1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时函数的奇偶性、单调性与最值
教学目标
(1)结合函数图象理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；
(2)掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 教学重难点
重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性．
难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用． 复习
1.正、余弦函数的最小正周期是多少？
2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期是多少？
探究一、正、余弦函数的奇偶性
问题：观察正弦曲线和余弦曲线，函数图象有怎样的对称性？分别反映出正、余弦函数具有什么性质？
1.正、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 探究二、正、余弦函数的单调性与最值
问题：观察正弦函数图象的变化趋势，能否求出正弦函数的单调区间以及正弦函数的最大值和最小值？
思考：类似地，能否求出余弦函数的单调区间以及余弦函数的最大值和最小值？
2.正、余弦函数的单调性
正弦函数在每一个闭区间???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间???
?π2＋2k π，3π
2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
思考1：正弦函数在每一个开区间（2kπ，π
2
＋2kπ）（k ∈Z ）上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是
增函数？
思考2：当自变量x 分别取何值时，正弦函数y ＝sin x 、余弦函数y =cos x 取得最大值1和最小值－1？
探究三、正、余弦函数的对称性
问题：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
问题：余弦曲线除了关于y 轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
3.正、余弦函数的对称性
正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．
y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )．
y ＝cos x 的对称中心为(k π＋π
2
，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．
正弦、余弦函数的性质
例题讲练
类型一、三角函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x )＝sin(23x ＋15π
2)；（2）f (x )＝sin(cos x )；（3）f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x ).
例2.若函数y ＝2sin(ωx ＋φ)是偶函数，则φ可能等于（）
A.π6
B.π3
C.π2
D.π 类型二、函数周期性与奇偶性的综合运用
例3.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈???
?0，π
2时，f (x )＝ sin x ，求f ????
5π3的值．
变式1.若f (x )是以π2
为周期的奇函数，且f ????π3＝1，求f ????－5π6的值．
例4.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，
x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数的解析式f (x )＝________．
类型三、三角函数的单调性
1.求y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间
例5.求函数y ＝2sin(x －π
3
)的单调区间．
例6.已知函数y ＝cos(π
3
－2x )，则它的单调减区间为________．
2.根据三角函数的单调性求解参数
例7.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ?
???ωx ＋π4在????π
2，π单调递减，则ω的取值范围是（） A.????12，54 B.????12，34C.???
?0，1
2D.(0,2]
例8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间???
?－π3，π
4上的最小值是－2，则ω的最小值等于（） A.23B.3
2
C.2
D.3
变式 2.已知函数f (x )＝sin ????ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为?
???k π－5π12，k π＋π
12(k ∈Z )，单调递减区间为?
???k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________．
类型四、正、余弦函数的值域与最值 例9.求下列函数的最大值和最小值：
(1)y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π
6)
(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5 (3)1
sin 21
sin 2-+=x x y
变式3.求下列函数的值域：
(1)y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π
2]
(2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4
类型五、三角函数的对称性
例10.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点????
4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．
课堂小结
1.正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y =Asin ωx 是奇函数，y =Acos ωx （A ω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.
课时作业
1.设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π4)(ω＞0，|φ|＜π
2
)的最小正周期为π，且是偶函数，则（）
A.f (x )在(0，π2)单调递减
B.f (x )在(π4，3π
4)单调递减
C.f (x )在(0，π2)单调递增
D.f (x )在(π4，3π
4
)单调递增
2.已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ????
π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是（）
A.????－π8，3π8
B.????π8，9π8
C.????－3π8，π8
D.????π8，5π
8 3.下列关系式中正确的是（）
A.sin11°＜cos10°＜sin168°
B.sin168°＜sin11°＜cos10°
C.sin11°＜sin168°＜cos10°
D.sin168°＜cos10°＜sin11°
4.已知奇函数f (x )在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（） A.f (cosα)＞f (cosβ) B.f (sinα)＞f (sinβ) C.f (sinα)＜f (cosβ) D.f (sinα)＞f (cosβ)
5.设αβ,都是锐角，且αβπ+=
2
3
，则cos()αβ-的取值范围是（） A.)21,21(- B.[21，1] C.（2
3，1） D.]1,21(-
6.若函数y ＝2cos ωx 在区间?
???0，2π
3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（） A.2 B.12C.3D.1
3
7.函数y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |在区间????
π2，3π2内的图象大致是（）
8.已知偶函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间是________．
9.函数y ＝cos(2x －π
3)在x ＝________时，取到最大值________．
10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?
???0<φ<2π
3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点????π6，3
2，求f (x )的单调递增区间．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时函数的奇偶性、单调性与最值
教学目标
知识与技能
(1)结合函数图象理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；
(2)掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 过程与方法：通过性质的概括和性质的应用加强学生数形结合的思想方法． 情感、态度、价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志． 教学重难点
重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性．
难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用． 教学分析
正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易.单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 教学方法：启发、诱导发现教学 教具：多媒体、实物投影仪 复习
1.正、余弦函数的最小正周期是多少？
2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期是多少？
导入新课
周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们本节课作进一步探究.
探究一、正、余弦函数的奇偶性
问题：观察正弦曲线和余弦曲线，函数图象有怎样的对称性？分别反映出正、余弦函数具有什么性质？
【提示】观察函数图象的对称性，我们发现，正弦函数图象关于原点对称，余弦函数图象关于y 轴对称． 这说明正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
从理论上加以验证，根据诱导公式三：sin(-α)＝-sin α，cos(-α)＝cos α，同样能够判断正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
1.正、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 探究二、正、余弦函数的单调性与最值
问题：观察正弦函数图象的变化趋势，能否求出正弦函数的单调区间以及正弦函数的最大值和最小值？
我们知道，正弦函数、余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期都是2π，因此，我们先研究正弦函数、余弦函数在一个周期内的单调性，再根据它的周期性，将单调性扩展到整个定义域R 上．那么，我们如何选择研究区间呢？
【提示】为了方便研究，我们研究正弦函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π
2
]上的单调性及最大值和最小值．
观察曲线，可以看到:y ＝sin x 在[－π2，π2]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由-1增大到1；在[π
2，
3π
2
]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到-1. 函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]在[－π2，π2]上单调递增，在[π2，3π
2]上单调递减，最大值1，最小值-1.
由正弦函数的周期性，将正弦函数的单调区间推广：
正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 在每一个闭区间???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π(k ∈Z )上都是增函数，在每一个闭区间???
?π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数．
思考：类似地，能否求出余弦函数的单调区间以及余弦函数的最大值和最小值？
【提示】类似地，研究余弦函数的一个周期，研究函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调性
观察曲线，可以看到:y ＝cos x 在[－π，0]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由-1增大到1；在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到-1.
函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，最大值1，最小值-1. 由余弦函数的周期性，将余弦函数的单调区间推广：
余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 在每一个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，在每一个闭区间[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )上都是减函数． 2.正、余弦函数的单调性
正弦函数在每一个闭区间???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间???
?π2＋2k π，3π
2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
思考1：正弦函数在每一个开区间（2kπ，π
2
＋2kπ）（k ∈Z ）上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是
增函数？
【提示】“第一象限”是由所有的区间(2k π，2k π＋π
2)(k ∈Z )构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并
集内，显然函数值不是随着x 的增大而增大的.所以，正弦函数、余弦函数在它们的定义域上都不是单调的，也不能说它们在某象限单调，比如“正弦函数在第一象限为增函数”的说法是错误的。
思考2：当自变量x 分别取何值时，正弦函数y ＝sin x 、余弦函数y =cos x 取得最大值1和最小值－1？
【提示】正弦函数：当且仅当x ＝π
2＋2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；
当且仅当x ＝－π
2
＋2k π(k ∈Z )时，取得最小值－1.
余弦函数：当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1；当且仅当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，取得最小值－1. 探究三、正、余弦函数的对称性
问题：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
【提示】由正弦曲线可知：正弦曲线关于点（k π，0）和直线x ＝π
2＋k π对称.
问题：余弦曲线除了关于y 轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
【提示】由余弦曲线可知：余弦曲线关于点（π
2，0）和直线x ＝k π对称.
3.正、余弦函数的对称性
正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．
y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )．
y ＝cos x 的对称中心为(k π＋π
2
，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．
正弦、余弦函数的性质
例题讲练
类型一、三角函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x )＝sin(23x ＋15π
2
)；（2）f (x )＝sin(cos x )；（3）f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x ).
解析：（1）f (x )＝sin(23x ＋15π2)＝sin(23x ＋3π2)＝－cos 2
3
x ，∴f (x )为偶函数．
（2）由题意，函数定义域关于原点对称，f (﹣x )＝sin[cos(﹣x )]＝sin(cos x )＝f (x )，函数为偶函数. （3）∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾，∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0.
∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x )＝ln(1＋sin 2x －sin x )＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－
1
＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
例2.若函数y ＝2sin(ωx ＋φ)是偶函数，则φ可能等于（）
A.π6
B.π3
C.π2
D.π 解析：∵y ＝2sin(ωx ＋π2)＝2cos ωx 为偶函数，∴φ可取π
2
.
答案：C
类型二、函数周期性与奇偶性的综合运用
例3.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈???
?0，π
2时，f (x )＝ sin x ，求f ????
5π3的值．
解 ∵f (x )的最小正周期是π，
∴f ????5π3＝f ????5π3－2π＝f ???
?－π
3， ∵f (x )是R 上的偶函数，
∴f ????－π3＝f ????π3＝sin π3＝32
.
R R
变式1.若f (x )是以π2
为周期的奇函数，且f ????π3＝1，求f ????－5π6的值． 解：f ????－5π6＝f ????－5π6＋π2＝f ????－π3＝－f ???
?π
3＝－1. 归纳：解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内． 例4.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，
x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数的解析式f (x )＝________．
解析：由函数为偶函数知φ＝π2＋k π(k ∈Z )，又因为0<φ<π所以φ＝π
2
，从而y ＝2cos ωx .
又由条件知函数的最小正周期为π，故ω＝2，因此y ＝2cos2x .
归纳：关于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性．
当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，函数为偶函数；当φ＝k π，k ∈Z 时，函数为奇函数；当φ≠k π
2
，k ∈Z 时，函数
为非奇非偶函数．
类型三、三角函数的单调性
1.求y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间
例5.求函数y ＝2sin(x －π
3)的单调区间．
分析：令z ＝x －π
3，借助y ＝2sin z 的单调性求解．
解析：令z ＝x －π
3，则y ＝2sin z .
∵z ＝x －π3是增函数，∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin(x －π
3)也单调递增(减)．
由z ∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，得x －π3∈[2k π－π2，2k π＋π
2](k ∈Z )，
即x ∈[2k π－π6，2k π＋5π
6
](k ∈Z )，
故函数y ＝2sin(x －π3)的单调递增区间为[2k π－π6，2k π＋5π
6
](k ∈Z )．
同理可求函数y ＝2sin(x －π3)的单调递减区间为[2k π＋5π6，2k π＋11
6
π](k ∈Z )．
例6.已知函数y ＝cos(π
3－2x )，则它的单调减区间为________．
解析：y ＝cos(π3－2x )＝cos(2x －π3)，由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
，k ∈Z .
∴单调递减区间是[k π＋π6，k π＋2π
3
](k ∈Z )．
答案：[k π＋π6，k π＋2π
3
](k ∈Z )
点评：确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法：
(1)把ωx ＋φ看成一个整体，把ωx ＋φ代入相应的不等式中，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π
2
(k ∈Z )解出x 的
范围，所得区间即为增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3
2
π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．
(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，再利用整体代换，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k
∈Z )得到函数的增区间．
(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似． 2.根据三角函数的单调性求解参数
例7.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ?
???ωx ＋π4在????π
2，π单调递减，则ω的取值范围是（）
A.????12，54
B.????12，34
C.????0，1
2D.(0,2] 选A
解析：法一：函数f (x )＝sin ????ωx ＋π4的图象可看作是由函数f (x )＝sin x 的图象先向左平移π
4
个单位得 f (x )＝sin ????x ＋π4的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的， 而函数f (x )＝sin ????x ＋π4的减区间是????π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ?
???ωx ＋π4在????π2，π上是减函数， 需满足???
π4×1ω≤π
2，
5π4×1
ω≥π，
解得12≤ω≤54
.
法二：因为0ω>，
2
x π
π<<，所以2
4
4
4
x π
π
π
π
ωωωπ?
+
<+
，
因为函数()sin()4
f x x π
ω=+
在（
2
π
，π）上单调递减， 所以242342
πππωππωπ??+≥?????+≤??，解得12≤ω≤54
.
例8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间???
?－π3，π
4上的最小值是－2，则ω的最小值等于（） A.23B.3
2C.2 D.3 选B
解析：∵x ∈????－π3，π4，则ωx ∈????－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在???
?－π3，π
4上取得最小值－2， 则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32
.
变式 2.已知函数f (x )＝sin ????ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为?
???k π－5π12，k π＋π
12(k ∈Z )，单调递减区间为?
???k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________．
[解析] 由题意，得????k π＋7π12－????k π－5π
12＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2. [答案] 2
点评：解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在????k π－5π12，k π＋π
12(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为????k π－5π12，k π＋π
12(k ∈Z )”，二者是不相同的． 类型四、正、余弦函数的值域与最值
例9.求下列函数的最大值和最小值：
(1)y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π
6
)
(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5 (3)1
sin 21
sin 2-+=
x x y
解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin(2x ＋π
3
)≤1.
∴当sin(2x ＋π3)＝1，即x ＝π12时，y max ＝2；当sin(2x ＋π3)＝0，即x ＝－π
6时，y min ＝0.
(2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， ∴t ＝－1时，y 取得最大值10，
(10分)
t ＝1时，y 取得最小值2. (11分)
所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]． (12分)
变式3.求下列函数的值域：
(1)y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π
2]
(2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4
分析：(1)先求x ＋π
6的范围，再由y ＝cos x 的图象求出值域；(2)可以令t ＝cos x ∈[－1,1]，转化为二次函
数求值域．
解析：(1)∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π
3
.
∵y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，而[π6，2π
3] [0，π]，
∴y ＝cos x 在区间[π6，2π
3]上也单调递减，
(3分)
∴cos 2π3≤y ≤cos π6，即－12≤y ≤32
.
∴y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域为[－12，3
2
]．
(6分)
(2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋9
8.∵sin x ∈[－1，1]，
∴当sin x ＝－1，即x ＝－π
2＋2k π(k ∈Z )时，y 有最小值－9；
当sin x ＝1，即x ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )时，y 有最大值1.
点评：求三角函数的值域问题主要两种基本类型：
第一种类型是可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，这类函数的值域问题的解决方法是利用给定区间上的单调性；
第二种类型利用函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域和最值，可求出由它们复合而成的函数的值域和最值。即关于cos x (或sin x )的二次函数型，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C (或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C )，配方法变为y ＝a (sin x ＋h )2＋k 或y ＝a (cos x ＋h )2＋k ，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sin x |≤1，|cos x |≤1． 类型五、三角函数的对称性
说明：（1）特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.
例10.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点????
4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．
解析：∵y ＝cos x 的对称中心为?
???k π＋π
2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，
得φ＝k π－13π
6(k ∈Z )．
∴当k ＝2时，|φ|min ＝π
6.
答案：π6
课堂小结
1.正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y =Asin ωx 是奇函数，y =Acos ωx （A ω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.
课时作业 1.设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π4)(ω＞0，|φ|＜π
2
)的最小正周期为π，且是偶函数，则（）
A.f (x )在(0，π2)单调递减
B.f (x )在(π4，3π
4)单调递减
C.f (x )在(0，π2)单调递增
D.f (x )在(π4，3π
4
)单调递增
解析：由条件知w ＝2.∵f (x )是偶函数且|φ|＜π2，∴φ＝π4，这时f (x )＝2sin(2x ＋π
2
)＝2cos2x .
∵x ∈(0，π2)时，2x ∈(0，π)，∴f (x )在(0，π
2
)上单调递减．
答案：A
2.已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ????
π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是（）
A.????－π8，3π8
B.????π8，9π8
C.????－3π8，π8
D.????π8，5π
8 选C
解析：由f ????π8＝－2，得f ????π8＝－2sin ????2×π8＋φ＝－2sin ????π4＋φ＝－2，所以sin ???
?π4＋φ＝1. 因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
3.下列关系式中正确的是（）
A.sin11°＜cos10°＜sin168°
B.sin168°＜sin11°＜cos10°
C.sin11°＜sin168°＜cos10°
D.sin168°＜cos10°＜sin11°
解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.
因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0，90°]上为增函数， 所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°. 答案：C
4.已知奇函数f (x )在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）
A.f (cosα)＞f (cosβ)
B.f (sinα)＞f (sinβ)
C.f (sinα)＜f (cosβ)
D.f (sinα)＞f (cosβ)
5.设αβ,都是锐角，且αβπ+=
2
3
，则cos()αβ-的取值范围是（） A.)21,21(- B.[21，1] C.（2
3，1） D.]1,21(-
6.若函数y ＝2cos ωx 在区间?
???0，2π
3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（） A.2 B.12C.3D.1
3
选B
解析：由y ＝2cos ωx 在????0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ????2π3＝1，即2×cos ?
???ω×2π
3＝1， 即cos ????2π3ω＝1
2，检验各选项，得出B 项符合．
7.函数y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |在区间????
π2，3π2内的图象大致是（）
选A
解析：当x ∈????
π2，π时，
tan x ≤0，sin x ≥0，故y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |＝tan x ＋sin x ＋sin x －tan x ＝2sin x ； 当x ∈????π，3π
2时，tan x >0，sin x <0，故y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |＝tan x ＋sin x ＋tan x －sin x ＝2tan x . 所以y ＝??
?
2sin x ，x ∈????π
2，π，2tan x ，x ∈?
???π，3π2，.
8.已知偶函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间是________．
解析：∵f (x )为偶函数且0＜φ＜π，∴φ＝π2，∴f (x )＝2sin(ωx ＋π
2
)＝2cos ωx .又最小正周期为π，
∴ω＝2，∴f (x )＝2cos2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π
2
≤x ≤k π，k ∈Z .
答案：[k π－π
2，k π](k ∈Z )
9.函数y ＝cos(2x －π
3
)在x ＝________时，取到最大值________．
解析：当2x －π3＝2k π，k ∈Z ，即x ＝k π＋π
6(k ∈Z )时，函数取到最大值1.
答案：k π＋π
6
(k ∈Z )
10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?
???0<φ<2π
3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点???
?π6，3
2，求f (x )的单调递增区间．
解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω
＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对?x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π
2.
(2)f (x )的图象过点????π6，3
2时，sin ????2×π6＋φ＝32，即sin ????π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π
3.
∴f (x )＝sin ?
???2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π
12，k ∈Z .
∴f (x )的递增区间为?
???k π－5π12，k π＋π
12，k ∈Z .
教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+
一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)． 【要点梳理】 要点一：周期函数的定义 函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足 )()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 （1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求
sin()y x =-的单调递增区间时， 应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先 求定义域． 要点三：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的性质． 函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A - （3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由 )(2 22 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π π?ωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间，由 )(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为偶函数； 对于函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为奇函数． 要点诠释： 判断函数sin()y A x ω?=+，cos()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π ω = ． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数sin y x =比较可知，当()2 x k k z π ω?π+=± ∈时，函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或 最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2 x k k z π ω?π+=± ∈解出，其对称中心的横坐标 ()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-?? ∈ ??? ．同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由
重庆市渝中区职业教育中心 数学课程教案 教师 周名昆 第 1 页 第 1 页 共 2 页 [课 题] 5.8函数)sin(?ω+=x A y 的性质和图象 [课 时] 第一课时 [课 型] 新授课 [目 标] 1. 了解正弦型函数的解析表达式中各个符号的实际背景意义； 2. 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系； 3. 能够根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [重 点]根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [难 点] 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系 [教 法] 讲授法、启发式教学法 [教 具] 教材、实物展示台、多媒体投影 [教学过程] 一、复习引入 1正弦函数在区间[-π，π]上的图象（五点法作出） 2正弦型函数引出：见教材实例 二、新课讲授 1正弦型函数)sin(?ω+=x A y 中各个字母的意义 1）A ——振幅 2）ω——频率（弧度/秒） 3）?——初相 4）??+t ——t 时刻的相位 2正弦型函数的性质：A 、T A ——最值 T ——最小正周期（? π2=T ） 例1已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） x y 5sin 3= )115sin(3π-=x y )875sin(3π+=x y )11 5sin(π+=x y 练习已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） )351sin(6π+=x y )11100sin(24ππ+=x y )4 21sin(2π+=x y x y 5.0sin 13= 3正弦型函数与正弦函数图象之间的关系（利用课件演示） ⑴x A y sin =与x y sin = 振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法
观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）
正弦函数、余弦函数性质说课稿 一、教材分析 1.教学目标 知识目标：，观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。 能力目标：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；培养学生自主探究的能力。 情感目标：让学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。 2 地位和作用 本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时，这里讲的是第二课时。正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。 3 教学重点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值。 教学难点:确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，使学生在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用。 二、学生的认识水平分析 1知识结构：学生在必修1学习了函数的有关概念，以及几个中学阶段的初等函数，在本章书的第一节介绍了角的概念的推广、正弦函数、余弦函数的图像和周期性，所以已经具备了这节课的预备知识。 2能力方面：已经具有一定的分析问题,解决问题的能力,函数思想和数形结合思想已经略有了解，在教师的指导下能力目标不难达到。 3情感方面：高一学生参与意识、自主探究意识逐渐增强，能够对新知识比较感兴趣。三、教法分析 引导发现教学法 为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，为了立足于学生思维发展，着力于知识的建构，就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会，采用引导发现法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现，再创造的过程。 四、学法分析 学法指导在教学过程中有着十分重要的作用，它不仅有助于学生学好数学知识，而且对培养和发展学生的自学能力，使学生学会学习，学会交流，形成科学世界观都有着不可低估的作用。本节课我从以下两个方面对学生进行学法指导： 联想尝试：数学是一门基础学科，数学的概念、性质、方法、思想抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、尝试发现新的知识方法，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。 合作学习：引导学生认真观察正弦、余弦函数的图像之后，指导学生进行讨论交流，通
1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h
x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 =
三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴
正弦函数的性质：编辑本段 解析式：y=sinx 图象：波形图象 定义域：R 值域：【-1，1】 最值： ①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1 零值点： (kπ,0) 对称性： 1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称 2)中心对称：关于点(kπ,0)对称 周期：2π 奇偶性：奇函数 单调性：在【-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ】上是增函数，在【(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ】上是减函数 余弦函数的性质：编辑本段 余弦函数 图象：波形图象 定义域：R
值域：【-1，1】 最值： 1）当x=2kπ时,y(max)=1 2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1 零值点：(π/2+kπ,0) 对称性： 1）对称轴：关于直线x=kπ对称 2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称 周期：2π 奇偶性：偶函数 单调性：在【2kπ-π,2kπ】上是增函数 在【2kπ,2kπ+π】上是减函数 tan15°=2-√3 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 性质 1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z} 2、值域：实数集R 3、奇偶性：奇函数 4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，（k∈Z）上是增函数 5、周期性：最小正周期π（可用T=π/|ω|来求） 6、最值：无最大值与最小值 7、零点：kπ,k∈Z 8、对称性： 轴对称：无对称轴 中心对称：关于点(kπ/2,0)对称（k∈Z） 9、图像（如图所示） 实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(2/n)π点都是它的对称中心. 诱导公式 tan(2π+α)=tanα tan(－α) =－tanα tan(2π－α)=－tanα tan(π－α) =－tanα tan(π+α) =tanα tan(α+β) =（tanα+tanβ）/（1-tanα×tanβ） 12．正弦（sin）等于对边比斜边；
6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;
正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．
解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；
1.5正弦函数的图像与性质基础练习题 一、单选题 1．已知函数()sin 022f x x ππ??????=+<< ???????的图象过点0,2? ?? ，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03?? ??? B ．()1,0 C ．4,03?? ??? D ．()2,0 22sin 0x -≥成立的x 的取值集合是（ ） A ．()32244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B ．()72244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C ．()52244x k x k k Z π πππ?? -≤≤+∈???? D ．()572244x k x k k Z π πππ?? +≤≤+∈???? 3．函数π ()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．π 2 4．函数sin 26y x π?? =+ ???的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 5．函数1sin y x =-的最大值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1- 6．已知函数()()sin 2f x x ?=+的图像关于直线3x π =对称，则?可能取值是( ). A ．2π B ．12π - C ．6π D ．6π- 7．函数sin 26y x π? ? =+ ???的一条对称轴是（ ） A ．6x π =- B ．0x = C ．6x π = D ．3x π =
8．函数2sin y x =的最小值是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9．已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则M N =（ ） A ．[]1,0- B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．? 10．已知函数()sin()()2f x x x R π =-∈，下面结论错误的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0, 2π??????上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数 11．函数()sin 4f x x π? ?=+ ??? 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．4πx =- B ．4x π = C ．2x π = D ．x π= 12．函数12sin()24y x π=+ 的周期，振幅，初相分别是( ) A ．,2,44ππ B ．4,2,4π π-- C ．4,2,4π π D ．2,2,4π π 二、填空题 13．函数sin 2y x =的最小正周期为_____________ 14．函数1sin 223y x π??=+ ?? ?的最小正周期是_______ 15．y ＝3sin 26x π??- ???在区间0,2π?? ????上的值域是________. 三、双空题 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是 32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．函数sin 24y x π??=+ ???的对称轴为_________，对称中心为_____________. 四、解答题 18．已知函数2sin 23y x π? ?=+ ??? .
案例名称 科目 课时正弦型函数的概念及性质（职业模块工科类） xx数学 一课时教学对象xx （2）提供者xx 一、教材内容分析 1、主要内容： 函数y Asin(x)(A0,0)的概念及性质处于中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（职业模块工科类）第一章第2节，主要利用正弦函数的性质和图像研究y Asin(x)(A0,0)的性质和图像。 2、地位与作用： 这节知识是学生在学习了正弦、余弦和正切三个基本三角函数的性质与图像的基础上，进一步加深对三角函数图像的认识，其地位与作用从以下两点可以体现： Ⅰ、它在三角函数知识从理论到生活实践中扮演了连接桥梁的角色。 Ⅱ、学好它可以进一步领会函数图像的研究方法，以及实际生活中的应用。 3、教学建议： 结合具体的实例，了解y Asin(x)(A0,0)的实际意义。 了解正弦函数在电工学和物理学中的应用，培养学生解决问题的能力。 二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）及重点、难点
1、教学目标： 知识与能力： 掌握正弦型函数的性质． 过程与方法： 通过“变量替换”、概括、归纳的方法，让学生理解并掌握三角函数的周期和最值；通过分析例题和练习，巩固知识。 情感态度与价值观： 通过学生参与教学活动提高认真、积极、自信态度；遇到困难时，通过自己的努力加以克服。养成乐于学习的好习惯。 2、重点及难点 重点： 利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值． 难点： 正弦型函数的转化过程。 三、学习者特征分析 1、通过在基础模块上册中三角函数——正弦函数的学习，已经掌握了三角函数的概念、性质及图像，具备了一定的分析、理解能力，对于正弦型函数只需要“变量替换”而形成。 2、学生认为函数很难理解，但是在已有的知识结构基础上，通过“变量替换”总结知识点。加强了学生的运算能力及推导能力。 四、教学策略选择与设计 1、问题激发策略：
1.4.2正弦、余弦函数的性质(一) 教学目的： 知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三 角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量x 2π- 32π- π- 2 π- 0 2π π 32 π 2π 函数值sin x 1 0 1- 0 1 1- 正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2? 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3? 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin( )sin 636π ππ+ =，能否说23 π 是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，* k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2、说明：1?周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2?“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） – – π 2π 2π- π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-
《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表
（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-
北师大版必修4§1.5《正弦函数的性质与图像》第一课时 设计者：江西省南康中学 邱小伟 一、教学目标 1.知识与技能 (1)理解正弦线的概念和函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质。 (2)了解正弦函数图像的画法，掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。 2.过程与方法 通过利用单位圆研究正弦函数性质的过程，增强学生自主分析问题、解决问题的能力。 3.情感态度价值观 通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、教材分析 1.教材的地位与作用 《正弦函数的图像与性质》是高中《数学》必修4（北京师范大学版）第一章第五节的内容，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数的图像，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数 的图像的研究打好基础，起到了承上启下的作用。因此，本节的学习有着极其重要的地位。 本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出 sin ,[0,2]y x x p =?的图象，考察图象的特点，介绍“五点作图法”。 2.教学重、难点 重点：函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质；正弦函数图像的五点作图法。 难点：正弦函数值的几何表示；正弦函数sin y x =图像的画法。 难点突破：在正弦函数定义的基础上，给出正弦函数值的几何表示（正弦线），再运用几何画板软件，带领学生一起直观形象地去探索正弦函数的图像，在清楚了正弦曲线的基本形状基础上，让学生通过练习动手实践掌握正弦曲线的五点作图法。 三、教法分析 根据上述学习目标分析和教材分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为： 1.计算机辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人以美的享受。 2.讨论式教学