;f x f x ≠≠ (3)

0[,]

x a b ∈满足

00()''()0

f x f x >.

则由牛顿迭代法产生的序列{}k x 单调收敛于

()0f x =在[,]a b 内的惟一实根*x ,并且是平方

收敛的.

证明 因()f x 在[,]a b 上连续,由条件(1)知,方程()0f x =在(,)a b 内有根*x .又由于条件(2)知'()f x 在[,]a b 上恒正或恒负,所以()f x 在[,]a b 上严格单调,因而*x 是()0f x =在(,)a b 内的惟一实根.

条件(1),(2)共有四种情形:

(1)()0,()0,'()0,''()0,[,];f a f b f x f x x a b <>>>?∈ (2)()0,()0,'()0,''()0,[,];f a f b f x f x x a b <>><<>?∈

(4)()0,()0,'()0,''()0,[,].f a f b f x f x x a b ><<

000[,],()''()0

x a b f x f x ∈>可知

0()0

f x >,再由'()0f x >知()f x 单增且0*

x x >.又由

牛顿迭代法知

0100

0()'()

f x x x x f x =-

<

又台劳展开得 2

000001()()'()()''()()

2!

f x f x f x x x f x x ξ=+-+-

其中

ξ介于x 与

x 之间.利用(*)0f x =,得

*2

00000*

2

000000*

2

01001()'()(*)''()(*)02

()''()1*(*)'()

2'()

''()1(*)

2'()

f x f x x x f x x f x f x x x x f x f x f x x x f x ξξξ+-+-==--

-=

-

-

由'()0,''()0f x f x >>以及前面证明的10

x x <,有

10

*x x x <<

一般地,设

1

*k k x x x -<<,则必有

()0

k f x >且

1()'()

k k k k

k f x x x x f x +=-

<

同样由台劳公式

2

1()()'()()''()()

2!

k k k k k f x f x f x x x f x x ξ=+-+-

及(*)0f x =,得

*2

*

2

*

2

111()'()(*)''()(*)02

()''()1*(*)'()

2'()

''()1(*)2'()

k k k k k k k k k k k k k k k k

k f x f x x x f x x f x f x x x x f x f x f x x x x x f x ξξξ+++-+-==--

-=

-

-<<

根据归纳法原理知,数列{}k x 单调下降有下界*x ,因此有极限.设lim k

k x l

→∞

=.对迭代式

1'()

k k k k x x f x +=-

两端取k →∞的极限,并利用()f x .'()f x 的连续性知()0f l =,即

*l x =.

由上述证明知,有关系式

12

*1''(*)lim

(*)

2'(*)

k k k x x f x x x f x +→∞

-=

-,即对于单根,牛顿迭代法是平方收敛的.

例7-10 设函数()f x 具有二阶连续导数,{}

(*)0,'(*)0,''(*)0,k f x f x f x x =≠≠是由牛顿

迭代法产生的序列,证明

12

1''(*)lim

()

2'(*)

k k k k k x x f x x x f x +→∞

--=-

-

解 牛顿迭代法为

1(),0,1,2,...

'()

k k k k f x x x k f x +=-

=

故 1()'()

k k k k f x x x f x +-=-

2

112

112

12

12122

11()'()()'()()()(*)['()][()(*)]'()'()['()]

(*)

'()['()](*)

k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f f x x x f x f x x ξξ+--------??

-=-=??-??--

=

---

-

其中

k

ξ介于

k

x 与*x 之间,

1

k ξ-介于

1

k x -与*x 之间,根据式(7.14)得

2112

2

2

111'()['()]*

lim lim

()

'()['()](*)

1''(*)2'(*)

k k

k k k k k k k k k k x x f f x x x x x f x f x x f x f x ξξ+-→∞

→∞

-----=-=

---

例7-11 设()f x 具有连续的m 阶导数,*x 是()0f x =的m 重根{}

(2),k m x ≥是由牛顿迭

代法产生的序列,证明

(1)

1*1lim

1;

*k k k x x x x m +→∞

-=-

-

(2)

11

1lim

1;

k k k k k x x x x m +→∞

--=-

-

(3)

111

lim

.

2k k

k k k k m x x x -→∞

-+=-+

证明 (1)因*x 是()0f x =的m 重根,则()f x 可以表示成

()(*)(),()m

f x x x h x h x =-≠

所以

1

1

'()(*)()(*)'()

(*)

[()(*)

'()]

m m

m f x m x x

h x x x

h x x x m h x x x h x --=-+-=-+-

由牛顿迭代法1()'()

k k k k f x x x f x +=-

得

11

(*)()

**(*)

[()(*)'()]

()

(*)1()(*)'()m

k k

k k m k k k k k k k k k x x h x x x x x x x m h x x x h x h x x x m h x x x h x +---=--

=

-+-??--??

+-??

故

1*1lim

1*

k k k x x x x m

+→∞

-=-

-

(2)

111

11

11111

111111()'()()'()

(*)()(*)[()(*)'()]

(*)()(*)[()(*)'()]

*()()(*)*()k k k k k k k k m

m k k k k k k m

m k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x x x h x x x m h x x x h x x x h x x x m h x x x h x x x h x m h x x x h x x h x +----------------=

=

---+-=

--+-????-+- ? ?

-????1'()

()(*)'()k k k k x m h x x x h x -+-

利用(*)0h x ≠及(1)的结论得

11

1lim

1;

k k k k k x x x x m +→∞

--=-

-

(3)先证明牛顿迭代函数

()

()'()f x x x f x ?=-

的导函数

1'()1(*)

x x x m

?→-

→

因*x 是()f x 的m 重零点,则由假设,()f x 具有m 阶连续导数,得

(1)

(

)

(*)'(*)...

(*)

0,(*)

m m f x f x f x f x -====≠

且

()

1()

1

2()

2

31

()()(*)!

1

'()()(*)

(1)!

1''()()(*)

(2)!

m m

m m m m f x f x x m f x f

x x m f x f

x x m ξξξ--=-=--=

--

其中

123

,,ξξξ介于x 与*x 之间,故有

()

()

132

()

2

*

*

2()()

()''()11'(*)lim

lim

1['()]

[()]

m m m n x n x f f

f x f x m x f x m

f

m

ξξ?ξ→→-===-

而

1111

111112()()

1'()()

1'()

k k

k k

k k k k k k k k k

k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x ?ξ?ξ---+-+-----=

=

-+----=

-+--

所以

111

11

lim

lim

121'()

1(1)

k k

k k k k k k x x m x x x m

?ξ-→∞

→∞

-+-==

=-+---

注 结论(1)和

1

'(*)1x m ?=-

都表明牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论(3)可以用来计

算重根数m .

例7-12 考虑下列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法)

2

1()

(())()

k k k k k k f x x x f x f x f x +=-

+-

设()f x 有二阶连续导数,(*)0,'(*)0f x f x =≠,试证明该方法是二阶收敛的. 证明 将

(())

k k f x f x +在

k

x 处作台劳展开,得

2

1

(())()

'()()

''()()

2

k k k k k k

f x f x f x f x f x f f x ξ+=

++

其中ξ介于

k

x 与

()

k k x f x +之间,于是

2

11(())()'()()''()()

2

()

**1'()''()()

2

k k k k k k k k k k k f x f x f x f x f x f f x f x x x x x f x f f x ξξ++-=+-=--

+

由于*x 是()0f x =的单根,故

()(*)(),(*)0f x x x h x h x =-≠ 所以

12

'()()(*)'()(*)()

**1()(*)'()''()()

2

()

(*)11

()(*)'()''()()21(*)

'()''()()21()(*)'()2k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f x h x x x h x x x h x x x x x h x x x h x f f x h x x x h x x x h x f f x x x h x f h x h x x x h x ξξξ+=+---=--

=

+-+

????--=????+-+??

??

-+????

+-+''()()

k f h x ξ??

????

故

12

1

'(*)(*)''(*)

*2

lim

(*)

(*)

k k k h x h x f x x x x x h x +→∞

+-=

-

即迭代法是二阶收敛的.

四、学习效果测试题及答案

1、证明方程1020x

e x +-=在(0,1)内有一个实根*x ,并用二分法求这个根.若要求

6

|*|10

n x x --<,需二分区间[0,1]多少次?

(答案:当

3

|*|10

n x x --<时

9*0.090820313

x x ≈=对分次数120k +≥.)

2、对方程230x x e -=,确定[,]a b 及()x ?,使1()k k x x ?+=对任意0[,]

x a b ∈均收敛,并求出方

程的各个根,误差不超过4

10-. (答

案:(1)

21[,][1,0],(),*0.458962267

3

x

a b x e x ?=-=-

≈-;(2)

2

1[,][1,0],(),*0.910007572

3

x a b x e x ?==

≈;(3)

2

[,][3,4],()ln(3),* 3.733079028a b x x x ?==≈)

3、建立一个迭代公式计算222...++

+,分析迭代的收敛性,取00x =,计算6x .

(答案:

162,0,1,2,..., 1.999397637

k k x x k x +=

+==.)

4、试分别采用

1()2ln x x

?=+和

2

2()x x e

?-=的斯蒂芬森迭代法求方程ln 2x x -=在区间

(2,)+∞内的根*x ,要求

8

1

|

|10

k k k

x x x ---≤.

(答案:取

03

x =,其解分别为

4 3.146193220

x ≈和

5 3.146193262

x =.)

5、由方程4

2

()440f x x x =-+=求二重根*2x =

,试用牛顿法(7.13),有重根时的牛顿法

(7.15),(7.16)计算*x ,要求8

1

||10

k k x x -+-<.

(答案:三种方法均取

0 1.5

x =,分别得

24331.414213568, 1.414213562, 1.414213562.

x x x ===)

6、用弦切法求Leonardo 方程

32

()210200f x x x x =++-=的根,要求6

1||10k k x x -+-<.

(答案:取

021,2

x x ==,用式(7.17)得

5 1.368808108

x =.)

7、用抛物线法求解方程3

310x x --=在02

x =附近的根,要求

6

1||10

k k x x -+-<.

(答案:取

02361,2, 2.5,* 1.879385242.

x x x x x ===≈=)

8、试构造一个求方程2x

e x +=根的收敛的迭代格式,要求说明收敛理由,并求根的近似值k x

,使3

11||10

2k k x x ---≤

?.

(答案:有根区间[0,1],不动点迭代式

1()ln(2)

k k k x x x ?+==-,取

0140.5,*0.442671724

x x x =≈=.另外,也可用牛顿迭代法求解得3*0.442854401.

x x ≈=)

9、试确定常数,,p q r ,使迭代公式

215

k k k

a

x px q

x +=+

产生的序列收敛到3

a ,并使其收敛阶尽可能高.

(答案:利用定理7.4可得

51

,9

9p q r ==

=-

,且3

'''()0a ?≠,此时迭代法三阶收敛.)

10、2

()()()()()x x p x f x q x f x ?=--,试确定函数()p x 和()q x ,使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.

(答案:利用定理(7.4)可得3

11

''()

(),().

'()

2['()]

f x p x q x f x f x =

=

)

五、课后习题全解

1、用二分法求方程2

10x x --=的正根,要求误差小于0.05.

解 设2

()1,(1)10,(2)10f x x x f f =--=-<=>,故[1,2]为()f x 的有根区间.又

'()21f x x =-,故当

1

02x <<

时,()f x 单增,当

1

2x >

时()f x 单增.而

15

(),(0)124f f =-=-,由单调性知()0f x =的惟一正根*(1,2)x ∈.根据二分法的误差估

计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需1

1

0.05

2

k +<,解得1 5.322k +>,故至少应二分6次.具体

计算结果见表7-7.

表7-7

k

k

a

k

b

k

x

()k f x 的符号

0 1 2 3 4 5

1 1.5 1.5 1.5 1.5625 1.59375

2 2 1.75 1.625 1.625 1.625 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.59375 1.609375 - + + - - -

- 即

5* 1.609375

x x ≈=.

2、为求3210x x --=在0 1.5

x =附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应

的迭代公式:

(1)2

1

1x x =+

,迭代公式

12

11k k

x x +=+

;

(2)321x x =+,迭代公式12

3

1(1)k k x x +=+;

(3)2

1

1x x =

-,迭代公式

111

k k x x +=

-.

试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解 取

0 1.5

x =的邻域[1.3,1.6]来考察.

(1)当[1.3,1.6]x ∈时,

2

3

3

122()1[1.3,1.6],|'()|||1

1.3

x x L x

x

??=+

∈=-

≤

=<,故迭代公式

12

11k k

x x +=+

在[1.3,1.6]上整体收敛.

(2)当[1.3,1.6]x ∈时

21/3

2

2

2

2

3

3

()(1)

[1.3,1.6]

22 1.6

|'()||

|0.5221

3

3

(1)(1 1.3)x x x x L x ??=+∈=

<

≤=<++

故

1

2

3

1(1)k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛.

(3)3/2

111(),|'()|||1

2(1)

2(1.61)

1

x x x x ??-=

=>

>---故111

k k x x +=

-发散.

由于(2)的L 叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 3

11|*|||10

12k k k L x x x x L

---≤

-<

?-

即

3

3

111||10

0.510

2

k k L x x L

-----<

?

?

取

0 1.5

x =计算结果见表7-8.

表7-8

k

k

1 2 3

1.481248034 1.472705730 1.468817314 4 5 6 1.467047973 1.466243010 1.465876820

k

x k

x

由于

3

651||10

2

x x --<

?,故可取

6* 1.466

x x ≈=.

3、比较求1020x

e x +-=的根到三位小数所需的计算量: (1)在区间[0,1]内用二分法;

(2)用迭代法1210

k

x k e x +-=

,取初值

00

x =.

解 (1)因*[0,1],(0)0,(1)0x f f ∈<>,故0*1x <<,用二分法计算结果见表7-9. 表7-9

k

k

a

k

b

k

x

()k f x 的符号

1

1

2

k +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 0 0 0 0.0625 0.0625 0.0778125 0.0859375 0.08984375 0.08984375 0.08984375 0.090332031 0.090332031 0.090454101 0.090515136 1 0.5 0.25 0.125 0.125 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.091796875 0.090820312 0.090820312 0.090576171 0.090576171 0.090576171 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.09375 0.078125 0.0859375 0.08984375 0.091796875 0.090820312 0.090332031 0.090576171 0.090454101 0.090515136 0.090545653 + + + - + - - - + + - + - - + 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 0.001953125 0.000976562 0.000488281 0.00024414 0.00012207 0.000061035 0.000030517

此时

4

1414

15

11|*|0.00003051710,*2

2

x x x x --≤

=<

?≈具有三位有效数字.

(2)当[0,0.5]x ∈时,

1()[0,0.5],|'()|||0.825

10

x

x x e L ??∈=

-≤=,故迭代试

11(2)

10

k x

k x e +=

-在[0,0.5]上整体收敛.取

00

x =,迭代计算结果如表7-10所示.

表7-10

k

k

x k

k

x

1 2

0.1 0.089482908

4 5

0.090512616 0.090526468

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析最佳习题(含答案)

第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v

数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因,

故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和.

解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）

（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析试卷及答案

二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。

3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，

4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，

数值分析习题

习题1 1． 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免 误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字. 3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===? 5. 证明1.2.3之定理1.1. 6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形） 7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差. 8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字. 9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有 r r xf x f x k x k f x εε'≈= () (())(),() 其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2 x π ≈时是病态问题． 11. 定义多元函数运算 1 1 1,,(),n n i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中 求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析复习题及答案

数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--

则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析第四版习题及答案

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能

使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析1-4习题及答案

1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

数值分析习题集及答案Word版

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析习题

第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）