线性代数性质定理复习
第一章
行列式
本章重点是行列式的计算，对于n 阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。
1、行列式的性质
（1）行列式与它的转置行列式相等，即
=T
D D
。
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。
（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。 （4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k
，等于用数
k
乘此行列式；换句话说，若行列
式的某一行（列）的各元素有公因子
k
，则
k
可提到行列式记号之外。
（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数
k
，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。
（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。
2、行列式的按行（按列）展开 （1）代数余子式：把n 阶行列式中
(),i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划掉后所剩的1-n 阶行
列式称为
(),i j 元ij a 的余子式，记作ij M ；记()
1+=-i j
ij
ij A M ，则称ij A 为
(),i j 元ij a 的代数余子式。
（2）按行（列）展开定理：
n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和，即可按第i 行
展开：
1122...,(1,2,...,)=+++=i i i i in in D a A a A a A i n
也可按第j 列展开：
1122...,(1,2,...,)=+++=j j j j nj nj D a A a A a A j n
（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
1122...0,()+++=≠i j i j i n j n a A a A a A i j ；
或
1122...,()+++≠i j i j ni nj a A a A a A i j 。
3、克拉默法则：
,(1,2,...,)=
=i i D x i n D
，其中i D 是把D 中第i 列元素用方
程右端项替代后所得到的行列式。 4、常用的行列式
上（下）三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积；特别，（主）对角行列式等于其对角线上各元素的乘积。学会利用行列式各性质将行列式化为三角形，以方便计算。
第二章
矩阵及其运算
了解矩阵的加法、数乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式等概念。本章重点是要熟练掌握矩阵的线性运算（加法与数乘）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式及其运算规律；掌握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。
1、矩阵的运算 （1）矩阵加法满足
(),,∈m n A B C M
（a) +=+A B B A
（b)
()()++=++A B C A B C
（2）数乘矩阵满足
(),,,λμ∈∈m n R A B M （a) ()()λμλμ=A A
（b) ()λμλμ+=+A A A （c) ()λλλ+=+A B A B
（3）矩阵与矩阵相乘满足（前面矩阵的列数=后面矩阵的行数）
（a) ()()=A B C A B C
（b) ()+=+A B C A B A C
（c) ()()()λλλ==A B A B A B
注意：
（a) 一般情况下，
≠A B B A ；若=AB BA ，则称,A B 是可交换的。
（b) 即便
0=A B ，,A B 可以都不是零矩阵。
（4）矩阵的转置满足
（a)
()
=T
T
A A
（b)
()+=+T
T
T
A B A B
（c)
()λλ=T
T
A A
（d)
()
=T
T
T
A B B A
（e)
000=?=?=T
T
A A AA A
（5）方阵的幂
k
A
（k 为正整数，
∈n A M ）
（a)
()
;
+==l
k l
k l
k
kl
A A A
A A
（
,k l 均为正整数）
。 （b) 若
方
阵
,A B
是不可交换的，则
()
()
2
2
2
2;
+≠++≠k
k k
A B A A B B A B A B
。
（6）方阵的行列式（
,A B 均为方阵）满足
（a)
=T
A
A
。
（b) λλ=n
A A
（c)
=AB A B
2、逆矩阵 （1）定义：设
∈n A M ，若有∈n B M ，使得==A B B A E （单位阵）
，则称矩阵
A 是可逆的，
B 是A 的逆阵，记作1
-=B A
。
（2）方阵
A
可逆
0?≠A ?
有
B
，使
=A B E ?
有
B
，使
=B A E 。
（3）逆阵的性质
（a) 若
A 可逆，则1
-A 也可逆，且
()
1
1--=A A （b) 若
A 可逆，则T
A
也可逆，且
()
()
1
1
--=T
T
A A
（c) 若
A 可逆，0≠k ，则kA 也可逆，且()
1
1
1--=
kA A
k
（d) 若
,A B
均可逆，则
,A B
也可逆，且
()
1
1
1
---=A B B
A
（4）伴随矩阵：设
∈n A M ，A 的伴随阵*
A
定义为
()
*
=T
ij A A ，（其中
ij A 是
A
中
(),i j 元的代数余子式。
伴随阵的性质：
（a)
*
*
==A A A A A E
（b) 若
0≠A ，则1
**1
1,--=
=A
A A A A
A
（c) 若
0≠A ，则(
)()
*
1
1
*
1--==
A
A A A
（d)
1
*
-=n A A
（e)
()
()
*
*
=T
T
A A
3、克拉默法则的矩阵表示
若
0≠A ，则方程组=A x b 有唯一解1
*
1-==
x A b A b A
。
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
本章重点是要熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形的方法，并熟练掌握用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。
理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。 1、定义
初等行变换：
();;??+i
j i i j r
r r k r kr ；
初等列变换：
();;??+i
j i i j c
c c k c kc ；
初等变换： A B ，即A 与B 等价，秩相等。
2、矩阵的秩 （1）矩阵A 的最高阶非零子式的阶数r ，称为矩阵A 的秩，记作()=R A r 。
（2）
()=?R A r A
的最简形含
r
个非零行
?A
的标准形
00
0???
=
???r
m n
E F 。
（3）矩阵的秩的性质：
（a)
(){}0m in ,?≤≤m n R A m n 。
（b)
()()
=T
R A
R A 。
（c)
()()?= A B R A R B 。
（d) 若,P Q 可逆，则
()()=R PA Q R A 。
（e)
()(){}()()()
max ,,≤≤+R A R B R A B R A R B 特
别，当=B b 时，有()()(),1≤≤+R A R A b R A 。
（f)
()()()+≤+R A B R A R B 。
（g)
()()(){}min ,≤R AB R A R B 。
（h) 若
0??=m n n l A B ，则()()+≤R A R B n 。
3、线性方程组理论 （1）
n 元非齐次线性方程组=A x b 有解的充要条件是()(),=R A R A b ，当
()(),==R A R A b n 时有唯一解；当()(),= 无穷多解；无解的充要条件是 ()(), （2） n 元齐次线性方程组0=A x 有非零解的充要条件是() 件是 ()=R A n 。 （3）矩阵方程 =AX B 有解的充要条件是()(),=R A R A B 。 第四章 向量组的线性相关性 在本章学习中，，要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换，，突出的典型问题是对 ()()1212,,...,,,...,, ()?==l m m l b b b a a a K B A K 所作的解释： 矩阵语言： B 是A 与K 的乘积矩阵； 方程语言： K 是矩阵方程 =AX B 的一个解； 几何语言：向量组 B 能由向量组A 线性表示，K 是这一表示的系数矩阵。 理解向量组线性组合以及一个向量（或向量组）能由一个向量组线性表示的概念，特别地，要熟悉这些概念和线性方程组的联系。理解向量组线性相关和线性无关的概念，并熟悉它们与齐次线性方程组的联系。理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。 本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并能熟练地求出基础解系，理解齐次与非齐次线性方程组通解的构造。 1、 n 维向量、向量组 n 个有次序的数12,,,n a a a 构成的有序数组称为n 维向量，记作 ()12 12,,,...,?? ? ?== ? ??? T n n a a a a a a a a a 与T a 分别称为列向量和行向量，也就是列矩阵和行矩阵。 若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示 （1）向量 b 能由向量组12:,,...,m A a a a 线性表示 ?方程组()1122...+++==m m x a x a x a b A x b 有解 ? ()()1212,,...,,,...,,=m m R a a a R a a a b （定理1） （2）向量组 12:,,...,l B b b b 能由向量组12:,,...,m A a a a 线性表示?矩阵方程 ()()()1212,,...,,,...,==m l a a a X b b b A X B 有解 ()(),?=R A R A B （定理2） （3 ） 向 量 组 A 与向量组 B 等价（能相 互 线 性 表 示 ） ()()(),?==R A R B R A B （4）若向量组B 能由向量组A 线性表示，则()()≤R B R A 。 （定理3） 3、线性相关与线性无关 向量组 12:,,...,m A a a a 线性相关 ?齐次线性方程组 ()1122 0 0+++==m m x a x a x a A x 有非零解 ? ()12,,..., () 12,,...,2≥m a a a m 线性相关的充要条件是存在某个向量 ()1≤≤j a j m ，它能由其它1-m 个向量线性表示。 4、向量组线性相关性的重要结论 （1）向量组 12,,...,s a a a 线性相关，则向量组121,,...,,,...,+s s m a a a a a 也线性 相关。（定理5-1） （2）m 个n 维向量组成的向量组，当m n >，即个数大于维数时一定线性相关。（定理5-2） （3）设向量组 12:,,...,m A a a a 线性无关，而向量组12,,...,,m a a a b 线性相关， ，则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的。（定理5-3） 5、向量组的最大无关组与向量组的秩 （1）定义：如果在向量组中能选出r 个向量12,,...,r a a a ，满足 （a) 向量组012:,,...,r A a a a 线性无关； （b) 向量组 A 中任意1+r 个向量都线性相关，那么称向量组0A 是向量组A 的一个最大无关 组；最大无关组所含向量个数r 称为向量组A 的秩，记作A R 。只含零向量的向量组没有最大 无关组，规定它的秩为0。 （c) 上述条件（b ）可改为：向量组 A 中任一向量都能由向量组 0A 线性表示。 （2）只含有限个向量的向量组 12:,,...,m A a a a 构成矩阵() 12,,...,=m A a a a ，矩阵 A 的秩等于向量组 A 的秩，即 ()()12,,...,==m A R A R a a a R 。 （定理6） 6、齐次线性方程组0=A x 的基础解系与通解 设 n 元齐次线性方程组0?=m n A x 的解集为S ，则 =-S R n r ；解集S 的一 个最大无关组称为齐次线性方程组的基础解系，其中含 =-S R n r 个解向量。设 12,,...,ξξξ-n r 为齐次线性方程组的基础解系，则其通解为 () 1 1 2 2 12...,,...ξξξ-- -=++∈n r n r n r x c c c c c c R 7、非齐次线性方程组 =A x b 的通解 设非齐次线性方程组=A x b 的一个解为* η ，对应的齐次线性方程组0=A x 的基础解 系 为 12,,...,ξξξ-n r ， 则 非 齐 次 方 程 组 的 通 解 为 * 1122...ξξξη--=+++n r n r x c c c 。 8、向量空间 （1）设V 是n 维向量的集合，如果V 非空，且对向量的线性运算封闭，那么V 就称为向量空间。 向量空间V 的最大无关组称为V 的基，向量空间V 的秩V R 称为V 的维，若V R r =，则称V 为r 维向量空间。 设r 维向量空间的一个基为12,,...,r j j j ，则任一向量v V ∈，总有唯一的一组有序数 12,,...,r λλλ，使1122 ...r r v j j j λλλ=+++，有序数组12,,...,r λλλ就称为向量v 在基12,,...,r j j j 下的坐标。 （2）给定n 维向量组12:,,...,m A a a a ，集合 (){}12112212,,...,...,,...,m m m m L a a a x k a k a k a k k k R ==+++∈ 是一个向量空间，称为由向量组A 所生成的向量空间。 向量组A 与向量组B 等价，则由它们所生成的向量空间相等。 第五章 相似矩阵及二次型 本章的重点特征值与特征向量的计算与矩阵的对角化，特别是对称矩阵的对角化。而求得正交矩阵 P ，使()1 12,,...,T n P AP P AP diag λλλ-==Λ=，既是相似，又是合同。学好本章的关键是掌 握对称矩阵正交相似对角化的原理和步骤，其它概念如向量的内积、正交、施密特正交化方法、正交矩阵、特征值和特征向量等都围绕正交相似对角化这一中心议题。要熟练地掌握特征值和特征向量的求法以及它们和正交矩阵的关系。 1、 向量的内积、长度及正交性 （1）设有n 维向量 112 2 ,::n n x y x y x y x y ????????????==???????????? 则[]1122,...T n n x y x y x y x y x y =+++= 被称为向量x 与y 的内积。 （2）非负实数[]222 12,...n x x x x x x = = +++ 被称为向量x 的长度（或范数） 。当1x =时，称x 为单位向量。00x x =? =。 （3）当[],0T x y x y ==时，称向量x 与y 正交。零向量与任何向量都正交。 2、正交向量组： 一组两两正交的非零向量称为正交向量组。正交向量组一定线性无关。 给定一个线性无关的向量组A ，寻求一个与A 等价的正交向量组，称为把向量组A 正交化。 施密特正交化过程：设向量组A ：12,,...,r a a a 线性无关，令 11b a =； [] [] 1222111,,b a b a b b b =- ； …… [][][][][] [] 121121112211,,,...,,,r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=- --- 则向量组12,,...,r b b b 两两正交，且与A 组等价。 设n 维向量12,,...,r e e e 是向量空间V （n V R ?）的一个基，如果12,,...,r e e e 两两正交，且都是单位向量，则称12,,...,r e e e 为V 的一个规范正交基。 3、正交矩阵 如果n 阶矩阵A 满足 T A A E =，则称A 为正交矩阵，简称正交阵。 （1）T T A A E AA E =?=； （2）A 可逆，且1 T A A -=； （3）A 的行（列）向量组两两正交，且都是单位向量。 4、特征值与特征向量 （1）设A 是n 阶矩阵, 若有数λ和n 维非零向量x 使关系式x x A λ=，则称λ为方阵A 的特征值, 非零向量x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量。 （2）λ的n 次多项式 ()11121212221 2 n n n n nn a a a a a a f A E a a a λ λλλλ --= -= - 称为n 阶矩阵A 的 特征多项式，0A E λ-=称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根就是A 的特征值。在复数范围内恒 有解，n 阶矩阵A 有n 个特征值（重根按重数计算）。 设方阵A 的特征值为12,,...,n λλλ，则有 1）121122......n nn a a a λλλ+++=+++； 2）12...n A λλλ= 3）若λ是方阵A 的特征值，则k λ是k A 的特征值；()? λ是矩阵多项式()A ?的特征值（其中 ()01...m m a a a ?λλλ=+++；()01...m m A a a A a A ?=+++）。 （3）设λ是方阵A 的一个特征值，则齐次方程0A E λ- =的全部非零解就是方阵A 对应于特征值λ 的全部特征向量，而该齐次方程的基础解系就是对应于特征值λ的全体特征向量的最大无关组。 （4）设12,,...,r λλλ是方阵A 的r 个特征值，对应的特征向量依次为12,,...,r p p p ，如果12,,...,r λλλ各不相等，则12,,...,r p p p 线性无关。 5、相似矩阵 （1） 对于n 阶矩阵A 和B , 若有可逆矩阵P ，使得B AP P =-1 ,则称A 与B 相似,把A 化成B 的 运算，称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵。 若矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同，从而有相同的特征值。 （2） 若矩阵A 与对角阵相似（此时，称矩阵A 能相似对角化），即若有可逆矩阵P ，使得 ()1 12,,...,n P AP diag λλλ-=Λ=,则 1）12,,...,n λλλ是A 的n 个特征值； 2）P 的第i 个列向量i p 是A 的对应于i λ的特征向量； 3）矩阵A 能相似对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 6、对称矩阵的对角化 （1）对称矩阵的性质 1) 对称矩阵的特征值都是实数； 2) 对应不同特征值的特征向量正交； 3) 给定对称阵A ，存在正交阵P ，使()1 12,,...,T n P AP P AP diag λλλ-==Λ=。 （2）对称阵A 对角化的步骤 1) 求出A 的全部互不相等的特征值1,...,s λλ，它们的重数依次为()11,...,...s s k k k k n ++=。 2) 对每个i k 重特征值i λ，求方程()0i A E x λ- =的基础解系，得i k 个线性无关的特征向量。再把 它们规范正交化，得i k 个两两正交的单位特征向量。因1...s k k n ++=，故总共得到n 个两两正交的单位特征向量。 3) 把这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ，便有1 T P AP P AP -==Λ。 7、二次型化标准形 （1）二次齐次函数 222 12111222121213131,1(,,,)...222n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++ 称为二次型。 令ji ij a a =,() ()12,,,...,ij n A a x x x x == ，把二次型记作 T f x A x =，对称矩阵A 称为二次型 f 的矩阵, 并规定二次型f 的秩为矩阵A 的秩。 （2）二次型研究的主要问题是：寻求可逆变换y C x =, 使 2 2 2 1122()T T n n f C y y C A C y k y k y k y ==+++ 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（法式）。 当{}1,1,0,1,2,...,i k i n ∈-=时，则称上式为二次型的规范形。 （3）对于n 阶矩阵A 和B , 若有可逆矩阵C 使得B C A C =T ,则称矩阵A 与B 合同。把A 化为B 的变换称为合同变换。 对二次型T f x A x =作可逆变换y C x =，相当于对对称矩阵A 作合同变换，把二次型化成标准形相当于把对称矩阵A 用合同变换化为对角阵（称为把对称矩阵A 合同对角化），即寻求可逆矩阵C ， 使()T 12,,...,n C AC diag k k k =。 （4）给定二次型T f x A x =，存在正交变换x Py =，使 ()222 11222...T T T n f P y y P A P y y y y y y λλλ= =Λ=+++ 其中12,,..,n λλλ为对称矩阵A 的n 个特征值。 （5）配方法是化二次型为标准形（规范形）的一种较为方便的方法。 8、惯性定理、正定二次型 （1）惯性定理：设二次型的标准形为2 2 2 1122,(0)r r i f k y k y k y k =+++≠ 则系数i k 中正数的个数是确定的，而且上式里项数（等于f 的秩）也是确定的。 在二次型f 的标准形中，正项个数称为f 的正惯性指数；负项个数称为f 的负惯性指数。若二次型 f 的秩为r ，正惯性指数为p ，则f 的规范形为 22222 121...p p r f y y y y y +=+++--- （2）如果()()0,0or 0x f x ?≠><, 则称二次型 f 为正（负）定的, 并称f 的矩阵A 是正（负） 定的，记作()0or <0A >。 T f x A x =正定?f 的正惯性指数p n = ?A 的n 个特征值全为正 ?A 的各阶主子式全为正 ?f 的规范形为2 2 2 12...T n f y y y y y ==+++ ?A 合同于单位阵E ?T A U U =，U 可逆。 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T 4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型 3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú 《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容： 二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。 收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值： 线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： 线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 - ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ????? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一 确定的：r m n E O F O O ??? = ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1 X A -=； ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1 A B -，即： 1(,)(,) c A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r A b E x ，则A 可逆，且1 x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、 12 n ?? ? ?Λ= ? ?? ? λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的 各列元素；线性代数公式大全最全最完美
线性代数基本定理-新版.pdf
《线性代数》课程教学大纲
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
线性代数性质公式
线性代数行列式算与性质
线性代数知识点总结
线性代数重要公式、定理大全
线性代数知识点归纳
线性代数知识点总结
线性代数公式大全——最新修订(突击必备)
最全线性代数公式笔记
线性代数常用公式
《线性代数》知识点 归纳整理
线性代数重要公式
相关主题
文本预览